湖南省湘西州2025-2026学年高一下学期期末考试数学试卷-附解析

数学本试卷共6页，19个小题．满分150分，考试用时120分钟．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.（为虚数单位）的虚部为（）A. B.5 C. D.2.若集合，，则（）A. B. C. D.3.如图，向量等于（）A. B. C. D.4.函数的奇偶性（）A.仅取决于的值 B.与的值无关而与的值有关C.与和的值有关而与A的值无关 D.与A、、的值都有关5.抛掷一颗质地均匀的骰子，设事件“点数不大于4”，“点数大于3且小于6”，“点数是3的倍数”，“点数为奇数”，“点数为偶数”，则（）A.A，B为互斥事件 B.B，C为对立事件C.C，D为互斥事件 D.D，E为对立事件6.一个封闭的正三棱柱容器，内装水若干，水面高度为3（如图（1），底面处于水平状态）．将容器放倒（如图（2），一个侧面处于水平状态），若此时水面与各棱的交点E，F，，分别为所在棱的中点，则该正三棱柱容器的高为（）A.4 B.5 C.6 D.4.57.如图，四棱锥中，面，四边形为正方形，，与平面所成角的大小为，且，则四棱锥的外接球表面积为（）A.26π B.28πC.34π D.14π8.在锐角中，角、、的对边分别为、、，，则的最小值为（）A. B. C. D.二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.下列选项中，正确的是（）A.若两个相等的非零向量的起点相同，侧它们的终点可能不同B.若向量，则C.若向量，满足，则或D.若非零向量与共线，则，，三点共线10.有一组样本数据，，…，，其平均数、中位数、方差、极差分别记为，，，，由这组数据得到新样本数据，，…，，其中（，2，…，n且），其平均数、中位数、方差、极差分别记为，，，，则（）A. B. C. D.11.如图1，已知矩形中，，，E为中点，现将沿翻折后得到如图2的四棱锥，点F是线段上（不含端点）的动点，则下列说法正确的是（）A.当F为线段中点时，平面B.C.不存在点F，使平面D.当F为线段中点时，过点A，E，F的截面交于点M，则三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.________；13.欧拉公式（e为自然对数的底数，i为虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉创立，该公式建立了三角函数与指数函数的关系，在复变函数论中占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”．若复数，且复数z满足，则的最大值为________；14.已知非零向量，的夹角为，.对于任意的，恒成立，则______，的最小值为______.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知，（1）若，求与夹角的余弦值；（2）若，求的值.16.（身体质量指数）是目前国际上常用的衡量人体胖瘦程度以及是否健康的一个标准，其计算公式是：．中国成人的数值参考标准为：为偏瘦；为正常；为偏胖；为肥胖．某公司为了解公司员工的身体肥胖情况，研究人员从公司员工体检数据中，采用分层随机抽样的方法抽取了60名男员工，40名女员工的身高体重数据，通过计算男女员工的值，整理得到如下的频率分布直方图．（1）求频率分布直方图中a的值，并估计该公司员工为肥胖的百分比；（2）估计该公司员工的值的众数，中位数；（3）已知样本中60名男员工值的平均数为，根据频率分布直方图，估计样本中40名女员工值的平均数．17.如图，在四棱锥中，底面是边长为2的菱形，，是正三角形，E为线段的中点，F为线段的中点．（1）求证：平面；（2）求证：平面；（3）若平面平面，求异面直线与所成角的余弦值．18.A、B两队进行围棋比赛，A队有甲、乙、丙三位棋手，B队只有丁一位棋手．比赛规则如下：A队的三位棋手分别与丁对弈一盘，若一队棋手连胜两盘（负一盘）或连胜三盘，则该队获胜，若三盘比赛中没有一队获得连胜，则两队打平．已知甲、乙、丙分别与丁比赛且获胜的概率为、、，各盘比赛相互独立，且各盘比赛没有平局.丁连胜两盘、负一盘的概率为，连胜三盘的概率为．（1）若A队按甲、乙、丙的出场顺序与B队进行比赛，求；（2）若A队按甲、乙、丙的出场顺序与B队进行比赛，求A、B两队打平的概率；（3）通过计算判断A队怎样安排出场顺序对丁最有利．19.布洛卡点是三角形内部的一特殊的点，由法国数学家亨利·布洛卡于19世纪提出，它通过等角条件联系三角形边与顶点，其角度和位置揭示了三角形的对称性与比例特性，是经典几何学中兼具美学与实用价值的点.其定义如下：设是内一点，若，则称点为的布洛卡点，角为的布洛卡角.如图，在中，记它的三个内角分别为A，B，C，其对边分别为的面积为，点为的布洛卡点，其布洛卡角为，请完成以下各题：（1）若，求；（2）已知，①若，求的值；②若，求S.

数学本试卷共6页，19个小题．满分150分，考试用时120分钟．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.（为虚数单位）的虚部为（）A. B.5 C. D.答案：B解析：思路：先“分母实数化”，再整理化简，最后判断虚部即可.解答过程：因为,所以虚部是：5，故选：B.2.若集合，，则（）A. B. C. D.答案：C解析：思路：由补集运算即可得解.解答过程：∵，，∴.故选：C.3.如图，向量等于（）A. B. C. D.答案：B解析：解答过程：由图知，.4.函数的奇偶性（）A.仅取决于的值 B.与的值无关而与的值有关C.与和的值有关而与A的值无关 D.与A、、的值都有关答案：A解析：思路：根据函数的性质及诱导公式即可判断.解答过程：由于，不影响函数的奇偶性，仅影响函数值的大小，仅影响函数的周期，当时，，此时函数为偶函数；当时，，此时函数为奇函数.方法提示：5.抛掷一颗质地均匀的骰子，设事件“点数不大于4”，“点数大于3且小于6”，“点数是3的倍数”，“点数为奇数”，“点数为偶数”，则（）A.A，B为互斥事件 B.B，C为对立事件C.C，D为互斥事件 D.D，E为对立事件答案：D解析：思路：根据题意写出样本空间和各事件的样本点，再根据互斥和对立的定义，判断各选项正误.解答过程：抛掷一颗质地均匀的骰子，向上的点数为基本事件，则样本空间．．因为，所以A与B不互斥，A错误．因为，所以B与C互斥，但不对立，B错误．因为，所以C与D不互斥，C错误．因为，所以D与E对立，D正确．故选：D.6.一个封闭的正三棱柱容器，内装水若干，水面高度为3（如图（1），底面处于水平状态）．将容器放倒（如图（2），一个侧面处于水平状态），若此时水面与各棱的交点E，F，，分别为所在棱的中点，则该正三棱柱容器的高为（）A.4 B.5 C.6 D.4.5答案：A解析：解答过程：设正三棱柱的底面棱长为，高为，则，，则水的体积为，得，故该正三棱柱容器的高为7.如图，四棱锥中，面，四边形为正方形，，与平面所成角的大小为，且，则四棱锥的外接球表面积为（）A.26π B.28πC.34π D.14π答案：C解析：思路：依题意可将四棱锥补成长方体，则四棱锥的外接球也是长方体的外接球，由可求出的长，进而可求，即为外接球的直径，从而可得外接球的表面积.解答过程：如图，因为面，四边形为正方形，所以可将四棱锥补成长方体，则四棱锥的外接球也是长方体的外接球.由面，所以就是与平面所成的角，则，所以，设四棱锥的外接球的半径为，因为长方体的对角线的长即为其外接球的直径，所以，所以，所以四棱锥的外接球的表面积为.故选：C8.在锐角中，角、、的对边分别为、、，，则的最小值为（）A. B. C. D.答案：A解析：思路：利用余弦定理、正弦定理结合三角恒等变换化简得出，利用正弦函数的单调性化简得出，代入结合诱导公式以及基本不等式求解即可.解答过程：由及余弦定理可得，整理可得，由正弦定理可得，因为、，所以，因为，故，因为正弦函数在上为增函数，所以，故，所以，当且仅当时，即当时，等号成立，故的最小值为.二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.下列选项中，正确的是（）A.若两个相等的非零向量的起点相同，侧它们的终点可能不同B.若向量，则C.若向量，满足，则或D.若非零向量与共线，则，，三点共线答案：BD解析：思路：根据相等向量的定义即可判断选项A；若向量，则根据向量的运算法则可得，即可判断选项B；由向量的定义即可判断选项C；根据共线向量的定义即可判断选项D.解答过程：由相等向量定义可得：若两个相等的非零向量的起点相同，其终点一定相同，故选项A错误；若向量，则，所以，故选项B正确；由向量的定义可得向量，满足时，向量，可能共线也可能不共线，故选项C错误；若非零向量与共线，则，，三点共线，故选项D正确.故选：BD.10.有一组样本数据，，…，，其平均数、中位数、方差、极差分别记为，，，，由这组数据得到新样本数据，，…，，其中（，2，…，n且），其平均数、中位数、方差、极差分别记为，，，，则（）A. B. C. D.答案：ABD解析：思路：对于A，根据中位数的定义讨论即可判断；对于B，由方差的性质即可判断；对于C，由极差的定义判断即可；对于D，由方差、平均数的定义验算即可.解答过程：对于A，设，，…，已经从小到大排列好了，则，，…，是从小到大排列的或从大到小排列的，若是偶数，则，而无论如何最中间两个数总是，，若是奇数，则，而无论如何最中间的数总是，所以，所以，对于B，由方差的性质可得，，故B正确；对于C，当时，，当时，，故C错误；对于D，，所以，故D正确.故选：ABD.11.如图1，已知矩形中，，，E为中点，现将沿翻折后得到如图2的四棱锥，点F是线段上（不含端点）的动点，则下列说法正确的是（）A.当F为线段中点时，平面B.C.不存在点F，使平面D.当F为线段中点时，过点A，E，F的截面交于点M，则答案：ACD解析：思路：对于A，只需证明平面平面，再结合面面平行的性质即可判断；对于BC，利用反正法说明错误即可；对于D，首先得E，C分别为的中点，进一步根据几何形状判断即可.解答过程：对于A，取中点N，连接，，因为F为的中点，所以，因为平面，平面，所以平面，在矩形中，，，故四边形为平行四边形，所以，因为平面，平面，所以平面，又，平面，平面，所以平面平面，所以平面，故A正确；对于B，假设存在某个位置，使，取中点O，连接，，显然，而，，平面，∴平面，平面，∴，则，但，，不可能相等，所以不可能有，所以B选项错误；对于C，假设存在点F，使得平面成立，因为平面，所以，又因为且，，平面，所以平面，又因为平面，那么，又因为，则直角边大于斜边，矛盾，所以C选项正确；对于D，由题意得，平面，，由平面，得平面，延长，交于点H，连接，则平面平面，所以，故，由，，得E，C分别为的中点，若F为的中点，则，所以，即，故D正确.故选：ACD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.________；答案：##解析：解答过程：.13.欧拉公式（e为自然对数的底数，i为虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉创立，该公式建立了三角函数与指数函数的关系，在复变函数论中占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”．若复数，且复数z满足，则的最大值为________；答案：##解析：解答过程：因为，则，因为，所以，等号成立时当且仅当复数所对应的向量同向，故的最大值为.14.已知非零向量，的夹角为，.对于任意的，恒成立，则______，的最小值为______.答案：①.②.解析：思路：将不等式两边平方得，进而对于任意的恒成立，利用即可求解答题空1；再结合图形，利用几何意义及对称性即可求解答题空2.解答过程：由两边平方可得，即，∴对于任意的恒成立，∴，∴，即.∵，∴，∴.如图所示，设，，，，则，，∴.作点关于的对称点，连接，如图所示，则，∴当，，三点共线时，取得最小值.此时，，，，在中，由余弦定理可得，故.∴的最小值为.故答案为：；.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知，（1）若，求与夹角的余弦值；（2）若，求的值.答案：（1）（2）解析：思路：（1）求出坐标，由，求得，根据向量夹角公式求解；（2）由两向量平行的坐标关系求得，又，结合诱导公式和二倍角余弦公式求解.（1）由题：，所以，解得，所以，所以.（2），解得，，故.16.（身体质量指数）是目前国际上常用的衡量人体胖瘦程度以及是否健康的一个标准，其计算公式是：．中国成人的数值参考标准为：为偏瘦；为正常；为偏胖；为肥胖．某公司为了解公司员工的身体肥胖情况，研究人员从公司员工体检数据中，采用分层随机抽样的方法抽取了60名男员工，40名女员工的身高体重数据，通过计算男女员工的值，整理得到如下的频率分布直方图．（1）求频率分布直方图中a的值，并估计该公司员工为肥胖的百分比；（2）估计该公司员工的值的众数，中位数；（3）已知样本中60名男员工值的平均数为，根据频率分布直方图，估计样本中40名女员工值的平均数．答案：（1），（2）众数为，中位数为（3）解析：思路：（1）利用频率之和为1可计算的值，再结合频率分布直方图即可得肥胖的百分比；（2）利用频率分布直方图即可估计众数，中位数；（3）先计算整体的平均数，然后由分层抽样平均数的公式即可得解．（1）由题，，解得：，由频率分布直方图可得，该公司员工为肥胖的百分比为；（2）由频率分布直方图可得，众数为，因为，，故中位数在，设为，则；（3）设样本平均数为，则由频率分布直方图可得；，又，即，解得：．17.如图，在四棱锥中，底面是边长为2的菱形，，是正三角形，E为线段的中点，F为线段的中点．（1）求证：平面；（2）求证：平面；（3）若平面平面，求异面直线与所成角的余弦值．答案：（1）证明：连接，交于点，连接，因底面是边长为2的菱形，则点是的中点，又因F为线段的中点，则有，平面，平面，可得平面.（2）证明：因是正三角形，E为线段的中点，则有，又，，即为正三角形，且，因平面，则平面，又因，故得平面.（3）解析：思路：（1）连接，交于点，连接，证明，由线线平行证明线面平行即可；（2）利用等腰三角形的三线合一可证，，由线线垂直即可证得线面垂直；（3）取的中点，连接，得到即与所成角或其补角，利用余弦定理求得，通过证明平面得到，求出，在中，结合，，利用余弦定理即可求得答案.（1）略（2）略（3）如图，取的中点，连接，则，且，故即与所成角或其补角.因，由余弦定理，，又因平面平面，平面平面，，平面，故平面，又平面，则，又,故，由（2）已得平面，因平面，故，则，又，则在中，由余弦定理，，即异面直线与所成角的余弦值为.18.A、B两队进行围棋比赛，A队有甲、乙、丙三位棋手，B队只有丁一位棋手．比赛规则如下：A队的三位棋手分别与丁对弈一盘，若一队棋手连胜两盘（负一盘）或连胜三盘，则该队获胜，若三盘比赛中没有一队获得连胜，则两队打平．已知甲、乙、丙分别与丁比赛且获胜的概率为、、，各盘比赛相互独立，且各盘比赛没有平局.丁连胜两盘、负一盘的概率为，连胜三盘的概率为．（1）若A队按甲、乙、丙的出场顺序与B队进行比赛，求；（2）若A队按甲、乙、丙的出场顺序与B队进行比赛，求A、B两队打平的概率；（3）通过计算判断A队怎样安排出场顺序对丁最有利．答案：（1）（2）（3）A队按乙、丙、甲或甲、丙、乙的出场顺序与B队进行比赛时对丁最有利解析：思路：（1）因为A队按甲、乙、丙的出场顺序与B队进行比赛，所以丁连胜两盘、负一盘，则其中第二盘必胜，即丁对乙必胜，计算出，再计算出连胜三盘的概率，从而计算出；（2）设A、B两队打平的概率为，那么分两种情况，事件C：第二盘为丁胜，第一、三盘分别为甲、丙胜；事件D：第二盘为乙胜，第一、三盘都是丁胜，则C与D为互斥事件；（3）设丁获胜的概率为p．分别计算出A队按甲、乙、丙的出场顺序与B队进行比赛、A队按丙、乙、甲的出场顺序