2025中考数学一轮复习：反比例函数（6个考点清单+10种题型解读）解析版

2025中考数学一轮复习：反比例函数（6个考点清单+10种题型解读）解析版【考情分析】反比例函数属于中考必考内容，分值7～9分，选择、填空、解答大题均会出现。基础题考查定义、象限、增减性；中档题重点是k的几何意义；压轴题常和一次函数、三角形、四边形几何综合，结合面积、不等式、存在性出题。一、6个核心考点清单考点1反比例函数的定义1．定义：形如$\boldsymbol{y=\dfrac{k}{x}}$（$k$为常数，$\boldsymbol{k≠0}$）的函数叫做反比例函数。2．两种变形形式：$y=kx^{-1}$、$xy=k$。3．自变量取值范围：$\boldsymbol{x≠0}$；函数值$y≠0$，双曲线与坐标轴永不相交。⚠易错提醒：必须保证$x$的次数为$-1$，系数$k≠0$。考点2反比例函数的图象与象限分布图象是双曲线，分为两支。①$\boldsymbol{k>0}$：图象分布在第一、三象限；②$\boldsymbol{k<0}$：图象分布在第二、四象限。考点3反比例函数的增减性（高频易错点）①$k>0$，在每个象限内，$y$随$x$的增大而减小；②$k<0$，在每个象限内，$y$随$x$的增大而增大。⚠重要陷阱：不能去掉“在每个象限内”，跨象限不能直接用增减性比较大小！考点4反比例函数图象的对称性1．中心对称：关于原点中心对称；若$A(a,b)$在双曲线上，则对称点$B(-a,-b)$也在双曲线上。2．轴对称：关于直线$\boldsymbol{y=x}$、$\boldsymbol{y=-x}$对称；点$A(a,b)$的对称点$(b,a)$、$(-b,-a)$在双曲线上。考点5比例系数$\boldsymbol{k}$的几何意义（中考重中之重）设$P(x,y)$是双曲线$y=\dfrac{k}{x}$上任意一点，过$P$作$PM\perpx$轴，$PN\perpy$轴：①围成矩形$PMON$面积：$\boldsymbol{S_{矩形}=|k|}$②直角三角形$OPM$、$OPN$面积：$\boldsymbol{S_{\triangle}=\dfrac{|k|}{2}}$⚠面积是正数，一定要加绝对值；由面积求$k$时，结合图象所在象限判断$k$正负。考点6待定系数法求反比例函数解析式步骤：①设解析式$y=\dfrac{k}{x}(k≠0)$；②代入图象上一个已知点坐标，列方程求出$k$；③把$k$代回，写出完整解析式。拓展：也可利用几何面积结合象限符号求出$k$。二、10大题型解读（例题+完整解析）题型1判断一个函数是否为反比例函数【例题】下列是反比例函数的是（）A．$y=3x$B．$y=\dfrac{5}{x}$C．$y=3x+2$D．$y=x^{2}$【解析】A正比例函数；B符合$y=\dfrac{k}{x}(k≠0)$，反比例函数；C一次函数；D二次函数。答案：B解题技巧：对照三种形式$y=\dfrac{k}{x},y=kx^{-1},xy=k$检验，保证$k≠0$。题型2判断点是否在反比例函数图象上【例题】判断点$(3,-4)$是否在双曲线$y=-\dfrac{12}{x}$上。【解析】方法1：把$x=3$代入，$y=-\dfrac{12}{3}=-4$，坐标匹配，点在图象上。方法2：利用$xy=k$，$3\times(-4)=-12=k$，满足关系，点在图象上。解题技巧：横纵坐标相乘等于$k$，点就在双曲线上。题型3根据图象象限求参数取值范围【例题】反比例函数$y=\dfrac{m-2}{x}$的图象在第二、四象限，则$m$的取值范围是________。【解析】二、四象限$\Rightarrowk<0$，即$m-2<0$，解得$\boldsymbol{m<2}$。答案：$m<2$题型4利用增减性比较函数值大小（易错题）【例题】已知$A(-3,y_{1})$，$B(-2,y_{2})$，$C(1,y_{3})$在$y=\dfrac{6}{x}$上，比较$y_{1},y_{2},y_{3}$大小。【解析】$k=6>0$，双曲线一、三象限；$A、B$在第三象限：在每个象限内$y$随$x$增大而减小，$-3<-2$，故$y_{1}>y_{2}$，均为负数；$C$在第一象限，$y_{3}>0$；综上：$\boldsymbol{y_{2}<y_{1}<y_{3}}$。⚠解题关键：先看点在同一象限还是跨象限，跨象限直接区分正负，不要盲目套用增减性。题型5$\boldsymbol{k}$的几何意义基础面积计算【例题】点$A$在双曲线$y=\dfrac{8}{x}$上，$AB\perpx$轴于$B$，求$S_{\triangleAOB}$。【解析】$S_{\triangleAOB}=\dfrac{|k|}{2}=\dfrac{|8|}{2}=4$。答案：4拓展：若已知三角形面积为3，图象在第二象限，则$\dfrac{|k|}{2}=3\Rightarrow|k|=6$，$k=-6$。题型6待定系数法求反比例函数解析式【例题】反比例函数经过点$(-2,5)$，求解析式。【解析】设$y=\dfrac{k}{x}$，将$x=-2,y=5$代入，$5=\dfrac{k}{-2}\Rightarrowk=-10$，解析式为$\boldsymbol{y=-\dfrac{10}{x}}$。题型7一次函数与反比例函数图像共存判断【例题】一次函数$y=kx+b$与反比例函数$y=\dfrac{k}{x}(k≠0)$在同一坐标系中图象大致是（简述思路）【解析】抓住同一个$k$符号必须统一：如果双曲线在一、三象限，则$k>0$，此时一次函数倾斜向上；如果双曲线在二、四象限，则$k<0$，一次函数倾斜向下。两者$k$正负保持一致，排除矛盾选项。题型8一次函数与反比例函数交点问题【例题】求$y=x+1$与$y=\dfrac{2}{x}$交点坐标。【解析】联立方程组$\begin{cases}y=x+1\\y=\dfrac{2}{x}\end{cases}$$x+1=\dfrac{2}{x}$，整理得$x^{2}+x-2=0$，$(x+2)(x-1)=0$，$x_{1}=1,x_{2}=-2$。当$x=1,y=2$；当$x=-2,y=-1$。交点为$\boldsymbol{(1,2),(-2,-1)}$。结论：正比例与反比例的两个交点关于原点对称。题型9函数图象与不等式解集（数形结合大题常考）【例题】一次函数与反比例函数交于$A(1,3)$，$B(-3,-1)$，直接写出$\dfrac{k}{x}>mx+n$的解集。【解析】不等式含义：双曲线图象在直线上方的$x$取值；结合草图分段观察：$\boldsymbol{x<-3}$或$\boldsymbol{0<x<1}$。⚠易错：不要漏掉$x≠0$，解集必须分两段书写。题型10反比例函数与几何图形综合（压轴填空/解答）【例题】如图，矩形$OABC$，点$B$在双曲线$y=\dfrac{k}{x}(x>0)$上，矩形面积为12，求$k$。【解析】由$k$几何意义，矩形面积$=|k|=12$；图象在第一象限，$k>0$，$\boldsymbol{k=12}$。【拓展变式】已知$A$在$y=\dfrac{6}{x}$，$B$在$y=\dfrac{2}{x}$，$AB\perpx$轴，求$\triangleOAB$面积。解：$S_{\triangleOAC}=\dfrac{6}{2}=3$，$S_{\triangleOBC}=\dfrac{2}{2}=1$，$S_{\triangleOAB}=3-1=\boldsymbol{2}$。解题思路：割补法，把不规则图形拆成标准的$k$几何模型求解。三、中考复习易错点汇总1．增减性忽略“在每个象限内”，跨象限直接比较大小；2．由面积求$k$忘记结合象限判断正负，直接取正值；3．解函数不等式时漏掉$x≠0$，合并左右两段解集；4．认为双曲线与坐标轴存在交