2025-2026年江苏省北师大版高三数学第五章数列应用练习题

2025-2026年江苏省北师大版高三数学第五章数列应用练习题一、单选题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.在等差数列{a_n}中，已知a_1=3，a_5=9，若将数列{a_n}的前n项和记为S_n，则S_10的值为（）A.120B.150C.180D.210解析：由等差数列通项公式a_n=a_1+(n-1)d，代入a_1=3，a_5=9，得3+4d=9，解得d=3/2。则S_10=10×3+(10×9)/2×3/2=150，故选B。2.已知数列{b_n}满足b_1=1，b_n+1=2b_n+1（n∈N），则b_6的值为（）A.63B.64C.127D.128解析：由递推关系b_n+1=2b_n+1，变形为b_n+1+1=2(b_n+1)，即{b_n+1}是首项为2，公比为2的等比数列，则b_n+1=2^n，b_6=2^6-1=63，故选A。3.若数列{c_n}的前n项和S_n=2^n-n+1，则c_4的值为（）A.8B.9C.10D.11解析：由S_n=2^n-n+1，得c_1=S_1=2-1+1=2。当n≥2时，c_n=S_n-S_{n-1}=2^n-n+1-[2^{n-1}-(n-1)+1]=2^{n-1}-(n-1)，验证n=1时成立，则c_4=2^3-3=5，故选D。4.在等比数列{a_n}中，已知a_2=6，a_4=54，则数列的前6项和S_6的值为（）A.90B.180C.360D.720解析：由等比数列通项公式a_n=a_1q^{n-1}，代入a_2=6，a_4=54，得6q^2=54，解得q=3。则a_1=6/3=2，S_6=2(1-3^6)/(1-3)=364，故选C。5.已知数列{d_n}的前n项和T_n=n(n+1)/2，则d_5的值为（）A.10B.15C.20D.25解析：由T_n=n(n+1)/2，得d_n=T_n-T_{n-1}=n(n+1)/2-[n(n-1)/2]=2n，则d_5=2×5=10，故选A。6.若数列{e_n}满足e_1=2，e_n+1=3e_n-2（n∈N），则e_3的值为（）A.6B.8C.10D.12解析：由递推关系e_n+1=3e_n-2，变形为e_n+1+1=3(e_n+1)，即{e_n+1}是首项为3，公比为3的等比数列，则e_n+1=3^n，e_3=3^3-1=26，故选D。7.已知数列{f_n}的前n项和U_n=3^n-n^2，则f_4的值为（）A.36B.45C.54D.63解析：由U_n=3^n-n^2，得f_1=U_1=3-1=2。当n≥2时，f_n=U_n-U_{n-1}=3^n-n^2-[3^{n-1}-(n-1)^2]=2×3^{n-1}-2n+1，验证n=1时成立，则f_4=2×3^3-8+1=54，故选C。8.在等差数列{g_n}中，已知g_1=-5，g_4=7，则数列的前10项和S_10的值为（）A.0B.10C.20D.30解析：由等差数列通项公式g_n=g_1+(n-1)d，代入g_1=-5，g_4=7，得-5+3d=7，解得d=4。则S_10=10×(-5)+(10×9)/2×4=20，故选C。9.已知数列{h_n}满足h_1=1，h_n+1=2h_n+1（n∈N），则h_6的值为（）A.63B.64C.127D.128解析：由递推关系h_n+1=2h_n+1，变形为h_n+1+1=2(h_n+1)，即{h_n+1}是首项为2，公比为2的等比数列，则h_n+1=2^n，h_6=2^6-1=63，故选A。10.在等比数列{i_n}中，已知i_2=4，i_3=16，则数列的前5项和S_5的值为（）A.20B.30C.40D.50解析：由等比数列通项公式i_n=i_1q^{n-1}，代入i_2=4，i_3=16，得4q=16，解得q=4。则i_1=4/4=1，S_5=1(1-4^5)/(1-4)=340，故选B。二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.在等差数列{a_n}中，若a_3+a_7=18，则a_5+a_9的值为________。解：由等差数列性质a_3+a_7=2a_5，得2a_5=18，则a_5+a_9=2a_5=18。2.已知数列{b_n}满足b_1=2，b_n+1=3b_n（n∈N），则b_4的值为________。解：由递推关系b_n+1=3b_n，得{b_n}是首项为2，公比为3的等比数列，则b_4=2×3^3=54。3.若数列{c_n}的前n项和S_n=n^2+n，则c_3的值为________。解：由S_n=n^2+n，得c_1=S_1=2。当n≥2时，c_n=S_n-S_{n-1}=n^2+n-[n^2-n+1]=2n-1，验证n=1时成立，则c_3=2×3-1=5。4.在等比数列{d_n}中，已知d_1=3，d_4=81，则数列的公比q的值为________。解：由等比数列通项公式d_n=d_1q^{n-1}，代入d_1=3，d_4=81，得3q^3=81，解得q=3。5.已知数列{e_n}的前n项和T_n=2^n-n，则e_5的值为________。解：由T_n=2^n-n，得e_1=T_1=1。当n≥2时，e_n=T_n-T_{n-1}=2^n-n-[2^{n-1}-(n-1)]=2^n-n-2^{n-1}+n-1=2^{n-1}-1，验证n=1时成立，则e_5=2^4-1=15。6.在等差数列{f_n}中，若f_1=-4，f_6=8，则数列的公差d的值为________。解：由等差数列通项公式f_n=f_1+(n-1)d，代入f_1=-4，f_6=8，得-4+5d=8，解得d=12/5。7.已知数列{g_n}满足g_1=1，g_n+1=2g_n+1（n∈N），则g_7的值为________。解：由递推关系g_n+1=2g_n+1，变形为g_n+1+1=2(g_n+1)，即{g_n+1}是首项为2，公比为2的等比数列，则g_n+1=2^n，g_7=2^6-1=63。8.若数列{h_n}的前n项和U_n=3n-n^2，则h_4的值为________。解：由U_n=3n-n^2，得h_1=U_1=2。当n≥2时，h_n=U_n-U_{n-1}=3n-n^2-[3(n-1)-(n-1)^2]=6-n，验证n=1时成立，则h_4=6-4=2。9.在等比数列{i_n}中，已知i_3=12，i_5=96，则数列的前4项和S_4的值为________。解：由等比数列通项公式i_n=i_3q^{n-3}，代入i_3=12，i_5=96，得12q^2=96，解得q=2。则i_1=12/4=3，S_4=3(1-2^4)/(1-2)=45。10.已知数列{j_n}满足j_1=5，j_n+1=3j_n-2（n∈N），则j_6的值为________。解：由递推关系j_n+1=3j_n-2，变形为j_n+1+1=3(j_n+1)，即{j_n+1}是首项为6，公比为3的等比数列，则j_n+1=6×3^{n-1}，j_6=6×3^5-1=7185。三、判断题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.若数列{a_n}的前n项和S_n=2^n-n，则{a_n}是等比数列。（）解：由S_n=2^n-n，得a_n=S_n-S_{n-1}=2^n-n-[2^{n-1}-(n-1)]=2^n-n-2^{n-1}+n-1=2^{n-1}-1，当n=1时，a_1=S_1=1，则a_n=2^{n-1}（n∈N），故{a_n}是等比数列，正确。2.在等差数列{b_n}中，若b_1+b_9=20，则b_5+b_7=20。（）解：由等差数列性质b_1+b_9=2b_5，得2b_5=20，则b_5=10。又由等差数列性质b_5+b_7=2b_6，得b_5+b_7=2b_6，故b_5+b_7=20，正确。3.已知数列{c_n}满足c_n+1=2c_n+1（n∈N），则{c_n+1}是等比数列。（）解：由递推关系c_n+1=2c_n+1，变形为c_n+1+1=2(c_n+1)，即{c_n+1}是首项为2，公比为2的等比数列，正确。4.在等比数列{d_n}中，若d_2=6，d_4=54，则数列的公比q=3。（）解：由等比数列通项公式d_n=d_2q^{n-2}，代入d_2=6，d_4=54，得6q^2=54，解得q=3，正确。5.已知数列{e_n}的前n项和T_n=n(n+1)/2，则e_n=n。（）解：由T_n=n(n+1)/2，得e_n=T_n-T_{n-1}=n(n+1)/2-[n(n-1)/2]=n，正确。6.在等差数列{f_n}中，若f_1=-5，f_6=7，则数列的公差d=1。（）解：由等差数列通项公式f_n=f_1+(n-1)d，代入f_1=-5，f_6=7，得-5+5d=7，解得d=2，错误。7.已知数列{g_n}满足g_1=2，g_n+1=3g_n（n∈N），则{g_n}是等比数列。（）解：由递推关系g_n+1=3g_n，得{g_n}是首项为2，公比为3的等比数列，正确。8.在等比数列{h_n}中，若h_3=12，h_5=96，则数列的前3项和S_3=15。（）解：由等比数列通项公式h_n=h_3q^{n-3}，代入h_3=12，h_5=96，得12q^2=96，解得q=2。则h_1=12/8=3/2，S_3=3/2(1-2^3)/(1-2)=15，正确。9.已知数列{i_n}的前n项和U_n=2^n-n^2，则{i_n}是等比数列。（）解：由U_n=2^n-n^2，得i_n=S_n-S_{n-1}=2^n-n^2-[2^{n-1}-(n-1)^2]=2^n-n^2-2^{n-1}+n^2-n=2^{n-1}-n，当n=1时，i_1=U_1=1，则i_n=2^{n-1}-n（n∈N），故{i_n}不是等比数列，错误。10.在等差数列{j_n}中，若j_1=4，j_4=10，则数列的前7项和S_7=77。（）解：由等差数列通项公式j_n=j_1+(n-1)d，代入j_1=4，j_4=10，得4+3d=10，解得d=2。则S_7=7×4+(7×6)/2×2=77，正确。四、简答题（本大题共4小题，每小题4分，共16分）1.已知数列{a_n}的前n项和S_n=3n^2-n，求该数列的通项公式a_n。解：由S_n=3n^2-n，得a_n=S_n-S_{n-1}=3n^2-n-[3(n-1)^2-(n-1)]=6n-4，验证n=1时，a_1=S_1=2，故a_n=6n-4（n∈N）。2.在等比数列{b_n}中，已知b_1=2，b_4=32，求该数列的前6项和S_6。解：由等比数列通项公式b_n=b_1q^{n-1}，代入b_1=2，b_4=32，得2q^3=32，解得q=4。则S_6=2(1-4^6)/(1-4)=730。3.已知数列{c_n}满足c_1=1，c_n+1=2c_n+3（n∈N），求该数列的通项公式c_n。解：由递推关系c_n+1=2c_n+3，变形为c_n+1+3=2(c_n+3)，即{c_n+3}是首项为4，公比为2的等比数列，则c_n+3=4×2^{n-1}，c_n=4×2^{n-1}-3（n∈N）。4.在等差数列{d_n}中，已知d_1=-3，d_4=9，求该数列的前10项和S_10。解：由等差数列通项公式d_n=d_1+(n-1)d，代入d_1=-3，d_4=9，得-3+3d=9，解得d=4。则S_10=10×(-3)+(10×9)/2×4=180。五、应用题（本大题共4小题，每小题6分，共24分）1.某工厂计划每年比上一年增加的产量是前一年产量的10%，已知该工厂第一年的产量为10万吨，求该工厂第5年的产量是多少万吨？解：由递推关系a_n+1=1.1a_n，得{a_n}是首项为10，公比为1.1的等比数列，则a_5=10×1.1^4≈16.054万吨。2.某城市人口增长率为每年5%，已知该城市现有人口100万，求该城市5年后的总人口是多少万？解：由递推关系P_n+1=1.05P_n，得{P_n}是首项为100，公比为1.05的等比数列，则P_5=100×1.05^5≈127.63万。3.某人投资一个项目，第一年投资100万元，以后每年比上一年多投资20万元，求该人第5年的投资总额是多少万元？解：由等差数列{a_n}，a_1=100，d=20，得a_5=100+4×20=180万元，则前5年投资总额S_5=5×100+(5×4)/2×20=600万元。4.某公司员工工资每年上涨10%，已知该员工第一年工资为5000元，求该员工第4年的工资是多少元？解：由递推关系W_n+1=1.1W_n，得{W_n}是首项为5000，公比为1.1的等比数列，则W_4=5000×1.1^3≈6741元。【标准答案及解析】一、单选题1.B2.A3.C4.C5.A6.D7.D8.C9.A10.B解析：2.等差数列性质a_3+a_7=2a_5，a_5+a_9=2a_7，故a_5+a_9=18。3.递推关系b_n+1=2b_n+1，变形为b_n+1+1=2(b_n+1)，{b_n+1}是首项为3，公比为2的等比数列，b_4=2^4-1=15。4.S_n=n^2+n，当n≥2时，c_n=2n-1，验证n=1时成立，c_3=5。5.等比数列通项公式d_n=d_1q^{n-1}，3q^3=81，q=3。6.T_n=2^n-n，当n≥2时，e_n=2^{n-1}-1，验证n=1时成立，e_5=15。二、填空题1.182.543.54.35.156.12/57.638.29.4510.7185解析：2.等差数列性质a_3+a_7=2a_5，a_5+a_9=2a_7，故a_5+a_9=18。3.递推关系b_n+1=2b_n，{b_n}是首项为2，公比为2的等比数列，b_4=2^4-1=15。4.S_n=n