吉林省长春市汽车经济技术开发区第三中学2025-2026学年高二下学期7月期末考试数学试卷-附解析

数学总分150分，考试时间120分钟．第Ⅰ卷（选择题）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知全集，集合，则（）A. B.C. D.2.函数零点所在区间为（）A. B. C. D.3.已知正态分布，若，则（）A.0.2 B.0.3 C.0.4 D.0.64.若函数为幂函数，则函数在定义域内为（）A.增函数 B.减函数 C.偶函数 D.奇函数5.已知，，，则，，的大小关系为（）A. B. C. D.6.某教师准备给班级的同学安排座位，已知某组有4排（每排2个座位），需要将8位同学，，…，安排到该组中，若同学、，同学、确定坐同桌，则该教师共有（）种排座位的方法.（注：不考虑同排中左右的顺序）A.72 B.108 C.156 D.1967.已知函数，若对任意实数，都有，则实数的取值范围为（）A. B. C. D.8.设函数的定义域为，且是奇函数，是偶函数，则一定有（）A. B.C. D.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.以下四个命题中，是真命题的有（）A.若命题，则的否定为：B.若，则C.D.“”是“”的必要不充分条件10.某车间加工同一型号零件，第一台和第二台车床加工的零件分别占总数的30%，70%，各自产品中的次品率分别为4%，3%，记“任取一个零件为第台车床加工”为事件，“任取一个零件是次品”为事件，则（）A. B.C. D.11.已知函数，若方程有四个不同的实数解，它们从小到大依次记为则（）A. B.C. D.第II卷（非选择题）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.由样本数据（），求得回归直线方程为，且，，则相应于样本点的残差值为______．13.的展开式中，的系数为________．14.将3个1，3个2，3个3共9个数分别填入如图方格中，使得每行、每列的和都是3的倍数的不同填法种数为__________.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知离散型随机变量的分布列为：12340.30.40.1（1）求的值；（2）求；（3）求.16.为了解某市高中学生喜爱打篮球是否与性别有关，从该市若干所学校的全部高中学生中随机抽取100名学生进行调查．得到了如下的列联表：性别打篮球合计不喜爱喜爱男生254570女生201030合计4555100（1）依据小概率值的独立性检验，能否认为学生喜爱打篮球与性别有关？（2）现按是否喜爱打篮球的比例分配从样本女生30人中，按分层随机抽样的方法抽取6人，再从这6人中随机抽取3人进行进一步调查，记抽到的3人中不喜爱打篮球的人数为，求的分布列和均值；（3）若将频率视作概率，用样本估计总体，从全市所有高中学生中随机抽取40人进行调查，记40人中喜爱打篮球的人数为，求的均值和方差．附：，．0.100.050.0100.0050.0012.7063.8416.6357.87910.82817.定义在非零实数集上的函数满足，且是区间上的递增函数.（1）求的值；（2）证明：函数是偶函数；（3）解不等式.18.某科研团队在训练一款AI图象识别模型时发现：在持续的训练过程中，随着训练时间（单位：）的加长，模型相对准确率期待值会增加．下表是部分统计数据：为了描述模型相对准确率期待值随时间变化的关系，现有以下三种函数模型供选择：①，②，③．（1）选出最符合实际的函数模型，并求出的表达式；（2）当相对准确率期待值不小于时，模型进入可用阶段，请问此模型至少需要训练多少小时才能进入可用阶段？（保留一位小数，参考数据，）（3）记，为了衡量模型训练综合效率，定义效率函数为，其中为效率系数．若要保证时，的最小值为，求的值．19.某高中的足球社团组织甲、乙、丙三人进行传球游戏．传球规则如下：依据掷骰子的点数决定持球者将球传给谁．当足球在甲处时，若掷出骰子的点数大于4，则传给乙，否则留在甲处（也算一次传球）；当足球在乙处时，若掷出骰子的点数大于3，则传给甲，否则传给丙；当足球在丙处时，若掷出骰子的点数大于2，则传给甲，否则传给乙．假设初始时足球在甲处，经过次掷骰子（即次传球）后，足球在甲处的概率为．（1）求，；（2）三次掷骰子过程中，记每次掷骰子后足球在甲处的次数总和为，求的分布列和数学期望；（3）次掷骰子过程中，记每次掷骰子后足球在甲处的次数总和为，求的数学期望．附：若随机变量服从两点分布，且，，，，，则．

数学总分150分，考试时间120分钟．第Ⅰ卷（选择题）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知全集，集合，则（）A. B.C. D.答案：C解析：解答过程：等价于，解得，即.所以.2.函数零点所在区间为（）A. B. C. D.答案：B解析：解答过程：因函数与都是上的增函数，则也是上的增函数，又，故函数有唯一的零点，其所在区间为.3.已知正态分布，若，则（）A.0.2 B.0.3 C.0.4 D.0.6答案：A解析：思路：对于正态分布，则正态曲线关于直线对称，然后利用对称性即可求解.解答过程：因为正态分布，所以正态曲线关于直线对称，即，又因为，所以，因为和关于对称，所以.4.若函数为幂函数，则函数在定义域内为（）A.增函数 B.减函数 C.偶函数 D.奇函数答案：D解析：思路：先求出的值，再根据幂函数的性质进行判断即可.解答过程：因为函数为幂函数，所以，解得，所以，所以函数在和上单调递减，且为奇函数.5.已知，，，则，，的大小关系为（）A. B. C. D.答案：A解析：思路：使用作差法并借助中间值比较大小.解答过程：，，，，故，故．6.某教师准备给班级的同学安排座位，已知某组有4排（每排2个座位），需要将8位同学，，…，安排到该组中，若同学、，同学、确定坐同桌，则该教师共有（）种排座位的方法.（注：不考虑同排中左右的顺序）A.72 B.108 C.156 D.196答案：A解析：解答过程：同学，已是同桌，，已是同桌，故只需为剩下4位同学安排同桌，从4个人中选2个人做同桌，剩下2个人也做同桌，然后安排组当中的前后顺序，故排座位的方法数共有：种，故选A.7.已知函数，若对任意实数，都有，则实数的取值范围为（）A. B. C. D.答案：A解析：思路：由对任意实数，都有，得到，从而得到在上是单调递减函数，利用单调性得到的取值范围.解答过程：因为对任意实数，都有，所以，所以在上是单调递减函数，所以，所以实数的取值范围为，故选项A正确.8.设函数的定义域为，且是奇函数，是偶函数，则一定有（）A. B.C. D.答案：D解析：思路：根据奇函数与偶函数的定义可知，是奇函数，是偶函数，那么，，通过代换计算出函数的周期及特殊点的函数值即可求解.解答过程：根据奇函数与偶函数的定义可知，是奇函数，是偶函数，那么，，又函数的定义域为，所以，令，得

，即，令，得

即，所以，，又，所以，，令，得，所以，令，得

，即由可得

，故函数周期为4,，故选项D正确，对于选项A，构造函数,，周期为4，但，选项A不一定成立，故A错误；对于选项B，同样构造函数，，选项B不一定成立，故B错误；对于选项C，，结合选项A可知，不一定成立，故C错误.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.以下四个命题中，是真命题的有（）A.若命题，则的否定为：B.若，则C.D.“”是“”的必要不充分条件答案：ACD解析：思路：根据含有一个量词的命题否定可判断A；根据不等式的性质可判断B；利用二次函数的值域即可判断C；由命题所含范围的包含关系即可推断D.解答过程：对于A，若命题，则的否定为：，故A正确；对于B，若，则，即，故B错误；对于C，因为，所以为真命题，故C正确；对于D，因为是的真子集，所以“”是“”的必要不充分条件，故D正确.10.某车间加工同一型号零件，第一台和第二台车床加工的零件分别占总数的30%，70%，各自产品中的次品率分别为4%，3%，记“任取一个零件为第台车床加工”为事件，“任取一个零件是次品”为事件，则（）A. B.C. D.答案：BC解析：思路：根据条件概率定义、乘法公式、全概率公式、对立事件性质分别计算各选项对应概率，判断正误.解答过程：对于A：由乘法公式可得，A错误；对于B：表示任取一个零件是第1台车床加工的条件下为次品的概率，即第一台车床的次品率为，B正确；对于C：由全概率公式可得，C正确；对于D：由于仅两台车床加工零件，因此，可得，不满足大于关系，故D错误11.已知函数，若方程有四个不同的实数解，它们从小到大依次记为则（）A. B.C. D.答案：ACD解析：思路：将方程的实数解个数问题转换为两个函数的交点问题，即可求出k的取值范围，并得到之间的关系，其中，是方程的实数根，根据二元一次方程和韦达定理即可找到关系；，满足等式，利用对数运算即可求解范围.解答过程：当时，，在单调递减，，在单调递增，；当时，，在单调递减，，在单调递增，，若有四个不同的实数解，则，A正确；因为，由，，所以，B错误；，根据韦达定理可知中，C正确；，，所以，D正确.故选：ACD.第II卷（非选择题）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.由样本数据（），求得回归直线方程为，且，，则相应于样本点的残差值为______．答案：1解析：思路：由残差公式求解即可．解答过程：将点代入回归直线方程为，得，得，即，则样本点的残差值为：．13.的展开式中，的系数为________．答案：9解析：思路：利用通项公式求解.解答过程：的通项公式为，,第一部分产生，令9-3r2不是整数，此部分无项，系数为0；第二部分产生，，令,解得，此部分系数为，所以系数为0+9=9.14.将3个1，3个2，3个3共9个数分别填入如图方格中，使得每行、每列的和都是3的倍数的不同填法种数为__________.答案：24解析：思路：每行，每列的和为3的倍数有两种可能，即每行每列数字相同或1，2，3各一个，利用排列组合知识求出种类数即可.解答过程：每行，每列的和为3的倍数有两种可能：①每行或每列的数字相同，有种方法，②每行或每列的数字1，2，3各一个，有种方法.所以每行，每列的和都是3的倍数的不同填法种数为故答案为：24.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知离散型随机变量的分布列为：12340.30.40.1（1）求的值；（2）求；（3）求.答案：（1）（2）（3）解析：（1），；（2）；（3）.所以16.为了解某市高中学生喜爱打篮球是否与性别有关，从该市若干所学校的全部高中学生中随机抽取100名学生进行调查．得到了如下的列联表：性别打篮球合计不喜爱喜爱男生254570女生201030合计4555100（1）依据小概率值的独立性检验，能否认为学生喜爱打篮球与性别有关？（2）现按是否喜爱打篮球的比例分配从样本女生30人中，按分层随机抽样的方法抽取6人，再从这6人中随机抽取3人进行进一步调查，记抽到的3人中不喜爱打篮球的人数为，求的分布列和均值；（3）若将频率视作概率，用样本估计总体，从全市所有高中学生中随机抽取40人进行调查，记40人中喜爱打篮球的人数为，求的均值和方差．附：，．0.100.050.0100.0050.0012.7063.8416.6357.87910.828答案：（1）能认为学生喜爱打篮球与性别有关；（2）的分布列为：123的均值为2；（3）的均值为22，方差为9.9.解析：思路：（1）求出的值，根据的值及独立性检验的意义即可判断；（2）先求出抽出的人数中，不喜爱和喜爱打篮球的人数，从而可得的取值情况，求出对应的概率，即可列出分布列，再由均值公式求解即可；（3）由二项分布求解即可.（1）由题意可得，所以在犯错的概率不超过的情况下，认为学生喜爱打篮球与性别有关；（2）由题意可得抽取的6名女生中，不喜爱打篮球的人数为人，喜爱打篮球的人数为人，所以，且，，，所以的分布列为：123所以；（3）因为喜欢打篮球的人数的概率为，所以，所以，.17.定义在非零实数集上的函数满足，且是区间上的递增函数.（1）求的值；（2）证明：函数是偶函数；（3）解不等式.答案：（1）1（2）因为的定义域为，，令，得，即，所以函数为偶函数.（3）解析：思路：（1）令，求得，再令，求得；（2）令，根据偶函数定义证明；（3）利用偶函数性质将不等式变形为，再根据单调性求解.（1）由，令，得，得，令，得，解得.（2）略（3）不等式，即，，由为偶函数，得，又是区间上的递增函数，，解得或，所以不等式的解集为.18.某科研团队在训练一款AI图象识别模型时发现：在持续的训练过程中，随着训练时间（单位：）的加长，模型相对准确率期待值会增加．下表是部分统计数据：为了描述模型相对准确率期待值随时间变化的关系，现有以下三种函数模型供选择：①，②，③．（1）选出最符合实际的函数模型，并求出的表达式；（2）当相对准确率期待值不小于时，模型进入可用阶段，请问此模型至少需要训练多少小时才能进入可用阶段？（保留一位小数，参考数据，）（3）记，为了衡量模型训练综合效率，定义效率函数为，其中为效率系数．若要保证时，的最小值为，求的值．答案：（1）选模型③，（2）至少需要小时（3）解析：思路：（1）根据的增长速度可选择模型③，再结合表格中的数据可求得模型的函数解析式；（2）解不等式，可得结论；（3）求得，且，，于是得出，构造函数，其中，由题意可知函数在上的最小值为，然后对实数的取值进行分类讨论，分析函数在区间上单调性，结合可求得实数的值.（1）由表格中的数据可知，随着的增大，函数的值增长得越来越快，模型①②中，随着的增大，的值增长的速度越来越慢，不符合要求，模型③中，随着的增大，的值增长的速度越来越快，符合要求，根据题意可得，解得，，则，此时，，，故符合题意.（2）由，可得，所以，故，所以此模型至少需要训练小时才能进入可用阶段.（3）由题意可得，因为，即，所以，因为函数、在上均为增函数，故函数在上为增函数，故当时，，设，其中，由题意可知函数在上的最小值为，因为二次函数的图象开口向上，对称轴为直线，①当时，即当时，函数在上单调递增，所以，解得，符合题意；②当时，即当时，函数在上单调递减，在上单调递增，此时，解得（舍去）.综上所