2027届上海市十年高考数学专题分类训练 专题14 导数（10年汇编）（解析版）

专题14导数10年真题1年模拟考点分类上海考情（2017-2026）命题规律考点1极值与参数范围2025高考解答，2026多模高频，单选填空均有基础：求导判极值点；新变化：限定区间存在极大/极小值，多参数分类讨论，常结合不等式解集综合设问考点2导数几何意义（切线）2023/2024/2026均为3问压轴，年年基础题不变传统切点斜率、切线方程稳定；2026创新：切线垂线与曲线无交点、切线衍生数列、切线垂直存在性证明，数形结合复杂度提升考点3单调性、最值应用2017-2026填空单选常规，解答高频建模题常规求单调区间、函数最值；新增工程、斜坡、投掷等实际建模，结合对称集、奇偶充要条件逻辑证明考点4导数综合应用近四年解答压轴核心，2026新定义集中爆发核心变化：原创概念（控制函数、最近点、k调整函数）为主载体，融合数列、三角形、解析几何，恒成立、存在性、充要证明为固定设问，计算与逻辑双重拔高考点01利用导数求函数极值存在的参数范围1．（2025·上海·高考真题）已知．(1)若，求不等式的解集；(2)若函数满足在上存在极大值，求m的取值范围；【答案】(1)(2)且.【分析】（1）先求出，从而原不等式即为，构建新函数，由该函数为增函数可求不等式的解；（2）求出函数的导数，就分类讨论后可得参数的取值范围.【详解】（1）因为，故，故，故，故即为，设，则，故在上为增函数，而即为，故，故原不等式的解为.（2）在有极大值即为有极大值点.，若，则时，，时，，故为的极小值点，无极大值点，故舍；若即，则时，，时，，故为的极大值点，符合题设要求；若，则时，，无极值点，舍；若即，则时，，时，，故为的极大值点，符合题设要求；综上，且.考点02导数的几何意义1．（2026·上海·高考真题）已知，函数，．(1)已知，求的解集；(2)已知，是在点处的切线，是过点且垂直于的直线，与、在第一象限内均无公共点，求的取值范围．【答案】(1)(2)【分析】（1）求出参数，解不等式即可求出的范围；（2）求出直线与的方程，利用与、在第一象限内均无公共点，得出与无正实数解，分离参数，转化为直线与与曲线在内均无交点，对求导讨论其单调性，得出函数的最值，建立不等关系，即可求出实数的取值范围.【详解】（1）由题意，.在与中，，解得，∴，∵，∴，解得或或，∴不等式的解集为.（2）由题意知，由，得，∴.∵直线为在点的切线，∴直线的方程为，即，∵是过点且垂直于的直线，∴直线的方程为：，即，对于函数，，曲线与、在第一象限内均无公共点，∴与无正实数解，分离参数得，，，∴直线与与曲线在内均无交点，而，当时，解得（舍）或，∴当即时，函数单调递减，当即时，函数单调递增，∴在处取最小值，.当时，，当时，，∴且，即或，∴实数的取值范围为.2．（2026·上海·高考真题）已知函数.(1)当，，求函数在处的切线方程；(2)若函数的最小正周期为，且在上恰好有1351个解，求的取值范围.【答案】(1)(2)或，【分析】（1）根据以及可得，即可求导以及点斜式求解直线方程，（2）利用整体法，结合正弦函数的性质即可分类讨论求解.【详解】（1）当时，则，根据可得，故，故，由于，故，故，，则，故函数在处的切线方程为，故，（2）函数的最小正周期为，故，所以，令，当，则，令，则或，当时，要使得有1351个实数根，则，解得，当时，要使得有1351个实数根，则，解得，当时，要使得有1351个实数根，则，无解，综上可得或.3．（2024·上海·高考真题）对于一个函数和一个点，令，若在时取得最小值的点，则称是的“最近点”.(1)对于函数，求证：对于点，存在点，使得点是的“最近点”；(2)对于函数，，请判断是否存在一个点，使它是的“最近点”，且直线与曲线在点处的切线垂直？(3)已知函数可导，函数在上恒成立，对于点与点，若对任意实数，均存在点同时为点与点的“最近点”，说明的单调性.【答案】(1)证明见解析(2)存在，(3)严格单调递减【分析】（1）代入，利用基本不等式即可；（2）由题得，利用导函数得到其最小值，则得到，再证明直线与切线垂直即可；（3）根据题意得到，对两等式化简得，再利用“最近点”的定义得到不等式组，即可证明，最后得到函数单调性.【详解】（1）当时，，当且仅当即时取等号，故对于点，存在点，使得该点是在的“最近点”．（2）由题设可得，则，因为均为上单调递增函数，则在上为严格增函数，而，故当时，，当时，，故，此时，而，故在点处的切线方程为.而，故，故直线与在点处的切线垂直．（3）设，，而，，若对任意的，存在点同时是在的“最近点”，设，则既是的最小值点，也是的最小值点，因为两函数的定义域均为，则也是两函数的极小值点，则存在,使得，即①②由①②相等得，即，即，又因为函数在定义域上恒正，则恒成立，接下来证明，因为既是的最小值点，也是的最小值点，则，即，③，④③+④得即，因为则，解得，则恒成立，因为的任意性，则严格单调递减.【点睛】关键点点睛：本题第三问的关键是结合最值点和极小值的定义得到，再利用最值点定义得到即可.4．（2023·上海·高考真题）令，取点过其曲线作切线交y轴于，取点过其作切线交y轴于，若则停止，以此类推，得到数列．(1)若正整数，证明；(2)若正整数，试比较与大小；(3)若正整数，是否存在k使得依次成等差数列？若存在，求出k的所有取值，若不存在，试说明理由．【答案】(1)证明见解析；(2)(3)存在，【分析】（1）由导数的几何意义得切线方程后证明，（2）构造函数后由导数证明不等式，（3）由等差数列的性质，根据导数判断单调性与方程根的个数后求解，【详解】（1），则在处的切线为，当时，，即，所以当正整数时，；（2）作差得，令，，当时，，当时，，故在单调递增，在上单调递减，，故，所以当正整数时，；（3），令，与单调性相同，由（2）得，当时，，当时，，故至多有两解，若成等差数列，则，故最多项成等差数列，此时，．而，，令，，显然时，，故在上单调递增，而，，，故有唯一解，存在使得，此时，故存在最多项成等差数列，5．（2023·上海·高考真题）设函数，其中，若任意均有，则称函数是函数的控制函数”，且对于所有满足条件的函数在处取得的最小值记为．(1)若，试问是否为的控制函数”；(2)若，使得直线是曲线在处的切线，证明：函数为函数的控制函数，并求“”的值；(3)若曲线在处的切线过点，且，证明：当且仅当或时，．【答案】(1)是的控制函数(2)证明见解析，(3)证明见解析【分析】（1）令，利用导函数求单调性进而判断在上的正负即可；（2）利用导数的几何意义求得切线的方程，再利用导函数求单调性进而判断在上的正负即可；（3）设曲线在处的切线为，利用切线过求出与的关系，再利用控制函数的定义求解即可；【详解】（1）当时，令，所以，令解得或，所以在单调递减，又因为，所以在上小于等于0恒成立，即在上恒成立，所以由题意是的控制函数.（2）当时，，，所以，，所以曲线在处的切线为，整理得，令，则，令解得，所以在单调递增，在单调递减，又，所以在上小于等于0恒成立，即在上恒成立，所以是的控制函数，由题意.（3）由题意设在处的切线为，则，因为且，所以，所以，，所以，则即恒成立，所以函数必是函数的“控制函数”.是函数的“控制函数”此时“控制函数”必与相切与点，与在处相切，且过点，由上及知：当且仅当或时等号成立，其他位置恒有，所以或.所以曲线在处的切线过点，且，当且仅当或时，.【点睛】关键点点睛：对于第3问，利用导数求得在一点处的切线，再根据切线过点可解出与的关系.考点03利用导数研究函数的最值或单调性1．（2024·上海·高考真题）已知函数的定义域为，定义集合，在使得的所有中，下列成立的是（

）A．存在是偶函数 B．存在在处取最大值C．存在是增函数 D．存在在处取到极小值【答案】B【分析】A选项利用偶函数的性质找到矛盾即可；B选项找到合适函数即可；C选项由定义得到集合与已知条件矛盾；D选项由集合的定义找到矛盾.【详解】对于A选项：时，，当时，，任意的，恒成立，若时偶函数，此时矛盾，故A选项错误；对于B选项：若函数图像如下：当时，，时，，当，，∴存在在处取最大值，故B选项正确；对于C选项：在时，若函数严格递增，则集合的取值不会是，而是全体定义域，故C选项错误；对于D选项：若存在在处取到极小值，则在在左侧存在，，与集合定义矛盾，故D选项错误.故选：B2．（2023·上海·高考真题）公园修建斜坡，假设斜坡起点在水平面上，斜坡与水平面的夹角为θ，斜坡终点距离水平面的垂直高度为4米，游客每走一米消耗的体能为，要使游客从斜坡底走到斜坡顶端所消耗的总体能最少，则______．【答案】【分析】方法1，根据给定条件，求出斜坡长，列出总体力关于的函数，利用导数求解作答.方法2，根据给定条件，求出斜坡长，列出总体力关于的函数，借助辅助角公式求解作答.【详解】方法1：依题意，斜坡长度，因此人沿斜坡到坡顶消耗的总体力，求导得，由，得，当时，，当时，，于是函数在上单调递减，在上单调递增，所以当时，人上坡消耗的总体力最小.方法2：依题意，斜坡长度，因此人沿斜坡到坡顶消耗的总体力，由，得，即，其中锐角由确定，显然，而，则，当且仅当，即时取等号，此时，即，所以当时，人上坡消耗的总体力最小.故答案为：3．（2025·上海·高考真题）已知函数的定义域是．对于，定义集合．(1)，求；(2)对于集合，若对任意都有，则称是对称集．若是对称集，证明：“函数是偶函数”的充要条件是“对任意，是对称集”；(3)若，．求的取值范围，使得对于任意，都有．【答案】(1)(2)证明见详解(3)【分析】（1）根据对数函数的单调性即可求解；（2）根据偶函数的定义和对称集的定义即可证明必要性和充分性；（3）根据定义判断出函数单调不减，得到导函数大于等于0恒成立即可求解.【详解】（1）由定义得，.（2）证明：必要性：因为函数是偶函数，所以对任意，，对任意，若，即，则，所以，所以对任意，是对称集.充分性：若对任意，是对称集，因为对任意，，所以，即①，又，所以，即②.由①②得，对任意，，所以函数是偶函数.综上，“函数是偶函数”的充要条件是“对任意，是对称集”，得证.（3）因为对于任意，都有，所以若，则，即若，则，所以，所以在上单调不减，所以对任意，恒成立.当时，显然成立，；当时，恒成立，令，，所以在单调递减，单调递增，所以；当时，恒成立，此时因为在上单调递减，当时，，时，，所以；综上，.【点睛】关键点点睛：函数在区间上单调不减等价于导函数在区间上大于等于0恒成立.4．（2023·上海·高考真题）已知为正比例系数，定义：为建筑物暴露在空气中的面积（单位：平方米），为建筑物的体积（单位：立方米）．(1)若有一个圆柱体建筑的底面半径为，高度为，求该建筑体的（用表示）；(2)现有一个建筑体，侧面皆垂直于地面，设A为底面面积，L为建筑底面周长．已知为正比例系数，与成正比，定义：，建筑面积即为每一层的底面面积，总建筑面积即为每层建筑面积之和，值为．已知该建筑体推导得出，为层数，层高为3米，其中，试求当取第几层时，该建筑体最小？【答案】(1)(2)6【分析】（1）利用圆柱体的表面积和体积公式，结合题目中的定义求解即可；（2）利用导函数求的单调性，即可求出最小时的值.【详解】（1）由圆柱体的表面积和体积公式可得：，，所以.（2）由题意可得，，所以，令即，解得，所以在单调递减，在单调递增，所以的最小值在或取得，当时，，当时，，所以在第6层时，该建筑体最小.考点04导数的综合应用1．（2025·上海·高考真题）已知数列、、的通项公式分别为，、，.若对任意的，、、的值均能构成三角形，则满足条件的正整数有（

）A．4个 B．3个 C．1个 D．无数个【答案】B【分析】由可知范围，再由三角形三边关系可得的不等关系，结合函数零点解不等式可得.【详解】由题意，不妨设，三点均在第一象限内，由可知，，故点恒在线段上，则有.即对任意的，恒成立，令，构造函数，则，由单调递增，又，存在，使，即当时，，单调递减；当时，，单调递增；故至多个零点，又由，可知存在个零点，不妨设，且.①若，即时，此时或.则，可知成立，要使、、的值均能构成三角形，所以恒成立，故，所以有，解得；②若，即时，此时.则，可知成立，要使、、的值均能构成三角形，所以恒成立，故，所以有，解得或；综上可知，正整数的个数有个.故选：B.2．（2025·上海·高考真题）如图所示，正方形是一块边长为的工程用料，阴影部分所示是被腐蚀的区域，其余部分完好，曲线为以为对称轴的抛物线的一部分，．工人师傅现要从完好的部分中截取一块矩形原料，当其面积有最大值时，的长为__________．

【答案】【分析】建立平面直角坐标系如图所示，由已知求出抛物线方程，当时，矩形面积最大时为，当，设，即可得到关于的函数式，利用求导判断单调性，即可得到最值.【详解】由题知，以为原点，建立平面直角坐标系，如图，则，，设方程为：，所以，，方程为：，令矩形面积为，当时，，当，设，则，所以，则，令，则，在上递增，令，则或，在上递减，又，，，所以当的长为时，该矩形面积最大.

故答案为：3．（2024·上海·高考真题）记(1)若，求和;(2)若，求证:对于任意，都有，且存在，使得.(3)已知定义在上有最小值，求证"是偶函数"的充要条件是“对于任意正实数，均有”.【答案】(1)；(2)由题意知，记，有或2，02正0负0正极大值极小值现对分类讨论:当，有为严格增函数，因为，此时，符合条件;当时，，先减后增，，因为取等号)，所以，此时，符合条件，且时，；当时，，在严格增，在严格减，在严格增，，因为，此时，，则，则成立;综上可知，对于任意，都有，且存在，使得.(3)必要性:若为偶函数，则，当，因为，故;充分性：若对于任意正实数，均有，其中，因为有最小值，不妨设，由于任意，令，则，故最小元素为，中最小元素为，又则对任意成立，则，若，则对任意成立是偶函数，若，此后取，，综上，任意，即是偶函数.故"是偶函数"的充要条件是“对于任意正实数，均有”.【分析】（1）将代入求解即可；（2）根据函数的单调性，对进行分类讨论，然后求出即可证明;（3）利用偶函数的定义，即可证明必要性，利用，得出两个集合中最小的元素相同，从而，即可证明充分性.【详解】（1）由题意得:；（2）略（3）略【点睛】关键点点睛：第二问利用导数求出函数的单调性，然后对进行分类讨论求出函数的值域，第三问结合函数的奇偶性考察逻辑推理能力.一、单选题1．（2026·上海虹口·三模）已知函数是定义在上的奇函数，且，则函数的表达式可以是（

）．A． B．C． D．【答案】B【分析】因为，所以，再结合是定义在上的奇函数进行求解.【详解】因为，所以，对于A：但是不是奇函数，所以A错误；对于B：，且，定义域为，所以是奇函数，所以B正确；对于C：，是偶函数，所以C错误；对于D：,是奇函数，所以D错误；2．（2026·上海长宁·二模）已知.①存在，使得函数在上严格增；②对于任意，直线与曲线都相切且有无数个切点，每个切点的横坐标都不是函数的极值点.对于以上两个结论，下列判断正确的是（

）A．①正确，②错误； B．①错误，②正确；C．①正确，②正确； D．①错误，②错误.【答案】C【分析】利用导数的正负分析单调性，利用导数的几何意义来求切线斜率即可得到判断.【详解】对求导得：因为，对，的最小值为，若取，则，即对任意恒成立，此时在上严格递增，结论①正确；设直线与曲线的切点为,切线斜率等于直线斜率:，代入导数得，因为,故，得,切点同时在曲线和直线上：，得,同时满足的解为，对任意，都有无数个这样的切点，因此直线恒与曲线相切且有无数切点，当时，，所以每个切点的横坐标都不是函数的极值点，故结论②正确.3．（2026·上海杨浦·二模）已知函数和的定义域都为且都存在导函数.若和的零点均有且仅有，且当时恒有，则下列情形中不可能的是（

）.A．0是的极大值点，也是的极大值点B．0是的极小值点，也是的极小值点C．0是的极大值点，也是的极小值点D．0是的极小值点，也是的极大值点【答案】D【详解】对A，若取，，两个函数的零点只有，时恒有，且是两个函数的极大值点，故A可能；对B，若取，，两个函数的零点只有，时，且是两个函数的极小值点，故B可能；对C，，，两个函数的零点只有，时，且是的极大值点，也是的极小值点，故C可能；对D，若是的极小值点，结合且只有是零点，可知对任意，；又若是的极大值点，结合且只有是零点，可知对任意，；此时必有，即，与题设时不符，故D不可能.4．（2026·上海崇明·二模）已知函数，．定义集合对任意的，都有.对于所有使得的函数，有以下两个命题：①存在函数在处取极小值；②存在函数图像是连续曲线．下列判断正确的是（

）A．①②都真 B．①真②假 C．①假②真 D．①②都假【答案】A【详解】根据题意可知集合为函数的非严格单调递增区间，不妨令函数，易知,因此当时，，当或时，，可知在上单调递增，在和上单调递减，此时函数满足在上单调递减，满足题意，即存在函数在处取极小值，且是连续曲线，因此①②都真.5．（2026·上海·三模）定义在的函数满足，其中常数、、均为正数，是的导函数，则的图象可能是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】分析导数的符号变化，利用函数单调性与导数的关系逐项判断即可.【详解】因为定义在的函数满足，其中常数、、均为正数，所以，令可得，结合四个选项可知，对任意的，，当时，，此时函数单调递增，当时，，此时函数单调递减，对于A选项，如下图所示：由图可知，当时，，即函数在上单调递增，当时，，即函数在上单调递增，即是函数的极大值点，事实上，不是函数的极大值点，A选项不符合要求；对于B选项，如下图所示：设直线与函数图象交点的横坐标为，由图可知，当时，，，即函数在上单调递增，当时，，，即函数在上单调递减，事实上，函数在上单调递增，矛盾，B选项不符合要求；对于C选项，由图可知，对任意的，，则，即函数在上单调递增，由可知，当在上单调递增，在上单调递减，由图可知，函数在上单调递增，且函数的增长速度先越来越快，后越来越慢，则其导函数先递增再递减，矛盾，C选项不符合要求；对于D选项，由图可知，对任意的，，则，所以函数在上单调递增，且的增长速度越来越慢，由可知，当在上单调递增时，在上单调递减，D选项符合要求.6．（2026·上海·三模）已知函数在上可导，其导函数为，设对任意实数，与均成立；对任意正数，都有对任意实数恒成立，则是的（

）A．充分非必要条件 B．必要非充分条件C．充要条件 D．既非充分又不非必要条件【答案】A【分析】利用函数的导数性、不等式的性质结合充分条件和必要条件的定义判断可得出结论.【详解】若与均成立，则对任意正整数，都有，即，充分性成立；当时，，，，；所以恒成立；但是并不满足恒成立，所以由不能推出，必要性不成立，因此，是的充分非必要条件，故选：A.二、填空题7．（2026·上海·三模）已知，则________．【答案】【分析】对求导，再将代入计算即可.【详解】，所以，，所以为.8．（2026·上海虹口·三模）如图所示，某公园有一块半径为1千米、圆心角为直角的扇形游乐景观，若公园主办方计划在弧上选取一点，在扇形内保留游乐景观，并修建三条观光道、和（其中，）．若观光道每千米可带来收益3万元，扇形的游乐景观每平方千米需投入维护成本1万元，则当扇形区域为公园产生的净收益取得最大值时，_____________度．（结果精确到0.1度）【答案】【分析】设，根据题意表示出公园产生的净收益为，利用导数分析函数的单调性，进而求解即可.【详解】由题意，设，由于扇形的半径为1，，则，，所以公园产生的净收益为，则，令，得，而，则（近似值），即此时函数单调递增；令，得，而，则（近似值），即，此时函数单调递减，则扇形区域为公园产生的净收益取得最大值时，.9．（2026·上海·三模）已知，函数在区间有10个零点与10个极值点，则的取值范围是________．【答案】【分析】利用正弦型函数性质，函数的导数，结合函数在给定区间的零点个数以及极值点个数建立不等式求解即可.【详解】令，令，因为，所以，即，所以方程变为：，若函数在区间有10个零点，则等价于函数与函数在上有10个交点，则需满足，解得：，由，令，即，由，则，又，所以要使函数在区间有10个极值点，即方程在上有10个实数解，则需满足，解得：，所以函数在区间要有10个零点与10个极值点，则的取值范围是.10．（2026·上海徐汇·二模）若函数在处的切线方程为，则__________.【答案】【详解】根据导数的定义，函数在处的导数为：，根据导数的几何意义，就是函数在该点处切线的斜率，因为在处的切线方程为，所以切线斜率为，所以.11．（2026·上海杨浦·二模）掷实心球时，将轨迹视为抛物线的一部分，设实心球离手位置在起掷点O正上方2米，出手角度即抛物线在该处切线与水平地面所成角，如图所示.已知实心球轨迹最高点距离地面3米，若要成绩不小于10米（实心球落地点到起掷点的距离），则出手角度的最大值为______.（精确到0.1°）.

【答案】【分析】建立平面直角坐标系，设抛物线方程，利用已知点坐标结合已知条件，求出的范围；对抛物线方程求导得到斜率表达式，结合条件得到，进而求出即可.【详解】

以最高点为坐标原点，以水平向右为轴正方向，以竖直向下为轴正方向，建立平面直角坐标系，设抛物线方程为.则，.由题意得，即，所以，取.又，则.易知为锐角，所以，所以.故出手角度的最大值为.12．（2026·上海闵行·二模）已知，若不等式的解集中有且仅有两个整数，则的最小值为______.【答案】【分析】先根据不等式结合符号法计算，再构造函数令，再应用导函数正负得出函数单调性进而得出最值，最后分类讨论结合有且仅有两个整数列式计算求解.【详解】因为不等式，则或，即得(1)或(2)，令，，所以当单调递增；当单调递减；所以，因为，且，所以时，，当时，(1)无解，(2)有两个整数解1和2，所以满足题意；当时，(1)有一个整数解3，(2)有两个整数解1和2，所以时有三个整数解不满足题意；当时，(1)有一个整数解3，(2)有一个整数解1，所以满足题意；当时，(1)至少有两个解3和4，(2)至少有一个整数解1，所以时有至少三个整数解不满足题意；当时，(1)整数解无限，(2)无解，所以时有无数个整数解不满足题意；综上，符合解集中有且仅有两个整数，则的范围是，所以的最小值为.13．（2026·上海·三模）已知曲线在处的切线与直线平行，则实数的值为___________．【答案】3【分析】先求出曲线的导数，再利用导数的几何意义求出处切线的斜率，最后利用平行直线斜率相等求出实数．【详解】，求导得，曲线在处的切线斜率，曲线在处的切线与直线即平行，．故答案为：3．14．（2026·上海黄浦·三模）已知是定义在上的可导函数，若，则________.【答案】1【分析】根据导数的定义进行求解即可.【详解】根据导数的定义可得.因为，所以.则由导数的定义可得.故答案为：1.三、解答题15．（2026·上海黄浦·三模）设，已知函数，其中．(1)若，当时，讨论的单调性，并求使存在零点的的取值范围；(2)当时，若对任意的，恒成立，求实数的取值范围．【答案】(1)在上单调递减，在上单调递增；实数的取值范围是(2)【分析】（1）首先求出导函数，根据构造函数，根据研究的单调性；根据以上单调性分析的大致图象，根据其与直线有交点可得结果.（2）构造函数，根据导数研究恒成立问题.【详解】（1）当时，，其定义域为，且.令，则，所以在上单调递增，所以在上是增函数，而，所以当时，，单调递减；当时，，单调递增.综上，在上单调递减，在上单调递增.因为在处连续，由上知在处取得极小值，也是最小值，为.当（从右侧趋于）时，；当时，且的增长速度比快很多，所以.由存在零点知的图象与直线有交点，由上知，即实数的取值范围是.（2）令，则，令，则.因为，，所以，所以，即在上单调递增，所以.（i）当，即时，，在上单调递增，所以，即，满足题意；（ii）当，即时，，，若，则，在上单调递减，所以，即，不满足题意；若，则，使得，当时，，单调递减，所以，即，不满足题意.综上，实数的取值范围是.16．（2026·上海虹口·三模）设．(1)解不等式：；(2)若恒成立，求实数的取值范围．【答案】(1)(2)【分析】（1）先求定义域和单调性，再根据单调性解不等式.（2）先对不等式进行化简，然后分离参数，将问题转化为求函数的最值问题.【详解】（1）的定义域为且在单调递增.，，解得.故不等式的解集为.（2）.恒成立等价于恒成立，，.令，.令，则，在单调递减.又，时，，即，在单调递增，时，，即，在单调递减.，，即的取值范围是17．（2026·上海徐汇·二模）已知函数与函数的定义域均为，且在上的导函数分别为和.若存在常数，使得对任意实数恒成立，则称是的“调整函数”，并称为调整系数.(1)设.求证：是的“2-调整函数”；(2)设.若存在实数，使得是的“调整函数”，求调整系数的取值范围；(3)已知是的“1-调整函数”，函数的值域是一个闭区间，记作集合，函数的值域记作集合.若，判断是否一定是常值函数，并说明理由.【答案】(1)因为，所以.所以所以是的“2-调整函数”；(2)(3)不一定是常值函数.例：令，，，.此时函数的值域是一个闭区间，为集合，函数的值域为集合，满足.又，满足对任意实数恒成立，即满足是的“调整函数”，此时不是常值函数.【分析】（1）对分别求导，并根据是的“k-调整函数”的定义判断即可；（2）对分别求导，根据是的“k-调整函数”的定义，得恒成立，时显然成立；当时，设，利用导数，分和两种情况分析，可得.并分析此时时，满足题意，即可确定的取值范围；（3）对题意所述函数举出实例说明不一定是常值函数即可.【详解】（1）略（2）由，得.由于是的“调整函数”，那么存在常数，使得恒成立，即，即.因为存在实数，满足上式，所以，即.1)若，则成立；2)若，则，所以，且.设，则在单调递增.当时，因为，所以存在，当时，，单调递增，所以当时，，不满足题意；当时，，，所以，在上单调递减，所以恒成立.3)当时，对，恒成立.综上，调整系数的取值范围是.（3）略18．（2026·上海静安·二模）已知函数（且）．(1)当时，求函数的极值；(2)若直线是曲线的一条切线，求的值和切点的坐标；(3)若函数的图像与的图像相交于相异两点和，求的取值范围．【答案】(1)极大值，无极小值(2)，切点坐标为(3)的取值范围【分析】（1）求导找单调性变化点，进而确定极值；（2）先求导得到切线斜率公式，再根据“切点在曲线、切线上，且切线斜率等于导数”列三个方程，联立消元求解，试根得到切点横坐标，最终算出和切点坐标；（3）将两函数交点问题转化为方程根的问题，用导数分析函数单调性，再根据零点存在性求参数范围．【详解】（1）当时，，的定义域为，，令，得，当时，，单调递增；当时，，单调递减．所以在处取极大值，无极小值．（2），设切点为，切线的斜率为，所以①，因为切点同时在曲线和切线上，所以②，由①得③，由②得④，③④得⑤，将⑤代入②中得，即⑥，设，，令，由，得，单调递增，又，所以时，，单调递减，时，，单调递增，又，所以是的唯一零点，即方程⑥的根，代入⑤得，切点坐标为．（3）令，即，整理得，问题转化为在有个不同正根，令，，若，则，在单调递增，最多个零点，不符合题意，若，令，得，当时，，单调递减，当时，，单调递增，要使有个不同零点，需满足极小值小于（当和时，满足题意），所以，解得，所以的取值范围．19．（2026·上海嘉定·二模）已知在神经网络中，常作为神经元激活函数．(1)证明：对任意实数x，有，并由此写出图像的对称中心；(2)设交叉熵损失函数，用于衡量预测值与真实标签t之间的差异，其中．试确定t的值，使得在上是减函数；(3)在深度神经网络中，信号经过多层传播可抽象为一个迭代过程．设数列满足，其中n为正整数．证明：存在唯一实数，使得，且对任意实数和任意正整数n，都有．【答案】(1)由​，得​，求和可得：，则对任意实数x，有，即图像的对称中心为：；(2)(3)构造，，则，所以在上单调递减，又因为，，且在上连续递减，结合零点存在定理，可知存在唯一实数，使得，再由，当且仅当时取等号，根据拉格朗日中值定理，对任意有：，又因为，，所以对任意，恒有不等式成立，则由迭代法，结合不等式性质可得：，因为，即，，所以，因此，即问题得证.【分析】（1）利用中心对称性恒等式进行证明即可；（2）利用求导，结合不等式恒成立可确定参数取值；（3）利用拉格朗日中值定理，构造递推数列关系，结合迭代法可证明不等式.【详解】（1）略（2）由题意可得：，求导得：，要使得在上是减函数，则，因为，所以，即，又因为，所以；（3）略20．（2026·上海奉贤·二模）设定义域为的函数的表达式为，我们可以证明函数存在唯一的零点，设该零点为r．如图，过点作函数的切线与轴的交点为，设横坐标为，若，则过点作函数的切线与x轴的交点为，设横坐标为；若，则停止作切线．…依次类推，得到数列，记，．(1)若，，求；(2)求证：数列是严格递减数列；(3)若，比较与的大小，并说明理由．【答案】(1)(2)证明：设，，，，所以，，则直线为.令，则.，因为，且，所以，所以数列是严格递减数列.(3)，理由如下：当时，，，令，则，令.所以.构造函数，令，，求导，构造函数，，所以单调递增，且，所以，所以函数在上单调递增，当，，根据零点存在定理，存在唯一的使得，所以结合数列的单调递减性，当，，此时；当，，此时；当，，此时.【分析】（1）根据导数的几何意义建立切线方程，直接代入即可.（2）根据切线方程构造递推公式作差，再通过零点与交点横坐标的关系化简即可证明.（3）先将条件作差，再将递推公式代入化简，构造函数，通过求导分析函数单调性，最后确定零点，可判断大小.【详解】（1）已知，，当，，设切线斜率为，则，直线为，令，.（2）略（3）略21．（2026·上海崇明·二模）设函数．(1)若，求的图象在处的切线方程；(2)若在上恒成立，求a的取值范围；【答案】(1)(2)【分析】（1）对函数求导，求出切线斜率和切点坐标，进而求得切线方程.（2）对函数求导，判断单调性求出最小值，分两种情况讨论求解不等式恒成立时的范围.【详解】（1）时，，对函数求导得.所以.所以的图象在处的切线方程为，即.（2）由得.因为在上单调递增，所以.若，则在上恒成立，所以在上单调递增，又，所以在上恒成立，若，令得或，且.当时，，单调递减，所以，与在上恒成立矛盾，综上所述，的取值范围是.22