湖南省岳阳市2025-2026学年高二下学期期末考试数学试卷-附解析

数学本试卷共4页，19道题，满分150分，考试用时120分钟．一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知复数满足（为虚数单位），则的共轭复数的虚部为（）A. B. C. D.2.下列说法正确的是（）A.函数的定义域为B.函数图象关于点成中心对称C.函数的最小值为D.若幂函数在上为减函数，则的值为3.已知，，则（）A. B. C. D.4.某班数学建模小组由4名男生和2名女生组成，现在从中任选2名学生参加活动，则选中的2名学生性别相同的概率是（）A. B. C. D.5.已知集合，，则的必要不充分条件可能是（）A. B. C. D.6.已知数列是公差为的等差数列，若，，依次构成公比为的等比数列，则（）A. B. C. D.7.已知函数的定义域为，且对于任意实数，，都有，若函数在定义域内的最大值为，最小值为，则（）A. B. C. D.8.设，分别是椭圆（）的左、右焦点，直线过交椭圆于，两点（点在轴下方），交轴正半轴于点，已知椭圆的离心率，且，则（）A. B. C. D.二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.若构成空间的一个基底，则下列不能构成空间的一个基底的是（）A. B.C. D.10.已知双曲线：，则（）A.双曲线的实轴长为3B.双曲线的焦点到渐近线的距离为1C.若直线与的右支有两个公共点，则D.存在过点的直线与相交于，，且点为的中点11.设，，（）是函数的三个零点，则（）A.B.C.设命题：，，成等差数列，命题：，，成等比数列，则是的充要条件D.若，，成等差数列，则三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.用斜二测画法画水平放置的正方形的直观图，得到一个平行四边形，若该平行四边形的较长的一边长为，则原正方形的面积为____________．13.的展开式中，各项的系数和为____________．14.若关于的不等式在上恒成立，则实数的最大值是____________．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.记为等比数列的前项和，已知，，且．（1）求的通项公式；（2）若的各项呈现正负相间的变化规律，求，判断，，是否成等差数列，并说明理由．16.某新能源汽车公司近年的年销量（单位：万辆）与投入的年研发经费（单位：千万元）如下表所示：（1）根据散点图可以认为与之间存在线性相关关系，请用最小二乘法求出关于的线性回归方程；（2）已知该新能源汽车公司从配件到汽车实现了一体化生产，设为单个零件的加工成本（单位：元），该公司的某配件加工线加工的单个零件尺寸与标准件尺寸的误差，且；引进该公司最新研发的某技术后，加工的单个零件尺寸与标准件尺寸的误差，且．试计算引进技术后，单个零件的加工成本下降了多少元．附：①参考公式：，；②若随机变量服从正态分布，则，．17.如图，四棱柱中，平面，平面平面．过，，三点的平面记为，与的交点为，．（1）求的值；（2）若，，二面角的大小为，求四棱柱的体积．18.已知函数（）．（1）若，求曲线在处的切线方程；（2）试讨论函数的极值点个数；（3）若对任意，都有恒成立，求实数的取值范围．19.已知抛物线：（）的焦点为，设点，，其中，点是抛物线在第一象限的部分曲线上的一个动点，当直线的倾斜角为时，．（1）求的方程；（2）若线段与相交于点（不与点重合），过点作轴的垂线，交于点（位于第四象限），求证：，，三点共线；（3）在条件（2）下，已知，直线交轴于点，若以点为圆心，点到轴的距离为半径的圆与一条经过点的直线交于，两点，求的最小值．

数学本试卷共4页，19道题，满分150分，考试用时120分钟．一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知复数满足（为虚数单位），则的共轭复数的虚部为（）A. B. C. D.答案：C解析：解答过程：由，可得,则，其虚部为2.2.下列说法正确的是（）A.函数的定义域为B.函数图象关于点成中心对称C.函数的最小值为D.若幂函数在上为减函数，则的值为答案：B解析：解答过程：函数的定义域为，即，选项A错误；当时，，又因为函数图象关于点中心对称，所以函数图象关于点成中心对称，选项B正确；当时，函数，选项C错误；因为函数是幂函数，所以，解得或，当时，幂函数在上为增函数；当时，幂函数在上为减函数，所以，选项D错误.3.已知，，则（）A. B. C. D.答案：D解析：思路：由向量加法坐标运算可得坐标，然后由向量模的坐标计算方式结合三角函数知识可得答案.解答过程：，则.4.某班数学建模小组由4名男生和2名女生组成，现在从中任选2名学生参加活动，则选中的2名学生性别相同的概率是（）A. B. C. D.答案：C解析：解答过程：由题意可知，选中的2名学生的性别相同的概率．5.已知集合，，则的必要不充分条件可能是（）A. B. C. D.答案：B解析：思路：分集合和讨论求解，先确定的充要条件，再确定其必要不充分条件.解答过程：因为或.若，则，解得，即A非空；若，由，此时.所以的充要条件为：.对于A，为充要条件，不符合题意；对于B，成立推不出，但成立，必有，故B符合题意；对于C，是的充分不必要条件，不符合题意；对于D，推不出，也推不出，不符合题意.6.已知数列是公差为的等差数列，若，，依次构成公比为的等比数列，则（）A. B. C. D.答案：C解析：思路：利用等比中项结合是公差为的等差数列，列出方程即可求解．解答过程：由题得，，，所以，整理得，所以，则，所以．7.已知函数的定义域为，且对于任意实数，，都有，若函数在定义域内的最大值为，最小值为，则（）A. B. C. D.答案：A解析：思路：由题可得为奇函数，为奇函数，然后由奇函数性质可得答案.解答过程：因对于任意实数，，都有，令，可得，再令，则，从而为奇函数.注意到，结合为R上奇函数，为R上偶函数，可得为R上奇函数，由题可得存在，且为，存在，且为.又由奇函数性质可得，从而.8.设，分别是椭圆（）的左、右焦点，直线过交椭圆于，两点（点在轴下方），交轴正半轴于点，已知椭圆的离心率，且，则（）A. B. C. D.答案：D解析：思路：由题意可得，设，进而得到，，，再根据余弦定理建立方程求解即可.解答过程：由题意，，即，由于，，则，设，则，在中，，，，由余弦定理得，则，解得，即.二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.若构成空间的一个基底，则下列不能构成空间的一个基底的是（）A. B.C. D.答案：AB解析：解答过程：空间基底判定：三个向量不共面才能构成空间基底；若存在不全为0实数使，则三向量共面，不能作为基底，A：因为，系数不全为0，所以三向量共面，不能构成基底；B：因为，系数全为1不全为0，所以三向量共面，不能构成基底；C：设，整理：，不共面，解得唯一解，所以三向量不共面，可以构成基底；D：设，整理：，不共面，解得唯一解，所以三向量不共面，可以构成基底.10.已知双曲线：，则（）A.双曲线的实轴长为3B.双曲线的焦点到渐近线的距离为1C.若直线与的右支有两个公共点，则D.存在过点的直线与相交于，，且点为的中点答案：BC解析：思路：由实轴的定义计算可判断A选项；利用点到直线的距离公式可判断B选项；联立方程组后解不等式可判断C选项；设出直线方程，联立后利用韦达定理可判断D选项．解答过程：对于A，由题意可知，，，，则实轴长，故A错误；对于B，渐近线方程为，即，焦点为，则焦点到渐近线距离为，故B正确；对于C，联立得，由于直线与的右支有两个公共点，设两交点的横坐标分别为，则，，，，解得，故C正确；对于D，若存在过点的直线与相交于，且为的中点，则该直线的斜率必然存在，设直线方程为，设的横坐标分别为，则，联立，得，故，此方程无解，故不存在过点的直线与相交于，且点为的中点，故D错误．11.设，，（）是函数的三个零点，则（）A.B.C.设命题：，，成等差数列，命题：，，成等比数列，则是的充要条件D.若，，成等差数列，则答案：ACD解析：思路：参变分离后构造函数，结合导数研究其单调性后可得A、B；结合等差、等比数列性质与指数运算性质计算可得C、D.解答过程：当时，，显然不满足题意；当时，，只有1个零点，不满足题意；当时，由，得，设，则函数与有3个交点，而，令，得或；令，得，则函数在和上单调递减，在上单调递增，而，，时，，如下图：由图可知，，，则，故A正确，B错误；对于C，由题意得，则，由于，，成等差数列，则，故，而，所以，故，，成等比数列，同理，若，，成等比数列，可得，即，可得，即可得到，，成等差数列，所以是的充要条件，故C正确；对于D，由C知，若，，成等差数列，则，且，所以，化简得，则，解得或，又，则，即，故，即，又，故舍去，所以，则，故D正确.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.用斜二测画法画水平放置的正方形的直观图，得到一个平行四边形，若该平行四边形的较长的一边长为，则原正方形的面积为____________．答案：16解析：解答过程：如图，由直观图的斜二测画法知，平行于轴的线段长度不变，平行于轴的线段长度减半.已知得到的平行四边形较长的一边为4，所以4即为原正方形的边长.所以面积为.13.的展开式中，各项的系数和为____________．答案：1解析：解答过程：在的展开式中，令,代入即得各项的系数和为.14.若关于的不等式在上恒成立，则实数的最大值是____________．答案：解析：思路：将问题转化为在上恒成立,然后构造函数，利用单调性，得到，再构造函数，求出最小值即可得解.解答过程：由题意可知,由，变形得，即等价于，即；令，因为，所以在上单调递增，由，可得，所以，等价于，令，则，当时，，函数单调递减；当时，，函数单调递增；所以，因此，即得，即实数的最大值为.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.记为等比数列的前项和，已知，，且．（1）求的通项公式；（2）若的各项呈现正负相间的变化规律，求，判断，，是否成等差数列，并说明理由．答案：（1）或（2），，成等差数列，理由如下：由（1）知，且的各项呈现正负相间的变化规律，则，即，所以.因为，即，所以，，成等差数列．解析：思路：（1）由求出首项，再通过对用首项公比展开进一步化简求出公比，最后得到通项公式（2）由题目要求得到公比，再有（1）中的通项公式，求出的通项公式.再验证的值.（1）设数列的首项为，公比为，因为，则，可得，且，则，可知，，可得，解得，所以或.（2）略16.某新能源汽车公司近年的年销量（单位：万辆）与投入的年研发经费（单位：千万元）如下表所示：（1）根据散点图可以认为与之间存在线性相关关系，请用最小二乘法求出关于的线性回归方程；（2）已知该新能源汽车公司从配件到汽车实现了一体化生产，设为单个零件的加工成本（单位：元），该公司的某配件加工线加工的单个零件尺寸与标准件尺寸的误差，且；引进该公司最新研发的某技术后，加工的单个零件尺寸与标准件尺寸的误差，且．试计算引进技术后，单个零件的加工成本下降了多少元．附：①参考公式：，；②若随机变量服从正态分布，则，．答案：（1）（2）8元解析：思路：（1）由已知数据求出线性回归方程的系数得线性回归方程；（2）根据正态分布的概率公式求得使用新技术前后的成本均值后可得.（1）由表格数据可得，，，，所以，所以所以，y关于x的线性回归方程为；（2）未使用新技术前，记单个零件的加工成本为，，所以，，又，即，所以，所以（元）使用新技术后，记单个零件的加工成本为，，所以，，，即，所以，所以（元），（元），所以单个零件加工的成本下降了8元17.如图，四棱柱中，平面，平面平面．过，，三点的平面记为，与的交点为，．（1）求的值；（2）若，，二面角的大小为，求四棱柱的体积．答案：（1）3（2）解析：思路：（1）利用面面平行的性质可得，，进而可得，进而可求得的值；（2）作于，连接，根据线面垂直的判定定理与性质确定为二面角的平面角，求得，结合柱体的体积公式计算即可求解.法二：由向作垂线，垂足为，过作，交于，设，，建立空间直角坐标系，求得平面和平面的法向量，利用向量法可求得，进而可求得四棱柱的体积．（1）因为平面平面，平面平面，平面平面所以，同理可证，在四棱柱中，所以，，所以，所以；（2）法一：因为，，，四点共面，平面即平面，二面角大小为，即二面角大小为，作于，连接，因为平面，平面，所以，又，，，平面，所以平面，又平面，所以，所以二面角的平面角为，即，所以，所以．所以，，所以，所以四棱柱的体积．法二：由向作垂线，垂足为，过作，交于．所以直线，，两两垂直，以为原点，分别以直线，，为，，轴，建立空间坐标系，如图所示：设，，，，，所以四棱柱的体积，，，，，，，，设平面和平面的法向量分别为，，易得，，取，可得，设二面角的平面角为，解得；所以，即四棱柱的体积为.18.已知函数（）．（1）若，求曲线在处的切线方程；（2）试讨论函数的极值点个数；（3）若对任意，都有恒成立，求实数的取值范围．答案：（1）（2）当时，有两个极值点；当时，无极值点．（3）解析：思路：（1）由条件求，再由导数的几何意义求切线的斜率，利用点斜式求切线方程并化简；（2）求导，令，分情况讨论方程的根的情况，进而可求得函数的极值点个数；（3）条件可转化为在上恒成立，令，利用导数求得的最小值，由此可得实数的取值范围．（1）若，，，则，，所以在处的切线方程为：，即．（2）（