湖北省武汉市重点中学5G联合体2025-2026学年高一下学期期末考试数学试卷-附解析

数学一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.复数在复平面内对应的点位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限2.已知向量，向量，则向量在向量上的投影向量为（）A. B. C. D.3.已知，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则（）A.若，，则 B.若，，则C.若，，，则 D.若，，则4.如图，四边形的斜二测画法的直观图为等腰梯形，已知，，，则四边形的面积为（）A. B. C. D.5.已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，，若有两解，则b的取值范围是（）A. B. C. D.6.如图，在直三棱柱中，，侧面是正方形，，M是线段上的动点，当取得最小值时，的周长为（）A. B. C. D.7.青花瓷（blueandwhiteporcelain），又称白地青花瓷，常简称青花，是中国瓷器的主流品种之一，属釉下彩瓷．原始青花瓷于唐宋已见端倪，成熟的青花瓷则出现在元代景德镇的湖田窑．图一是一个由波涛纹和葡萄纹构成的正六边形青花瓷盘，已知图二中正六边形的边长为1，圆的圆心为正六边形的中心，半径为，若点在正六边形的边上运动，动点，在圆上运动且关于圆心对称，则的取值可以是（）A. B. C. D.8.正方体中，点在棱上，过点作平面的平行平面，记平面与平面的交线为，则与所成角的大小为（）A. B. C. D.二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分．9.下列说法正确的是（）A.复数（为虚数单位）的共轭复数B.复数（为虚数单位）是纯虚数，则C.一组样本数据为，，，，，，，若该组数据去掉一个数得到一组新数据，则这两组数据的平均数不可能相等D.若样本，，…，的平均数和方差分别为2和3，则，，，的平均数和方差分别为和10.如图所示，在棱长为的正方体中，，分别为棱，的中点，则下列结论正确的是（）A.直线与是平行直线 B.直线与是异面直线C.直线与所成的角为 D.过，，三点的截面周长为11.在中，角，，所对边分别为，，，的中点为，，且，延长到点，使点为线段的中点，下列说法正确的是（）A.B.的面积的最大值为C.若为锐角三角形，的取值范围为D.的最小值为三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.某篮球运动员近8场比赛的得分从低到高依次为3，5，8，9，12，15，17，18则这8个数据的上四分位数是____________．13.在中，，，，的角平分线交于D，则_________14.已知平面平面，球与直线相切于点，平面与平面分别截球所得截面圆的半径为和．若二面角的大小为，则球的半径为____________．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知一个圆锥的底面半径为1，母线长为2．（1）求圆锥的侧面积；（2）过线段的中点作平行于底面的截面，以该截面为底面挖去一个圆柱，求剩下几何体的体积．16.如图，在平面四边形中，，．（1）若，，求的值；（2）若，，求的面积．17.如图，在四棱锥中，底面是正方形，侧棱垂直于底面，，点、分别是、的中点．（1）求证：平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值．18.2024年10月13日，成都市将举办马拉松比赛，其中志愿者的服务工作是马拉松成功举办的重要保障.成都市文体广电旅游局承办了志愿者选拔的面试工作.现随机抽取了100名候选者的面试成绩，并分成五组：第一组，第二组，第三组，第四组，第五组，绘制成如图所示的频率分布直方图.（1）求的值；（2）估计这100名候选者面试成绩的平均数和第80百分位数；（3）现从以上各组中用分层随机抽样的方法选取20人，担任本市的宣传者.若本市宣传者中第二组面试者的面试成绩的平均数和方差分别为62和40，第四组面试者的面试成绩的平均数和方差分别为80和50，请据此估计这次第二组和第四组所有面试者的面试成绩的方差.19.已知三棱台，底面是以为直角顶点的等腰直角三角形，体积为，平面平面，且．（1）证明：平面；（2）求点到平面的距离；（3）线段上是否存在点，使得二面角的大小为？若存在，求出的长；若不存在，请说明理由．

数学一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.复数在复平面内对应的点位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限答案：C解析：思路：由复数的除法法则化简复数后，再根据其几何意义得结论.解答过程：，对应点坐标为，在第三象限.2.已知向量，向量，则向量在向量上的投影向量为（）A. B. C. D.答案：A解析：思路：结合投影向量公式求解即可.解答过程：由题意知，，；代入公式得：投影向量.3.已知，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则（）A.若，，则 B.若，，则C.若，，，则 D.若，，则答案：C解析：思路：对于A，利用线面平行的性质判断；对于C，利用线面垂直的判定判断；对于C，利用线面垂直的性质判断；对于D，利用线面平行的判定判断即可解答过程：解：对于A，若，，则与可能平行，可能相交，也可能异面，所以A错误；对于B，若，，则直线与平面可能垂直，可能平行，也可能相交不垂直，所以B错误；对于C，若，，，则，所以C正确；对于D，若，，则与可能平行，也有可能直线在平面内，所以D错误，故选：C4.如图，四边形的斜二测画法的直观图为等腰梯形，已知，，，则四边形的面积为（）A. B. C. D.答案：D解析：解答过程：根据斜二测画法的性质，原图形面积与直观图面积满足关系：，直观图为等腰梯形，上底，下底，腰长，，故梯形的高为：，则，则，D正确.5.已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，，若有两解，则b的取值范围是（）A. B. C. D.答案：A解析：解答过程：若有两解，则，又因为，，所以，所以，所以b的取值范围是.6.如图，在直三棱柱中，，侧面是正方形，，M是线段上的动点，当取得最小值时，的周长为（）A. B. C. D.答案：C解析：思路：把与沿摊平，变成一个平面四边形，连接交于M，此时即为的最小值，由此计算可得结论.解答过程：直三棱柱中，侧棱，又，，平面，所以平面，而平面，所以，侧面是正方形，是等腰直角三角形，，把与沿摊平，变成一个平面四边形，如下图，连接交于M，则，又，，由余弦定理得，此为取得的最小值，又在直三棱柱中，，所以所求的周长为.7.青花瓷（blueandwhiteporcelain），又称白地青花瓷，常简称青花，是中国瓷器的主流品种之一，属釉下彩瓷．原始青花瓷于唐宋已见端倪，成熟的青花瓷则出现在元代景德镇的湖田窑．图一是一个由波涛纹和葡萄纹构成的正六边形青花瓷盘，已知图二中正六边形的边长为1，圆的圆心为正六边形的中心，半径为，若点在正六边形的边上运动，动点，在圆上运动且关于圆心对称，则的取值可以是（）A. B. C. D.答案：B解析：解答过程：由题意知，动点，关于圆心对称，圆半径为，则，.所以.又正六边形边长为1，则圆心到六边形各顶点距离为，圆心到正六边形各边的垂直距离为，因为点在正六边形上，所以，所以，故只有B选项符合题意.8.正方体中，点在棱上，过点作平面的平行平面，记平面与平面的交线为，则与所成角的大小为（）A. B. C. D.答案：D解析：思路：由面面平行的性质可得，则与所成角大小等于与所成角的大小，证明线面垂直，求出，所以，即与所成角的大小为.解答过程：因为平面平面，平面平面，平面平面，则，则与所成角大小等于与所成角的大小，因为平面，平面，所以，又，且，，平面，所以平面，又平面，故，所以，即与所成角的大小为.二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分．9.下列说法正确的是（）A.复数（为虚数单位）的共轭复数B.复数（为虚数单位）是纯虚数，则C.一组样本数据为，，，，，，，若该组数据去掉一个数得到一组新数据，则这两组数据的平均数不可能相等D.若样本，，…，的平均数和方差分别为2和3，则，，，的平均数和方差分别为和答案：AD解析：解答过程：对于A，由，则，故A正确；对于B，由（为虚数单位）是纯虚数，则，解得，故B错误；对于C，因样本数据7，12，13，17，18，20，32的平均数为，若去掉这个数据，则新的一组数据的平均数也是17，故C错误；对于D，因样本的平均数和方差分别为2和3，则的平均数为，方差为，故D正确.10.如图所示，在棱长为的正方体中，，分别为棱，的中点，则下列结论正确的是（）A.直线与是平行直线 B.直线与是异面直线C.直线与所成的角为 D.过，，三点的截面周长为答案：BCD解析：思路：对于A，取的中点为，连接，易得，结合相交即可判断；对于B，由异面直线的概念即可判断；对于C，易知，则为直线线与所成的角，再求角即可判断；对于D，作出截面图形，求得截面周长判断即可.解答过程：对于A，取的中点为，连接，如下图所示：由正方体性质可知，若直线与是平行直线，则可得三点共线，显然这与相交于点矛盾，故A错误；对于B，易知平面，平面，直线，平面，可得直线与是异面直线，故B正确；对于C，连接，，如下图：可得，故为直线与所成的角，而，可得直线与所成的角为，故C正确；对于D，延长交的延长线于点，连接交于点，延长交的延长线于点，连接交于点，则过,,三点的截面为五边形，因为,分别为棱，的中点，又，所以，又，所以，所以，所以，同理可得，所以，由勾股定理可得，，，同理可得，，所以过,,三点的截面周长为，故D正确.11.在中，角，，所对边分别为，，，的中点为，，且，延长到点，使点为线段的中点，下列说法正确的是（）A.B.的面积的最大值为C.若为锐角三角形，的取值范围为D.的最小值为答案：ACD解析：思路：A选项，变形，由正弦定理得到，得到；B选项，由基本不等式可得，从而根据得到答案；C选项，由向量基本定理和正弦定理可得，从而得到的取值范围；D选项，先表达出，再由正弦定理和三角函数得到的最小值，从而得到答案解答过程：A选项，，由正弦定理得，即，，，因为，所以，因为，所以，A正确；B选项，延长到点，使点为线段的中点，故，在中，由余弦定理得，故，由基本不等式可得，故，解得，当且仅当时，等号成立，由面积公式可得，故的面积最大值为，B错误；C选项，因为的中点为，所以，两边平方可得，由B知，，故，由正弦定理得，故，故，因为为锐角三角形，，所以，解得，故，，所以，所以，所以，C正确；D选项，，故，由B知，，故，由C知，，所以，其中，故，其中，因为，所以，，故当时，取得最小值，最小值，故的最小值为，D正确.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.某篮球运动员近8场比赛的得分从低到高依次为3，5，8，9，12，15，17，18则这8个数据的上四分位数是____________．答案：16解析：解答过程：已知数据总量为，数据已从低到高排列，则上四分位数，即分位数，位置为.因为为整数，所以上四分位数取第项和第项数据的算术平均数，故这个数据的上四分位数为.13.在中，，，，的角平分线交于D，则_________答案：解析：思路：根据余弦定理求得的长，再利用建立的等式，即可求得答案.解答过程：在中,由余弦定理得，则，即，解得，（负值舍），而平分，即，又，故，则.故答案为：14.已知平面平面，球与直线相切于点，平面与平面分别截球所得截面圆的半径为和．若二面角的大小为，则球的半径为____________．答案：解析：思路：结合球的性质，根据勾股定理和余弦定理即可列方程求解.解答过程：根据题意以及球的对称性可得图形的剖面图如下：设分别为平面与球所截得的圆的半径，不妨设，，球的半径为，故，可得，即，，两边平方解得，故，.故答案为：.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知一个圆锥的底面半径为1，母线长为2．（1）求圆锥的侧面积；（2）过线段的中点作平行于底面的截面，以该截面为底面挖去一个圆柱，求剩下几何体的体积．答案：（1）（2）解析：思路：（1）结合圆锥侧面积和圆的面积公式，分别求出侧面积和底面积即可；（2）先求出圆锥的体积，由为的中点可得圆柱的底面半径，进而求出圆柱的体积，剩下几何体的体积为圆锥体积减去圆柱体积，即可得到答案.（1）圆锥的侧面积为；（2）因为圆锥的底面半径，母线长，所以圆锥的高显然，且E为中点，所以，剩下几何体的体积.16.如图，在平面四边形中，，．（1）若，，求的值；（2）若，，求的面积．答案：（1）（2）解析：思路：（1）在中由余弦定理求出，在中再由正弦定理可得到答案；（2）由余弦定理得、，根据求出，再利用平方关系求出，最后由三角形面积公式可得答案.（1）在中，，，由余弦定理得，所以，在中，，，，所以由正弦定理得，得，，得；（2）在中，，由余弦定理得，在中，，，由余弦定理得，因为，所以，解得，所以，因为，所以，所以的面积.17.如图，在四棱锥中，底面是正方形，侧棱垂直于底面，，点、分别是、的中点．（1）求证：平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值．答案：（1）证明：取的中点，连接，因为点、分别是、的中点，所以且，又因为且，所以且，所以四边形是平行四边形，所以，因为平面，平面，所以平面．（2）解析：思路：（1）根据平行四边形的判定及性质，线面平行的判定即可证明；（2）根据线面夹角的定义得出即为直线与平面所成角的平面角，即可求解．（1）略．（2）过点作的垂线，设垂足为，连接，因为平面，平面，所以，因为底面是正方形，所以，因为，且平面，所以平面，因为平面，所以，因为，且，平面，所以平面，即为直线与平面所成角的平面角，设，在中，即，由（1）可知，，所以，即直线与平面所成角的正弦值为．18.2024年10月13日，成都市将举办马拉松比赛，其中志愿者的服务工作是马拉松成功举办的重要保障.成都市文体广电旅游局承办了志愿者选拔的面试工作.现随机抽取了100名候选者的面试成绩，并分成五组：第一组，第二组，第三组，第四组，第五组，绘制成如图所示的频率分布直方图.（1）求的值；（2）估计这100名候选者面试成绩的平均数和第80百分位数；（3）现从以上各组中用分层随机抽样的方法选取20人，担任本市的宣传者.若本市宣传者中第二组面试者的面试成绩的平均数和方差分别为62和40，第四组面试者的面试成绩的平均数和方差分别为80和50，请据此估计这次第二组和第四组所有面试者的面试成绩的方差.答案：（1）（2）平均数为69.5，第80百分位数为77.5.（3）.解析：思路：（1）根据频率分布直方图中所有小矩形面积之和为得到方程，解得即可；（2）根据平均数、百分位数的定义计算可得；（3）根据根据分