2027届上海市十年高考数学专题分类训练 专题06 解三角形（10年汇编）（解析版）

专题06解三角形10年真题1年模拟考点分类上海考情（2017-2026）命题规律考点01正弦定理和余弦定理2017-2026年连续考查，题型覆盖单选题、填空题、解答题；2021-2026年年均有解答题，2025、2026年出现压轴类解答题，2017-2024年以基础填空、单选为主基础题核心考查正弦定理边角互化、余弦定理求边求角、三角形外接圆半径求解，难度较低；近年变化显著：大量结合三角函数性质、平面向量、基本不等式综合考查，解答题从基础计算转向三角形面积最值、多知识点融合的压轴题，2025年起压轴题占比大幅提升，对综合推理与计算能力要求显著提高考点02解三角形的实际应用2022、2024年有高考真题考查，题型为填空题、解答题；2022年出现2问解答题，2024年考查填空压轴题，2026年模拟题大量出现实际场景建模题基础题考查方位角、距离测量类实际场景的解三角形应用；核心变化为2022年创新结合矩形几何图形、切线性质、函数最值综合考查，2024年新增空间方位类实际场景，2026年模拟题延伸至球面三角、圆锥几何等拓展场景，对数学建模与综合应用能力要求大幅提升考点01正弦定理和余弦定理1．（2024·上海·高考真题）三角形中，，则______【答案】【分析】根据已知条件，结合正弦定理，即可求解．【详解】三角形中，，，由正弦定理，，，得．故答案为：．2．（2023·上海·高考真题）在中，已知，，，则__________．【答案】【分析】先利用余弦定理求得，再利用同角三角函数关系式求得.【详解】，A为的内角，.故答案为:.【点睛】本题考查余弦定理以及同角三角函数关系式的合理运用，是基础题.3．（2022·上海·高考真题）在△ABC中，，，，则△ABC的外接圆半径为________【答案】/【分析】运用正弦定理及余弦定理可得解.【详解】根据余弦定理：，得，由正弦定理△ABC的外接圆半径为.故答案为:.4．（2019·上海·高考真题）在中，，且，则____________【答案】【分析】根据正弦定理求出，再利用余弦定理求出.【详解】由正弦定理可知：，又由余弦定理可知：本题正确结果：【点睛】本题考查利用正弦定理、余弦定理解三角形问题，属于基础题.5．（2025·上海·高考真题）在中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且．(1)若，求a；(2)若，求的面积的最大值．【答案】(1)(2)【分析】（1）由正弦定理角化边结合勾股定理求解即可；（2）由三角形的面积公式结合余弦定理求解即可；【详解】（1）由正弦定理可得即，又，所以，即，解得，所以.（2）因为，且，，所以，当且仅当时等号成立，当取最小值时，取最大值，最大值，所以的面积的最大值为.6．（2023·上海·高考真题）在中，内角、、所对的边为、、，其中(1)若，且，求边长的值；(2)若，，求.【答案】(1)(2)【分析】（1）求出B根据余弦定理求解；（2）根据正弦定理求出C及c，再由求面积即可.【详解】（1）因为，所以，由余弦定理得，解得.（2）因为，所以，所以因为，所以，，所以，，所以.7．（2022·上海·高考真题）在如图所示的五边形中，，O为AB中点，曲线CMD上任一点到O距离相等，角，P，Q关于OM对称；(1)若点P与点C重合，求的大小；(2)求五边形面积S的最大值，【答案】(1)(2)【分析】（1）利用余弦定理求出，再利用正弦定理即可得出答案；（2）根据题意可得，则，设，则，根据三角形的面积公式结合三角函数的性质即可得出答案.【详解】（1）解：若点P与点C重合，连接，，在中，，所以，因为，所以，所以；（2）解：连接，因为曲线CMD上任一点到O距离相等，所以，因为P，Q关于OM对称，所以，设，则，则，其中，当时，取得最大值，所以五边形面积S的最大值为.8．（2021·上海·高考真题）已知A、B、C为的三个内角，a、b、c是其三条边，﹒(1)若，求b、c；(2)若，求c．【答案】(1)1，；(2)﹒【分析】(1)由已知利用正弦定理即可求解的值；利用余弦定理即可求解的值．(2)根据已知利用两角差的余弦公式，同角三角函数基本关系式可求得、的值，进而根据正弦定理可得的值．【详解】（1）∵，由正弦定理得，又，可得，由于，可得．（2）∵，0＜C＜π，∴，C＞＞A，.∵，∴，又，可解得或(舍)，由正弦定理，可得．9．（2020·上海·高考真题）双曲线，圆在第一象限交点为，曲线.（1）若，求b；（2）若，与x轴交点记为，P是曲线上一点且在第一象限，并满足，求∠；（3）过点且斜率为的直线交曲线于M、N两点，用b的代数式表示，并求出的取值范围.【答案】（1）2；（2）；（3）.【解析】（1）由已知且A为曲线、的交点，代入方程并联立方程组求参数即可.（2）根据圆的性质判断P在双曲线上，法一：利用双曲线定义求，结合余弦定理即可求∠；法二：由P是以为圆心，8为半径的圆与双曲线的交点求其坐标，应用向量的坐标表示得到，，利用向量数量积公式即可求∠；（3）由题设得直线，由点线距知与直线l相切并可求切点坐标，再结合双曲线斜率为负的渐近线与直线l平行，即可确定且OM⊥MN，联立、并利用向量数量积的几何意义即可求的范围.【详解】（1）若，点A为曲线与曲线的交点，∵，解得，∴.（2）∵，知，，结合题意有为曲线的两焦点，又P是曲线上一点且在第一象限，∴当P在圆上，由，不符合圆的性质，故P一定在双曲线部分.方法一：由双曲线定义知：，，∴，在中由余弦定理可得：，则∠.方法二：，以为圆心，8为半径的圆为，P为其与双曲线在第一象限的交点，又，可得，解得，，，，则∠.（3）设直线，可得原点O到直线的距离，所以直线是圆的切线，若切点为M，则，设，与圆联立得，解得，∴，又直线与双曲线得斜率为负得渐近线平行且OM⊥MN，∴只有当时，直线才能与曲线有两个交点，由，得，即有，解得或（舍），又∵由在上的投影可知：，∴，即.【点睛】关键点点睛：（1）由交点及其横坐标代入方程求参数值.（2）利用圆的性质：圆中所有弦中直径最长判断P的位置，再应用双曲线定义、余弦定理或向量数量积的坐标表示求角.（3）由已知确定直线l的方程，结合点线距、双曲线渐近线判断直线l与、的位置关系，进而可得时，直线才能与曲线有两个交点且OM⊥MN，最后联立方程求范围，及由向量几何意义求范围.10．（2017·上海·高考真题）设，.(1)求函数的单调增区间；(2)设为锐角三角形，角所对的边，角所对的边.若，求的面积.【答案】(1)；(2).【分析】（1）由，，令求解；（2）由可得，再利用余弦定理求得c，再利用求解.【详解】（1）解：，，令，解得，所以其单调增区间为.（2）由即，因为是锐角，所以，得，即.由余弦定理，，整理得，解得或.当时，，最大角是钝角，为钝角三角形，舍去；当时，，最大角是锐角，为锐角三角形，符合题意..考点02解三角形的实际应用1．（2024·上海·高考真题）已知点B在点C正北方向，点D在点C的正东方向，,存在点A满足，则______(精确到0.1度)【答案】【分析】设，在和中分别利用正弦定理得到，，两式相除即可得到答案.【详解】设，在中，由正弦定理得，即’即①在中，由正弦定理得，即，即，②因为，得，利用计算器即可得，故答案为：.2．（2022·上海·高考真题）如图，矩形ABCD区域内，D处有一棵古树，为保护古树，以D为圆心，DA为半径划定圆D作为保护区域，已知m，m，点E为AB上的动点，点F为CD上的动点，满足EF与圆D相切.(1)若∠ADE，求EF的长；(2)当点E在AB的什么位置时，梯形FEBC的面积有最大值，最大面积为多少？（长度精确到0.1m，面积精确到0.01m²）【答案】(1)23.3m(2)当时，梯形FEBC的面积有最大值,最大值为【分析】（1）设EF与圆D相切于对点，连接，则，，在直角和直角中分别求出,从而得出答案.（2）先求出梯形的面积的最小值，从而得出梯形FEBC的面积的最大值.【详解】（1）设EF与圆D相切于对点，连接，则，则，所以直角与直角全等所以在直角中，在直角中，（2）设,，则，所以梯形的面积为当且当，即时取得等号，此时即当时，梯形的面积取得最小值则此时梯形FEBC的面积有最大值所以当时，梯形FEBC的面积有最大值,最大值为一、单选题1．（2026·上海黄浦·三模）球面三角学是研究球面三角形的边、角关系的一门学科.如图，球的半径为，为球面上三点，劣弧的弧长记为，设表示以为圆心，且过的圆，同理，圆，的劣弧的弧长分别记为，曲面（阴影部分）叫做曲面三角形，，则称其为曲面等边三角形，线段与曲面围成的封闭几何体叫做球面三棱锥，记为球面.设，，，则下列结论正确的个数是（

）①若平面是面积为的等边三角形，则②若，则③若，则球面的体积④若平面为直角三角形，且，则A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【详解】球的半径为，为球面上三点，劣弧的弧长记为，劣弧，的弧长分别记为，记为球面，设，，，若平面是面积为的等边三角形，则，则，，故①不正确；若，则，则，故②正确；若，则，，则平面的外接圆半径为，则到平面的距离，则三棱锥的体积，则球面的体积，故③正确；由余弦定理可知因为，所以，则，取，，则，，则，故④不正确.2．（2026·上海·三模）设抛物线的焦点为，斜率为的直线与抛物线交于两点，若，则的值为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】设直线的方程为，联立方程组，结合设而不求法根据关系可求，再求，，，根据余弦定理求结论.【详解】抛物线的焦点的坐标为，准线方程为，设直线的方程为，联立，消可得，方程的判别式，故，设，，不妨设，由已知为方程的根，所以，，设点，在准线上的投影分别为，，因为，所以，故，所以，即为方程的根，故，，所以，，又，由余弦定理，.故选：B.

3．（2026·上海黄浦·三模）中，，，，P是外接圆上一点，，则的最大值是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由余弦定理求出，即可得到，设的中点为，则为外接圆的圆心，如图建立平面直角坐标系，设，根据平面向量的线性运算的坐标表示得到，再利用辅助角公式及正弦函数的性质计算可得；【详解】解：由余弦定理，即，所以，所以，即，则△ABC为等腰直角三角形.设的中点为，则为外接圆的圆心，如图建立平面直角坐标系，则，，，设，，则，，，因为，即，所以，所以，所以当，即时；故选：A二、填空题4．（2026·上海·三模）在中，的面积为___________【答案】【详解】由余弦定理，代入得，整理得，解得（负根舍去）；故.5．（2026·上海虹口·三模）在中，若，在上的投影向量为，则_____________．【答案】

/0.5【分析】由正弦定理边角互化可得，结合投影向量,余弦定理可得三角形为等边三角形，据此可得答案.【详解】因，结合正弦定理边角互化可得：.因在上的投影向量为，则，由余弦定理：.从而即三角形为等边三角形，则.6．（2026·上海黄浦·三模）在中，，，则在上的数量投影的取值范围为________．【答案】【分析】确定点的位置，建立平面直角坐标系，根据正弦定理及投影的定义计算求解.【详解】由正弦定理可得（为外接圆半径）所以的外接圆半径，所以点在为弦，圆周角为的两段圆弧上运动，如图所示，以点为坐标原点，为轴，过点垂直的直线为轴建立如图所示的平面直角坐标系，则外接圆的圆心在直线上，因为半径，所以圆心坐标为，根据对称性，只讨论圆心为这种情况即可，由向量投影的定义可知，当点为直线与外接圆的交点时，投影取得最值，即或，结合图形可知，当时，在上的数量投影有最小值，最小值为，当时，在上的数量投影有最大值，最大值为，所以在上的数量投影的取值范围为.7．（2026·上海·三模）如图，为圆锥底面圆的直径，为的中点，点是圆上的动点（点在直径同侧），当的面积最大时，点到平面距离为______．

【答案】【分析】根据圆锥的几何性质，结合已知条件得出互相垂直关系，建立空间直角坐标系，求出相关点坐标，利用三角形的性质，求出面积最大值时点坐标，求出平面法向量和相关向量，进而利用点到平面距离公式计算求解．【详解】连接，由题意可知，，以为坐标原点，建立下图所示空间直角坐标系，

则，点在底面圆上，且点在直径同侧，设，母线长，为等腰三角形，，设边上的高为，则，，令，则，开口向下，对称轴为，当时，面积最大，此时，，，，设平面的法向量为，则，令，则，点到平面距离为．8．（2026·上海·二模）某种健身拉力器的手臂固定支架为BE，需运动者将肩关节放置于点B处，手肘放置于点D处，手掌放置于点E处握拳握住弹力绳的一端，弹力绳的另一端连接于点C处；保持B、D、E、C四点共线．将小臂视为线段DE，长度为r，大臂视为线段BD，长度为1.3r．在锻炼时要求保持肩关节B和手肘D不动，运用大臂力量将小臂DE绕着手肘D作圆周运动，始终与BC处于同一平面，弹力绳随之以紧绷状态从CE拉伸至CA．已知某位运动者健身时，当弹力绳拉至最长时，，则此时________度．（结果精确到0.1度）【答案】【分析】先由题意得出，，且．再设，则，利用正弦定理表示出的长度，最后在中由余弦定理列方程求得的值．【详解】由题意可得B，D，E，C四点共线，，，，且点A为点E绕点D旋转后的位置，所以．因此设，则，所以在中，由正弦定理可得所以在中，由余弦定理可得将，，代入，得两边同除以，得化简可得令，则解得，或，或．因为，所以，故．于是故此时.9．（2026·上海长宁·二模）如图，某画框内摆放着三个矩形工艺品，它们的长均为50cm，宽均为10cm.点、、、在同一条直线上，点在边上，点在边上，测得、两点间距离为.为了使，则、两点间距离为_________cm.（精确到）【答案】【分析】在中，分别求得，，再利用三角形相似及正弦定理可求解.【详解】中，，所以.所以，.延长，交于点，则与相似，所以.所以，所以，所以.中，由正弦定理得，即，所以.所以所以、两点间距离为.10．（2026·上海·二模）在中，，，，则________．【答案】/【分析】根据数量积公式，可得的值，根据余弦定理，可得，代入余弦定理，即可得答案.【详解】设，由题意，所以，又，得，所以.11．（2026·上海崇明·二模）在中，角A、B、C所对的边长分别为a、b、c．若，，，则________．【答案】2【详解】由正弦定理得，解得.12．（2026·上海奉贤·二模）如图所示，A，B，C为山脚两侧共线的三点，在山顶P处测得三点的俯角分别为，，．计划沿直线AC开通穿山隧道，为了求出隧道DE的长度，还测得米，米，米，则根据以上数据，隧道DE的长度约为________米．（结果精确到1米）【答案】【详解】在中，，，；由正弦定理可得，整理可得.在中，，由正弦定理，整理可得.所以.13．（2026·上海金山·二模）已知在中，．若点为外接圆的圆心，则__________．【答案】【分析】利用余弦定理求出，取的中点，连接，由点为外接圆的圆心，得到，利用向量的数量积的定义，结合在直角三角形中的余弦公式求出的值.【详解】，，，取的中点，连接，点为外接圆的圆心，，.14．（2026·上海黄浦·三模）如图，的顶点平面，点在平面的同一侧，且.若与平面所成的角分别为，则的面积的取值范围为______.【答案】【分析】由题意，点分别在如图所示的两个不同的圆周上运动，当直线与轴在同一平面内时，三角形面积可取最大最小值。【详解】如图，过C作直线l垂直于平面，因为与平面所成的角分别为，则点分别在如图所示的两个不同的圆周上运动，当直线与轴在同一平面内时，的面积可取最大最小值，于是，有，即，所以，即，所以的面积为，所以，故答案为:.15．（2026·上海·三模）如图，要在A和D两地之间修建一条笔直的隧道．现从B地和C地测量得：，，，．若B、C的直线距离为5.8公里，则隧道长为____________公里．（结果精确到0.1公里）【答案】【分析】设，在，，中利用正弦定理，可求，进而可求.【详解】由题意：.设，则.在中，即.在中，.在中，，即.将以上三式相乘，得：，从而有：，所以：.所以.在中，，,所以.在中，.故答案为：三、解答题16．（2026·上海·三模）已知三角形的角，，所对的边为，，，且，，延长到点．(1)若，求的长；(2)若，，求的长．【答案】(1)(2)【分析】（1）先结合，利用正弦定理，可求，再在中，利用余弦定理可求.（2）设，，在和中，利用正弦定理构造关系，求的正弦，再在中，利用正弦定理求的长.【详解】（1）由和正弦定理，可得，因，代入可得，因为，所以，由因,所以.在中，，，，由余弦定理，，所以.（2）设，则，设，则.在中，，由正弦定理，得①，在中，，由正弦定理，得②.由得：，整理得：可得.又为锐角，所以.在中，由正弦定理，可得，所以.17．（2026·上海·三模）在中，角、、所对的边分别为、、．(1)若、、成等比数列，求证：；(2)若、、成等差数列，且，求的周长的最大值．【答案】(1)证明：因为成等比数列，所以.根据余弦定理：由基本不等式，当且仅当时取等号，代入得：，原不等式得证.(2)6【分析】（1）由等比数列性质可得，进而结合余弦定理