专题2.7指数与指数函数（举一反三复习讲义）（教师版）

专题2.7指数与指数函数（举一反三复习讲义）【全国通用】考点要求(1)了解根式的概念及性质，了解分数指数幂的含义，掌握指数幂的运算性质

(2)熟练掌握指数函数的图象与性质高考真题统计考点2024年2025年2026年指数与指数函数天津卷：第2题，5分天津卷：第5题，5分北京卷：第4题，4分天津卷：第7题，5分上海卷（秋考）：第13题，4分天津卷：第6题，5分命题规律分析1、指数与指数函数指数函数是常见的重要函数，指数与指数函数是高考常考的热点内容，从近三年的高考情况来看，主要考查指数幂的运算、指数函数的性质，指数函数较少单读考查，常结合幂函数与对数函数的图象与性质解决具体的问题，包括：比较指对幂数的大小、解不等式等题型，主要以单选题的形式考察，难度较易。考点1考点1指数与指数函数知识点1指数运算的解题策略1．根式与分数指数幂(1)根式的定义：式子叫做根式，n叫做根指数，a叫做被开方数.(2)分数指数幂①正数的正分数指数幂：；②正数的负分数指数幂：；规定：0的正分数指数幂等于0；0的负分数指数幂没有意义.2．指数幂运算的一般原则(1)指数幂的运算首先将根式、分数指数幂统一为分数指数幂，以便利用法则计算，还应注意：①必须同底数幂相乘，指数才能相加.②运算的先后顺序.(2)当底数是负数时，先确定符号，再把底数化为正数.(3)运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数.知识点2指数函数的常见问题及解题思路1．比较指数式的大小比较指数式的大小的方法是：(1)能化成同底数的先化成同底数幂，再利用单调性比较大小；(2)不能化成同底数的，一般引入“0或1”等中间量比较大小.2．指数方程(不等式)的求解思路指数方程(不等式)的求解主要利用指数函数的单调性进行转化.3．指数型函数的解题策略涉及指数型函数的综合问题，首先要掌握指数函数相关性质，其次要明确复合函数的构成，涉及值域、单调区间、最值等问题时，都要借助“同增异减”这一性质分析判断.【题型1指数幂的运算】【例1】（2026·北京大兴·三模）已知2a=3,log25=bA．15 B．53 C．35 【答案】C【解题思路】结合指数与对数的转化及指数运算性质即可求解.【解答过程】因为log25=b，所以又2a=3，所以故选：C.【变式1-1】（2026·四川自贡·一模）已知a>b>1，若logab+logba=52A．8 B．6 C．4 D．2【答案】A【解题思路】根据给定条件，利用对数运算性质及指数运算求解.【解答过程】由a>b>1，得logba>logbb=1则logba=2，即a=b2，又ab=b所以ab=b故选：A.【变式1-2】（2026·北京房山·一模）自然界中，大多数生物存在着世代重叠现象，它们在生活史中会持续不断地繁殖后代，且有时不同的世代能在同一时间进行繁殖.假定某类生物的生长发育不受密度制约时，其增长符合模型：Nt=N0ert，其中N0为种群起始个体数量，r为增长系数，Nt为t时刻的种群个体数量.当A．300 B．450 C．600 D．750【答案】C【解题思路】根据已知函数模型计算得出e3r【解答过程】因为模型：Nt=N0e因为当t=3时，种群个体数量是起始个体数量的2倍.所以N3=N若N4=N故选：C.【变式1-3】（2026·浙江嘉兴·二模）若实数a,b满足eae2b−1=1，则ab的最大值为（A．116 B．12 C．14【答案】D【解题思路】由指数运算可得a+2b=1，再由二次函数可得ab的最大值.【解答过程】因为eae2b−1=1，所以故ab=b1−2b=−2b−14故ab的最大值为18故选：D.【题型2指数函数的图象及应用】【例2】（2026·安徽合肥·三模）当a<0时，函数fx=eA． B．C． D．【答案】B【解题思路】求出函数fx的定义域，结合x<a时，f【解答过程】对于函数fx，因为a<0，由x2−ax≠0可得x≠a故函数fx的定义域为−当x<a时，fx故选：B.【变式2-1】（2026·黑龙江哈尔滨·一模）函数y=x2eA． B． C． D．【答案】D【解题思路】先求出函数的定义域和奇偶性，再根据指定区间函数值的符号即可求出结果.【解答过程】∵y=x∴e|x|−2≠0，则x≠±设fx=y=x故fx=y=x当x>ln2时，e|x|>2，e|x|所以选项D正确.故选：D.【变式2-2】（2026·河南·三模）函数fx=2A． B．C． D．【答案】B【解题思路】根据函数的定义域可判排除D，根据图象对称性排除C，根据x>0时函数值的符号排除A，故可得正确的选项.【解答过程】fx的定义域为−因为f−x=2x−图象关于y轴对称，排除C；当x>0时，fx故选：B.【变式2-3】（25-26高一上·湖南常德·阶段检测）函数fx=2x−2−xA． B．C． D．【答案】D【解题思路】利用函数的定义域，奇偶性，特殊值选出答案【解答过程】由题意知，函数fx的定义域为x∣x≠±1因为f−x=2f2=5故选：D.【题型3比较指数幂的大小】【例3】（2026·重庆北碚·模拟预测）设a=23，A．a>b>c B．a>c>bC．c>a>b D．b>c>a【答案】C【解题思路】找中间量、合理构造函数后，利用指数函数、幂函数的单调性求解【解答过程】构造指数函数fx=2所以fx单调递减，即2a3=2故选：C.【变式3-1】（2026·天津河西·三模）设a=2.10.7，b=0.72.1，c=log2.10.7，则aA．a<b<c B．c<a<b C．a<c<b D．c<b<a【答案】D【解题思路】根据指数函数和对数函数的性质，分别求得a>1，0<b<1和c<0，即可求解.【解答过程】由指数函数的性质，可得a=2.10.7>b=0.72.1<0.70又由对数函数的性质，可得c=log2.10.7<所以c<b<a.故选：D.【变式3-2】（2026·河南·模拟预测）已知a=log0.50.4，b=0.50.4A．a>c>b B．a>b>c C．c>a>b D．b>c>a【答案】A【解题思路】利用对数函数、指数函数的单调性，结合换底公式比较大小.【解答过程】由对数换底公式得：a=logc=log因为y=log2x所以：log⁡22.5>指数函数y=0.5x是减函数，因此0<0.5综上可得a>c>b.故选：A.【变式3-3】（2026·天津东丽·一模）已知a=(0.25)0.6,b=log40.6,c=14−0.3A．c<b<a B．b<c<a C．c<a<b D．b<a<c【答案】D【解题思路】根据指数函数、对数函数单调性比较大小【解答过程】a=140.6=120.6，因为y=y=log4x在0,+∞上单调递增，所以logc=40.3，因为y=4x在R上单调递增，所以所以b<a<c，故选：D.【题型4解指数不等式】【例4】（2026·重庆·模拟预测）已知集合A={x|x≤3}，B={x|2x>1}，则A∩B=A．(1,3] B．(0,3]C．(0,+∞) 【答案】B【解题思路】解不等式求得集合B，进而求得A∩B.【解答过程】由2x>1=20，得已知A={x|x≤3}，因此，A∩B={x|0<x≤3}=(0,3].故选：B.【变式4-1】（2026·广东汕头·一模）“log3a>log3bA．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分又不必要条件【答案】A【解题思路】根据指、对数函数性质解不等式，结合充分、必要条件分析判断.【解答过程】因为log3a>log且3a>3又因为a>b>0可以推出a>b，a>b不能推出a>b>0，所以“log3a>log故选：A．【变式4-2】（2026·陕西咸阳·二模）已知集合A=x∈Nx2−2x−3≤0，B=A．1,2 B．−1,0,1,2 C．0,1,2 D．0,1,2,3【答案】C【解题思路】根据一元二次不等式的解法及指数函数的性质求出集合A，B，再根据交集的概念求解即可.【解答过程】A=x∈B=x所以A∩B=0,1,2故选：C．【变式4-3】（2026·江西南昌·一模）已知fx=2−x,x≤−1−xA．−∞,−1 C．−∞,0∪【答案】D【解题思路】结合指数函数的性质及一元二次不等式的解法分情况解不等式即可.【解答过程】当x≤−1时，原不等式可化为2−x<1，解得x>0，此时解集为当x>−1时，原不等式可化为−x2+4x+1<1，即x2−4x>0又x>−1，所以−1<x<0或x>4.综上，不等式fx<1的解集为故选：D．【题型5指数（型）函数的单调性问题】【例5】（2026·广东广州·模拟预测）若函数fx=13xx+a在区间A．−∞,4 B．4,+∞ C．−4,+【答案】D【解题思路】根据指数复合函数的区间单调性，结合二次函数的性质有−a【解答过程】令t=x(x+a)，又y=1所以要使fx=1则t=x(x+a)在区间0,2单调递减，所以由t=x(x+a)=(x+a2)2−a故选：D.【变式5-1】（2026·河南南阳·模拟预测）函数f(x)=2x2A．(−∞,2] B．(−∞,−3] C．【答案】B【解题思路】根据指数函数单调性结合复合函数单调性规则计算判断即可.【解答过程】对于函数f(x)=2x2−4x−21，令x2−4所以函数f(x)=2x2又函数y=x2−4y=t所以函数y=x2−4x−21在(−又y=2所以f(x)=2x2−4x−21在即函数f(x)=2x2故选：B.【变式5-2】（2026·江西·二模）若函数fx=2025∣x−a∣在区间[2026,+∞)上单调递增，则A．[2026,+∞) B．(0,2026] C．(−∞,2026) D．(−∞,2026]【答案】D【解题思路】根据指数复合函数单调性计算求参即可.【解答过程】根据函数fx=2025∣x−a∣在区间可得y=|x−a|在区间[2026,+∞)上单调递增，所以a≤2026.故选:D.【变式5-3】（2026·陕西西安·模拟预测）若函数fx=2x2+ax−3在1,+∞A．−2,+∞ B．−1,+∞ C．−∞【答案】A【解题思路】根据指数函数、二次函数以及复合函数的单调性求解即可.【解答过程】因为函数y=2x在R上为增函数，y=x2+ax−3且函数fx=2根据复合函数的单调性，可得−a2≤1所以a的取值范围是−2,+∞故选：A.【题型6指数（型）函数的最值（值域）问题】【例6】（2026·云南昆明·二模）已知函数fx=2x+A．2 B．3 C．4 D．5【答案】D【解题思路】根据分段函数结合指数函数单调性计算得出最值即可求解.【解答过程】函数fx因为x∈0,2,fx因为x∈[−1,0),fx=2所以当x=0时，fxmin=1；当x=2则fx的最大值与最小值之差为6−1=5故选：D.【变式6-1】（2026·海南·一模）若函数fx=ax2−1(a>0且a≠1)在区间0,4上的值域为0,4，则A．3 B．5 C．3 D．5【答案】B【解题思路】利用指数函数性质计算即可得.【解答过程】由指数函数的性质知fx又f0因为值域为[0,4]，所以函数f(x)在[0,4]上单调递增，故f(4)=4，即a2−1=4，解得a=±5，又a>0故选：B.【变式6-2】（2026·湖南岳阳·模拟预测）若函数y=3x+m在0,2上的最小值与最大值的和等于24，则m=A．5 B．6 C．7 D．8【答案】C【解题思路】根据指数函数的单调性求出最值即可得解.【解答过程】因为函数y=3x+m所以ymin则1+m+9+m=24，所以m=7.故选：C.【变式6-3】（2026·安徽六安·模拟预测）若f(x)是定义在R上的偶函数，当x≤0时，f(x)=|2x−4|，则函数f(x)在[−1,1]上的值域为（

A．[3,72]C．[−2,72]【答案】A【解题思路】根据给定条件，结合指数函数单调性求出f(x)在[−1,0]上的值域，再利用偶函数的性质求出指定区间上的值域.【解答过程】当x≤0时，0<2x≤1，f(x)=4−2x当−1≤x≤0时，f(x)∈[3,72]，又函数f(x)则当0≤x≤1时，f(x)∈[3,72]，所以函数f(x)在[−1,1]故选：A.一、单选题1．（2026·重庆·模拟预测）已知集合A=x∈Nx2−x−12<0A．−2, −1, 0, 1, 2 【答案】B【解题思路】解不等式求得集合A,B，进而求得A∩B.【解答过程】x2−x−12=x−42x<8=2所以A∩B=0, 故选：B.2．（2026·山西忻州·模拟预测）设a=40.1，b=20.3，c=log43，则aA．a>b>c B．b>a>c C．c>a>b D．b>c>a【答案】B【解题思路】根据a=40.1=20.2，利用指数函数y=【解答过程】a=40.1=因为指数函数y=2x单调递增，且所以b>a．又a=20.2>1所以b>a>c．故选：B.3．（2026·安徽合肥·模拟预测）函数y=43xA．(0,1] B．34,1 C．(3【答案】A【解题思路】分别求出y=43x在−1,0上的值域以及y=【解答过程】因y=43x在−1,0上单调递增，则x∈又y=x43在0,1上单调递增，则x∈(0,1]则y=43x故选：A.4．（2026·天津滨海新区·三模）已知实数a,b,c满足a=0.5a，b=0.51a2，A．a<c<b B．b<a<c C．c<a<b D．c<b<a【答案】D【解题思路】先构造函数确定a的取值范围，再利用指数函数单调性比较b与a的大小，结合对数函数性质判断c的符号，最终得到三者大小关系．【解答过程】令fx=x−0.5x，因为y=x是R上的增函数，所以fx=x−0.5计算得f0.5=0.5−0.5由零点存在性定理可得方程x=0.5x得解由a∈0.5,1，得a2∈又y=0.5x为R上的单调递减函数，y=ln所以b=0.51a所以c<b<a．故选：D.5．（2026·甘肃张掖·二模）已知函数fx=3ax2−2xA．−1,+∞ B．−∞,−1 C．−1,0【答案】C【解题思路】利用复合函数的单调性求解即可.【解答过程】因为y=3x为所以由复合函数的单调性知y=ax2−2x当a=0时，y=−2x在−1,+∞当a≠0时，y=ax2−2x在−1,+解得−1≤a<0.综上，−1≤a≤0.故选：C.6．（2026·北京·三模）物体在常温下的温度变化可以用牛顿冷却定律来描述：设物体的初始温度是T0，tmin后的温度是T，则T−TaT0−Ta=2−th，其中TaA．33min B．34min C．35min【答案】B【解题思路】先求出半衰期h，再根据指数，对数的运算性质及换底公式计算即可.【解答过程】由题意可得40−2488−24=2−20设降温到30∘C大约需要tmin，则30−24所以t10解得t≈34.15，所以大约需要34min故选：B.7．（2026·天津·模拟预测）已知a，b>0，则“a0.5<b0.5<1A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【解题思路】又函数单调性得到充分性成立，举出反例可得必要性不成立.【解答过程】由题意得a，b>0，a0.5而y=x0.5在0,+∞而y=0.5x在0,+∞0.5b<0.5但此时1=a<b，不满足a0.5故“a0.5<b故选：A.8．（2026·河南驻马店·模拟预测）关于函数fx=2x2x+1，有如下描述：①fx的定义域为R；②fx的值域为0,1A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【解题思路】根据指数函数的性质，及函数的对称性逐一判断即可．【解答过程】由fx对于①，由2x∈0,+∞，则分母2x对于②，由2x∈0,+∞，则2x+1∈1,+对于③，由y=2x是增函数，则y=1对于④，由f−x=2−x2−x+1综上描述正确的个数是3．故选：C.二、多选题9．（2026·黑龙江哈尔滨·二模）以下运算正确的是（

）A．5−0.15=0.1C．1681−3【答案】BD【解题思路】根据指数幂运算和对数的计算公式逐一判断即可.【解答过程】5−0.1lg21681e2+故选：BD.10．（25-26高一上·黑龙江牡丹江·期中）已知函数fx=ax(a>0A．fB．fC．fxD．不等式fx2【答案】ACD【解题思路】根据题意，由f3=8，得a=2，所以得函数fx【解答过程】依题意，f3=a所以fx所以f−1=1因为fx又fx所以x2+3x+1<5，即解得−4<x<1，故D正确，故选：ACD.11．（2026·四川成都·模拟预测）已知函数fx=eA．函数fx的定义域为R B．函数fxC．fx+f−x=0【答案】ABC【解题思路】根据指数幂运算性质，结合指数函数的单调性逐一判断即可.【解答过程】A：因为ex>0，所以ex+1≠0，因此函数B：fx因为ex>0，所以因此函数fx的值域为−1,1C：因为fx所以本选项说法正确；D：因为f0所以不满足减函数的定义，因此本选项说法不正确，故选：ABC.三、填空题12．（2026·上海闵行·一模）已知a>0，b>0，化简：3b3【答案】a【解题思路】根据根式与分数指数幂的互化、指数运算的性质直接求解即可.【解答过程】∵a>0,b>0，∴3故答案为：a.13．（2026·云南昭通·模拟预测）已知函数y=ax−2025+2025（a>0，且a≠1）的图象恒过定点P，则点P【答案】(2025,2026)【解题思路】根据指数函数性质求解即可.【解答过程】令x−2025=0，解得x=2025，此时y=a所以函数y=ax−2025+2025（a>0，且a≠1故答案为：(2025,2026).14．（2026·吉林长春·二模）已知函数fx=2x−2−x【答案】2,+∞【解题思路】先判断函数fx的奇偶性，再判断函数fx的单调性，利用函数性质求【解答过程】已知函数fx=2∴fx∵y=2x是增函数，∴fx因为f2∴f2a+f∵fx∴2a>4=所以a的取值范围是2,+∞.故答案为：2,+∞.四、解答题15．（2026·四川眉山·一模）计算下列各式的值：(1)log10(2)21【答案】(1)1(2)1【解题思路】（1）利用对数的运算法则计算求解；（2）运用指数的运算法则计算每一项，再合并计算求解．【解答过程】（1）原式=====log（2）原式=316．（2026·上海黄浦·二模）已知fx(1)若fx−f2−x(2)是否存在实数a，使函数y=fx【答案】(1)x=2；(2)存在实数a=−1，使函数y=fx【解题思路】（1）利用换元法将含有指数的方程转化为一元二次方程，再根据指数函数的性质求解.（2）利用奇函数在x=0处的特殊性质求出a的可能值，再将a的值代回函数，根据奇函数的定义证明即可.【解答过程】（1）由题意，fx令t=2x,t>0，则有t−4t=3，即t2所以t=2x=4（2）假设存在实数a，使函数y=fx则x=0时，y=1+a=0，解得a=−1.