第三章§3.4三次函数的图象与性质

§3.4三次函数的图象与性质考试要求1.借助导数，会求三次函数的单调区间、极值、最值、零点等.2.能通过三次函数的图象研究三次函数的性质.1.三次函数的概念形如f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0)的函数叫做三次函数.其导函数f'(x)=3ax2+2bx+c，把Δ=4b2-12ac叫做三次函数导函数的判别式.当Δ>0时，令f'(x)=0，记两根为x1=−b−b2−3ac2.三次函数的图象和性质(1)定义域为R.(2)值域为R，函数在整个定义域上无最大值、最小值.(3)图象a的符号a>0a<0判别式Δ>0Δ≤0Δ>0Δ≤0图象f'(x)f(x)三次函数要么无极值点，要么有两个，不可能只有一个.(4)奇偶性①f(x)不可能为偶函数；②当且仅当b=d=0时是奇函数.(5)对称性三次函数的图象是中心对称曲线，且对称中心是−b1.判断下列结论是否正确.(请在括号中打“√”或“×”)(1)函数f(x)=ax3+bx2+cx+d是三次函数.(×)(2)三次函数可以是偶函数.(×)(3)三次函数至少有一个零点.(√)(4)当点在三次函数的图象上时，过此点的切线仅有一条.(×)2.已知函数f(x)=-x3+ax2-x-1在R上是单调函数，则实数a的取值范围是()A.(-∞，-3]∪[3，+∞)B.[-3，3]C.(-∞，-3)∪(3，+∞)D.(-3，3)答案B解析由f(x)=-x3+ax2-x-1，得f'(x)=-3x2+2ax-1，因为函数在R上是单调函数，所以f'(x)=-3x2+2ax-1≤0在R上恒成立，则Δ=4a2-12≤0⇒-3≤a≤3，所以实数a的取值范围是[-3，3].3.已知三次函数f(x)=2x3+ax2+6x+1的极小值点为b，极大值点为2b，则a+b等于()A.42 B.-42C.±42 D.±52答案A解析由题意，得f'(x)=6x2+2ax+6，关于x的一元二次方程6x2+2ax+6=0的两根为b，2b，又极小值点为b，极大值点为2b，所以2b<b，即b<0，由根与系数的关系得3所以b=-22，a=-9b，则a+b=-8b=424.已知三次函数f(x)=ax3+bx2+cx+d的图象如图所示，则f'(0)f'(1)=答案1解析由题意知，a≠0，f'(x)=3ax2+2bx+c，由f(x)的图象知f'(x)=3ax2+2bx+c=3a(x+1)(x-2)，∴f'(0)=-6a，f'(1)=-6a，∴f'题型一三次函数的单调性、最值、零点例1已知函数f(x)=13x3-12ax2(a(1)讨论f(x)的单调性；(2)当a=1时，g(x)=f(x)-2x+b，b∈R，讨论g(x)的零点个数.解(1)f(x)的定义域为R，f'(x)=x2-ax=x(x-a).若a>0，令f'(x)>0，得x<0或x>a，令f'(x)<0，得0<x<a；若a<0，令f'(x)>0，得x<a或x>0，令f'(x)<0，得a<x<0.综上，当a>0时，f(x)在(-∞，0)，(a，+∞)上单调递增，在(0，a)上单调递减；当a<0时，f(x)在(-∞，a)，(0，+∞)上单调递增，在(a，0)上单调递减.(2)当a=1时，g(x)=13x3-12x2-2x+令g(x)=0，则b=-13x3+12x2+2令h(x)=-13x3+12x2+2则h'(x)=-x2+x+2=-(x-2)(x+1).当x<-1或x>2时，h'(x)<0，h(x)单调递减；当-1<x<2时，h'(x)>0，h(x)单调递增.所以h(x)的极小值为h(-1)=-76，h(x)的极大值为h(2)=10画出函数y=h(x)的大致图象，如图，由图可知，当b<-76或b>103时，函数g(x)有当b=-76或b=103时，函数g(x)有当-76<b<103时，函数g(x)有3思维升华对于三次函数的考查往往围绕利用导数研究函数的单调性、极值(最值)展开，经常涉及求函数的单调区间、极值、最值，已知单调区间求参数范围等问题.跟踪训练1已知函数f(x)=x3+mx2+nx+1(m，n∈R)，若不等式f(x)>0的解集为{x|x>a且x≠1}，则函数f(x)的单调递减区间为()A.−1，−13C.−13，1答案C解析不等式f(x)>0的解集为{x|x>a且x≠1}，所以f(x)=(x-1)2(x-a)，且a<1，即f(x)=(x-a)(x2-2x+1)=x3-(a+2)x2+(2a+1)x-a，所以m=−(a则f(x)=x3-x2-x+1，所以f'(x)=3x2-2x-1=(3x+1)(x-1)，由f'(x)<0，解得-13<x<1因此函数f(x)的单调递减区间为−1题型二三次函数的性质命题点1对称性例2(链接教材，人教A版必修第一册P87习题3.2T13)设三次函数f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0).求证：三次函数的图象是中心对称曲线，且对称中心是−b证明设f(m-x)+f(m+x)=2n，得[a(m-x)3+b(m-x)2+c(m-x)+d]+[a(m+x)3+b(m+x)2+c(m+x)+d]=2n，整理得(6am+2b)x2+(2am3+2bm2+2cm+2d)=2n.根据多项式恒等对应系数相等，可得m=-b3a且n=am3+bm2+cm+d，从而三次函数的图象是中心对称曲线，且由n=f(m)知其对称中心(m，f(m故对称中心为−b命题点2三次函数中的根与系数的关系例3设一元三次方程ax3+bx2+cx+d=0(a≠0)的三个根分别为x1，x2，x3.求证：x1+x2+x3=-ba，x1x2+x2x3+x3x1=ca，x1x2x3=-证明由题意知ax3+bx2+cx+d=a(x-x1)(x-x2)(x-x3)=ax3-a(x1+x2+x3)x2+a(x1x2+x2x3+x3x1)x-ax1x2x3.比较系数可得x1+x2+x3=-ba，x1x2+x2x3+x3x1=ca，x1x2x3=-思维升华若y=f(x)的图象关于点(m，n)对称，则y=f'(x)的图象关于直线x=m对称.中心对称函数的导数是轴对称函数，轴对称函数的导数是中心对称函数.奇函数的导数是偶函数，偶函数的导数是奇函数，周期函数的导数还是周期函数.跟踪训练2已知函数y=x3+3x2+x的图象C上存在一定点P满足：若过点P的直线l与曲线C交于不同于P的两点M(x1，y1)，N(x2，y2)，就恒有y1+y2的值为定值y0，则y0的值为.

答案2解析因为P为定点，y1+y2=y0为定值，所以M，N两点关于点P对称，即点P为曲线C的对称中心，由-b3a=-3当x=-1时，y=-1+3-1=1，所以点P(-1，1)，所以y1+y2=2，即y0=2.题型三三次函数的切线例4已知函数f(x)=-16x3-x2+mx+3在x(1)求实数m的值；(2)若过点(2，t)可作曲线y=f(x)的三条切线，求实数t的取值范围.解(1)因为f(x)=-16x3-x2+mx+3所以f'(x)=-12x2-2x+m因为f(x)在x=0处取得极值，所以f'(0)=m=0.经验证m=0符合题意.(2)由(1)知f(x)=-16x3-x2+3设切点坐标为x0得f'(x0)=-12x02所以切线方程为y-−16x03−x0将点(2，t)代入切线方程，得t=13x03令g(x)=x33-4x+3，则g'(x)=x2令g'(x)=x2-4=0，解得x=±2.当x<-2或x>2时，g'(x)>0，所以g(x)在(-∞，-2)，(2，+∞)上单调递增；当-2<x<2时，g'(x)<0，所以g(x)在(-2，2)上单调递减.所以g(x)的极大值为g(-2)=253，g(x)的极小值为g(2)=-7因为有三条切线，所以方程t=g(x)有三个不同的解，即y=t与y=g(x)的图象有三个不同的交点，所以-73<t<25即实数t的取值范围是−7思维升华(1)三次函数切线条数的判断方法①设切点为(t，f(t))，写出切线方程并代入点的坐标，得到关于t的三次方程；②分析该三次方程的实根数，通过其导数的极值点处的函数值符号来判断实根数.(2)已知切线条数求参数范围的方法①根据所需的实根数，建立条件不等式，即三次方程的两个极值点处的函数值异号；②解这个不等式，得到参数的取值范围.跟踪训练3(2025·新余模拟)过y轴上一点(0，a)可以作函数f(x)=x3+x2-x图象的3条切线，则a的取值范围是()A.−127，0C.−13，0答案A解析因为f(x)=x3+x2-x，所以f'(x)=3x2+2x-1，设切点为(x0，x03+x02-x0)，则切线方程为y=(3x02+2x0-1)(x-x0)+x将点(0，a)代入方程得a=-2x03-令g(x)=-2x3-x2，则g'(x)=-6x2-2x，令g'(x)<0，得x∈−∞，−13∪(0，+∞)，所以g(x)在−∞，−令g'(x)>0，得x∈−1所以g(x)在−1故g(x)有极小值g−13=-127，有极大值g(0则a的取值范围是−1课时精练[分值：90分]一、单项选择题(每小题5分，共30分)1.函数f(x)=2x3-6x+3的极小值为()A.-33 B.-7 C.-1 D.7答案C解析由题意得，f'(x)=6x2-6=6(x-1)(x+1)，x∈R，令f'(x)=0，解得x=-1或x=1，当x∈(-∞，-1)时，f'(x)>0，f(x)单调递增，当x∈(-1，1)时，f'(x)<0，f(x)单调递减，当x∈(1，+∞)时，f'(x)>0，f(x)单调递增，所以当x=1时，f(x)取得极小值，极小值为f(1)=-1.2.函数f(x)=x3+x2+x+c的零点个数为()A.1 B.1或2C.2或3 D.1或2或3答案A解析因为函数f(x)=x3+x2+x+c，所以f'(x)=3x2+2x+1，因为f'(x)=0对应的判别式Δ=4-12=-8<0，所以f'(x)>0，从而f(x)在R上单调递增，又当x→-∞时，f(x)→-∞，当x→+∞时，f(x)→+∞，由函数零点存在定理得，函数f(x)=x3+x2+x+c有且只有1个零点.3.如果函数f(x)=13x3-12ax2+(a-1)x+1在(1，4)上单调递减，在(6，+∞)上单调递增，则实数A.(-∞，5] B.[5，7]C.[7，+∞) D.(-∞，5]∪[7，+∞)答案B解析f'(x)=x2-ax+(a-1)=[x-(a-1)](x-1).依题意知，当x∈(1，4)时，f'(x)<0；当x∈(6，+∞)时，f'(x)>0，因此，4≤a-1，6≥a-1，解得5≤a≤7.4.已知函数f(x)=2x3-mx2+2(m>0)的单调递减区间为(a，b)，若b-a≤2，则m的最大值为()A.1 B.2 C.3 D.6答案D解析由f(x)=2x3-mx2+2(m>0)，可得f'(x)=6x2-2mx(m>0)，令f'(x)=6x2-2mx<0，解得0<x<m3，即函数f(x)=2x3-mx2+2(m>0)的单调递减区间为0，m3，∴b-a=m∴0<m≤6，即m的最大值为6.5.过坐标原点作曲线f(x)=x(x-c)2(c≠0)的两条切线，记其斜率分别为k1，k2，则|k1-k2|等于()A.c B.c2 C.c3 D.c4答案B解析由题意知f(x)=x(x-c)2=x3-2cx2+c2x，则f'(x)=3x2-4cx+c2，设切点坐标为(x1，x1(x1−c)2)，则切线方程为y-x1(x1−c)2=(3x12-4cx1+c2)(x-x1)，又切线过原点，则-x1(x1−c)2=-x1(3x12-4cx1+c2)，解得x1=0或x1=c，当x1=0时，f'(0)=c26.(2025·昆明模拟)已知函数f(x)=(x-a)(x-b)(x-a-2b)，a，b∈R，且ab≠0，若当x≥0时，f(x)≥0，则a的取值范围是()A.(-∞，0) B.(-∞，2]C.[2，+∞) D.(0，+∞)答案A解析因为ab≠0，所以a≠0，b≠0，则f(x)的零点是x1=a，x2=b，x3=a+2b，要使f(x)≥0在[0，+∞)上恒成立，如图1，当三个零点都小于零时，符合题意；当方程f(x)=0存在正根时，则必定是重根(即方程f(x)=0有两个正根，一个负根)，如图2，当a=b>0时，a+2b>0，不符合题意；当a+2b=a>0时，b=0，不符合题意；当a+2b=b>0时，a=-b<0，符合题意.综上，a<0.二、多项选择题(每小题6分，共12分)7.已知函数f(x)=-x3+3x-1，下列说法正确的是()A.f(x)在x=-1处取得极小值B.f(x)有3个零点C.f(x)在区间(-2，2)上的值域为(-3，1)D.曲线y=f(x)的对称中心为(0，-1)答案ABD解析由f(x)=-x3+3x-1，可得f'(x)=-3x2+3=-3(x+1)(x-1)，当x<-1或x>1时，f'(x)<0；当-1<x<1时，f'(x)>0，则函数f(x)在(-∞，-1)，(1，+∞)上单调递减，在(-1，1)上单调递增.对于A，由以上分析知f(x)在x=-1处取得极小值，故A正确；对于B，结合以上分析，因为f(-2)=1>0，f(-1)=-3<0，f(1)=1>0，f(2)=-3<0，由函数零点存在定理及三次函数的图象知，f(x)有3个零点，故B正确；对于C，因为f(x)在(-2，-1)上单调递减，在(-1，1)上单调递增，在(1，2)上单调递减，而f(-2)=f(1)=1，f(-1)=f(2)=-3，故f(x)在区间(-2，2)上的值域为[-3，1]，故C错误；对于D，因为f(-x)+f(x)=-(-x)3+3(-x)-1+(-x3+3x-1)=x3-3x-1-x3+3x-1=-2，故曲线y=f(x)的对称中心为(0，-1)，故D正确.8.(2026·南通模拟)已知函数f(x)=x3+ax2+bx+c有3个零点和2个极值点，则()A.f(x)的3个零点之和等于-aB.f(x)的3个零点之积等于cC.f(x)在3个零点处的切线的斜率之和大于零D.f(x)的3个零点的平均数和2个极值点的平均数相等答案ACD解析由题设，令3个零点分别为x1，x2，x3，则f(x)=(x-x1)(x-x2)(x-x3)=x3-(x1+x2+x3)x2+(x1x2+x1x3+x2x3)x-x1x2x3，又f(x)=x3+ax2+bx+c，则x1+x2+x3=-a，x1x2x3=-c，A正确，B错误；对函数求导得f'(x)=3x2+2ax+b，显然f'(x)=0对应的判别式Δ=4a2-12b>0，即a2-3b>0，若2个极值点分别为m，n，则m+n=-2a3，故x1+x2+3个零点处的切线斜率之和为f'(x1)+f'(x2)+f'(x3)=3(x12+x22+x32)+2a(x1+x2+又x1x2+x1x3+x2x3=b，且(x1+x2+x3)2=x12+x22+x32所以x12+x22+x32=(x1+x2+x3)2-2(x1x2+所以f'(x1)+f'(x2)+f'(x3)=3a2-6b-2a2+3b=a2-3b>0，C正确.三、填空题(每小题5分，共10分)9.函数f(x)=13x3-12(m+1)x2+2(m-1)x(m∈R)在(0，4)上无极值，则m=答案3解析函数f(x)在(0，4)上无极值即导函数f'(x)在(0，4)上无变号零点.而f'(x)=x2-(m+1)x+2(m-1)=(x-2)[x-(m-1)]，令f'(x)=0，得x=2或x=m-1，则当x∈(0，4)时，恒有f'(x)≥0， ①当m-1>2时，①式的解为x≤2或x≥m-1，显然当x∈(0，4)时，①式不恒成立；当m-1<2时，①式的解为x≤m-1或x≥2，显然当x∈(0，4)时，①式不恒成立；当m-1=2时，①式的解为x∈R，当x∈(0，4)时，①式恒成立，此时m=3.10.已知b，c，d均为实数，若x3+bx2+cx+d>0的解集是{x|x>a且x≠a+1}，则函数f(x)=x3+bx2+cx+d的极大值为.

答案4解析因为原不等式的解集是{x|x>a且x≠a+1}，故x=a，x=a+1为f(x)=x3+bx2+cx+d的零点，且f(x)=(x-a)[x-(a+1)]2，则f'(x)=[x-(a+1)]2+2(x-a)[x-(a+1)]=[x-(a+1)](3x-3a-1)，令f'(x)>0，得x<a+13或x>a+1令f'(x)<0，得a+13<x<a+1则f(x)在−∞，a+13和(a+1则f(x)的极大值为f

a+13=13四、解答题(共28分)11.(13分)已知函数f(x)=ax3+bx2-3x(a，b∈R)，且f(x)在x=1和x=3处取得极值.(1)求函数f(x)的解析式；(5分)(2)设函数g(x)=f(x)+t，若g(x)=f(x)+t有且仅有一个零点，求实数t的取值范围.(8分)解(1)f'(x)=3ax2+2bx-3，因为f(x)在x=1和x=3处取得极值，所以x=1和x=3是方程f'(x)=0的两个根，则1+3=−解得a=−所以f(x)=-13x3+2x2-3x(2)由题意知g(x)=-13x3+2x2-3x+t，g'(x)=-x2+4x-3当x<1或x>3时，g'(x)<0，当1<x<3时，g'(x)>0，所以函数g(x)在(-∞，1)，(3，+∞)上单调递减，在(1，3)上单调递增，所以g(x)极大值=g(3)=t，g(x)极小值=g(1)=t-43因为g(x)有且仅有一个零点，结合g(x)的单调性，得g(x)极大值=t<0或g(x)极小值=t-43>0所以t<0或t>43故实数t的取值范围是(-∞，0)∪4312.(15分)函数y=f(x)的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数y=f(x)为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数y=f(x)的图象关于点P(a，b)成中心对称图形的充要条件是函数y=f(x+a)-b为奇函数.已知函数f(x)=x3+ax2+bx+1.(1)若函数y=f(x)图象的对称中心为(-1，2)，求函数y=f(x)的解析式；(4分)(2)由代数基本定理可以得到：任何一元n(n∈N*)次复系数多项式在复数集中可以分解为n个一次因式的乘积.进而，一元n次多项式方程有n个复数根(重根按重数计).如设实系数一元二次方程a2x2+a1x+a0=0(a2≠0)在复数集内的根为x1，x2，则方程a2x2+a1x+a0=0可变形为a2(x-x1)(x-x2)=0，展开得a2x2-a2(x1+x2)x+a2x1x2=0，则有a1=−类比上述推理方法可得实系数一元三次方程根与系数的关系.①若a=0，方程f(x)=k在复数集内的根为x1，x2，x3，当k∈[0，1]时，求x13+x2②若a=-3，b=-2，函数y=f(x)的零点分别为x1，x2，x3，求1x12+1解(1)由题意知g(x)=f(x-1)-2为奇函数，则f(-x-1)-2+f(x-1)-2=0恒成立.即(-x-1)3+a(-x-1)2+b(-x-1)+1-2+(x-1)3+a(x-1)2+b(x-1)+1-2=0，整理得(2a-6)x2+(2a-2b-4)=0恒成立，故2a−6=0,故f(x)=x3+3x2+x+1.(2)①若a=0，则f(x)=x3+bx+1，由题意有f(x)-k=0的三个根为x1，x2，x3，则x3+bx+(1-k)=(x-x1)(x-x2)(x-