专题2.4函数的单调性（教师版）

专题2.4函数的单调性TOC\o"1-3"\t"正文,1"\h【考点1：定义法判断或证明函数的单调性】 2【考点2：求函数的单调区间】 5【考点3：根据函数的单调性求参数值】 9【考点4：根据图像判断函数单调性】 13【考点5：复合函数的单调性】 16【考点6：根据函数的单调性解不等式】 19【考点7：比较函数值的大小关系】 23【考点1：定义法判断或证明函数的单调性】1．（3.1.2函数的单调性（第1课时）随堂检测）判断函数在上的单调性，并用函数单调性的定义来证明.【答案】在上是增函数，证明见解析【分析】先利用特殊值法猜想的单调性，再利用函数单调性的定义，结合作差法即可得证.【详解】对于，令，得，故猜想在上是增函数，证明如下：任取，且，则，因为，所以，，，所以，即，因此在上是增函数.2．（重难点专题1-2抽象函数的赋值计算与模型总结【15类题型】）函数的定义域为，对于，，，且当时，，证明：为减函数.【答案】证明见解析【分析】由结合单调性的定义证明．【详解】设，且，则，，因为，所以，即为减函数3．（25-26高一下·山东潍坊·期中）已知函数满足，.(1)求(2)用定义法判断在上的单调性，并求在上的值域.【答案】(1)(2)在上单调递减，在上的值域为【分析】（1）利用换元法求解函数的解析式；（2）利用定义法证明的单调性，并求解值域.【详解】（1）令，则，将其代入得，将替换为，得；（2）任取，且，则因为，所以，因为，所以，即分母恒成立，因此，即，所以在上单调递减。由单调性可知，在上单调递减，最大值在左端点处取得：最小值在右端点处取得：所以在上的值域为.4．（25-26高一上·河南南阳·期中）已知函数，函数.(1)求函数的解析式；(2)试判断函数在区间上的单调性，并用函数单调性定义证明.【答案】(1)(2)函数在区间上单调递减.证明：任取，，且.则，又因为，所以，，则，∴，即，∴函数在区间上单调递减.【分析】（1）利用换元法即可求解，（2）根据函数单调性的定义即可求解.【详解】（1）令，则，∴，∴，即，∴.（2）函数在区间上单调递减.证明：任取，，且.则，又因为，所以，，则，∴，即，∴函数在区间上单调递减.5．（25-26高一上·广东广州·期末）已知函数是奇函数，且．(1)求函数的解析式；(2)判断函数在区间上的单调性，并用函数单调性的定义证明你的结论．【答案】(1)(2)函数在区间上单调递减，证明见解析【分析】（1）由函数是奇函数得，结合，建立方程计算即可求解；（2）根据函数单调性的定义，即可证明.【详解】（1）函数的定义域为，因为函数是奇函数，所以，因为，则，解得，所以函数的解析式为；（2）函数在区间上单调递减，证明如下：设，且，，因为，且，所以，，，所以，即，所以函数在区间上单调递减.【考点2：求函数的单调区间】1．（25-26高一上·重庆·期末）函数的单调递减区间为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】将函数化为分段函数，作图即可求解.【详解】，作出函数图象，如图：所以函数的单调递减区间为.故选：C.2．（25-26高二下·重庆渝中·期末）（多选）设函数，则（

）A．的递增区间是 B．的递减区间是C．的值域是 D．的值域是【答案】AC【分析】先确定函数定义域为，分和两段求导分析单调性，再结合单调性求值域，逐项判断即可.【详解】由题意得的定义域为.当时，，求导得，当时，，单调递增；当时，，单调递减；所以在处取得最小值，所以当时，.当时，，求导得，所以在上单调递减.当时，，，则，当时，，，则，所以当时，，综上，可得的递增区间为，A正确；的递减区间是和，B错误；的值域为，C正确，D错误.3．（25-26高一上·上海·期末）函数是定义在上的偶函数，当时，，则函数在上的单调减区间为__________.【答案】，【分析】根据二次函数的性质求出函数在上的单调性，再由偶函数的性质求出函数在上的单调性，即可得解.【详解】因为当时，，所以在上单调递减，在上单调递增；又函数是定义在上的偶函数，所以在上单调递减，在上单调递增；综上可得的单调减区间为，故答案为：，4．（25-26高一上·重庆·期末）已知函数.(1)求的值；(2)画出函数的图象，并写出函数的单调递增区间.【答案】(1)(2)图象见解析；.【分析】（1）根据分段函数计算函数值；（2）先画出函数图象，再根据函数图象判断函数的单调递增区间.【详解】（1）；（2）由图象知函数的单调递增区间为.5．（25-26高一上·甘肃庆阳·期末）已知函数是定义在上的偶函数，且当时，.(1)画出的图像；(2)求的解析式；(3)写出函数的单调递增区间和单调递减区间.（不需要说明理由）【答案】(1)答案见解析(2)(3)单调递增区间为，，单调递减区间为，.【分析】（1）利用偶函数的像关于轴对称可画出的图像；（2）利用根据偶函数的定义可求解析式；（3）利用函数的图像与的图像的关系可求得函数的单调递增区间和单调递减区间.【详解】（1）由偶函数的图像关于轴对称画出的图像如图所示：（2）因为函数是定义在上的偶函数，所以，令，则，所以，所以；（3）由（2）可得可得函数的单调递增区间为，，单调递减区间为，.【考点3：根据函数的单调性求参数值】1．（25-26高二下·天津·阶段检测）函数在区间上单调递减，则a的取值范围为________【答案】【分析】先求解函数的定义域，再利用复合函数“同增异减”的单调性规则，结合二次函数的性质确定的取值范围．【详解】由已知，，解得或，所以函数的定义域为，令，其对称轴为，结合函数定义域可知，在上单调递减，在上单调递增，因为在上单调递增，根据复合函数“同增异减”原则，要使函数在区间上单调递减，则函数也要在区间上单调递减，且，所以，所以2．（江西吉安市2025-2026学年高二下学期期末教学质量检测数学试题）已知函数在R上单调递增，则实数a的取值范围是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据分段函数单调性，列出各段为增函数的条件，并注意两段分界处的关系，即可求解.【详解】要使分段函数在上单调递增，需要满足三个条件：（1）在上单调递增，当时，，因为在上单调递增，所以要使在上单调递增，须满足；（2）在上单调递增，当时，，，，要使在上单调递增，必须满足在时恒成立，即：，，因为，所以，所以，即；（3）为了保证函数在整个上单调递增，必须满足处的左极限小于等于处的右极限，当时，，需满足，解得：；综上所述：.3．（第03讲函数的单调性（暑假预习讲义）新高一年级数学苏教版）已知函数与．(1)若，求k的值；(2)若两函数在区间上都是增函数，求实数k的取值范围．【答案】(1)(2)【分析】（1）由已知可得，进而可得，求解即可；（2）利用二次函数的单调性和反比例函数的单调性可求得实数k的取值范围.【详解】（1）因为，所以，又，所以，又所以，所以，解得或（舍去），所以；（2）对于函数，它是二次函数，开口向下，对称轴为，因为在区间上是增函数，所以且；对于函数，它是反比例函数向左平移2个单位得到的，当时，在和上单调递减；当时，在和上单调递增；由在区间上是增函数，所以；综上所述：实数k的取值范围为.4．（25-26高一上·广东江门·期末）已知是定义域为的奇函数，当时，.(1)求函数在上的解析式；(2)若函数在区间上单调递减，求实数的取值范围.【答案】(1)(2)或.【分析】（1）当时，有，故可代入中，结合奇函数的性质即可得时函数解析式，又定义域为，故，即可得函数在上的解析式；（2）求出函数在时的单调性，由为奇函数，即可得时单调性，即可得实数的取值范围.【详解】（1）当时，有，又为定义在上的奇函数，故，故，即当时，，即；（2）当时，，故在上单调递增，在上单调递减，又为奇函数，故在上单调递减，在上单调递增，若函数在区间上单调递减，则或，即或.5．（25-26高一上·上海·期末）已知为常数.(1)若为偶函数，求的值；(2)若函数为单调函数，求实数的取值范围.【答案】(1)；(2)或.【分析】（1）利用偶函数的定义求出参数值.（2）化函数为分段函数，按分类求出的单调区间，再结合已知求出参数范围.【详解】（1）函数的定义域为R，由是偶函数，得，则，即，整理得，而不恒为0，所以.（2），当时，函数在上单调递减，在上单调递增，而函数在上单调，则或，因此或；当时，函数在上单调递减，在上单调递增，而函数在上单调，则或，因此；当时，函数在上单调递减，在上单调递增，显然，函数在上单调递增，因此，所以实数的取值范围是或.【考点4：根据图像判断函数单调性】1．（25-26高三下·青海西宁·阶段检测）（多选）已知函数的图象如图所示，则（

）A．在区间上单调递减B．在区间上单调递增C．在区间上单调递减D．在区间上单调递增【答案】AD【分析】利用数形结合思想即可判断.【详解】由图可知函数在区间和上单调递增，在区间和上单调递减．故AD选项正确．2．（25-26高一上·甘肃武威·期中）（多选）（多选）已知函数，的图象如图所示，则下列说法正确的是（

）A．是函数的单调递增区间B．是函数的单调递减区间C．函数在上单调递增D．函数在上单调递减【答案】ABD【分析】利用函数图象得到单调性判断A，B，利用单调区间不能用并集符号连接判断C，D即可.【详解】对于A，根据函数图象可知函数在上单调递增，故A正确，对于B，根据函数图象可知函数在上单调递减，故B正确，由图象可知，，因此不能说函数在上单调递增，C错误；由于函数在时有定义，由图象可知，则为函数的一个单调递减区间，故函数在上单调递减，D正确．.故选：ABD.3．（25-26高二上·新疆喀什·期末）（多选）如图所示是函数的图象，下列说法正确的是（

）

A．B．是的一个零点C．在区间上是增函数，在区间[1，4]上是减函数D．【答案】BC【分析】根据函数的图象进行分析，从而确定正确答案.【详解】A选项，图象没有给出的值，所以A选项错误.B选项，由图可知，所以是的一个零点，所以B选项正确.C选项，由图可知在区间上是增函数，在区间[1，4]上是减函数，所以C选项正确D选项，由图可知，所以，所以D选项错误.故选：BC4．（25-26高一上·山东聊城·期中）（多选）如图是定义在区间上的函数，则下列关于函数的说法正确的是（

）A．函数在区间上单调递增B．函数在区间上单调递增C．函数在区间上单调递减D．函数在区间上不是单调函数【答案】ABD【分析】根据函数的图象，即可得出函数的单调性，说明A、B、D项；结合具体点的大小，即可说明C项.【详解】对于A项，由图象可知，函数在区间上单调递增，故A项正确；对于B项，由图象可知，函数在区间上单调递增，故B项正确；对于C项，由图象可知，函数在区间上单调递减，在区间上单调递减，但是，所以函数在区间上不是单调递减的，故C项错误；对于D项，由图象可知，函数在区间上有增有减，所以，函数在区间上不是单调函数，故D项正确.故选：ABD.5．（2026高三·全国·专题练习）函数的图像如图所示，则函数的单调递减区间是_______.【答案】【分析】根据题意，由函数的图像和对数函数的性质，结合复合函数单调性的判定方法，即可求解.【详解】由函数的图像，可得在上单调递减，在上单调递增，令，可得在上单调递增，要使得函数单调递减，则满足或，因为，解得或，所以函数的单调递减区间.【考点5：复合函数的单调性】1．（25-26高一上·甘肃兰州·期中）函数的单调增区间是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据对数函数的定义域、单调性以及复合函数的单调性求解即可.【详解】函数有意义，则，解得.令，开口向下，对称轴为.则函数在上单调递增，在上单调递减.函数关于是单调递减，根据复合函数"同增异减"，要求原函数的增区间，等价于求内层的减区间，即.2．（25-26高一上·湖南常德·期末）设函数，，则函数的单调递减区间为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用对数型函数的定义域和单调性，结合内函数为二次函数的单调性，可判断单调递减区间.【详解】由，由定义域可知：，结合二次函数的对称轴，可知：在上单调递增，在上单调递减，因为，所以函数的单调递减区间为.故选：D3．（25-26高一下·辽宁沈阳·阶段检测）函数的单调递增区间是______．【答案】和.【分析】根据复合函数的单调性即可求出答案.【详解】令，函数在上单调递减，在上单调递增，当时，函数在上单调递减，在上单调递增，当时，函数在上单调递增，在上单调递减，所以函数的单调递增区间为和.4．（25-26高一下·江苏盐城·开学考试）函数的单调递增区间是________.【答案】【分析】由对数函数的真数大于0求得函数定义域，再利用复合函数的单调性原理得答案．【详解】由，得或．函数的定义域为．令，其图象开口向上且对称轴方程为，且在上为减函数，而函数是定义域内的减函数，函数的单调递增区间是．5．（25-26高一下·全国·期末）（1）在上的单调递减区间为________；（2）的单调递减区间为__________.【答案】和【详解】（1）因为，令，解得，则的单调递减区间为，令，，则，所以在上的单调递减区间为和.（2）令，解得，可知的定义域为，因为在定义域内单调递增，且在内单调递增，在内单调递减，可得在内单调递增，在内单调递减，所以函数的单调递减区间为.【考点6：根据函数的单调性解不等式】1．（25-26高二下·天津津南·阶段检测）已知函数是定义在上的函数，且满足，，当时，，则不等式的解集为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用偶函数的定义求出参数的值，再根据函数单调性列出不等式组求解即可.【详解】由题意知，函数是定义在上的偶函数，则，解得，因为，当时，有,所以函数在区间上单调递减，则由，得,解得，即，所以不等式的解集是2．（25-26高二下·天津南开·期末）设函数，则满足的实数的取值范围是__________．【答案】【分析】记，然后判断的单调性和奇偶性，再利用这些性质求解抽象不等式即得.【详解】记，定义域为，因为，所以为偶函数，因为当时，单调递增，由复合函数性质可知单调递增，又在上单调递增，所以在上单调递增，则不等式，平方得，解得，即.3．（25-26高二下·黑龙江齐齐哈尔·阶段检测）已知函数，函数是奇函数．(1)求实数a的值；(2)若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围．【答案】(1)(2)【分析】（1）通过求解，并验证即可；（2）由函数的单调性和奇偶性，通过去“”法，结合分离参数、基本不等式求最值，即可求解.【详解】（1）因为的定义域为，且函数是奇函数，由，得，则，经检验是奇函数，满足题意，故．（2）由解析式可知在上单调递增，且为奇函数，∴由恒成立，得，所以，时恒成立，即在上恒成立，令，，则又，当且仅当，即时取等号，所以实数的取值范围为．4．（天津市部分区2025--2026学年高二下学期期末数学试题）已知函数，且．(1)求实数的值；(2)判断的单调性；(3)若关于的不等式恒成立，求实数的取值范围．【答案】(1)(2)在上单调递减(3)【分析】（1）利用对数运算即可求解；（2）根据复合函数的单调性直接判断即可；（3）结合函数单调性直接求解恒成立的不等式即可.【详解】（1）由题知，，则，所以.（2）由（1）可知，，则定义域为，令，，，因为在上单调递增，在上单调递减，从而在上单调递减.（3）因为不等式恒成立，又由（2）知，在上单调递减，所以恒成立，即，设，令，可知，则可得，当，即时，最小值为，所以．5．（25-26高一上·福建泉州·期中）已知函数是定义在上的奇函数．(1)求函数的解析式；(2)判断函数在定义域上的单调性，并用定义加以证明；(3)解不等式：.【答案】(1)(2)在上单调递增.

证明如下：任取且，，，且，，，所以，即，

所以在上单调递增.(3)【分析】（1）利用奇函数的性质即可求出函数的解析式；（2）利用函数单调性的定义证明即可；（3）结合函数的单调性以及奇函数的性质将问题转化为，解不等式即可求解.【详解】（1）是定义在上的奇函数，，则，

又，则.

.（2）略（3）在上是奇函数且单调递增，由得

，

，解得：

，

不等式的解集为.【考点7：比较函数值的大小关系】1．（25-26高二下·天津河西·期末）已知，，，则，，的大小关系为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据指数函数、对数函数的单调性求解.【详解】因为，，，所以.2．（25-26高二下·天津·阶段检测）已知函数定义域为R，满足，对于，，且，都有，则（

）A． B．C． D．【答案】A【详解】已知，故是偶函数，则，又，，且，都有，故在上单调递减，又，则，即．3．（2026·天津滨海新区·三模）已知实数满足，，，则的大小关系为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】先构造函数确定的取值范围，再利用指数函数单调性比较与的大小，结合对数函数性质判断的符号，最终得到三者大小关系．【详解】令，因为是上的增函数，是R上的减函数，所以为上的单调递增函数，计算得，，由零点存在性定理可得方程得解，由，得，所以，又为上的单调递减函数，在上单调递增，所以，，所以．4．（25-26高二下·福建泉州·阶段检测）设，，，则a，b，c的大小关系为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】通过构造函数，利用导数判断其单调性，根据单调性比较其大小.【详解】设，则，令，得.当时，，所以在上单调递减，由，且，所以，即.令，所以，设，，令，得，当时，，所以在上单调递减，因为，所以.又为增函数，所以，即，所以.5．（25-26高二下·湖北·期末）已知，，，则（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】构造函数，利用导数确定单调性并比较大小.【详解】令函数，求导得，函数在上单调递增，则，即当时，，因此，即；令函数，求导得，令函数，求导得，而函数在上均单调递减，则函数在上单调递减，，于是存在，使得，当时，；当时，，函数，即在上单调递增，在上单调递减，而，，因此，函数在上单调递增，因此，即，即，所以.一、单选题1．（25-26高一下·山西长治·期末）下列函数中既是偶函数，又在上单调递增的是（）A． B． C． D．【答案】B【详解】对于A，的定义域为，函数为非奇非偶函数，不符合题意；对于B，的定义域为R，满足，函数为偶函数，当时，单调递增，符合题意；对于C，在上单调递减，不符合题意；对于D，在上单调递减，不符合题意.2．（25-26高二下·云南昭通·阶段检测）已知，，，则，，的大小关系是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由指数函数与对数函数的单调性以及中间值0，1进行比较即可.【详解】因为，，，所以.3．（25-26高二下·北京·阶段检测）已知函数，则是（

）A．偶函数，且在上是增函数 B．奇函数，且在上是增函数C．偶函数，且在上是减函数 D．奇函数，且在上是减函数【答案】D【详解】函数的定义域为，，所以函数为奇函数，又，因为在上是增函数且，所以在上是增函数，所以在上是减函数，所以在上是减函数，4．（25-26高二下·广东揭阳·阶段检测）已知函数在区间单调递增，且，则（）A． B．C． D．【答案】B【分析】运用题目条件将其化为比较x的取值【详解】由题目可知在内，x值越大，函数值就越大，因为，且，所以.又因为，所以.因为，所以，因此，故B选项正确.5．（25-26高二下·河北衡水·期末）函数，若对任意，（），都有成立，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】应用已知结合单调性定义得出单调递减，再应用分段函数单调性列式计算求解.【详解】设，因为对任意，都有成立，所以对任意，都有成立，即对任意，都有成立．因为，所以函数，在上单调递减，所以，解得，即实数的取值范围是．6．（25-26高二下·云南昭通·阶段检测）已知为上的奇函数，，若对，，当时，都有，则不等式的解集为（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】由题设可推导出，当时，，令并判断其单调性、奇偶性，进而利用不等式性质求不等式的解集.【详解】由，得，因为，，所以，即，设，则在上单调递减，而，则，解得；因为为上的奇函数，所以，则为上的偶函数，故在上单调递增，而，则，解得；当时，，故该点不在解集内.综上，原不等式的解集为.二、多选题7．（25-26高一下·广东汕头·阶段检测）函数的图象（

）A．关于原点对称 B．关于轴对称C．在上单调递增 D．在上单调递减【答案】AC【详解】因为函数的定义域为，定义域关于原点对称，又，所以，所以函数为奇函数，图象关于原点对称，故A正确，B错误；因为函数和函数在上均为增函数，所以在上单调递增，故C正确，D错误.8．（24-25高二下·山东聊城·期中）定义在上的函数，已知是它的导函数，且恒有成立，则有（

）A． B．C． D．【答案】CD【分析】根据不等式结构特征构造函数，研究该函数的单调性即可求解.【详解】令，则.由已知可得，即在上单调递减．所以，故，，即C、D选项正确．