2026年天津市北师大版高三数学第一轮复习概率论与数理统计第五章测试卷

2026年天津市北师大版高三数学第一轮复习概率论与数理统计第五章测试卷一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.在某次篮球比赛中，甲队和乙队进行一场比赛，比赛规则为先胜3场者获胜。已知甲队每场比赛获胜的概率为0.6，乙队每场比赛获胜的概率为0.4，且各场比赛的结果相互独立。现假设甲队先比赛，求甲队最终获胜的概率。A.0.648B.0.864C.0.624D.0.7682.某城市交通部门统计发现，该市每天发生交通事故的概率为0.005。现随机抽取该市100天的交通数据，求这100天中至少发生1起交通事故的概率。A.0.005B.0.995C.0.404D.0.5963.已知某随机变量X服从二项分布B(n,p)，且E(X)=6，D(X)=4，求参数n和p的值。A.n=12，p=0.5B.n=10，p=0.6C.n=9，p=0.667D.n=8，p=0.754.某班级有50名学生，其中男生30名，女生20名。现随机抽取3名学生组成一个小组，求该小组中恰好有2名男生和1名女生的概率。A.0.3B.0.4C.0.5D.0.65.已知某随机变量X的分布列为：X0123P0.10.20.30.4求随机变量X的期望E(X)和方差D(X)。A.E(X)=1.8，D(X)=0.84B.E(X)=1.8，D(X)=1.44C.E(X)=2.1，D(X)=0.84D.E(X)=2.1，D(X)=1.446.某工厂生产的产品中，次品率为0.05。现随机抽取100件产品进行检验，求这100件产品中次品数不超过5件的概率。A.0.878B.0.923C.0.959D.0.9877.已知某随机变量X服从正态分布N(μ,σ²)，且P(X≤μ-σ)=0.2，求P(μ+σ≤X≤μ+2σ)。A.0.3413B.0.4772C.0.5328D.0.68268.某学校对学生的身高进行抽样调查，随机抽取100名学生，测得样本均值为170cm，样本标准差为10cm。现假设学生身高服从正态分布N(μ,σ²)，求μ的95%置信区间。A.(165.2,174.8)B.(166.2,173.8)C.(167.2,175.8)D.(168.2,176.8)9.已知某随机变量X和Y的相关系数为0.6，且E(X)=E(Y)=0，D(X)=4，D(Y)=9，求X和Y的协方差。A.8.4B.9.6C.10.8D.1210.某班级有60名学生，其中喜欢篮球的有40名，喜欢足球的有30名，既喜欢篮球又喜欢足球的有20名。现随机抽取1名学生，求该学生既不喜欢篮球也不喜欢足球的概率。A.0.1B.0.2C.0.3D.0.4二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.已知某随机变量X服从二项分布B(10,0.3)，求P(X=3)。参考答案：__________2.已知某随机变量X的分布列为：X012P0.20.50.3求随机变量X的期望E(X)。参考答案：__________3.已知某随机变量X服从正态分布N(5,4)，求P(X>7)。参考答案：__________4.某班级有50名学生，其中男生30名，女生20名。现随机抽取2名学生组成一个小组，求该小组中两名学生性别相同的概率。参考答案：__________5.已知某随机变量X和Y的协方差为6，D(X)=9，D(Y)=16，求X和Y的相关系数。参考答案：__________6.某工厂生产的产品中，次品率为0.02。现随机抽取200件产品进行检验，求这200件产品中次品数超过10件的概率。参考答案：__________7.已知某随机变量X服从二项分布B(8,0.5)，求P(X≥5)。参考答案：__________8.某学校对学生的体重进行抽样调查，随机抽取100名学生，测得样本均值为60kg，样本标准差为5kg。现假设学生体重服从正态分布N(μ,σ²)，求μ的99%置信区间。参考答案：__________9.已知某随机变量X和Y的相关系数为0.7，且E(X)=E(Y)=0，D(X)=25，D(Y)=36，求X和Y的协方差。参考答案：__________10.某班级有70名学生，其中喜欢数学的有50名，喜欢物理的有40名，既喜欢数学又喜欢物理的有30名。现随机抽取1名学生，求该学生既不喜欢数学也不喜欢物理的概率。参考答案：__________三、判断题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.若随机变量X和Y相互独立，且X服从二项分布B(n,p)，Y服从二项分布B(m,p)，则X+Y服从二项分布B(n+m,p)。（√）2.若随机变量X服从正态分布N(μ,σ²)，则X的标准化变量Z服从标准正态分布N(0,1)。（√）3.若随机变量X和Y的相关系数为1，则X和Y线性相关。（√）4.若随机变量X和Y的协方差为0，则X和Y不相关。（×）5.若随机变量X服从二项分布B(n,p)，则X的期望E(X)和方差D(X)分别为np和np(1-p)。（√）6.若随机变量X服从正态分布N(μ,σ²)，则P(X>μ)=0.5。（√）7.若随机变量X和Y的样本相关系数为0.8，则X和Y的线性关系很强。（√）8.若随机变量X和Y的样本相关系数为0，则X和Y不相关。（×）9.若随机变量X服从二项分布B(n,p)，且n较大，p较小，则X近似服从泊松分布。（√）10.若随机变量X和Y的样本相关系数为负，则X和Y负相关。（√）四、简答题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）1.简述二项分布的定义及其主要性质。参考答案：二项分布是描述在n次独立重复试验中，事件A发生的次数的概率分布。其主要性质包括：（1）试验次数固定为n；（2）每次试验只有两种可能结果：事件A发生或事件A不发生；（3）每次试验事件A发生的概率相同，记为p；（4）试验相互独立。2.简述正态分布的定义及其主要性质。参考答案：正态分布是连续型随机变量的一种概率分布，其概率密度函数为：f(x)=\frac{1}{\sqrt{2πσ²}}e^{\frac{(x-μ)²}{2σ²}}其主要性质包括：（1）对称性：以均值μ为对称轴；（2）钟形曲线：在μ处达到最大值，左右两侧逐渐下降；（3）3σ原则：约68.27%的数据落在(μ-σ,μ+σ)区间内，约95.45%的数据落在(μ-2σ,μ+2σ)区间内，约99.73%的数据落在(μ-3σ,μ+3σ)区间内。3.简述期望和方差在概率论中的意义。参考答案：期望是随机变量取值的平均水平，方差是随机变量取值分散程度的度量。（1）期望E(X)表示随机变量X的平均值；（2）方差D(X)表示随机变量X取值与期望的偏离程度，D(X)越大，X的取值越分散。4.简述相关系数的定义及其主要性质。参考答案：相关系数是描述两个随机变量线性关系强度的统计量，记为ρ，定义为：ρ=\frac{Cov(X,Y)}{\sqrt{D(X)D(Y)}}其主要性质包括：（1）取值范围：-1≤ρ≤1；（2）ρ=1表示完全正相关，ρ=-1表示完全负相关，ρ=0表示不相关；（3）ρ的绝对值越大，线性关系越强。5.简述置信区间的定义及其主要性质。参考答案：置信区间是估计总体参数的一种方法，若用样本数据构造一个区间，使得该区间包含总体参数的概率为1-α，则称该区间为总体参数的1-α置信区间。其主要性质包括：（1）置信水平：1-α表示置信区间的可靠性；（2）置信区间的大小：置信水平越高，置信区间越大；（3）置信区间的估计精度：置信区间越小，估计精度越高。6.简述抽样调查的基本原理。参考答案：抽样调查是从总体中随机抽取一部分样本进行调查，并根据样本数据推断总体特征的一种统计方法。其基本原理包括：（1）随机性：样本的抽取必须是随机的，以保证样本的代表性；（2）代表性：样本应能反映总体的特征；（3）推断性：根据样本数据推断总体特征，并给出置信区间和置信水平。7.简述假设检验的基本步骤。参考答案：假设检验是统计推断的一种方法，其基本步骤包括：（1）提出原假设H₀和备择假设H₁；（2）选择检验统计量；（3）确定拒绝域；（4）计算检验统计量的值；（5）做出统计决策，即接受或拒绝原假设。8.简述回归分析的基本原理。参考答案：回归分析是研究两个或多个变量之间相关关系的一种统计方法，其基本原理包括：（1）建立回归模型：根据样本数据建立变量之间的数学关系；（2）估计模型参数：用最小二乘法等方法估计模型参数；（3）检验模型有效性：用F检验、t检验等方法检验模型的有效性；（4）预测：用建立的回归模型预测未知变量的值。五、应用题（本大题共8小题，每小题4分，共24分）1.某工厂生产的产品中，次品率为0.05。现随机抽取100件产品进行检验，求这100件产品中次品数不超过10件的概率。参考答案：设X为100件产品中的次品数，X服从二项分布B(100,0.05)，求P(X≤10)。由于n较大，p较小，可用泊松分布近似，λ=np=5，P(X≤10)=∑_{k=0}^{10}\frac{5^ke^{-5}}{k!}≈0.986。2.某学校对学生的身高进行抽样调查，随机抽取100名学生，测得样本均值为170cm，样本标准差为10cm。现假设学生身高服从正态分布N(μ,σ²)，求μ的95%置信区间。参考答案：由于样本量较大，可用z分布近似，α=0.05，z_{0.025}=1.96，置信区间为(170-1.96×10,170+1.96×10)=(158.4,181.6)。3.某班级有60名学生，其中喜欢篮球的有40名，喜欢足球的有30名，既喜欢篮球又喜欢足球的有20名。现随机抽取1名学生，求该学生既不喜欢篮球也不喜欢足球的概率。参考答案：设A为喜欢篮球的事件，B为喜欢足球的事件，P(A)=0.667，P(B)=0.5，P(A∩B)=0.333，P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B)=0.833，P(¬A∩¬B)=1-P(A∪B)=0.167。4.已知某随机变量X服从二项分布B(10,0.3)，求P(X=3)。参考答案：P(X=3)=C_{10}^3×0.3^3×0.7^7≈0.2668。5.已知某随机变量X服从正态分布N(5,4)，求P(X>7)。参考答案：标准化变量Z=\frac{X-5}{2}，P(X>7)=P(Z>\frac{7-5}{2})=P(Z>1)=0.1587。6.某工厂生产的产品中，次品率为0.02。现随机抽取200件产品进行检验，求这200件产品中次品数超过10件的概率。参考答案：设X为200件产品中的次品数，X服从二项分布B(200,0.02)，求P(X>10)。由于n较大，p较小，可用泊松分布近似，λ=np=4，P(X>10)=1-P(X≤10)=1-∑_{k=0}^{10}\frac{4^ke^{-4}}{k!}≈0.0183。7.已知某随机变量X服从二项分布B(8,0.5)，求P(X≥5)。参考答案：P(X≥5)=∑_{k=5}^{8}C_{8}^k×0.5^k×0.5^{8-k}≈0.3906。8.某学校对学生的体重进行抽样调查，随机抽取100名学生，测得样本均值为60kg，样本标准差为5kg。现假设学生体重服从正态分布N(μ,σ²)，求μ的99%置信区间。参考答案：由于样本量较大，可用z分布近似，α=0.01，z_{0.005}=2.576，置信区间为(60-2.576×5,60+2.576×5)=(47.12,72.88)。【标准答案及解析】一、单项选择题1.B解析：甲队获胜的情况有：3:0,3:1,3:2。P(3:0)=0.6^3=0.216P(3:1)=C_{3}^1×0.6^3×0.4=0.2592P(3:2)=C_{4}^2×0.6^3×0.4^2=0.20736P(甲队获胜)=0.216+0.2592+0.20736=0.68256≈0.8642.D解析：P(至少发生1起)=1-P(0起)=1-0.995^100≈0.5963.A解析：E(X)=np=6，D(X)=np(1-p)=4，解得n=12，p=0.54.A解析：P(2男1女)=\frac{C_{30}^2×C_{20}^1}{C_{50}^3}=0.35.B解析：E(X)=0×0.1+1×0.2+2×0.3+3×0.4=1.8D(X)=(0-1.8)^2×0.1+(1-1.8)^2×0.2+(2-1.8)^2×0.3+(3-1.8)^2×0.4=1.446.A解析：n=100，p=0.05，λ=np=5，P(次品数≤5)=∑_{k=0}^5\frac{5^ke^{-5}}{k!}≈0.8787.C解析：P(μ+σ≤X≤μ+2σ)=P(0≤Z≤1)=0.5328（标准正态分布表）8.A解析：α=0.05，z_{0.025}=1.96，置信区间为(170-1.96×\frac{10}{\sqrt{100}},170+1.96×\frac{10}{\sqrt{100}})=(165.2,174.8)9.A解析：Cov(X,Y)=ρσ_Xσ_Y=0.6×2×3=8.410.B解析：P(既不喜欢篮球也不喜欢足球)=1-P(喜欢篮球或足球)=1-0.6=0.4二、填空题1.0.054解析：P(X=3)=C_{10}^3×0.3^3×0.7^7≈0.0542.1.1解析：E(X)=0×0.2+1×0.5+2×0.3=1.13.0.1587解析：P(X>7)=P(Z>1)=0.1587（标准正态分布表）4.0.36解析：P(两名学生性别相同)=P(2男)+P(2女)=C_{30}^2×\frac{1}{C_{50}^2}+C_{20}^2×\frac{1}{C_{50}^2}=0.365.0.75解析：ρ=\frac{6}{\sqrt{9×16}}=0.756.0.0183解析：λ=np=4，P(X>10)=1-∑_{k=0}^{10}\frac{4^ke^{-4}}{k!}≈0.01837.0.3906解析：P(X≥5)=∑_{k=5}^8C_{8}^k×0.5^8≈0.39068.(158.4,181.6)解析：α=0.01，z_{0.005}=2.576，置信区间为(60-2.576×5,60+2.576×5)=(158.4,181.6)9.21解析：Cov(X,Y)=ρσ_Xσ_Y=0.7×5×6=2110.0.4解析：P(既不喜欢数学也不喜欢物理)=1-P(喜欢数学或物理)=1-0.7=0.3三、判断题1.(√)解析：根据二项分布的可加性，独立同分布的二项分布之和仍服从二项分布。2.(√)解析：正态分布的标准化变量Z=\frac{X-μ}{σ}服从标准正态分布N(0,1)。3.(√)解析：相关系数为1表示完全正相关，即X和Y线性关系强。4.(×)解析：协方差为0仅表示X和Y不相关，但可能存在非线性关系。5.(√)解析：二项分布的期望和方差分别为np和np(1-p)。6.(√)解析：正态分布关于均值对称，P(X>μ)=0.5。7.(√)解析：样本相关系数为0.8表示强线性正相关。8.(×)解析：样本相关系数为0仅表示线性不相关，但可能存在其他关系。9.(√)解析：当n较大，p较小时，二项分布近似泊松分布。10.(√)解析：样本相关系数为负表示负线性相关。四、简答题1.参考答案：二项分布是描述在n次独立重复试验中，事件A发生的次数的概率分布。其主要性质包括：（1）试验次数固定为n；（2）每次试验只有两种可能结果：事件A发生或事件A不发生；（3）每次试验事件A发生的概率相同，记为p；（4）试验相互独立。2.参考答案：正态分布是连续型随机变量的一种概率分布，其概率密度函数为：f(x)=\frac{1}{\sqrt{2πσ²}}e^{\frac{(x-μ)²}{2σ²}}其主要性质包括：（1）对称性：以均值μ为对称轴；（2）钟形曲线：在μ处达到最大值，左右两侧逐渐下降；（3）3σ原则：约68.27%的数据落在(μ-σ,μ+σ)区间内，约95.45%的数据落在(μ-2σ,μ+2σ)区间内，约99.73%的数据落在(μ-3σ,μ+3σ)区间内。3.参考答案：期望是随机变量取值的平均水平，方差是随机变量取值分散程度的度量。（1）期望E(X)表示随机变量X的平均值；（2）方差D(X)表示随机变量X取值与期望的偏离程度，D(X)越大，X的取值越分散。4.参考答案：相关系数是描述两个随机变量线性关系强度的统计量，记为ρ，定义为：ρ=\frac{Cov(X,Y)}{\sqrt{D(X)D(Y)}}其主要性质包括：（1）取值范围：-1≤ρ≤1；（2）ρ=1表示完全正相关，ρ=-1表示完全负相关，ρ=0表示不相关；（3）ρ的绝对值越大，线性关系越强。5.参考答案：置信区间是估计总体参数的一种方法，若用样本数据构造一个区间，使得该区间包含总体参数的概率为1-α，则称该区间为总体参数的1-α置信区间。其主要性质包括：（1）置信水平：1-α表示置信区间的可靠性；（2）置信区间的大小：置信水平越高，置信区间越大；（3）置信区间的估计精度：置信区间越小，估计精度越高。6.参考答案：抽样调查是从总体中随机抽取一部分样本进行调查，并根据样本数据推断总体特征的一种统计方法。其基本原理包括：（1）随机性：样本的抽取必须是随机的，以保证样本的代表性；（2）代表性：样本应能反映总体的特征；（3）推断性：根据样本数据推断总体特征，并给出置信区间和置信水平。7.参考答案：假设检验是统计推断的一种方法，其基本步骤包括：（1）提出原假设H₀和备择假设H₁；（2）选择检验统计量；（3）确定拒绝域；（4）计算检验统计量的值；（5）做出统计决策，即接受或拒绝原假设。