第二章§2.9函数的图象

§2.9函数的图象考试要求1.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法等)表示函数.2.会画简单的函数图象.3.会运用函数图象研究函数的性质，解决方程解的个数与不等式解的问题.1.利用描点法作函数图象的步骤：列表、描点、连线.2.利用图象变换法作函数的图象(1)平移变换(2)对称变换①y=f(x)y=-f(x).②y=f(x)y=f(-x).③y=f(x)y=-f(-x).④y=ax(a>0，且a≠1)y=logax(a>0，且a≠1).(3)翻折变换①y=f(x)y=|f(x)|.②y=f(x)y=f(|x|).1.判断下列结论是否正确.(请在括号中打“√”或“×”)(1)函数y=|f(x)|为偶函数.(×)(2)函数y=f(1-x)的图象，可由y=f(-x)的图象向右平移1个单位长度得到.(√)(3)函数y=f(x)与y=f(x+1)的值域相同.(√)(4)函数y=f(x)的图象关于y轴对称即函数y=f(x)与y=f(-x)的图象关于y轴对称.(×)2.函数y=-1x答案C解析函数y=-1x−1的定义域为(-∞，1)∪(1，+∞)，B，当x=2时，y=-1，A选项排除，故C正确.3.函数f(x)=xx答案B解析函数f(x)=xx2−9的定义域为(-∞，-3)∪(-3，3)∪(3，而f(-x)=−x(−x)2−9=-所以f(x)是奇函数，图象关于原点对称，排除D；当x>3时，f(x)>0，排除C；当0<x<3时，f(x)<0，排除A，故B正确.4.函数y=f(x)的图象与y=ex的图象关于y轴对称，再把y=f(x)的图象向右平移1个单位长度后得到函数y=g(x)的图象，则g(x)=.

答案e-x+1解析由题意可知f(x)=e-x，把y=f(x)的图象向右平移1个单位长度后得到g(x)=e-(x-1)=e-x+1的图象.谨记三个图象变换的注意点(1)“左加右减”只针对x本身，与x的系数没有关系，如从y=f(-2x)的图象到y=f(-2x+1)的图象是向右平移12个单位长度，即将x变成x-1(2)“上加下减”只针对函数值f(x).(3)对称变换的对称是指两个函数的图象特征，而与奇偶性有关的对称，是指一个函数图象自身的特征.题型一作函数的图象例1作出下列各函数的图象：(1)y=2x(2)y=x2-2|x|-3；(3)y=12解(1)原函数解析式可化为y=2+1x−1，故函数图象可由函数y=1x的图象向右平移1个单位长度，再向上平移(2)y=x2-2|x|-3=x2−2(3)y=12x−1|-1，其图象可看作由函数y=12而y=12x=12x,x≥0,2x,x<0,其图象可由y=1思维升华函数图象的常见画法及注意事项(1)直接法：对于熟悉的基本函数，根据函数的特征描出图象的关键点，直接作图.(2)转化法：含有绝对值符号的，去掉绝对值符号，转化为分段函数来画.(3)图象变换法：若函数图象可由某个基本函数的图象经过平移、伸缩、翻折、对称得到，则可利用图象变换作图.(4)画函数的图象一定要注意定义域.跟踪训练1作出下列各函数的图象：(1)y=|x2-4x-5|；(2)y=|log2(x+1)|.解(1)y=|x2-4x-5|的图象可由函数y=x2-4x-5的图象保留x轴上方的部分不变，将x轴下方的部分翻折到x轴上方得到，如图所示.(2)y=|log2(x+1)|，其图象可由y=log2x的图象向左平移1个单位长度，再保留x轴上方部分不变，将x轴下方部分翻折到x轴上方得到，如图所示.题型二函数图象的识别例2(1)(2025·天津)已知函数y=f(x)的图象如图所示，则f(x)的解析式可能为()A.f(x)=xB.f(x)=xC.f(x)=xD.f(x)=x答案D解析由题图可知，该函数为偶函数，而函数f(x)=x1−x和函数f(x)=xx−1为奇函数，故又当x∈(0，1)时，1-x2>0，x2-1<0，此时f(x)=x1−x2>0，f(x)=xx2−1<0，由题图可知当x∈(0，1)时，f(x)<0(2)(2026·哈尔滨模拟)已知函数y=f(x)的图象如图所示，则y=|f(x-1)|+1的图象大致为()答案C解析先将y=f(x)的图象向右平移1个单位长度得到y=f(x-1)的图象，然后保留x轴上方的图象不变，将x轴下方的图象翻折到x轴上方得到y=|f(x-1)|的图象，最后将图象向上平移1个单位长度得到y=|f(x-1)|+1的图象，故C正确.思维升华识别函数的图象的主要方法(1)利用函数的性质，如奇偶性、单调性、定义域等判断.(2)利用函数的零点、极值点等判断.(3)利用特殊函数值判断.跟踪训练2(1)(2024·全国甲卷)函数f(x)=-x2+(ex-e-x)sinx在区间[-2.8，2.8]的图象大致为()答案B解析f(-x)=-x2+(e-x-ex)sin(-x)=-x2+(ex-e-x)sinx=f(x)，又函数f(x)的定义域为[-2.8，2.8]，故该函数为偶函数，可排除A，C，又f(1)=-1+e−1esin1>-1+e−1esinπ6=e2-1-12e(2)(2025·北京检测)如图，下列函数的图象和该图最接近的是()A.y=2x-x2-1B.y=(x2-2x)exC.y=2D.y=x答案B解析由图可得区间[0，+∞)为函数定义域的真子集，且当x<0时函数值为正，对于A，当x=-2时，y=2-2-(-2)2-1=-194<0，故A对于D，y=xlnx的定义域为(0，1)∪(1，+∞)，故对于C，当x=-π2时，y=2−π2sin−π题型三函数图象的应用命题点1利用图象研究函数的性质例3(多选)关于函数f(x)=|ln|x-2||，下列描述不正确的有()A.函数f(x)在区间(1，2)上单调递增B.函数y=f(x)的图象关于直线x=2对称C.若x1≠x2，但f(x1)=f(x2)，则x1+x2=2D.函数f(x)有且仅有一个零点答案CD解析函数f(x)=|ln|x-2||的图象由函数y=|ln|x||的图象向右平移2个单位长度得到.易知函数y=|ln|x||为偶函数，先画出函数y=|lnx|的图象，再保留该部分图象并将该部分图象关于y轴对称，即得到函数y=|ln|x||的图象，再向右平移2个单位长度即得到函数f(x)=|ln|x-2||的图象，如图所示，由图象可得函数f(x)在区间(1，2)上单调递增，故选项A正确；由图象可得函数y=f(x)的图象关于直线x=2对称，故选项B正确；若x1≠x2，但f(x1)=f(x2)，若x1，x2关于直线x=2对称，则x1+x2=4，故选项C错误；由图象可得函数f(x)有两个零点，故选项D错误.命题点2利用图象解不等式例4(2026·北京东城区模拟)函数y=f(x)的图象是圆心在原点的单位圆的两段弧(如图所示)，则不等式f(x)<f(-x)+2x的解集为()A.xB.xC.xD.x答案A解析根据图象可知函数f(x)是定义在[-1，0)∪(0，1]上的奇函数，故f(-x)=-f(x).所以原不等式可化为f(x)<-f(x)+2x，即f(x)<x.如图所示，易得A22，22要使不等式成立，根据图象可知原不等式的解集为x−命题点3利用图象求参数的取值范围例5(2026·咸阳模拟)已知函数f(x)=|lgx|,0<x≤10,−12x+6,x>10,若a，b，c互不相等，且fA.(1，10) B.(5，6)C.(8，10) D.(10，12)答案D解析画出函数f(x)的大致图象如图所示，不妨设a<b<c，令t=f(a)=f(b)=f(c)，结合f(10)=1和图象可知t∈(0，1)，ab=1，c∈(10，12)，则abc=c，故abc的取值范围为(10，12).思维升华当不等式问题不能用代数法求解或用代数法求解比较困难，但其对应函数的图象可作出时，常将不等式问题转化为图象的位置关系问题，从而利用数形结合思想求解.跟踪训练3(1)(多选)(2025·桂林模拟)已知函数f(x)=x2-4|x|，则下列结论正确的是()A.f(x)在[2，+∞)上单调递增B.f(x)的最小值为-4C.方程f(x)=-1有2个解D.若t∈(4，6)，则f(t-4)<f(t)答案ABD解析f(x)=x2-4|x|=x2−4x,x由图可知，f(x)在[2，+∞)上单调递增，故A正确；f(2)=f(-2)=-4，则f(x)分别在x=-2，x=2处取得最小值-4，故B正确；由图象知，直线y=-1与f(x)的图象有4个交点，所以方程f(x)=-1有4个解，故C错误；因为t∈(4，6)，所以t-4∈(0，2)，由图可知，f(t-4)<0<f(t)，故D正确.(2)已知函数f(x)在R上单调且其部分图象如图所示，若不等式-2<f(x+t)<4的解集为(-1，2)，则实数t的值为.

答案1解析由题图可知不等式-2<f(x+t)<4，即f(3)<f(x+t)<f(0)，由图知函数f(x)单调递减，所以x+t∈(0，3)，即不等式的解集为(-t，3-t)，又因为不等式-2<f(x+t)<4的解集为(-1，2)，所以-t=-1且3-t=2，可得t=1.课时精练[分值：90分]一、单项选择题(每小题5分，共30分)1.(2026·北京朝阳区检测)为了得到函数y=ln(ex)的图象，只需把函数y=lnx图象上所有的点()A.向上平移1个单位长度B.向下平移1个单位长度C.向左平移e个单位长度D.向右平移e个单位长度答案A解析因为y=ln(ex)即为y=1+lnx，故只需把函数y=lnx图象上所有的点向上平移1个单位长度即可，故A正确，B错误；对于C，把函数y=lnx图象上所有的点向左平移e个单位长度后所得图象对应的解析式为y=ln(x+e)，故C错误；对于D，把函数y=lnx图象上所有的点向右平移e个单位长度后所得图象对应的解析式为y=ln(x-e)，故D错误.2.(2026·哈尔滨模拟)已知函数f(x)在[-6，6]上的大致图象如图所示，则f(x)的解析式可能是()A.f(x)=sinxx2 B.f(C.f(x)=cosxx D.f(x)=x2答案B解析由图可知，函数f(x)为偶函数，排除A，C；又函数f(x)在x=0处无定义，排除D，故B正确.3.(2026·淄博模拟)函数f(x)=(2x+2-x)ln|x|的图象大致为()答案B解析函数f(x)=(2x+2-x)ln|x|的定义域为{x|x≠0}，又f(-x)=(2-x+2x)ln|-x|=(2x+2-x)ln|x|=f(x)，所以f(x)为偶函数，则函数图象关于y轴对称，故排除D；当0<x<1时，ln|x|<0，2x>0，2-x>0，所以f(x)<0，故排除A，C，故B正确.4.(2026·铜仁模拟)某条公共汽车的路线收支差额(收支差额=车票收入-支出费用)y与乘客人数x的图象如图所示.由于目前本条路线存在亏损情况，公司有关人员提出了两条建议：(1)不改变车票价格，减少支出费用；(2)不改变支出费用，提高车票价格.图中虚线表示调整前的状态，实线表示调整后的状态.则下列说法正确的是()A.①反映了建议(2)，③反映了建议(1)B.①反映了建议(1)，③反映了建议(2)C.②反映了建议(1)，④反映了建议(2)D.④反映了建议(1)，②反映了建议(2)答案B解析建议(1)是不改变车票价格，减少支出费用，也就是增大y，车票价格不变，即平行于原图象且在原图象上方，故①反映了建议(1)；建议(2)是不改变支出费用，提高车票价格，即图象倾斜度增大，故③反映了建议(2).5.(2025·扬州模拟)已知图①对应的函数为y=f(x)，则图②对应的函数是()A.y=f(-|x|) B.y=-f(-|x|)C.y=f(-x) D.y=-f(-x)答案B解析由图①②可知，将y=f(x)在(-∞，0]上的的图象沿着y轴对称得到y=f(-|x|)的图象，然后再沿着x轴翻折，即可得到y=-f(-|x|)的图象.6.(2025·深圳模拟)已知函数f(x)=12x,x≥A.1对 B.2对 C.3对 D.4对答案B解析如图所示，当x>0时，f(x)=12x，其关于原点对称的图象的解析式为y=-12−x=-2由图象知，y=-2x(x<0)与f(x)=-|x+2|(x<0)的图象有两个交点，故f(x)图象上关于原点对称的点有2对.二、多项选择题(每小题6分，共12分)7.(2025·邵阳模拟)下列函数对于任意x1，x2∈(0，+∞)，都有f

x1+A.f(x)=lnx B.f(x)=x2+1C.f(x)=x23 D.f(x答案AC解析因为对任意x1，x2∈(0，+∞)，都有f

x1+x22≥f对于A，f(x)=lnx在(0，+∞)上的图象是上凸的，符合题意；对于B，f(x)=x2+1在(0，+∞)上的图象是下凸的，不符合题意；对于C，f(x)=x23在(0，+对于D，f(x)=2x在(0，+∞)上的图象是下凸的，不符合题意.8.(2025·赣州模拟)已知函数f(x)=−x2−2x,x≤0,|log2x|,x>0,若f(x1)=f(x2)=f(x3)=fA.x1+x2=2B.x3x4=1C.0<x1+x2+x3+x4<1D.0<x1x2x3x4<1答案BCD解析作出f(x)的图象如图.由图知，x1+x2=-2，A选项错误；由图象知|log2x3|=|log2x4|且0<x3<1<x4，则-log2x3=log2x4，即log2x3+log2x4=log2(x3x4)=0，∴x3x4=1，B选项正确；∴x4=1x3，而当f(x)=1，x有|log2x|=1，得x=12或x=2∴12<x3<1<x4<2∵函数y=x+1x在1∴2<x3+x4=x3+1x3<即得0<x1+x2+x3+x4=-2+x3+x4<12，C∵x1∈(-2，-1)，∴x1x2x3x4=x1x2=x1(-2-x1)=-(x1+1)2+1∈(0，1)，D选项正确.三、填空题(每小题5分，共10分)9.(2025·日照模拟)如图，函数f(x)的图象为折线ACB，且线段BC的中点坐标为(1，1)，则不等式f(x)≥log2(x+1)的解集是.

答案(-1，1]解析由题图得f(x)=2−在同一平面直角坐标系中作出函数f(x)与y=log2(x+1)，x>-1的图象，如图所示，当x=1时，y=log2(1+1)=log22=1，所以f(x)与y=log2(x+1)的交点坐标为(1，1)，由图象可得不等式f(x)≥log2(x+1)的解集为(-1，1].10.若函数f(x)=x(|x|-2)在[m，n]上的最小值是-1，最大值是3，则n-m的最大值为.

答案4+2解析作出函数f(x)=x(|x|-2)=x(当x≥0时，令x(x-2)=3，得x1=-1(舍)，x2=3，当x<0时，令x(-x-2)=-1，得x3=-1-2，x4=-1+2(舍)，结合图象可得(n-m)max=x2-x3=3-(-1-2)=4+2.四、解答题(共28分)11.(13分)设f(x)为定义在R上的偶函数，如图是其函数图象的一部分，当0≤x<2时，图象是线段OA；当x≥2时，图象是顶点为P(3，4)，且过点(2，2)的二次函数图象的一部分.(1)在图中的直角坐标系中将函数f(x)的图象补充完整；(3分)(2)求函数f(x)在[0，+∞)上的解析式；(5分)(3)求函数f(x)的单调区间和最大值.(5分)解(1)如图，根据函数f(x)为偶函数，函数的图象关于y轴对称，其完整图象如图.(2)当0≤x<2时，f(x)=x；当x≥2时，设f(x)=a(x-3)2+4，将点(2，2)代入，得a+4=2，解得a=-2，故f(x)=-2(x-3)2+4=-2x2+12x-14.即函数f(x)在[0，+∞)上的解析式为f(x)=x(3)由图知，函数f(x)的单调递增区间为(-∞，-3]和[0，3]，单调递减区间为[-3，0]和[3，+∞)，函数f(x)在x=-3和x=3处取得最大值，且f(3)=f(-3)=4，所以函数f(x)的最大值为4.12.(15分)已知函数