专题2.5幂函数与二次函数（举一反三复习讲义）（教师版）

专题2.5幂函数与二次函数（举一反三复习讲义）【全国通用】考点要求(1)了解幂函数的定义，掌握幂函数的图象与性质

(2)熟练掌握二次函数的图象与性质（单调性、对称性与最值等）高考真题统计考点2024年2025年2026年幂函数与二次函数天津卷：第2题，5分上海卷（春考）：第14题，4分上海卷（春考）：第15题，5分命题规律分析1、幂函数与二次函数幂函数与二次函数是常见的重要函数，在历年的高考中都占据着重要的地位，是高考常考的热点内容，从近三年的高考情况来看，幂函数较少单独考查，常与指、对数函数结合考查，考查内容包括比较幂值的大小、解不等式等，主要出现在选择题、填空题中，难度较易；二次函数常与其他知识相结合，考查二次函数的图象与性质。考点1考点1幂函数与二次函数知识点1幂函数的解题技巧1．幂函数的解析式幂函数的形式是y=xα(α∈R)，其中只有一个参数α，因此只需一个条件即可确定其解析式.2．幂函数的图象与性质在区间(0,1)上，幂函数中指数越大，函数图象越靠近x轴(简记为“指大图低”)，在区间(1,+∞)上，幂函数中指数越大，函数图象越远离x轴.3．比较幂值的大小在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，选择适当的函数，借助其单调性进行比较，准确掌握各个幂函数的图象和性质是解题的关键.知识点2二次函数的解题技巧1．二次函数解析式的求法(1)一般式法：已知三点坐标，选用一般式.(2)顶点式法：已知顶点坐标、对称轴或最大（小）值，选用顶点式.(3)零点式法：已知与x轴两交点坐标，选用零点式.2．二次函数的图象问题(1)研究二次函数图象应从“三点一线一开口”进行分析，“三点”中有一个点是顶点，另两个点是图象上关于对称轴对称的两个点，常取与x轴的交点；“一线”是指对称轴这条直线；“一开口”是指抛物线的开口方向.(2)求解与二次函数有关的不等式问题，可借助二次函数的图象特征，分析不等关系成立的条件.3．二次函数的单调性与最值闭区间上二次函数最值问题的解法：抓住“三点一轴”数形结合，三点是指区间两个端点和中点，一轴指的是对称轴，结合图象，根据函数的单调性及分类讨论的思想求解.4．二次函数的恒成立问题不等式恒成立求参数范围，一般有两个解题思路：一是分离参数；二是不分离参数，直接借助于函数图象求最值.这两个思路，最后都是转化为求函数的最值问题.【题型1比较幂值的大小】【例1】（2026·湖南·一模）若a=log772，b=70.1，c=2A．c<a<b B．a<b<c C．a<c<b D．c<b<a【答案】C【解题思路】利用对数函数、幂函数单调性，结合中间值法可得出a、b、c的大小关系.【解答过程】因为函数y=log7x在0,+∞上为增函数，所以因为b=70.1，函数y=x0.1在0,+∞上为增函数，所以7故b>c>a．故选：C.【变式1-1】（2026·四川绵阳·一模）已知a=32,b=A．b<a<c B．a<b<cC．c<b<a D．a<c<b【答案】A【解题思路】对于对数函数和指数函数的值比较大小，通常可以利用函数的单调性以及中间值来进行判断.【解答过程】因为32又因为对数函数y=log3x在0,+所以log34<logc=e12=e，a=32=9所以e>94综合以上两个比较结果，可得b<a<c.故选：A.【变式1-2】（2026·北京朝阳·二模）已知a=log0.50.2,b=A．a<b<c B．a<c<b C．b<a<c D．b<c<a【答案】D【解题思路】根据对数函数的单调性及幂函数的单调性比较大小即可.【解答过程】a=log又y=x0.5在所以b=0.5综上，b<c<a，故选：D.【变式1-3】（2026·辽宁·模拟预测）已知函数fx=m−1x1−m为幂函数，若a=log0.3A．fab<fa+bC．f1<fa+b【答案】B【解题思路】由幂函数的定义得m的值，得fx=x−1，根据对数函数y=log0.3x【解答过程】由fx=∴m=2，所以fx=x又log0.31<log又log30.4<log由换底公式得a=log0.30.4=所以1a又0<log0.40.9<1，所以0<又fx=x−1在区间综上，fa+b故选：B.【题型2幂函数图象的判断及应用】【例2】（25-26高一上·上海嘉定·期中）图中C1,C2,C3A．0.5,3,−1 B．−1,3,0.5 C．0.5,−1,3 D．−1,0.5,3【答案】D【解题思路】根据给定的图象，结合幂函数的性质判断即得.【解答过程】令图象为C1,C观察图象知，曲线C1在第一象限内从左到右下降，对应函数在(0,+∞)曲线C2,C而在x>1时，曲线C3在直线y=x上方，曲线C2在直线y=x下方，则因此α1故选：D.【变式2-1】（25-26高一上·四川泸州·期末）已知函数y=logax−15+4a>0，a≠1A． B．C． D．【答案】C【解题思路】根据对数型函数恒过定点求出P16,4，代入幂函数解析式得y=【解答过程】因为y=logax−15+4a>0，a≠1设幂函数y=xα，幂函数的图象经过点P，代入P16,4，即4=所以幂函数为y=x12故选：C.【变式2-2】（2026·河南驻马店·模拟预测）已知幂函数fx=m2+m−1A．－2 B．1 C．－2或1 D．－1或2【答案】A【解题思路】本题可先根据幂函数的定义求出m的可能值，再结合幂函数图象与坐标轴无公共点的条件确定m的值.【解答过程】因为f(x)为幂函数，所以m2即m2+m−2=0，解得m=−2或当m=−2时，f(x)=x−2=当m=1时，f(x)=x，其图象与坐标轴有公共点，不合题意.综上，m=−2.故选：A.【变式2-3】（25-26高一上·上海松江·期中）已知a为非零实数，则在同一坐标系内，幂函数y=xa和一次函数y=ax−1a的图像关系可能是（A．

B．

C．

D．

【答案】D【解题思路】根据幂函数和一次函数的图像特征，对四个选项一一判断.【解答过程】对于A：由幂函数的性质可以判断出a<0，而由一次函数经过一、三象限可以判断出a>0.矛盾.故A错误；对于B：由幂函数的性质可以判断出a>0，而由一次函数经过二、四象限可以判断出a<0，矛盾.故B错误；对于C：由幂函数的性质可以判断出a<0，而由一次函数经过二、三、四象限可以判断出a<0，且−1对于D：由幂函数的性质可以判断出a>0，而由一次函数经过一、三、四象限可以判断出a>0,−1故选：D.【题型3幂函数的图象和性质】【例3】（2026·湖南长沙·一模）已知幂函数fx=m2−m+1x−2m+1A．0或1 B．−1或1 C．1 D．0【答案】C【解题思路】根据幂函数的定义及单调性即可求解．【解答过程】由于fx为幂函数，所以m2−m+1=1，解得m=0又函数fx在0,+所以−2m+1<0，即m>故当m=1时fx故选：C.【变式3-1】（2026·海南海口·模拟预测）下列函数中，图象关于原点对称且在(0,+∞)单调递增的是（A．y=x−1 B．y=x12 【答案】D【解题思路】根据幂函数的对称性及单调性逐项判断，即可求解．【解答过程】A选项，函数y=x−1图象关于原点对称且在B选项，函数y=x12C选项，函数y=x2图象不关于原点对称，在D选项，函数y=x3图象关于原点对称，在故选：D.【变式3-2】（2026·四川·二模）“k=−3”是“fx=(k+2)A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【解题思路】利用充分条件和必要条件的定义及幂函数的定义和性质求解.【解答过程】充分性分析：∵k=−3，∴fx∴fx是幂函数且在0,+必要性分析：∵fx=(k+2)∴k+2=±1，∴k=±1−2，∴k=−1或k=−3，当k=−1时，fx=x当k=−3时，fx=x综上可知，fx=(k+2)则k=−1或k=−3，故必要性不成立，故“k=−3”是“fx=(k+2)故选：A.【变式3-3】（2026·江苏泰州·模拟预测）已知函数fx=m2−m−1xm2+m−3是幂函数，对任意x1，x2∈0,+A．a+b<0，ab=0 B．a+b<0，ab>0C．a+b<0，ab<0 D．a+b>0，ab>0【答案】D【解题思路】根据幂函数定义求出fx【解答过程】因为函数fx则m2解得m=2或m=−1，因为对任意x1，x2∈0,+∞所以fx在x∈m=−1时，fx=x所以m=2时，fx对于A，取a=0，b=−1时，a+b<0，对于B，取a=−1，b=−2时，a+b<0，对于C，取a=1，b=−3时，a+b<0，对于D，因为fa+fb<0，则由单调性可知a<−b，故a+b<0，与a+b>0矛盾，一定不成立.故选：D.【题型4求二次函数的解析式】【例4】（25-26高一上·福建福州·期中）若函数fx是二次函数，满足f0=2，fA．x2+x+2 B．x2−2x+2 C．【答案】B【解题思路】利用待定系数法，由题意建立方程组，可得答案.【解答过程】设fx=ax2+bx+c（a≠0由fx+2−fx整理可得4ax+4a+2b=4x，则4a=44a+2b=0，解得a=1所以fx故选：B.【变式4-1】（2026·广东·模拟预测）若函数fx=x−1x−a与gxA．-1 B．0 C．1 D．2【答案】A【解题思路】利用二次函数的两点式得出相应方程的根，再由函数相同计算参数即可.【解答过程】注意到方程fx=0有两个解1,a，方程gx=0的其中一个解为0，故只可能a=0，所以故选：A.【变式4-2】（25-26高三·全国·一轮复习）已知fx为二次函数且f0=3，fx+2【答案】x【解题思路】根据条件设二次函数为fx【解答过程】设fx∵fx+2∴fx+2∴4a=4又f0∴fx故答案为：x2【变式4-3】（25-26高一上·全国·期末）已知gx是二次函数，且g2=−3，g−2=−7，g0=−3【答案】g【解题思路】设gx【解答过程】设gx根据题意得4a+2b+c=−34a−2b+c=−7c=−3，解得所以gx故答案为：gx【题型5二次函数的图象】【例5】（25-26高一上·安徽马鞍山·期末）函数y=|x|(x−2)的图象大致为（

）A． B．C． D．【答案】A【解题思路】分析函数性质，结合二次函数图象特征判断即可.【解答过程】当x≥0时，y=x(x−2)=x2−2x，其图象是抛物线y=当x<0时，|x|>0,x−2<0，则|x|(x−2)<0恒成立，其图象在x轴下方，排除D，选项A符合题意.故选：A.【变式5-1】（2026·河南·二模）已知y=1−alog2x是减函数，则函数fA． B．C． D．【答案】B【解题思路】由已知可得a>0，当x>0时根据函数解析式可得函数fx【解答过程】因为y=1−alog2x所以a>0，因为fx又当x>0时，fx所以函数fx的图象是对称轴为直线x=a2故选：B.【变式5-2】（25-26高一上·广东揭阳·开学考试）如图，已知二次函数y=ax2+bx+ca≠0的图象顶点在第一象限，且经过A−1,①abc<0；②−1<a<0；③0<b<1；④0<a+b+c<A．①②④ B．①③④ C．②③④ D．①②③④【答案】D【解题思路】根据图象结合一元二次函数的性质逐项判断即可.【解答过程】由图象可知，二次函数图象开口向下，则a<0，图象与y轴交点为B0,1，所以c=1>0，顶点在第一象限，对称轴x=−又a<0，所以b>0，所以abc<0，①说法正确；因为图象经过A−1,0、B0,1两个点，所以解得b=a+1，因为a<0，b>0，所以−1<a<0，②说法正确；由−1<a<0得0<a+1<1，即0<b<1，③说法正确；因为图象顶点在第一象限，且经过A−1,0，由二次函数的对称性可知与x轴另一个交点的横坐标在1,+所以当x=1时，a+b+c>0，又−1<a<0，0<b<1，c=1>0，所以a+b+c<2，即0故选：D.【变式5-3】（25-26高一上·河北邯郸·阶段检测）已知函数fx=ax−b(a>0，且a≠1)的图象如图所示.则函数gA． B．C． D．【答案】C【解题思路】由指数函数的单调性以及f(0)<0判断a,b的范围，即可得解.【解答过程】由fx=a由f0=1−b<0知所以函数gx=x−ax+b的两个零点分别在故选：C.【题型6二次函数的单调性与最值】【例6】（2026·广东揭阳·二模）已知函数fx=−x2+ax+1在2,6A．2,6 B．−C．4,12 D．−【答案】C【解题思路】根据给定条件，利用二次函数的单调性列出不等式求解即得.【解答过程】函数fx=−x2+ax+1的图象对称轴为x=所以a的取值范围为4,12.故选：C.【变式6-1】（25-26高一上·福建莆田·期中）已知函数y=x2−4x+3在闭区间0,m上有最大值为3，最小值为−1，则m的取值范围是（

A．[2,+∞) B．2,4 C．(−∞【答案】B【解题思路】根据二次函数的对称性和最值，即可求解.【解答过程】y=x2−4x+3=且f0函数y=x2−4x+3在闭区间0,m则2≤m≤4.故选：B.【变式6-2】（2026·河南南阳·模拟预测）已知fx=2x，x≤mx2A．1,2 B．2,5 C．[2,+∞） D．【答案】D【解题思路】结合二次函数的单调性，利用分段函数单调性列不等式求解即可.【解答过程】因为函数fx=2x所以2≤m2m≤m2−4m+5，即所以实数m的取值范围是5,+∞故选：D.【变式6-3】（2026·江西赣州·二模）已知函数y=x2−4x+2在区间0,t上的最大值为a，在区间t,2t上的最大值为b．若a≥2b，则tA．2−3,12 B．2−3,1【答案】A【解题思路】对t分情况①t>4，②2≤t≤4，③1≤t≤2，④12<t≤1，⑤0<t≤1【解答过程】设g(x)=x2−4x+2，易得g(x)在0,2上递增，在2,+∞上递减，且有两个零点因y=f(x)=x2−4x+2可由g(x)保持x轴上方部分并将x如上图，f(x)在0,2−2上递减，在2−在2,2+2上递减，在①当t>4时，f(x)=x2−4x+2在0,tf(x)=x2−4x+2在t,2t②当2≤t≤4时，f(x)=x2−4x+2在0,tf(x)=x2−4x+2在t,2t③当1≤t≤2时，f(x)=x2−4x+2在0,tf(x)=x2−4x+2在t,2t④当12<t≤1时，f(x)=x2−4x+2在0,tf(x)=x2−4x+2在t,2t单调递增，最大值b=f(2t)⑤当0<t≤12时，f(x)=x2−4x+2∵a≥2b，∴b≤1，由图可知，此时只需令f(t)=t解得2−3≤t≤1或3≤t≤2+3综上所述，t的取值范围是2−3故选：A.【题型7二次函数的恒成立问题】【例7】（25-26高二下·重庆·期末）已知函数fx=x2+ax−a，a>0，若对∀x∈−a,1，不等式A．0,1 B．0,2 C．14,3【答案】B【解题思路】利用换元法，令t=f(x)，求出t的范围，然后由函数单调性求解最大值与最小值，解不等式即可.【解答过程】

如图所示，f(x)的对称轴为x=−a2，在(−a,−a并且f(0)=f(−a)=−a，f(1)=f(−1−a)=1，f(−a因为x∈−a,1，令t=f(x)，则t∈不等式−2a≤ffx≤1恒成立等价于−2a≤f当t∈−a24−a,−a2，f(t)故有f(x)min=f−a且有f−a24−a则−a24f−a2解得2−22≤a≤2+22综上，由a>0，0<a≤2；故选：B.【变式7-1】（25-26高一上·江西抚州·期末）设函数fx的定义域为R，且fx+4=2fx，当x∈0, 4时，fx=2A．−∞,−11 C．−∞,−5 【答案】A【解题思路】由fx+4=2fx和当x∈0,4时fx=2x2−8x可以逐次推出−4,0，−8,−4，−12,−8上的解析式，根据每个区间上的函数最小值的规律，应求x∈【解答过程】当x∈0,4时，fx=2因fx+4=2fx，即x每增大4当x∈−4,0时，x+4∈(0,4]，故f则fx=1当x∈−8,−4时，x+4∈−4,0，故则fx=1当x∈−12,−8时，x+4∈−8,−4，故则fx=1当x∈−12,−8时，由fx=14x+102如下图所示：由图可知，当x≤−11时，fx≥−34恒成立，故实数故选：A.【变式7-2】（25-26高一下·海南海口·期末）已知函数fx=x2−a2+2ax+16【答案】−4,2【解题思路】根据条件，利用二次函数的性质，即可求解.【解答过程】因为函数fx=x2−又当x>0时，fx>0恒成立，则a2整理得到a2+2a<0或解得−2<a<0或−4<a≤−2或0≤a<2，所以−4<a<2，故答案为：−4,2.【变式7-3】（25-26高二上·上海·期中）设fx=x2−1，对任意x∈1,+∞【答案】m≤−52【解题思路】利用不等式恒成立，分离变量，构造函数g(x)=1【解答过程】由−4m2fx≤f整理得m2≥1所以m2令g(x)=1因为x∈1,+∞，所以所以当1x=1时，函数g(x)得最大值54，所以m2≥故答案为：m≤−52或一、单选题1．（2026·四川广安·模拟预测）“m=0”是“f(x)=(m2−m+1)A．充分且不必要条件 B．必要且不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【解题思路】由幂函数的定义求出m的值，再由充分必要条件判断即可.【解答过程】因为f(x)=(m所以m2解得：m=0或m=1,所以“m=0”是“f(x)=(m故选：C.2．（2026·河南信阳·模拟预测）已知fx=4x2−kx−8在区间5,20A．k≤40 B．k≥160 C．40<k<160 D．40≤k≤160【答案】C【解题思路】先求函数的对称轴，要使函数fx=4x2−kx−8【解答过程】由已知，函数fx=4x又因为函数fx在区间5,20则必有5<k8<故选：C.3．（2026·四川广安·模拟预测）若幂函数y=xα是奇函数，且在0,+∞上单调递减，则αA．−2 B．2 C．−3 D．3【答案】C【解题思路】根据幂函数的图像性质，运用排除法即可求解.【解答过程】因为幂函数y=xα在0,+∞又因为幂函数y=xα是奇函数，而幂函数所以若幂函数y=xα是奇函数，且在0,+∞上单调递减，则α故选：C.4．（25-26高一上·重庆·期末）函数fx=ax2−a−1x−2A．−13,0 B．−13,+【答案】D【解题思路】根据给定条件，按a是否为0分类，利用二次函数单调性列式求解.【解答过程】当a=0时，f(x)=x−2在(−∞,2]上单调递增，符合题意，则当a≠0时，由函数f(x)在(−∞,2]上是增函数，得a<0且a−12a所以实数a的取值范围是[−1故选：D.5．（2026·宁夏银川·一模）如果点x0,y0在函数f(x)=x2+1的图象上，都有点2A．17 B．5 C．3 D．2【答案】D【解题思路】求出函数gx【解答过程】设点(x,y)在函数y=g(x)的图象上，则点(x2,y)所以y=x24+1，即故选：D.6．（2026·北京·三模）已知幂函数fx=xA．fx=xC．fx是奇函数 D．fx【答案】D【解题思路】根据分数指数幂的运算规则、函数奇偶性定义、幂函数的单调性与值域，逐一判断各选项正误【解答过程】对于A选项：由分数指数幂的运算得f(x)=x23对于B选项：由f(x)是偶函数得f(−2)=f(2)，又幂函数f(x)=x23且2<3，故f2<f3对于C选项：f(x)的定义域为R，对任意x∈R，有f(−x)=(−x故f(x)是偶函数，C错误；对于D选项：对任意x∈R，x2≥0，因此3故选：D.7．（2026·四川·模拟预测）已知一元二次函数fx的定义域为R，若f−2−x=fx，f−2<f−1A．−∞,−4 C．2,+∞ D．【答案】D【解题思路】分析可知fx的图象关于直线x=−1对称，设fx=ax+12+c，其中a≠0，结合已知条件得出a<0，n≠2，由题意得出【解答过程】因为一元二次函数fx的定义域为R，且f所以函数fx的图象关于直线x=−1对称，设fx=a由f−2<f−1可得a+c<c因为函数fx的图象经过P2,m则f2=9a+c=m上述两个等式作差得9−n+1因为a<0，故9−n+12≤0可得n+1≤−3或n+1≥3，解得n≤−4或n≥2，综上所述，实数n的取值范围是−∞故选：D.8．（2026·云南·模拟预测）已知f(x)是定义在R上的奇函数，且当x>0时，f(x)=x2+ax−2a，若f(x)<0在[−3,−1]上恒成立，则aA．(−8,0) B．(1,+∞) C．(−∞【答案】D【解题思路】根据函数的奇偶性以及二次函数的单调性求解即可.【解答过程】因为f(x)是定义在R上的奇函数，所以由f(x)<0在[−3,−1]上恒成立，可得f(x)>0在[1,3]上恒成立.若−a2<1，即a>−2，则f(x)在[1,3]上单调递增，则f(1)=1−a>0若1≤−a2≤3，即−6≤a≤−2，则f(−a2若−a2>3，即a<−6，则f(x)在[1,3]上单调递减，则f(3)=9+a>0综上所述，a的取值范围为(−9,1).故选：D.二、多选题9．（2026·新疆喀什·模拟预测）下列关于幂函数的论述正确的是（

）A．若α=0，则幂函数y=xB．若两个幂函数的图象至少有三个公共点，则这两个函数一定相同C．若幂函数为奇函数，则图象一定经过点(−1,−1)D．幂函数的图象一定经过点(1,1)，且一定不经过点(1,−1)【答案】CD【解题思路】利用幂函数的图象、性质逐一判断即可.【解答过程】对于A，当α=0时，幂函数y=xα=x0的定义域为{x|x≠0}，其图象是直线对于B，幂函数y=x,y=x3的图象有三个公共点对于C，幂函数图象一定过点(1,1)，当该幂函数是奇函数时，其图象关于原点对称，则该幂函数图象必过点(−1,−1)，C正确；对于D，幂函数的图象一定经过点(1,1)，且一定不经过点(1,−1)，D正确.故选：CD.10．（25-26高一上·浙江杭州·阶段检测）已知抛物线y=ax2+bx+cA．c=−1 B．a+b+c>−1 C．a+b+c>−2 D．a+b+c<0【答案】ACD【解题思路】根据二次函数性质分析可知b=a−1，c=−1，且0<a<1，即可判断A；举反例判断B；结合不等式性质判断CD.【解答过程】因为抛物线y=ax2+bx+c且对称轴x=−b2a>0又因为抛物线y=ax2+bx+c的图象过点−1,0则a−b+c=0c=−1，可得b=a−1<0c=−1，解得例如a=12,b=−因为a+b+c=2a−2，且0<a<1，则−2<2a−2<0，所以−2<a+b+c<0，故CD正确；故选：ACD.11．（25-26高一上·新疆阿克苏·期末）已知二次函数y=ax2+bx+c（a、b、c为常数，且a≠0

A．a−b=0B．abc<0C．关于x的二次函数y=ax2+bx+cD．关于x的一元二次不等式ax2【答案】ABD【解题思路】利用韦达定理可得出a=b，c=−6a，且有a>0，可判断AB选项；利用图象可判断CD选项.【解答过程】对于AB选项，二次函数y=ax2+bx+c的图象交x轴于点−3,0所以方程ax2+bx+c=0的两根分别为−3由韦达定理可得−3+2=−ba，−3×2=ca，故又因为该二次函数的图象开口向上，故a>0，所以abc=−6a对于C选项，由图象可知，关于x的二次函数y=ax2+bx+c对于D选项，由图可知，关于x的一元二次不等式ax2+bx+c<0故选：ABD.三、填空题12．（2026·上海浦东新·三模）若幂函数y=xa的图象经过点4,2，则实数a【答案】1【解题思路】将已知点坐标代入幂函数解析式，即可求解参数.【解答过程】由题意，在y=xa中，图象经过点∴4a解得：a=1故答案为：1413．（2026·陕西咸阳·模拟预测）已知幂函数f(x)=m2−5m+5x【答案】9【解题思路】由幂函数和偶函数的性质求得m=1，结合对数的运算法则即可求解.【解答过程】由题意得m2−5m+5=1，解得m=1或又f(x)为偶函数，所以m=1，所以4log故答案为：9．14．（2026·广东广州·一模）已知函数fx+1为奇函数，当x<1时，fx=ax2−x（a≠0），若fx【答案】1,+【解题思路】根据条件，利用函数的对称性，得fx在区间1【解答过程】因为函数fx+1为奇函数，所以fx关于点又fx在1,32上单调递增，则f又当x<1时，fx=ax2−x当a<0时，fx=ax2−x的图象开口向下，且1所以a>00<12a≤12，解得故答案为：1,+∞四、解答题15．（25-26高三上·河南南阳·期中）已知函数fx+1(1)求fx(2)设函数gx=a+3x+fx，若g【答案】(1)f(2)5,−4【解题思路】（1）利用换元法求解析式；（2）分a>2、−4≤a≤2和a<−4三种情况讨论最值，列不等式求解即可.【解答过程】（1）设t=x+1，则x=t−1，从而ft=t−1（2）由（1）可知fx=x当−a2<−1，即a>2时，g则gxmin=g当−1≤−a2≤2，即−4≤a≤2时，gx在则gxmin=g−a当−a2>2，即a<−4时，g则gxmin=g综上，a的取值集合是5,−4.16．（25-26高一上·福建漳州·期末）已知幂函数fx=m(1)求实数m的值；(2)若函数gx=fx−ax在区间−1,2上的最小值为【答案】(1)m=3(2)−13【解题思路】（1）根据幂函数的定义可知m2−5m+7=1，解得m，再根据图象关于y轴对称可进一步确定（2）根据gx【解答过程】（1）因为函数fx所以m2−5m+7=1，解得m=2或当m=2时，fx=x；当m=3时，因为函数fx关于y轴对称，所以函数fx是偶函数，即故m=3.（2）由（1）知gx因为gx在区间−1,2上的最小值为−①当a2<−1，即a<−2时，gx所以gxmin=g−1=1+a=−②当−1≤a2≤2，即−2≤a≤4时，g又因为−2≤a≤4，所以a=3；③当a2>2，即a>4时，gx所以gxmin=g2=4−2a=−综上可得，a的值为−1317．（2026·海南儋州·模拟预测）已知函数f(x)为定义在R上的偶函数，且x≥0，f(x)=x(1)若m=1，求函数f(x)解析式；(2)求函数f(x)在[1,3]的最小值；(3)若函数y=f(x)在(0,4)有两个不同的零点，求m的取值范围.【答案】(1)f(2)f(3)2,【解题思路】（1）根据偶函数的性质即可求出解析式.（2）根据二次函数的单调性及对称轴，分情况求出最小值.（3）根据已知条件，结合二次函数的性质、根的判别式、对称轴、端点值列出不等式组，求解即可.【解答过程】（1）当m=1时，x≥0，f(x)=x因为函数f(x)在R上为偶函数，所以f当x<0时，−x>0，则f(x)=f(−x)=−x因此函数f(x)解析式为：fx（2）当x∈[1,3]时，f(x)=x2−mx+1当m2<1，即m<2时，当1≤m2≤3，即