江苏省南京市2026届高三上学期9月学情调研数学试卷-附解析

数学考试时间为120分钟，试卷满分150分，考试形式闭卷．一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把答案填涂在答题卡相应位置上．1.已知是虚数单位，则复数的实部为（）A. B.1 C. D.i2.有一组样本数据1，2，2，2，3，5，去掉1和5后，相较于原数据不变的是（）A.平均数 B.极差 C.方差 D.中位数3.已知，若集合，则“”是“”的（）A.充分且不必要条件 B.必要且不充分条件C.充要条件 D.既不充分又不必要条件4.的展开式中的系数为（）A.-20 B.-15 C.15 D.205.要得到函数的图象，只需将函数的图象()A.向左平移个单位长度B.向右平移个单位长度C.向上平移个单位长度D.向下平移个单位长度6.设等比数列的前项和为，若，则（）A.8 B.10 C.14 D.187.已知点，线段为的一条直径．设过点且与相切的两条直线的斜率分别为，则（）A. B. C. D.8.数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，如星形线等．某星形线如图所示，已知该曲线上一点的坐标可以表示为，若，且，则（）A. B. C.2 D.二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，请把答案填涂在答题卡相应位置上．全部选对得6分，部分选对得部分分，不选或有选错的得0分．9.若，则（）A. B. C. D.10.已知向量，则下列说法正确的是（）A.若，则 B.若，则C.在上的投影向量为 D.的最小值为11.已知函数，则（）．A.B.在上单调递减C.D.在上有且仅有1个零点三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．请把答案填写在答题卡相应位置上．12.已知椭圆的离心率为，则实数___________．13.记的内角的对边分别为，若，则___________．14.已知球的半径为是球面上两点，过的平面与球面的交线为圆，且四点不共面．若平面与平面的夹角为，则四面体体积的最大值为___________．四、解答题：本大题共5小题，共77分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．15.袋中有8个大小相同的球，其中有3个黄球、5个白球，从中随机地连续抽取2次，每次取1个球．（1）若每次抽取后都放回，设取到黄球的个数为，求；（2）若每次抽取后都不放回，设取到黄球的个数为，求的分布列和数学期望．16.对于数列，记，称数列为数列的差分数列．（1）已知，证明：的差分数列为等差数列；（2）已知的差分数列为，求的通项公式．17.如图，直三棱柱中，分别为和的中点．（1）证明：平面；（2）若，求与平面所成角的正弦值．18.已知双曲线的左、右焦点分别为，且．过的直线与交于两点．（1）求的方程；（2）若均在的右支上，且的周长为，求的方程；（3）是否存在轴上的定点，使得为定值？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．19.已知函数，其中．（1）当时，若直线是曲线的一条切线，求的值；（2）讨论的单调性；（3）若集合中有且仅有一个元素，求的取值范围．

数学考试时间为120分钟，试卷满分150分，考试形式闭卷．一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把答案填涂在答题卡相应位置上．1.已知是虚数单位，则复数的实部为（）A. B.1 C. D.i答案：B解析：思路：利用复数的除法求出复数，进而求出其实部.解答过程：复数，所以的实部为1.故选：B2.有一组样本数据1，2，2，2，3，5，去掉1和5后，相较于原数据不变的是（）A.平均数 B.极差 C.方差 D.中位数答案：D解析：思路：根据平均数，极差，中位数的计算即可比较求解，利用方差的性质即可求解C.解答过程：样本数据1，2，2，2，3，5的平均数为，极差为4，中位数为2，去掉1和5后的数据的平均数为，极差为1，中位数为2，故平均数和极差都发生变化，中位数不改变，由于去掉1和5后，数据的波动性更小，故相比较于原数据，方差变小，故ABC错误，D正确.故选：D.3.已知，若集合，则“”是“”的（）A.充分且不必要条件 B.必要且不充分条件C.充要条件 D.既不充分又不必要条件答案：A解析：思路：利用集合的包含关系求出，再利用充分条件、必要条件的定义判断即得.解答过程：由，得，而，因此或，所以“”是“”的充分且不必要条件.故选：A4.的展开式中的系数为（）A.-20 B.-15 C.15 D.20答案：C解析：思路：直接利用二项式定理计算得到答案.解答过程：展开式的通项为，取，得.即的系数为.故选：C.5.要得到函数的图象，只需将函数的图象()A.向左平移个单位长度B.向右平移个单位长度C.向上平移个单位长度D.向下平移个单位长度答案：A解析：思路：由题可得：,利用图像平移的规则求解即可.解答过程：由题可得：,所以只需将函数的图象向左平移个单位长度得到函数的图象；故选：A6.设等比数列的前项和为，若，则（）A.8 B.10 C.14 D.18答案：A解析：思路：根据等比数列片段和的性质即可得到成等比数列，再计算即可得到答案.解答过程：等比数列中，成等比数列，成等比数列，，故选：A．7.已知点，线段为的一条直径．设过点且与相切的两条直线的斜率分别为，则（）A. B. C. D.答案：D解析：思路：根据可得圆心和半径，进而根据点到直线的距离公式，结合相切即可求解.解答过程：由于点，线段为的一条直径，故圆心,即，圆的半径为,由题意可知两条切线的斜率均存在，故设切线方程为，由相切可得，化简可得，故是方程的两个根，故故选：D8.数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，如星形线等．某星形线如图所示，已知该曲线上一点的坐标可以表示为，若，且，则（）A. B. C.2 D.答案：D解析：思路：根据同角三角函数的基本关系及立方和公式化简求值即可.解答过程：，，，令，则，，即，，，，解得，故选：D二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，请把答案填涂在答题卡相应位置上．全部选对得6分，部分选对得部分分，不选或有选错的得0分．9.若，则（）A. B. C. D.答案：BD解析：思路：对于AB可用作差比较法比较大小即可判断，对于C，根据对数函数性质，易知当时，从而排除C项；对于D，可用不等式的性质直接推得．解答过程：对于A，由，则，由，可得，故A错误；对于B，由，则，故，即，故B正确；对于C，因，当时，，故C错误；对于D，由，可得，利用不等式的性质可得，即，故，故D正确．故选：BD．10.已知向量，则下列说法正确的是（）A.若，则 B.若，则C.在上的投影向量为 D.的最小值为答案：ACD解析：思路：根据数量积计算可判断A，由共线向量的坐标表示可判断B，根据投影向量的计算公式可判断C，利用向量模的坐标表示及均值不等式、二次函数的最值可判断D.解答过程：若，，，所以，所以，故A正确；若，则，解得，故B错误；在上的投影向量为，故C正确；因为，所以，令，当时，则由均值不等式，，当且仅当时取等号，当时，，当且仅当时取等号，则（或），所以当时，有最小值，故D正确.故选：ACD11.已知函数，则（）．A.B.在上单调递减C.D.在上有且仅有1个零点答案：ACD解析：思路：对于A，代入计算即可得到；对于B，由时，，结合初等函数单调性可直接判断；对于C，令，分析可得关于对称，当时，易证，当和时，利用导数判断单调性，结合单调性可证明不等式；对于D，对进行求导，结合基本不等式，可得在上单调递增，且，故在上有且仅有1个零点．解答过程：对于A，，，故A正确；对于B，时，，又在上单调递增，在上单调递增，所以在上单调递增，故B错误；对于C，令，，所以关于对称，当时，，又，所以时，，时，，所以在上单调递减，则，当时，，，，，，即，所以，则，即，所以在上单调递增，此时，又关于对称，所以成立，故C正确；对于D，时，，，又，当时取等，，所以，即在上单调递增，且，所以在上有且仅有1个零点，故D正确故选：ACD．三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．请把答案填写在答题卡相应位置上．12.已知椭圆的离心率为，则实数___________．答案：10解析：思路：判断椭圆为焦点在x轴上的椭圆，从而确定，再结合离心率公式及a、b、c的关系即可列式解答．解答过程：．∵，∴椭圆的焦点在x轴上，∴，解得．故答案为：10．13.记的内角的对边分别为，若，则___________．答案：解析：思路：借助正、余弦定理计算即可得.解答过程：由正弦定理可得，则，即.故答案为：.14.已知球O的半径为是球面上两点，过的平面与球面的交线为圆，且四点不共面．若平面与平面的夹角为，则四面体体积的最大值为___________．答案：解析：思路：作出二面角的平面角，设，再写出体积表达式，求导即可得到其最值.解答过程：取中点M，因为，则，同理可得，因为平面，平面，且平面平面，则平面与平面夹角为，令，因为圆面，而圆面，所以，则，则，且，故，，，令，，，令，解得（舍）或（舍）或，当时，，当时，，所以在单调递增，单调递减，所以，则.故答案为：.四、解答题：本大题共5小题，共77分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．15.袋中有8个大小相同的球，其中有3个黄球、5个白球，从中随机地连续抽取2次，每次取1个球．（1）若每次抽取后都放回，设取到黄球的个数为，求；（2）若每次抽取后都不放回，设取到黄球的个数为，求的分布列和数学期望．答案：（1）（2）分布列间解析；.解析：思路：（1）根据二项分布的有关公式求值计算.（2）根据超几何分布的公式计算求值.（1）每次抽取后都放回，则取到黄球的个数，所以，，所以.（2）每次抽取后都不放回则取到黄球的个数的值可能为：0,1,2.且，，.所以的分布列为：012P所以.16.对于数列，记，称数列为数列的差分数列．（1）已知，证明：的差分数列为等差数列；（2）已知的差分数列为，求的通项公式．答案：（1）证明：，其中，故，故的差分数列为等差数列.（2）解析：思路：（1）根据定义可求，再利用定义法可证的差分数列为等差数列；（2）利用累加法可求的通项公式．（1）略（2）由题设有，故，由累加法可得，而，所以，而也满足该式，故.17.如图，直三棱柱中，分别为和的中点．（1）证明：平面；（2）若，求与平面所成角的正弦值．答案：（1）证明：取的中点为，连接，因为，，故，由直三棱柱的性质可得，故，故四边形为平行四边形，故，而平面，平面，故平面.（2）解析：思路：（1）取的中点为，连接，可证，再利用线面平行的判定定理可证平面；（2）建立如图所示的空间直角坐标系，根据可求的长，再求出平面的法向量后可求线面角的正弦值.（1）略（2）因为，故，故，设.由直三棱柱可得平面，故可建立如图所示的空间直角坐标系，则,故，且.因为，故即，故（舍去），故，，又.设平面的法向量为，则,所以，取，故与平面所成角的正弦值为.方法提示：18.已知双曲线的左、右焦点分别为，且．过的直线与C交于两点．（1）求C的方程；（2）若均在C的右支上，且的周长为，求的方程；（3）是否存在轴上的定点M，使得为定值？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．答案：（1）（2）（3）存在点，使得为定值.解析：思路：（1）根据双曲线中的意义和关系，可求的值，得到双曲线的方程.（2）先根据双曲线的定义，求出弦的长度；设直线：，与双曲线方程联立，利用弦长公式，可求的值，即得直线方程.（3）假设存在轴上的定点M，使得为定值.结合（2）中的结论，根据为定值，可求的值.（1）因为，所以，又，所以.所以双曲线C的方程为：.（2）因为均在C的右支上，且的周长为，所以.如图：因为，设直线：，代入得：，整理得：.设，，因为均在C的右支上，所以，且，所以，.所以.所以.所以.所以直线的方程为：，即.（3）假设存在轴上的定点M，使得为定值.因为，，所以.因为为常数，所以.此时.所以存在点，使得为定值.19.已知函数，其中．（1）当时，若直线是曲线的一条切线，求的值；（2）讨论的单调性；（3）若集合中有且仅有一个元素，求的取值范围．答案：（1）（2）当时，在上单调递减，在上单调递增；当时，在上单调递减（3）解析：思路：（1）根据导函数的几何意义，求出切线斜率为时的切点，进而求出参数值；（2）根据函数导数与函数单调性的关系，求出函数导数，根据参数的范围，求出函数定义域，进而根据参数范围求出函数单调性；（3）根据参数的范围，结