湖南省长沙市2025-2026学年高一数学下学期7月期末考试试题含解析

时量：120分量：150

一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只

有一项是符合题目要求的．

1.已知集合，则（）

A.B.C.D.

【答案】A

【解析】

【详解】集合，

则.

2.已知，且互斥，则（）

A.0.5B.0.3C.0.8D.0

【答案】C

【解析】

【详解】因为互斥，所以，

所以.

3.若，则（）

A.B.C.D.

【答案】A

【解析】

【详解】由于，所以，

则

4.在三棱锥中，E，F分别是棱，的中点，则与平面的位置关系为（）

A.异面B.平行C.相交D.无法判断

【答案】B

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【解析】

【详解】因为，分别是棱，的中点，

所以，

因为平面，平面，

所以平面.

5.已知某圆锥的底面积为，轴截面为等边三角形，则该圆锥的侧面积为（）

A.B.C.D.

【答案】B

【解析】

【分析】根据圆锥的底面积求出底面半径，再由轴截面为等边三角形求得圆锥的母线长，再代入圆锥的侧

面积公式求解.

【详解】因为底面积为，所以圆锥的底面半径为2，轴截面为等边三角形，

所以该圆锥的母线长为4，

所以.

6.已知是上的偶函数，当时，是增函数，则的大小关系

是（）

A.B.

C.D.

【答案】D

【解析】

【分析】利用是上的偶函数可知，，再根据在区间

上单调递增即可判断大小.

【详解】利用是上的偶函数可知，，

由于，又在区间上单调递增，

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则,

故.

7.若函数的部分图象如下图所示，则的值是（）

A.1B.2C.3D.4

【答案】B

【解析】

【分析】由得的图像关于对称，进而得周期，即可求解.

【详解】由图可得：，，所以的图像关于对称，

所以，所以，所以.

8.已知函数，若关于x的方程有6个根，

则m的取值范围为（）

A.B.

C.D.

【答案】D

【解析】

【分析】先作出函数的图像，结合图像可把问题转化为在上有两个不同实根

，，数形结合即可求得答案．

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【详解】作出函数图像如图所示：

令，则可化为，

若有6个根，

结合图像可知方程在上有2个不相等的实根，

不妨设，，

则，解得，

故m的取值范围为.

故选：D．

二、多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项

符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．

9.已知复数，则下列叙述正确的是（）

A.z的实部为1B.z的共轭复数为

C.D.复平面内表示复数z的点在第二象限

【答案】ABC

【解析】

【分析】先应用复数的除法及乘法化简，再结合实部定义判断A，应用共轭复数判断B，应用模长求解判断

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C，应用几何意义判断D.

【详解】已知，

z的实部为1，A选项正确；

z的共轭复数为，B选项正确；

，C选项正确；

复平面内表示复数z的点在第一象限，D选项不正确

10.下列结论正确的是（）

A.“”的否定是“”

B.“”是“”的必要不充分条件

C.小张5次数学周测成绩为80，84，84，86，86，则这组数据的平均数为86

D.若是幂函数，则

【答案】AD

【解析】

【详解】由命题的否定的定义可知“”的否定是“”，A选项正确；

当时，一定成立，即“”是“”的充分条件，当时，取，此时，所

以“”是“”的非必要条件.

所以“”是“”的充分不必要条件，B选项错误；

这组数据的平均数为，C选项错误；

若是幂函数，则，所以，所以，D选项正确.

11.已知平面向量，则下列结论正确的是（）

A.若与共线，则实数

B.一定有最小值

C.一定存在一个实数，使得

D.若，则在上的投影向量的坐标为

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【答案】BCD

【解析】

【详解】平面向量，

若与共线，则，解得，故A错误；

，

当时，取得最小值，所以一定有最小值，故B正确；

若，则，

所以，即，

所以，所以，解得.

当时，，

所以，所以C正确；

若，则，所以在上的投影向量，故D正确.

三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．

12.若对数函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是______．

【答案】

【解析】

【分析】利用对数函数单调性列出不等式求解即得.

【详解】由对数函数在区间上单调递增，得，解得，

所以实数的取值范围是.

故答案为：

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13.天气预报端午假期甲地的降雨概率是，乙地的降雨概率是，假定在这段时间内两地是否降雨相

互之间没有影响，则甲、乙两地都不降雨的概率______．

【答案】

【解析】

【分析】利用相互独立事件及对立事件的概率公式求得结果.

【详解】设甲地降雨为事件A，乙地降雨为事件B，则两地都不降雨为，

且与相互独立，

所以

故答案为：

14.《九章算术》是我国古代数学名著，它在几何学中的研究比西方早一千多年，书中将底面为直角三角形，

且侧棱垂直于底面的三棱柱称为堑堵；将底面为矩形，一侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马；将四个面均

为直角三角形的四面体称为鳖臑．如图，在堑堵中，，，AB＝8，则鳖

臑外接球的表面积为___，阳马体积的最大值为___．

【答案】①.②.64

【解析】

【分析】将鳖臑外接球即为堑堵的外接球，从而求出外接球直径为

，得到外接球表面积，利用基本不等式得到，求出体积的最大值

【详解】鳖臑外接球即为堑堵的外接球，可将堑堵补成长方体，

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则外接球直径为，

∴其表面积为．

∵，当且仅当时取等号，

所以，

∴阳马的体积为．

故答案为：，64

四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

15.某校高一年级教师为了精准掌握学生的数学学习情况，进行了数学质量监测，最高分为140分，最低分

为40分．现从中随机抽取了40名学生的成绩，并以，，，

为分组，制成了如下的频率分布直方图．

（1）求图中a的值，并估计这40名学生成绩的30%分位数x；

（2）现采用分层抽样的方式从成绩不低于100分的同学中抽取3人，再从这3人中选择2人分享学习经验，

求所选的2名学生的成绩来自不同组的概率．

【答案】（1），

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（2）

【解析】

【分析】小问1，根据频率直方图小矩形面积和为1，可将a的值求出，进而求出30%分位数x小问2，先

将不低于100分的两组的比例关系求出，得到分别从这两组抽出的人数，结合古典概型公式求出概率.

【小问1详解】

因为可求出，

第一个小矩形的概率为，第一个和第二个小矩形面积和为

，

所以30%分位数.

【小问2详解】

分数在与两组内人数的比例关系为，采用分层抽样的方式从成绩不低于100分的

同学中抽取3人，

所以在区间内抽取了2人，分别设为m,n在区间内抽取了1人,设为A；

则包含的基本事件有（m,n）,(m,A)，(n,A)共三种，设所选的2名学生的成绩来自不同组为事件B，

则满足事件B的基本事件有(m,A)，(n,A)共2种，

所以.

16.如图，在边长为的正方形中．

（1）求；

（2）若为边上一动点，且，问当为何值时，可使最小，并求出

的最小值．

【答案】（1）

（2）

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当时，最小，最小值为

【解析】

【分析】（1）以为原点，为轴，为轴建立平面直角坐标系，利用向量的坐标运算即可求解.

（2）由可得，，得到，求

出二次函数的最小值即可.

【小问1详解】

以为原点，为轴，为轴建立平面直角坐标系，

由正方形边长为，得，，，

则，，故.

【小问2详解】

由，，，得，则，，

故.

由于二次函数开口向上，对称轴为，

代入得最小值为，

即时，取最小值.

17.已知函数

（1）求函数的对称轴方程；

（2）将函数的图象向右平移个单位长度后得到的图象，求函数的解析式；

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（3）若函数在区间上没有零点，求的取值范围．

【答案】（1）

（2）

（3）

【解析】

【分析】（1）利用正弦型函数对称轴的性质，令相位等于求解即可；

（2）根据三角函数图象平移“左加右减”的规则代入化简，结合诱导公式得到的解析式；

（3）先求在给定区间的值域，无零点等价于不在的值域内，由此得到的取值范围。

【小问1详解】

对于，正弦函数的对称轴满足相位等于，

令，移项得，解得，

即的对称轴方程为.

【小问2详解】

将的图象向右平移个单位，根据图象平移“左加右减”的变换规则，得

，

化简相位：，

利用诱导公式，得，

故.

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【小问3详解】

函数在上没有零点，等价于方程在该区间上无解，

令，当时，，

由正弦函数的单调性，在上单调递增，在上单调递减，

故的最小值为，最大值为，即，

因此，

要使无解，则或，

即的取值范围为.

18.如图，在直三棱柱中，已知，，，分别是线

段，上的动点(不含端点)，．

（1）求证：

（2）当三棱锥的体积取得最大值时，求平面与平面的夹角的余弦值．

【答案】（1）由题意，两两垂直，故可以为原点，建立如图空间直角坐标系，

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设（），则，，，，

所以，.

因为，

所以，即.

（2）

【解析】

【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用空间向量的坐标表示证明垂直.

（2）先根据三棱锥的体积取得最大值，确定、点的位置，再利用空间向量求二面角的余

弦.

【小问1详解】

略

【小问2详解】

因为，

而，所以当时，取得最大值，此时取得最大值.

此时，，.

所以，，，.

设平面的法向量为，

则，令，可得.

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设平面的法向量为，

则，令，可得.

设平面与平面的夹角为，

则.

19.在中，角所对的边分别为，且．

（1）求．

（2）若为边的中点，，求的最大值．

（3）奥古斯丁•路易斯•柯西（AugustinLouisCauchy，1789年－1857年）是法国著名数学家．柯西在数学

领域的造诣极高，诸多数学定理和公式都以他的名字来命名，如柯西不等式、柯西积分公式，其中柯西不

等式在求解不等式证明的相关问题中广泛应用．现保持（1）的条件不变，若是内一点，过

点分别作的垂线，垂足分别为，借助三维柯西不等式：

，其中，当且仅当

时，等号成立．当取得最小值时，求的面积．

【答案】（1）；

（2）；

（3）.

【解析】

【分析】（1）根据给定条件，利用切化弦及正弦定理边化角，和角的正弦求解.

（2）由余弦定理及基本不等式求得，再利用向量数量积的运算律求解.

（3）由三维分式型柯西不等式，余弦定理，基本不等式，函数的单调性即可求解.

【小问1详解】

在中，由，得，

由正弦定理得，而，