湖南省邵阳市邵东市第四中学2025-2026学年期末质量监测高二下学期数学试卷-附解析

数学满分150分，考试时量120分钟，请将答案填写在答题卡上的指定位置一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.计算（）A.13 B.23 C.29 D.1982.下列选项正确的是（）A. B. C. D.3.从7本不同的书中选出3本送给3位同学，每人一本，不同的选法种数是（）A. B. C.21 D.2104.已知，若，则（）A. B. C. D.5.五名同学依次站成一排，要求其中的甲和乙必须相邻，则不同的站队方式的种数为()A.12 B.24 C.48 D.1206.对具有线性相关关系的变量x，y，测得一组数据如下表，根据表中数据，利用最小二乘法得到经验回归方程，据此模型预测当x=20时，y的估计值为（）x791113y2356A.10 B.11 C.12 D.137.已知随机变量服从两点分布，且，设，那么的值是（

）A.0.84 B.0.7 C.0.4 D.0.38.如图是函数的导函数的图像，则下列说法错误的是（）A.在处取极大值 B.C.在上存在最小值 D.在上至多有3个零点二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分.9.关于的展开式，下列说法正确的是（）A.展开式共有6项 B.展开式的二项式系数之和为64C.展开式各项的系数之和为1 D.展开式中第4项的二项式系数最大10.下列说法正确的是（）A.经验回归方程为时，变量与变量成正相关B.在做回归分析时，残差图中残差点分布的带状区域的宽度越窄表示回归效果越好C.若随机变量，且，则D.若随机变量，则，11.设函数，则下列说法正确的有（）A.不等式的解集为B.函数在单调递增，在单调递减C.当时，总有恒成立D.若函数有两个极值点，则实数的取值范围为三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.曲线在点处的切线方程为__________.13.在的展开式中，常数项为__________．（用数字作答）14.甲、乙、丙等位同学都要报名参加学校举办的项不同活动，每人仅报其中一项，要求每项活动至少有一人报名，则不同的报名方式种数是_________.（用数字作答）四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知函数.（1）求单调区间；（2）求在区间上的最大值和最小值.16.在春节联欢晚会上进行了机器人团体舞蹈表演，某机构随机抽取了100名观众进行问卷调查，得到了如下数据：

喜欢不喜欢男性4010女性2030（1）依据的独立性检验，试分析对机器人表演节目的喜欢是否与性别有关联？（2）从这100名样本观众中任选1名，设事件“选到的观众是男性”，事件“选到的观众喜欢机器人团体舞蹈表演节目”，求的大小．附：，．0.0500.0100.0013.8416.63510.82817.从2016年1月1日起全国统一实施全面两孩政策，为了解适龄民众对放开生二孩政策的态度，某市选取80后作为调查对象，随机调查了10人，其中打算生二胎的有4人，不打算生二胎的有6人.（1）从这10人中随机抽取3人，记打算生二胎的人数为，求随机变量的分布列和数学期望；（2）若以这10人的样本数据估计该市的总体数据，且以频率作为概率，从该市80后中随机抽取3人，记打算生二胎的人数为，求随机变量的分布列和数学期望，方差.18.某景区在五一劳动节期间开展“致敬最美劳动者”主题游园活动，天的入园游客量统计数据如下：活动开展第天入园游客量（百人）（1）由数据看出，可用线性回归模型拟合与的关系，请计算相关系数（保留小数点后两位），并推断相关程度的强弱；（2）求经验回归方程以及表中第个观测的残差；（观测值减去预测值称为残差）（3）该景区在活动期间设置个打卡通道，记为通道①、通道②、通道③，游客入园时选择通道①、②、③的概率依次为、、；游客离园时，从原先入园通道离园的概率为，从另两个通道离园的概率均为，求游客从通道①离园的概率.附：参考公式：相关系数；回归直线方程，其中，；；19.已知函数．（1）若是函数的极值点，求m的值；（2）当时，求证：；（3）若有两个不同的零点和，且，求证：．

数学满分150分，考试时量120分钟，请将答案填写在答题卡上的指定位置一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.计算（）A.13 B.23 C.29 D.198答案：B解析：解答过程：.2.下列选项正确的是（）A. B. C. D.答案：C解析：解答过程：对于A，，而，所以选项A错误.对于B，，而不是，所以选项B错误.对于C，，所以选项C正确.对于D，，而不是，所以选项D错误.3.从7本不同的书中选出3本送给3位同学，每人一本，不同的选法种数是（）A. B. C.21 D.210答案：D解析：思路：根据分步乘法计数原理求解.解答过程：根据分步乘法计数原理，不同的选法有种.故选：D4.已知，若，则（）A. B. C. D.答案：B解析：思路：由函数的导数求解即可.解答过程：由已知，又，所以，解得.5.五名同学依次站成一排，要求其中的甲和乙必须相邻，则不同的站队方式的种数为()A.12 B.24 C.48 D.120答案：C解析：思路：借助捆绑法把相邻的甲乙打包，分单元内部排序、整体全排列两步相乘求解排列总数.解答过程：将甲、乙捆绑合并为1个单元，单元内部的站位排列数为，剩余3人与该单元构成4个独立元素，4个元素全排列的排列数为.可得总站法种数.6.对具有线性相关关系的变量x，y，测得一组数据如下表，根据表中数据，利用最小二乘法得到经验回归方程，据此模型预测当x=20时，y的估计值为（）x791113y2356A.10 B.11 C.12 D.13答案：B解析：解答过程：由题意可得：，因经验回归方程经过样本中心点,故，解得，所以经验回归方程为，当时，．7.已知随机变量服从两点分布，且，设，那么的值是（

）A.0.84 B.0.7 C.0.4 D.0.3答案：A解析：思路：由已知结合两点分布的方差公式和方差性质即可求解.解答过程：因为随机变量服从两点分布，所以由题，又，所以.故选：A.8.如图是函数的导函数的图像，则下列说法错误的是（）A.在处取极大值 B.C.在上存在最小值 D.在上至多有3个零点答案：D解析：解答过程：由图象可知，当时，；当时，；当时，；当时，；所以在处取极大值，故A正确；由当时，，可得在上单调递增，所以，因为函数在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，所以极小值是和，所以在上存在最小值，故C正确；若，，，，，函数在上至多有4个零点，故D错误.二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分.9.关于的展开式，下列说法正确的是（）A.展开式共有6项 B.展开式的二项式系数之和为64C.展开式各项的系数之和为1 D.展开式中第4项的二项式系数最大答案：BCD解析：思路：根据二项式定理以及性质逐一求出.解答过程：展开式共项，故A错误；展开式的二项式系数之和为，故B正确；令，则，则展开式各项的系数之和为1，故C正确；共项，则展开式中第4项的二项式系数最大，故D正确.故选：BCD10.下列说法正确的是（）A.经验回归方程为时，变量与变量成正相关B.在做回归分析时，残差图中残差点分布的带状区域的宽度越窄表示回归效果越好C.若随机变量，且，则D.若随机变量，则，答案：BCD解析：解答过程：对于A，因为，所以变量与变量成负相关，故A错误，对于B，由残差的定义可知，残差图中残差点分布的带状区域的宽度越窄表示回归效果越好，所以B正确，对于C，因为随机变量，且，则，所以C正确，对于D，因为，则，所以D正确.11.设函数，则下列说法正确的有（）A.不等式的解集为B.函数在单调递增，在单调递减C.当时，总有恒成立D.若函数有两个极值点，则实数的取值范围为答案：ACD解析：思路：对于A：求导得和，解不等式即可判断选项；对于：对求导得，令，可分别求出的单调区间；对于C：求得在上单调递增，且，，，即可比较与的大小关系；对于D：求导得，令，化简得，再根据函数图象的交点来计算的取值范围.解答过程：由得，，则，，，对于A：因为，所以等价于，解得，所以选项正确；对于B：由，，令，解得，所以在上单调递增，令，解得，所以在上单调递减，所以选项错误；对于C：当时，，所以，因为，且在上单调递增，所以此时，又因为，所以时，总有恒成立，所以选项正确；对于D：，，若函数有两个极值点，则有两个不同的零点，令，化简得：，所以直线与函数的图象有两个不同的交点；的图象如图所示：当直线与函数的图象有两个不同的交点时，，解得，所以选项D正确；故选：ACD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.曲线在点处的切线方程为__________.答案：解析：思路：求出的值，利用点斜式可得出所求切线的方程.解答过程：因为，则，所以，，所以，曲线在点处的切线方程为，即.故答案为：.13.在的展开式中，常数项为__________．（用数字作答）答案：解析：解答过程：的常数项为.14.甲、乙、丙等位同学都要报名参加学校举办的项不同活动，每人仅报其中一项，要求每项活动至少有一人报名，则不同的报名方式种数是_________.（用数字作答）答案：解析：思路：先将位同学分成三组，再将每组分到项不同活动中，由分步计数原理，即可求解.解答过程：将位同学分成三组，有种分法，再将每组分到项不同活动中，有种方法，所以不同的报名方式种数是.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知函数.（1）求单调区间；（2）求在区间上的最大值和最小值.答案：（1）递增区间为，递减区间为；（2）最大值为2，最小值为.解析：思路：（1）求出函数的导数，再解导函数大于0、小于0的不等式得解.（2）由（1）的结论，确定在区间上单调性，进而求出最值.（1）函数的定义域为R，求导得，由，得或；由，得，所以函数的单调递增区间为，单调递减区间为.（2）由（1）知，在上单调递增，在上单调递减，而，，则，，所以在区间上的最大值和最小值分别为.16.在春节联欢晚会上进行了机器人团体舞蹈表演，某机构随机抽取了100名观众进行问卷调查，得到了如下数据：

喜欢不喜欢男性4010女性2030（1）依据的独立性检验，试分析对机器人表演节目的喜欢是否与性别有关联？（2）从这100名样本观众中任选1名，设事件“选到的观众是男性”，事件“选到的观众喜欢机器人团体舞蹈表演节目”，求的大小．附：，．0.0500.0100.0013.8416.63510.828答案：（1）与性别有关联；（2）．解析：思路：（1）提出零假设，并求出，与表中数据对比即可下结论；（2）根据古典概率或条件概率的计算公式求解即可.（1）零假设：对机器人表演节目的喜欢与性别无关．根据列联表中的数据得，依据的独立性检验，可以推断不成立，即对机器人表演节目的喜欢与性别有关联，此推断错误的概率不大于0.001．（2）方法一：依据题意，方法二：由条件概率公式得．17.从2016年1月1日起全国统一实施全面两孩政策，为了解适龄民众对放开生二孩政策的态度，某市选取80后作为调查对象，随机调查了10人，其中打算生二胎的有4人，不打算生二胎的有6人.（1）从这10人中随机抽取3人，记打算生二胎的人数为，求随机变量的分布列和数学期望；（2）若以这10人的样本数据估计该市的总体数据，且以频率作为概率，从该市80后中随机抽取3人，记打算生二胎的人数为，求随机变量的分布列和数学期望，方差.答案：（1）的分布列为：0123P，期望为（2）的分布列为：0123P，期望为，方差为解析：思路：由题可知服从超几何分布，c的取值为0，1，2，则易求的分布列和数学期望；由题意可知服从二项分布，且，计算即可求得随机变量的分布列和数学期望．（1）由题意知，的值为0，1，2，3，，，，，所以的分布列为：0123P；（2）由题意可知，全市70后打算生二胎的概率为，，1，2，3，且，，的分布列为：0123P.18.某景区在五一劳动节期间开展“致敬最美劳动者”主题游园活动，天的入园游客量统计数据如下：活动开展第天入园游客量（百人）（1）由数据看出，可用线性回归模型拟合与的关系，请计算相关系数（保留小数点后两位），并推断相关程度的强弱；（2）求经验回归方程以及表中第个观测的残差；（观测值减去预测值称为残差）（3）该景区在活动期间设置个打卡通道，记为通道①、通道②、通道③，游客入园时选择通道①、②、③的概率依次为、、；游客离园时，从原先入园通道离园的概率为，从另两个通道离园的概率均为，求游客从通道①离园的概率.附：参考公式：相关系数；回归直线方程，其中，；；答案：（1），相关程度很强（2），残差为百人（3）解析：思路：（1）求出、的值，利用公式求出相关系数的值，即可得出结论；（2）利用最小二乘法公式求出、的值，可得出回归直线方程，将代入回归直线方程，结合残差的概念求解即可；（3）记从通道入园的事件为，从通道离园的事件为，结合全概率公式求解即可.（1）由表格中的数