2025-2026年重庆市北师大版高三数学第十九章概率统计计算练习题

2025-2026年重庆市北师大版高三数学第十九章概率统计计算练习题一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.在某校高三年级随机抽取100名学生进行身高调查，得到样本频率分布直方图如下，若该校高三年级共有1200名学生，则身高在170cm以上（含170cm）的学生约有多少人？（注：直方图中，身高区间为165-170cm的频率为0.15，170-175cm的频率为0.35，175-180cm的频率为0.25，180-185cm的频率为0.15，185cm以上的频率为0.1）A.360人B.420人C.480人D.540人解析：根据直方图数据，身高在170cm以上（含170cm）的频率为0.25+0.15+0.1=0.5，因此该校高三年级身高在170cm以上的学生约有1200×0.5=600人。选项B错误，正确答案为C。2.某射手每次射击命中目标的概率为0.8，现连续射击3次，则恰好命中2次的概率为多少？A.0.128B.0.384C.0.512D.0.896解析：设命中目标的概率为p=0.8，则未命中的概率为1-p=0.2。连续射击3次恰好命中2次的事件可以用组合数表示为C(3,2)p^2(1-p)，代入数据计算得C(3,2)×0.8^2×0.2=0.384。选项B正确。3.已知一组样本数据：3,x,5,7,9，其平均数为6，则这组数据的中位数是多少？A.5B.6C.7D.8解析：根据平均数公式(3+x+5+7+9)/5=6，解得x=6。将数据从小到大排序为3,5,6,7,9，中位数为第3个数据6。选项B正确。4.某班级有男生30人，女生20人，现要随机抽取5名学生参加活动，则抽到3名男生和2名女生的概率为多少？A.0.1B.0.15C.0.2D.0.25解析：总抽样方式数为C(50,5)，抽到3名男生和2名女生的方式数为C(30,3)×C(20,2)，概率为[C(30,3)×C(20,2)]/C(50,5)≈0.25。选项D正确。5.已知随机变量X服从正态分布N(μ,σ^2)，且P(X>μ)=0.5，P(X>μ+σ)=0.2，则P(μ-σ<X<μ)的值是多少？A.0.2B.0.3C.0.4D.0.5解析：正态分布关于均值μ对称，P(X>μ+σ)=0.2，则P(X<μ-σ)=0.2，P(μ-σ<X<μ)=0.5-0.2=0.3。选项B正确。6.某学校为了解学生对数学的兴趣，随机调查了200名学生，其中喜欢数学的有120人，不喜欢数学的有80人。现用分层抽样的方法抽取一个容量为20的样本，则喜欢数学的学生应抽取多少人？A.8人B.10人C.12人D.15人解析：喜欢数学的学生占比为120/200=0.6，分层抽样应抽取0.6×20=12人。选项C正确。7.已知一组样本数据的方差为9，若将每个数据都减去5，则新数据的方差是多少？A.4B.9C.14D.16解析：方差反映数据的离散程度，对数据整体平移不改变方差，因此新数据的方差仍为9。选项B正确。8.某公交线路每10分钟发一班车，乘客到达车站后候车时间X（单位：分钟）服从均匀分布U(0,10)，则乘客候车时间不超过3分钟的概率是多少？A.0.1B.0.3C.0.3D.0.7解析：均匀分布U(a,b)的概率密度函数为1/(b-a)，P(X≤3)=(3-0)/(10-0)=0.3。选项B正确。9.已知事件A的概率为0.6，事件B的概率为0.7，且P(AB)=0.4，则事件A和事件B是否相互独立？A.是B.否C.无法确定D.以上都不对解析：事件A和事件B相互独立的条件是P(AB)=P(A)P(B)，而0.4≠0.6×0.7=0.42，因此不独立。选项B正确。10.已知一组样本数据：2,4,6,8,10，其极差是多少？A.2B.4C.6D.8解析：极差是最大值减最小值，即10-2=8。选项D正确。二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.已知一组样本数据：3,x,5,7，其众数为5，则这组数据的方差为______。参考答案：4解析：众数为5，则x=5，数据为3,5,5,7，平均数为(3+5+5+7)/4=5.25，方差s^2=[(3-5.25)^2+(5-5.25)^2+(5-5.25)^2+(7-5.25)^2]/4=4。2.若随机变量X服从二项分布B(n,p)，且E(X)=6，D(X)=3，则n和p的值分别为______和______。参考答案：12,0.5解析：E(X)=np=6，D(X)=np(1-p)=3，联立方程组解得n=12，p=0.5。3.已知一组样本数据的中位数为8，众数为10，则这组数据可能为______。参考答案：2,5,8,10,10解析：中位数为8，众数为10，满足条件的一组数据可以是2,5,8,10,10。4.若事件A的概率为0.4，事件B的概率为0.5，且P(AB)=0.1，则P(A|B)______。参考答案：0.2解析：P(A|B)=P(AB)/P(B)=0.1/0.5=0.2。5.已知随机变量X服从正态分布N(μ,σ^2)，且P(X>μ+2σ)=0.023，则P(μ-σ<X<μ+σ)______。参考答案：0.6826解析：正态分布中，P(X>μ+2σ)=0.023，则μ+2σ为上侧2.3%分位点，μ+σ为上侧16.6%分位点，P(μ-σ<X<μ+σ)=0.5-0.023-0.166=0.311，但标准正态分布表显示P(μ-σ<X<μ+σ)≈0.6826。6.已知一组样本数据的平均数为10，标准差为2，若将每个数据都乘以3，则新数据的平均数和标准差分别为______和______。参考答案：30,6解析：平均数乘以3变为30，标准差乘以3变为6。7.若事件A和事件B互斥，且P(A)=0.6，P(B)=0.4，则P(A∪B)______。参考答案：1解析：互斥事件概率相加，P(A∪B)=P(A)+P(B)=0.6+0.4=1。8.已知一组样本数据：1,2,3,4,5，其四分位数Q1和Q3分别为______和______。参考答案：2,4解析：Q1为第2个数据2，Q3为第4个数据4。9.若随机变量X服从指数分布，且E(X)=2，则P(X>4)______。参考答案：0.1353解析：指数分布E(X)=1/λ=2，λ=0.5，P(X>4)=e^(-0.5×4)=0.1353。10.已知一组样本数据的极差为8，中位数为5，则这组数据可能为______。参考答案：1,5,9解析：极差为8，中位数为5，满足条件的一组数据可以是1,5,9。三、判断题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.若事件A和事件B相互独立，则P(AB)=P(A)P(B)成立。参考答案：正确解析：这是相互独立的定义。2.已知一组样本数据：3,4,5,6,7，其平均数为5，则这组数据的中位数也为5。参考答案：正确解析：数据已排序，中位数为第3个数据5。3.若随机变量X服从正态分布N(μ,σ^2)，则P(X>μ)=0.5。参考答案：正确解析：正态分布关于均值对称。4.分层抽样是按照各层在总体中的比例进行抽样的。参考答案：正确解析：这是分层抽样的定义。5.方差反映数据的集中程度。参考答案：错误解析：方差反映数据的离散程度。6.若事件A和事件B互斥，则P(A∪B)=P(A)+P(B)成立。参考答案：正确解析：这是互斥事件的概率性质。7.已知一组样本数据的平均数为10，标准差为2，则这组数据一定不包含负数。参考答案：错误解析：平均数为10，标准差为2，数据可能包含负数。8.若随机变量X服从二项分布B(n,p)，则E(X)=np，D(X)=np(1-p)。参考答案：正确解析：这是二项分布的期望和方差公式。9.已知一组样本数据的极差为8，则这组数据一定包含8和-8。参考答案：错误解析：极差为8，数据可能为2和10。10.若事件A和事件B相互独立，则P(A|B)=P(A)。参考答案：正确解析：这是相互独立的条件概率性质。四、简答题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）1.简述什么是正态分布，并说明其特点。参考答案：正态分布是统计学中一种常见的连续型概率分布，其概率密度函数呈钟形曲线，关于均值对称。特点包括：①对称性；②单峰性；③均值、中位数、众数相等；④数据在均值附近分布最集中。2.解释什么是分层抽样，并说明其优点。参考答案：分层抽样是将总体按某种特征分成若干层，然后从每层中按比例随机抽取样本的方法。优点包括：①保证样本代表性；②便于统计分析；③提高抽样效率。3.简述什么是方差，并说明其意义。参考答案：方差是衡量数据离散程度的统计量，计算公式为s^2=[Σ(xi-x̄)^2]/n。意义在于反映数据偏离平均值的程度，方差越大，数据越分散。4.解释什么是互斥事件，并举例说明。参考答案：互斥事件是指两个事件不可能同时发生的事件。例如：抛硬币时"正面朝上"和"反面朝上"是互斥事件。5.简述什么是指数分布，并说明其特点。参考答案：指数分布是描述事件发生时间间隔的连续型概率分布，概率密度函数为f(x)=λe^(-λx)(x≥0)。特点包括：①无记忆性；②参数λ表示事件发生率。6.解释什么是样本频率分布直方图，并说明其作用。参考答案：样本频率分布直方图是用矩形表示数据频率分布的图形，每个矩形的面积等于对应组的频率。作用在于直观展示数据分布情况。7.简述什么是条件概率，并说明其计算公式。参考答案：条件概率是指事件B在事件A已发生的条件下发生的概率，计算公式为P(B|A)=P(AB)/P(A)。8.解释什么是众数，并说明其特点。参考答案：众数是一组数据中出现次数最多的数值。特点包括：①可能不唯一；②不受极端值影响；③适用于分类数据。五、应用题（本大题共8小题，每小题4分，共24分）1.某学校为了解学生对数学的兴趣，随机调查了200名学生，其中喜欢数学的有120人，不喜欢数学的有80人。现用分层抽样的方法抽取一个容量为20的样本，则喜欢数学的学生应抽取多少人？参考答案：12人解析：喜欢数学的学生占比为120/200=0.6，分层抽样应抽取0.6×20=12人。2.已知一组样本数据：3,4,5,6,7，其平均数为5，则这组数据的中位数是多少？参考答案：5解析：数据已排序，中位数为第3个数据5。3.若事件A的概率为0.4，事件B的概率为0.5，且P(AB)=0.1，则P(A|B)是多少？参考答案：0.2解析：P(A|B)=P(AB)/P(B)=0.1/0.5=0.2。4.已知随机变量X服从正态分布N(μ,σ^2)，且P(X>μ+2σ)=0.023，则P(μ-σ<X<μ+σ)是多少？参考答案：0.6826解析：正态分布中，P(X>μ+2σ)=0.023，则μ+2σ为上侧2.3%分位点，μ+σ为上侧16.6%分位点，P(μ-σ<X<μ+σ)=0.5-0.023-0.166=0.311，但标准正态分布表显示P(μ-σ<X<μ+σ)≈0.6826。5.已知一组样本数据的平均数为10，标准差为2，若将每个数据都乘以3，则新数据的平均数和标准差分别为多少？参考答案：30,6解析：平均数乘以3变为30，标准差乘以3变为6。6.若事件A和事件B互斥，且P(A)=0.6，P(B)=0.4，则P(A∪B)是多少？参考答案：1解析：互斥事件概率相加，P(A∪B)=P(A)+P(B)=0.6+0.4=1。7.已知一组样本数据：1,2,3,4,5，其四分位数Q1和Q3分别为多少？参考答案：2,4解析：Q1为第2个数据2，Q3为第4个数据4。8.若随机变量X服从指数分布，且E(X)=2，则P(X>4)是多少？参考答案：0.1353解析：指数分布E(X)=1/λ=2，λ=0.5，P(X>4)=e^(-0.5×4)=0.1353。六、案例分析题（本大题共9小题，每小题2分，共18分）案例背景：某工厂生产一批零件，已知该批零件的长度服从正态分布N(10,0.04)，现随机抽取100个零件进行检测，得到样本频率分布直方图如下：（注：直方图中，长度区间为9.8-10.2cm的频率为0.2，10.2-10.6cm的频率为0.1，10.6-11.0cm的频率为0.05）1.该批零件长度的均值和标准差分别为多少？参考答案：均值10，标准差0.2解析：正态分布N(10,0.04)的均值为10，标准差为√0.04=0.2。2.长度在9.8-10.2cm的零件占比是多少？参考答案：20%解析：直方图中，长度区间为9.8-10.2cm的频率为0.2。3.长度超过10.6cm的零件占比是多少？参考答案：5%解析：直方图中，长度区间为10.6-11.0cm的频率为0.05，超过10.6cm的频率为0.05+0.1+0.2=0.35。4.该批零件长度的中位数是多少？参考答案：10解析：正态分布关于均值对称，中位数为10。5.该批零件长度的四分位数Q1是多少？参考答案：9.9解析：Q1为均值减去标准差，即10-0.2=9.9。6.该批零件长度的四分位数Q3是多少？参考答案：10.1解析：Q3为均值加上标准差，即10+0.2=10.1。7.该批零件长度的极差是多少？参考答案：0.4解析：极差为最大值减最小值，即11.0-9.6=0.4。8.该批零件长度的方差是多少？参考答案：0.04解析：方差为标准差的平方，即0.2^2=0.04。9.若规定长度在9.7-10.3cm之间的零件为合格品，则合格品占比是多少？参考答案：70%解析：直方图中，长度区间为9.7-10.3cm的频率为0.2+0.1+0.2=0.5，但实际应为0.7。七、论述题（本大题共11小题，每小题2分，共22分）1.论述正态分布在实际生活中的应用。参考答案：正态分布在自然科学和社会科学中广泛应用，如：①测量误差的分布；②人体生理指标的分布；③产品质量的分布；④考试分数的分布。正态分布的对称性和可加性使其成为许多统计推断的基础。2.论述分层抽样的适用条件和优缺点。参考答案：适用条件：①总体可分层；②各层内同质性；③层间差异性。优点：①保证样本代表性；②便于统计分析；③提高抽样效率。缺点：①需要先了解总体结构；②实施复杂。3.论述方差的计算方法和意义。参考答案：计算方法：s^2=[Σ(xi-x̄)^2]/n。意义：①反映数据离散程度；②是标准差平方；③是许多统计推断的基础。方差越大，数据越分散。4.论述互斥事件与独立事件的区别。参考答案：区别：①互斥事件不可能同时发生；②独立事件发生与否互不影响。例如：抛硬币时"正面朝上"和"反面朝上"互斥，但"正面朝上"和"出现偶数点"独立。5.论述指数分布的特点和应用。参考答案：特点：①无记忆性；②单调递减；③参数λ表示事件发生率。应用：①设备故障时间；②排队论中的服务时间；③放射性衰变。6.论述样本频率分布直方图的绘制方法和作用。参考答案：绘制方法：①确定分组；②计算频数；③绘制矩形。作用：①直观展示数据分布；②发现数据特征；③为统计推断提供依据。7.论述条件概率的计算方法和应用。参考答案：计算方法：P(B|A)=P(AB)/P(A)。应用：①风险评估；②决策分析；③医学诊断。条件概率反映在已知某事件发生的条件下，另一事件发生的可能性。8.论述众数的优缺点和适用范围。参考答案：优点：①简单易求；②不受极端值影响；③适用于分类数据。缺点：①可能不唯一；②不反映整体分布。适用范围：①分类数据；②探索性分析。9.论述分层抽样的实施步骤。参考答案：步骤：①确定分层标准；②确定各层比例；③在各层中随机抽样；④合并样本。关键在于分层合理，保证各层代表性。10.论述正态分布的标准化过程。参考答案：标准化过程：将X标准化为Z=(X-μ)/σ，其中μ为均值，σ为标准差。作用：①统一尺度；②便于查表；③简化计算。11.论述指数分布的无记忆性。参考答案：无记忆性是指P(X>s+t|X>s)=P(X>t)，即已知事件发生等待了s时间后，再等待t时间的概率等于直接等待t时间的概率。这一性质在排队论和可靠性分析中具有重要应用。【标准答案及解析】一、单项选择题1.C2.B3.B4.D5.B6.C7.B8.B9.B10.D解析：1.直方图计算；2.二项分布；3.中位数；4.二项分布；5.正态分布；6.分层抽样；7.方差性质；8.均匀分布；9.独立性；10.极差。二、填空题1.42.12,0.53.2,5,8,10,104.0.25.0.68266.30,67.18.2,49.0.135310.1,5,9解析：1.方差计算；2.二项分布；3.中位数；4.条件概率；5.正态分布；6.线性变换；7.互斥事件；8.四分位数；9.指数分布；10.极差。三、判断题1.√2.√3.√4.√5.×6.√7.×8.√9.×10.√解析：1.独立性定义；2.中位数；3.正态分布；4.分层抽样；5.方差意义；6.互斥事件；7.平均数；8.二项分布；9.极差；10.条件概率。四、简答题1.正态分布是统计学中常见的连续型概率分布，其概率密度函数呈钟形曲线，关于均值对称。特点包括：①对称性；②单峰性；③均值、中位数、众数相等；④数据在均值附近分布最集中。2.分层抽样是将总体按某种特征分成若干层，然后从每层中按比例随机抽取样本的方法。优点包括：①保证样本代表性；②便于统计分析；③提高抽样效率。3.方差是衡量数据离散程度的统计量，计算公式为s^2=[Σ(xi-x̄)^2]/n。意义在于反映数据偏离平均值的程度，方差越大，数据越分散。4.互斥事件是指两个事件不可能同时发生的事件。例如：抛硬币时"正面朝上"和"反面朝上"是互斥事件。5.指数分布是描述事件发生时间间隔的连续型概率分布，概率密度函数为f(x)=λe^(-λx)(x≥0)。特点包括：①无记忆性；②参数λ表示事件发生率。6.样本频率分布直方图是用矩形表示数据频率分布的图形，每个矩形的面积等于对应组的频率。作用在于直观展示数据分布情况。7.条件概率是指事件B在事件A已发生的条件下发生的概率，计算公式为P(B|A)=P(AB)/P(A)。8.众数是一组数据中出现次数最多的数值。特点包括：①可能不唯一；②不受极端值影响；③适用于分类数据。五、应用题1.12人解析：喜欢数学的学生占比为120/200=0.6，分层抽样应抽取0.6×20=12人。2.5解析：数据已排序，中位数为第3个数据5。3.0.2解析：P(A|B)=P(AB)/P(B)=0.1/0.5=0.2。4.0.6826解析：正态分布中，P(X>μ+2σ)=0.023，则μ+2σ为上侧2.3%分位点，μ+σ为上侧16.6%分位点，P(μ-σ<X<μ+σ)=0.5-0.023-0.166=0.311，但标准正态分布表显示P(μ-σ<X<μ+σ)≈0.6826。5.30,6解析：平均数乘以3变为30，标准差乘以3变为6。6.1解析：互斥事件概率相加，P(A∪B)=P(A)+P(B)=0.6+0.4=1。7.2,4解析：Q1为第2个数据2，Q3为第4个数据4。8.0.1353解析：指数分布E(X)=1/λ=2，λ=0.5，P(X>4)=e^(-0.5×4)=0.1353。六、案例分析题1.均值10，标准差0.2解析：正态分布N(10,0.04)的均值为10，标准差为√0.04=0.2。2.20%解析：直方图中，长度区间为9.8-10.2cm的频率为0.2。3.5%解析：直方图中，长度区间为10.6-11.0cm的频率为0.05，超过10.6cm的频率为0.05+0.1+0.2=0.35。4.10解析：正态分布关于均值对称，中位数为10。