重难突破2　动态平衡　平衡中的临界与极值问题

重难突破2动态平衡平衡中的临界与极值问题目标要求1.学会运用解析法、图解法等分析处理动态平衡问题。2.会分析平衡中的临界与极值问题，并会相关计算。目录CONTENTS突破点一动态平衡问题突破点二平衡中的临界、极值问题课时跟踪训练突破点一动态平衡问题

〔人教版必修第一册P81·T5改编〕如图，用轻质柔软的细线将一质量为

m的小球悬挂于天花板上的O点，在外力F、重力G和细线拉力FT的作用下

处于平衡状态。初始时F水平，细线与竖直方向夹角为θ，与F的夹角为α。（1）保持F水平，缓慢增大θ角，分析外力F和细线拉力FT如何变化？

（2）保持小球位置及θ角不变，逆时针缓慢转动外力F直至竖直状态，分

析外力F如何变化？提示：对小球受力分析，小球受重力G、外力F和细

线拉力FT作用，作出矢量图，如图甲所示保持小球位置及θ角不变，逆时针缓慢转动外力F直至竖直

状态，由图甲可知，外力F先减小后增大。（3）保持α角不变，缓慢增大θ角，直至细线水平，分析外力F如何变化？提示：

保持α角不变，增大θ角，直至细线水平，细线和F的方向都逆时针转动，如图乙所示，由图乙可知，细线的拉力FT水平时，外力F最大，则外力F逐渐增大。

三力动态平衡问题的分析方法1.

解决动态平衡问题的方法矢量三角形法：一个力（F1）恒定，另一个力（F2）方向不变，第三个力（F3）大小、方向均变化。F3方向的变化引起F2、F3大小变化

若F1与F2不垂直，F3⊥F2时，F3有最小值，F3min＝F1sin

θ相似三角形法：一力恒定，另两力方向均变化，力的矢量三角形与边长已知的三角形相似，对应边成比例关系辅助圆法（或正弦定理法）：一力恒定，另外两力方向均变

化，但两力夹角保持不变，可

做出动态图，其中恒力为圆的

一条弦，其他两力大小随位置

变化2.

分析动态平衡问题的流程受力分析

画不同状态下的受力平衡图构造矢量三角形

〔多选〕（2025·江西九江三模）图甲是工人在高层安装空调时吊运室

外机的场景，简化图如图乙所示。一名工人在高处控制绳子P，另一名工

人站在水平地面上拉住另一根绳子Q。在吊运的过程中，地面上的工人在

缓慢后退时缓慢放绳，空调外机M缓慢竖直上升，绳子Q与竖直方向的夹

角β保持不变，绳子质量忽略不计，则（

）A.

绳子P上的拉力不断变大B.

绳子Q上的拉力先变小后变大C.

地面工人所受的支持力不断变小D.

地面工人所受的摩擦力先变大后变小AC解析：对空调外机进行受力分析如图甲所示，空调外机分别

受到绳P、Q的拉力F1、F2和自身的重力mg的作用而平衡，将这三个力构成矢量三角形如图乙所示，由图乙可知，地面

上的工人在缓慢后退并缓慢放绳的过程中，β不变，α逐渐增

大，F1、F2均增大，故A正确，B错误；对地面上工人进行受

力分析如图丙所示，该工人受到重力G、地面的支持力FN、绳Q的拉力F2'以及地面的摩擦力Ff四个力的作用处于平衡状态，竖直方向，根据平衡条件得FN＋F2'cos

β＝G，水平方向，根据平衡条件得Ff＝F2'sin

β，其中β不变，绳子Q的拉力F2'增大，所以该工人受到的支持力FN减小，摩擦力Ff增大，故C正确，D错误。

（2025·山东聊城二模）如图甲所示，警用钢叉是一种常用的防暴器

械，其前端为半圆形的叉头，后端为握柄。如图乙所示，现将钢叉竖直放

置，半圆环的圆心为O，小球a套在半圆环上，小球b套在竖直杆上，两者

之间用一轻弹簧连接。初始时小球b在外力作用下静止在竖直杆上，此时

小球a静止在离半圆环最低点较近处。现使小球b缓慢上移少许，两小球均

可视为质点，不计一切摩擦，在移动过程中弹簧始终在弹性限度内，则半圆环对小球a的弹力（

）A.

一直增大B.

一直减小C.

先增大后减小D.

先减小后增大A

（2026·重庆沙坪坝期中）某中学为增强学生体魄，组织学生进行多种

体育锻炼。在某次锻炼过程中，一学生将铅球置于两手之间，其中两手之

间夹角为60°。保持两手之间夹角不变，将右手由图示位置缓慢旋转60°

至水平位置。不计一切摩擦，则在转动过程中，下列说法正确的是

（

）A.

右手对铅球的弹力增加B.

右手对铅球的弹力先增加后减小C.

左手对铅球的弹力增加D.

左手对铅球的弹力先增加后减小B解析：方法一（辅助圆法）：以铅球为研究对象，其受重力G、右手对铅球的弹力F1和左手对铅球的弹力F2，受力分析如图甲所示，缓慢旋转过程中铅球处于平衡状态，作出辅助圆，在右手由图示位置沿顺时针方向缓慢旋转60°至水平位置过程中，力的三角形变化如图甲所示，则F1先增大后减小，F2一直减小，故B正确。

突破点二平衡中的临界、极值问题1.

临界、极值问题特征（1）临界问题：当某物理量变化时，会引起其他几个物理量的变化，从

而使物体所处的平衡状态“恰好出现”或“恰好不出现”，在问题的描述

中常用“刚好”“刚能”“恰好”等语言叙述。常见的临界状态有：①由静止到运动，摩擦力达到最大静摩擦力。②绳子恰好绷紧，拉力F＝0。③刚好离开接触面，支持力FN＝0。（2）极值问题：平衡物体的极值，一般指在力的变化过程中的最大值和

最小值。2.

解决临界和极值问题的三种方法物理分析法根据平衡条件，作出力的矢量图，通过对物理过程的分析，利

用平行四边形定则进行动态分析，确定最大值和最小值数学分析法通过对问题的分析，根据平衡条件列出物理量之间的函数关系

（画出函数图像），用数学方法求极值（如求二次函数极值、

公式极值、三角函数极值）极限法正确进行受力分析和变化过程分析，找到平衡的临界点和极值

点；临界条件必须在变化中寻找，不能在一个状态上研究临界

问题，要把某个物理量推向极大或极小

（2026·江西景德镇期中）单手抓球的难易程度和手的大小、手指与球

间的动摩擦因数有关。将其简化成如图乙所示，手指与球心在同一竖直面

内，手指接触点1、2的连线水平且相距为L，截面半径为R＝3

cm，两接触

点与圆心的连线与水平方向的夹角均为θ，手指和球间的动摩擦因数为μ＝

0.75，设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，能保持球始终静止，则L不能小于（

）A.3.6

cmB.4

cmC.4.8

cmD.5.4

cmC

（1）木块与水平杆间的弹力；

解析：对A、B组成的整体进行分析，根据平衡条件FN＋Fsin

30°＝（M＋m）g

（2）运动过程中轻绳与水平方向的夹角θ；答案：30°

解析：对B进行受力分析设轻绳对B的拉力为T，由平衡条件可得Fcos

30°＝Tcos

θFsin

30°＋Tsin

θ＝mg

（3）当α的正切函数值为多大时，使小球和木块一起向右匀速运动的拉力

最小？

解析：方法一（三角函数法）：对A进行受力分析，由平衡条件有T'sin

θ＋

Mg＝FN，T'cos

θ＝μFN又T'＝T

全反力和摩擦角巧解四力平衡1.

全反力：接触面对物体的摩擦力Ff与支持力FN的合力，用FR表示。

适用情境：物体受四个力平衡，其中一个力为弹力，一个力为滑动摩擦

力，将支持力与摩擦力合成为全反力，化四为三。本方法常常应用到求解

除弹力、摩擦力和重力外的第四个力的大小、方向，有时也会应用到对动

摩擦因数的求解。

√

课时跟踪训练1.

（2025·陕西渭南三模）如图所示，一个大理石半球静置在水平地面

上，球心为O。一只小蚂蚁缓慢从图中Q点沿圆弧爬向半球面最高点P，运

动过程中大理石半球始终保持静止。已知OQ与OP的夹角为θ＝45°，在此

过程中，下列说法正确的是（

）A.

大理石半球对小蚂蚁的作用力变大B.

大理石半球对小蚂蚁的支持力变小C.

地面对大理石半球的摩擦力始终为零D.

地面对大理石半球的支持力变小12345678910√解析：

对小蚂蚁受力分析如图所示，可知大理石半

球对小蚂蚁的作用力为支持力与摩擦力的合力，大小始

终等于蚂蚁的重力，保持不变，A错误；蚂蚁受到的支

持力为FN＝mgcos

θ，由于θ逐渐变小，则FN变大，B错

误；选取整体为研究对象，可知二者只受到重力与地面的支持力，即地面对大理石半球的支持力保持不变，摩擦力为零，故C正确，D错误。123456789102.

（2026·陕西汉中期末）如图甲所示，趣味运动会上有一种“背夹球”

游戏，A、B两个运动员背夹篮球完成各种动作，其过程可以简化为图乙。

假设两运动员背部给篮球的压力均在同一竖直面内，不计摩擦，现保持A

运动员背部竖直，B运动员背部倾斜且其与竖直方向的夹角α缓慢增大，而

篮球保持静止，在此过程中下列说法正确的是（

）A.

A运动员对篮球的压力大于篮球对A的压力B.

A、B运动员对篮球的合力减小C.

A运动员对篮球的压力增大D.

B运动员对篮球的压力减小√12345678910解析：

A对篮球的压力和篮球对A的压力

是作用力与反作用力的关系，大小相等，故

A错误；根据平衡条件可得，A、B对篮球的

合力大小不变，始终等于篮球的重力，故B

错误；作出篮球受力的矢量三角形，如图可知在α角增大的过程中，A、B对篮球的压力均减小，故C错误，D正确。123456789103.

★（2026·河北廊坊期末）如图甲所示是某中学科技馆外部照片，该建筑

外形呈球形，表面可视为光滑球面。该球面对应的圆心为O、半径R＝3

m。现要在其顶部安装一质量为1

kg的球形光滑零件（可视为质点）。如

图乙所示，工作人员用一轻质细绳一端系住零件，另一端连在吊装机的小

滑轮上，吊装机的左端小滑轮始终在球心O正上方5

m处。现转动滑轮收缩

轻绳使零件从图示位置的A点缓慢移动到球形建筑物顶端的B点，整个过程零件始终没有脱离球面。A点到小滑轮的距离为4

m，重力加速度大小为g＝10

m/s2，则下列说法正确的是（

）12345678910A.

零件静止在A点时，圆形球面对零件的支持力大小FN＝5

NB.

零件静止在A点时，绳对零件的拉力大小FT＝10

NC.

缓慢地收缩轻绳使零件由A移动到B，该过程中零件所受支持力大小先

变小后变大D.

缓慢地收缩轻绳使零件由A移动到B，该过程中绳子拉力逐渐变小√12345678910

123456789104.

（2026·山东滨州期末）如图甲，铲车是施工生产中不可缺少的工具。

某次铲车装载一个球形石块的过程可以简化为图乙。铲斗A板与B板内壁均

视为光滑，顶角∠AOB为锐角。在装载的过程中，铲斗缓慢逆时针旋转，使∠AOB的角平分线竖直。下列说法正确的是（

）A.

A板受到的压力一直增加，B板受到的压力先增加后减小B.

A板受到的压力一直增加，B板受到的压力一直增加C.

A板受到的压力先增加后减小，B板受到的压力一直增加D.

A板受到的压力先增加后减小，B板受到的压力一直减小√12345678910解析：

对球形石块受力分析如图甲所示，将力F1、F2、mg矢量平移到

三角形中，在铲斗逆时针转动的过程中mg和mg的对角θ恒定，所以力F1和

F2的交点在圆上移动，矢量图如图乙所示，

由图乙可知在铲斗逆时针缓慢转到竖直的过程中力F1逐渐增加，力F2先增

大后减小。故选A。12345678910

√12345678910

123456789106.

〔多选〕（2026·安徽合肥期末）如图所示，一粗糙斜面固定在地面

上，斜面顶端装有一光滑定滑轮。一细绳跨过滑轮，其一端悬挂物块N，

另一端与斜面上的物块M相连，系统处于静止状态。现用水平向左的拉力

缓慢拉动N，直至悬挂N的细绳与竖直方向成30°。已知M始终保持静止，

则在此过程中（

）A.

水平拉力的大小可能保持不变B.

M所受细绳的拉力大小一定一直增加C.

M所受斜面的摩擦力大小一定一直增加D.

M所受斜面的摩擦力大小可能先减小后增加√√12345678910解析：

对N受力分析可知N受到自身重力mNg、水平

向左的拉力F和绳子拉力T而平衡，如图所示，从图中可以

看出水平拉力F的大小逐渐增大，细绳的拉力T也一直增

大，故A错误，B正确；由于M的质量与N的质量的大小关

系不确定，设斜面倾角为θ，若mNg≥mMgsin

θ，对M有T＝mMgsin

θ＋f，则M所受斜面的摩擦力大小会一直增大；若mNg＜mMgsin

θ，对M有T＝mMgsin

θ－f，则M所受斜面的摩擦力大小可能先减小后反向增大，故C错误，D正确。123456789107.

（2026·重庆渝中期末）如图所示，三根长度均为L的轻绳分别连接于

C、D两点，A、B两端被悬挂在水平天花板上，相距2L。现在C点悬挂一个

质量为m的重物，为使CD绳保持水平，在D点可施加外力F，重力加速度为

g，则下列说法正确的是（

）√12345678910

12345678910

8.

（2026·重庆期末）在工地上，经常用如图甲所示的推车搬运水泥，为

保证水泥不滑落，推车的支架与底板会设计成钝角，且为120°，其侧视

图如图乙所示。工人现将一袋质量为50

kg的水泥横放在推车底板上，水泥

袋和支架接触；工人用双手缓慢压下把手直至底板与水平面间的夹角为45°。不计这袋水泥与支架及底板间的摩擦，并把这袋水泥简化为圆柱体，重力加速度g＝10

m/s2。下列说法正确的