湖南省长沙市2025-2026学年高一数学下学期期中试卷含解析

2026年上学期期中考试试卷

高一数学

时间：120分钟分值：150分

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.已知集合A1，2，3，5，7，11，Bx|3x15，则A∩B中元素的个数为（）

A.2B.3C.4D.5

【答案】B

【解析】

【分析】采用列举法列举出AB中元素的即可.

【详解】由题意，AB{5,7,11}，故AB中元素的个数为3.

故选：B

【点晴】本题主要考查集合的交集运算，考查学生对交集定义的理解，是一道容易题.

12i

2.已知z，则z的虚部为（）

i

A.iB.iC.1D.1

【答案】D

【解析】

【分析】利用复数的四则运算求出复数z，再确定其虚部即可.

12ii(1+2i)

【详解】由z2i，可知z的虚部为1.

ii2

故选：D.

1

3.已知A(2,1)，B(4,5)，点P满足APAB，则点P的坐标是（）

2

A.(3,3)B.(8,7)C.(1,2)D.(10,11)

【答案】C

【解析】

【分析】求出向量AP的坐标，进而求出点P的坐标.

1

【详解】点A(2,1)，B(4,5)，则AB(6,6)，于是APAB(3,3)，

2

所以点P的坐标为(1,2).

故选：C

2

4.“幂函数fxn23n3xn3n在0,上是减函数”是“n2”的一个（）

A.必要不充分条件B.充要条件

C.充分不必要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】A

【解析】

【分析】根据幂函数的单调性求解n1或n2，再根据必要不充分条件的定义即可得解.

21

【详解】由幂函数的定义得n23n31，解得n1或n2，此时n23n2，fxx；

x2

2

所以当幂函数fxn23n3xn3n在0,上是减函数时，n1或n2，充分性不成立；

1

当n2时，fxx2在0,上是减函数，必要性成立；

x2

2

所以幂函数fxn23n3xn3n在0,上是减函数”是“n2”的一个必要不充分条件.

故选：A

4

5.已知sin，tan3tan，则sin（）

5

1212

A.B.C.D.

10553

【答案】B

【解析】

【分析】根据已知条件可得出关于sincos、cossin的值，结合两角差的正弦公式可求出sin

的值.

43

sinsincoscossinsincos

55

【详解】由题意可得，解得，

sin3sin1

cossin

coscos5

312

因此sinsincoscossin.

555

故选：B.

6.努力公式是一个用来描述努力与结果之间关系的数学公式，它通常表示为：1.0136537.8，

0.993650.03．我们可以把(11%)365看作每天的进步率都是1%，而把(11%)365看作每天的落后率都

1.01

是1%，大约经过（）天后进步的是落后的200倍lg0.0087,lg20.301

0.99

A.264B.266C.268D.270

【答案】A

【解析】

1.01x

【分析】设x天后进步的是落后的200倍，则200，利用指对数运算求解即可.

0.99x

x

1.01x1.01

【详解】设x天后进步的是落后的200倍，则200，200，

0.99x0.99

x

1.011.01

即lgxlglg200lg21002lg2，

0.990.99

2lg22.301

x264

所以有1.01（天）.

lg0.0087

0.99

故选：A.

7.若平面截三棱锥所得截面为平行四边形，则该三棱锥与平面平行的棱有（）

A.0条B.1条

C.2条D.1条或2条

【答案】C

【解析】

【分析】根据题意，作平行四边形EFGH为三棱锥的截面，根据线面平行的判定定理，以及线面平行的

性质，即可得出结果.

【详解】如图所示，四边形EFGH为平行四边形，则EF//GH.

EF平面BCD，GHÌ平面BCD，

EF//平面BCD.

又EF平面ACD，平面BCD平面ACDCD，EF//CD.

又EF平面EFGH，CD平面EFGH.

CD//平面EFGH，同理⊄，AB//平面EFGH，

所以与平面(面EFGH)平行的棱有2条.

故选：C.

【点睛】本题主要考查线面平行的判定，熟记线面平行的判定定理，以及线面平行的性质即可，属于常考

题型.

2xx2,x0

8.已知函数fx，若abcd，且.fafbfcfd，则

lgx,x0

abc2d的取值范围是（）

201181

A.3,B.1,

1010

C.22,D.222,

【答案】B

【解析】

【分析】作出fx图象，由数形结合的方法可知2a1b0c1d10，由对称性知

1

ab2，cd1，将所求式化为22d，利用对号函数单调性可求得所求范围.

d

【详解】由fx解析式可得fx图象如下图所示：

设fafbfcfdk，由图象可知：0k2，

2a1b0c1d10，

又a,b关于x1对称，ab2；

1

由lgclgd得：lgclgd，即cd1，abc2d22d，

d

11201

y2x在1,10上单调递增，2d3,，

xd10

181

abc2d1,.

10

故选：B.

【点睛】关键点点睛：本题考查函数与方程的相关知识，解题关键是能够利用数形结合的方式确定

a,b,c,d所处的范围及对称关系，由此化简所求式，得到一个关于某一变量的函数的形式，利用函数值域

的求解方法求得结果.

二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.

9.已知i是虚数单位，z是复数，则下列叙述正确的有（）

A.zz|z|2|z|2

B.若z1z2，则z1z20

C.若mR，则zm1m22m3i不可能是纯虚数

D.若|z|1，则在复平面内对应的点Z的集合确定的图形面积为2π

【答案】ABC

【解析】

【分析】对于A，结合共轭复数的定义，以及复数模公式，即可求解，对于B，结合复数的概念求解即

可，对于C，结合纯虚数的定义，即可求解，对于D，结合复数的几何意义，即可求解．

【详解】对于A，设zabi，a,bR，则zabi，

zzabiabia2b2，|z|2|z|2a2b2，故A正确；

对于B，由于虚数不能比大小，又z1z2，可得z1，z2都是实数，可得z1z20，故B正确，

对于C，当zm1m22m3i为纯虚数时，

m10

则，无解，

2

m2m30

故当mR，则zm1m22m3i不可能是纯虚数，故C正确，

对于D，|z|1，则z在复平面内对应的点Z的集合确定的图形为以0,0圆心，1为半径的圆，

以及圆的内部，其面积为π12π，故D错误．

故选：ABC．

10.记锐角ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，acos2B2bcosAcosBbsinAsinB，则

（）．

ππ

A.ABB.B的取值范围为,

64

ac

C.的取值范围为2,3D.的取值范围为1,2

bb

【答案】BCD

【解析】

【分析】由条件利用正弦定理边化角，可得sinA2B0，判断A;由三角形为锐角三角形结合A的结

a

论，可求得B的范围，判断B;利用正弦定理表示2cosB，结合B的范围可判断C;利用正弦定理表

b

c

示4cos2B1，结合B的范围可判断D;

b

【详解】由题意得sinAcos2B2sinBcosAcosBsinAsin2B0，

得sinAcos2Bsin2BcosAsin2BsinA2B0，

ππ

由于A,B(0,),则A2B(π,),

22

则A2B，A错误．

π

0A2B

2

π

因为ABC是锐角三角形，所以0B，

2

π

0Cπ3B

2

ππ

解得B，B正确．

64

ππasinAsin2B

由于B，故2cosB2,3，C正确．

64bsinBsinB

22

csinCsin2BB2sinBcosB2cosB1sinB

4cos2B1，

bsinBsinBsinB

ππ232

由于B，cosB,，故4cosB1(1,2)，故D正确，

6422

故选：BCD

11.在棱长为1的正方体中，，，，下列结论正

ABCDA1B1C1D1APACAA1[0,1][0,1]

确的是（）

6

A.若21时，直线BP与直线CD的夹角余弦值为

6

B.若1时，△BPD周长的最小值为22

C.若1时，三棱锥CPBD的体积为定值

1

D.当时，有且仅有一个点P，使得BPCP

21

【答案】AC

【解析】

【分析】根据平行求出直线与直线所成的角，解三角形得解判断A，取特殊点判断B，由点到面的距离为定

值判断C，点P位于Q或H时满足B1PCP即可判断D.

1

【详解】对于A，当21时，APACAA，如图，

21

所以点P为线段A1C1的中点，因为CD//AB，

所以直线BP与直线CD的夹角即为直线BP与直线AB的夹角PBA，

，

2

22226

𝐵=��1+�1�=1+2=2

PB2AB2AP216

6cosPBA

同理可得AP，在等腰PAB中2PBAB66，故A正确；

221

2

对于B，当1时，根据三点共线的充要条件可知，点P在线段A1C上，

33

当点P是线段A1C的中点时，可知△BPD周长为222，故B错误；

22

对于C，当1时，点P在线段A1C1上，

因为A1C1//平面ABCD，所以点P到平面BCD的距离为定值，

1

所以VVSh为定值，故C正确；

CPBDPBCD3BCDPBCD

1

对于D，因为APACAA，，[0,1]，取AC，AC中点分别为Q，H，

1211

所以P点在线段QH上运动，当点P位于Q或H时，B1PCP，故D错误.

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.已知圆锥的母线长为10cm，侧面积为50π

cm2，则此圆锥的体积为_______cm3.

1253

【答案】π

3

【解析】

【分析】应用圆锥侧面积公式计算求出底面半径，再根据圆锥体积公式计算求解.

【详解】设圆锥底面半径为r圆锥的高为h，圆锥的母线长为10cm，侧面积为50πcm2，

则πrl10πr50π，则r5，所以hl2r253，

11253

则此圆锥的体积为π2553πcm3.

33

1253

故答案为：π.

3

13.已知函数f(x)3cosx(0)在区间[0,]上恰有3个最小值点，则实数的取值范围为

4

________．

【答案】,

44

【解析】

【详解】x[0,]，则x,，

444

因为fx在区间[0,]上恰有3个最小值点，

所以结合余弦函数的性质可得，57，得，

444

则实数的取值范围为,.

44

14.已知平面向量a，b，e，且e1．已知向量b与e所成的角为60°，且btebe对任意实数

t恒成立，则a2eab的最小值为______．

【答案】23

【解析】

【分析】由btebe，两边平方化简得b2，再用向量的三角不等式求a2eab的最小值.

1

【详解】由e1，向量b与e所成的角为60°，可得beb，

2

22222

由btebe，则b2tbeteb2bee，

化简可得t2btb10对任意实数t恒成立，

令ftt2btb1，则ft0恒成立，

2

由于函数图象抛物线开口向上，所以需要满足b4b40，

2

即b20，所以b2.

由向量的三角不等式，有a2eaba2eab2eb，

22

又2eb4e4ebb44423，

则a2eab的最小值为23.

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

15.已知函数fxx22ax3，x4,6．

（1）当a2时，求fx的最值；

（2）若fx在区间4,6上是单调函数，求实数a的取值范围．

【答案】（1），.

fxmin1fxmax35

（2）,64,

【解析】

【分析】（1）利用二次函数的性质求fx的最值即可.

（2）由区间单调性，结合二次函数的性质：只需保证已知区间在对称轴的一侧，即可求a的取值范围．

【小问1详解】

2

当a2时，fxx24x3x21，

∴fx在4,2上单凋递减，在[2,6]上单调递增，

∴fxf21，2.

minfxmaxf4444335

【小问2详解】

2

fxx22ax3xa3a2，

∴要使fx在4,6上为单调函数，只需a4或a6，解得a4或a6．

∴实数a的取值范围为,64,．

16.已知函数f(x)2sinxcosx323sin2x.

ππ

（1）求f(x)在,上的值域；

126

π2

（2）将f(x)的图象向右平移个单位长度，再把曲线上所有点的横坐标变为原来的倍(纵坐标不变

33

)，得到函数g(x)的图象，求g(x)的单调递减区间；

【答案】（1）f(x)[1,2]

2kπ5π2kπ11π

（2）,，kZ

318318

【解析】

【分析】（1）先利用降幂公式和辅助角公式化简，再根据正弦函数的性质结合整体思想求解即可；

（2）先根据平移变换和周期变换的原则求出gx的解析式，再根据正弦函数的单调性求解即可.

【小问1详解】

π，

2

�(�)=2sin�cos�+3−23sin�=sin2�+3cos2�=2sin2�+3

ππππ2π

因为x,，则2x,，

126363

π

所以，，故f(x)[1,2]；

1

【小问sin2详2�解+】3∈21

π

将f(x)的图象向右平移个单位长度，

3

πππ

可得y2sin2x2sin2x，

333

π2

再把y2sin2x函数图象上所有点的横坐标变为原来的倍，

33

得到函数π的图象，

π�(�)=2sπin3�−33π2kπ5π2kπ11π

由2kπ3x2kπ，kZ，可得x，kZ，

232318318

2kπ5π2kπ11π

所以g(x)的单调递减区间为,，kZ.

318318

17.已知ABC的周长为L，面积为S，内角A、B、C对边分别是a、b、c，且

2ccosCacosBbcosA.

（1）求角C；

L

（2）若边长c3，求的最小值．

S

π

【答案】（1）C

3

（2）43

3

【解析】

【分析】（1）正弦定理边化角，结合两角和的正弦公式即可求解.

（2）由余弦定理可得(ab)23ab9,结合基本不等式求出ab6，即可求解.

【小问1详解】

2ccosC(acosBbcosA)0，

由正弦定理得2sinCcosC(sinAcosBcosAsinB)0

2sinCcosCsinC0，

1

在ABC中，C(0,π)sinC0,cosC

2

π

C(0,π),C

3

【小问2详解】

由余弦定理可得：c2a2b22abcosC(ab)22ab(1cosC)9，

即(ab)23ab9,

2

12ab

ab(ab)9，

32

(ab)236，

ab6，当且仅当ab3时取等号

又abc33ab6

Labc4(abc)43(ab3)4343

12

SabsinC3ab(ab)9ab33

2

L43

∴当ab3时，取到最小值为

S3

18.如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为梯形，其中AD∥BC，且AD2BC，点E为棱

PD的中点．

（1）求证：CE∥平面PAB；

（2）若M为CE上的动点，则线段AD上是否存在点N，使得MN//平面PAB？若存在，请确定点N

的位置，若不存在，请说明理由；

（3）若PAPBPCAD10,CD12，请在图中作出四棱锥PABCD过点B,E及棱AD中点的

截面，并求出截面周长．

【答案】（1）证明见解析

（2）存在N为线段AD中点，证明见解析

56

（3）23

2

【解析】

【分析】（1）取线段PA的中点F，连接EF,BF，通过证明EC//FB可得结论；

（2）当N为线段AD中点时，MN平面PAB，通过证明面ENC//面PAB可得结论；

（3）取线段PC的中点H，连接EH,HB，通过证明EH//NB，得到四边形EHBN为截面，然后分别

求出各边的长即可.

【小问1详解】

取线段PA的中点F，连接EF,BF，

因为E,F分别为线段PD,PA的中点，

1

所以EF//AD，且EFAD，

2

又AD//BC，且AD2BC，

所以EF//BC且EFBC，

所以四边形BCEF为平行四边形，

所以EC//FB，又EC平面PAB，FB平面PAB，

所以CE//平面PAB；

【小问2详解】

当N为线段AD中点时，MN//平面PAB，

证明：取线段AD中点N，连接EN,CN

因为E,N分别为线段PD,AD的中点，

所以EN//PA，又EN平面PAB，PA平面PAB，

所以EN//平面PAB；

因为ANBC，且AN//BC，

所以四边形BCNA为平行四边形，

所以NC//AB，又NC平面PAB，AB平面PAB，

所以NC//平面PAB；

又ENNCN,EN,NC面ENC，

则面ENC//面PAB，又MN面ENC，

所以MN//面PAB，

所以当N为线段AD中点时，MN//平面PAB；

【小问3详解】

取线段PC的中点H，连接EH,HB，

因为DNBC，且DN//BC，

所以四边形NDCB为平行四边形，

所以DC//NB，又E,H分别为线段PD,PC，

所以EH//DC，

所以EH//NB，则四边形EHBN为四棱锥PABCD过点B,E及棱AD中点的截面，

11

则BNCD12，ENPA5，HECD6，

22

5

在△PBC中，BCHC5，1，

cosPCB2

104

175

所以BH2BC2HC22BCHCcosHCB2525255，

42

56

则BH，

2

5656

所以截面周长为BNENHEHB125623.

22

19.对于定义在D上的函数f(x)，若存在实数m，使得f(xm)f(m)为奇函数，则称函数f(x)为“位

差奇函数”.

（1）判断f(x)2x3和g(x)x2是否是“位差奇函数”，并说明理由.

（2）若f(x)exex，h(x)f(x)tex，且h(x)为“位差奇函数”.

①证明：t1；

②若t2，对于xR，af(2x)h(2x)2a60，求a的取值范围.

【答案】（1）f(x)2x3为“位差奇函数”，g(x)x2不是“位差奇函数”，理由见解析；

5

（2）①证明见解析；②,

3

【解析】

【分析】（1）根据“位差奇函数”的定义分别判断即可；

（2）①根据题意可得F(x)h(xm)h(m)为奇函数，则F(x)F(x)，化简整理求出t的表达式，再

结合指数函数的性质即可得出结论；

2x2x2x2x

②分离参数可得ee6，化简分离常数求出ee6的最小值即可.

a

e2xe2x2e2xe2x2

【小问1详解】

f(x)2x3为“位差奇函数”，g(x)x2不是“位差奇函数”，理由如下：

由f(x)2x3，得f(xm)f(m)2(xm)3(2m3)2x，

函数y2x为奇函数，

对于任意m有f(x)2x3为位差奇函数，

又g(x)x2，设G(x)g(xm)g(m)(xm)2m2x22mx，

此时G(x)(x)22m(x)x22mx，若G(x)为奇函数，

则x22mxx22mx0恒成立，矛盾，

不存在m有g(x)x2为“位差奇函数”；

【小问2详解】

①证明：由已知