【新教材】人教版（2024）八年级上册数学全册教案

第第＝＝amn.因此，我们有(am)n＝amn(m，n都是正整数)．即幂的乘方，底数不变，指数相乘．追问2：请利用上述性质对前面问题中正方体的棱长进行化简.V=(102)3＝102×3＝106；V1=(103)3＝103×3＝109.于是就求出了V＝106立方毫米，V1＝109立方毫米．【问题2】填空，下面的运算过程用到哪些运算律？运算结果有什么规律？(1)(ab)2＝(ab)·(ab)＝(a·a)·(b·b)＝a()b()(2)(ab)3＝____________＝____________＝a()b()学生独立解答后，教师讲解．(1)(ab)2＝(ab)·(ab)＝(a·a)·(b·b)＝a(2)b(2)；(2)(ab)3＝(ab)·(ab)·(ab)＝(a·a·a)·(b·b·b)＝a(3)b(3).根据乘方的意义以及乘法交换律和结合律得到计算结果．追问3：你能再举一个例子，不写计算过程直接说出它的运算结果．学生自己举例并解答：(ab)5＝a5b5.追问4：你能用符号表示你发现的规律吗？学生观察并独立思考，初步获得结论：(ab)n＝anbn(n是正整数)．追问5：你能将上述发现的规律推导出来吗？学生独立思考写出推导过程后，教师展示讲解．(ab)n＝乘方的意义＝乘法交换律和乘法结合律＝anbn.乘方的意义积的乘方的运算性质：(ab)n＝anbn(n是正整数)追问6：通过上面的探索和推导，你能用文字语言概括出积的乘方的运算性质吗？教师引导学生用文字语言概括出积的乘方的运算性质：积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘．追问7：推广：三个或三个以上因式积的乘方，是否依旧具有这样的运算性质？(abc)n＝＝＝anbncn.一般地，(abc)n＝anbncn(n是正整数)．3.学以致用，应用新知考点1幂的乘方运算【例1】计算：(1)(103)5；(2)(a4)4；(3)(am)2；(4)－(x4)3.解：(1)(103)5＝103×5＝1015.(2)(a4)4＝a4×4＝a16.(3)(am)2＝am×2＝a2m.(4)－(x4)3＝－x4×3＝－x12.考点2积的乘方运算【例2】计算：(1)(2a)3；(2)(－5b)3；(3)(xy2)2；(4)(－2x3)4.解：(1)原式＝23·a3＝8a3.(2)原式＝(－5)3·b3＝－125b3.(3)原式＝x2·(y2)2＝x2y4.(4)原式＝(－2)4·(x3)4＝16x12.4.随堂训练，巩固新知教材P101练习1,2,3.【教材变式1】下列各式的括号内，应填入b4的是()A．b12＝()8 B．b12＝()6C．b12＝()3 D．b12＝()2答案：C【教材变式2】下列运算正确的是()A．(－a2)3＝－a5 B．a3·a5＝a15C．(－a2b3)2＝a4b6 D．3a2－2a2＝1答案：C5.课堂小结，自我完善教师与学生一起回顾本节课所学的主要内容，并请学生回答以下问题：1.本节课学习了哪些主要内容？2.幂的乘方与积的乘方的运算性质是怎么推导出来的？6.布置作业1.教材P101习题16.1第2,3,4,5,6,7,8,9题；2.学霸创新题P75.通过实际问题引入，启发学生的学习兴趣，感受到研究幂的乘方运算的必要性.几个计算层层递进，从特殊到一般，观察计算结果，得出计算规律.锻炼学生的观察能力与总结能力.通过严谨的推理验证前面总结的运算规律，体现了数学的严谨性，也进一步体现幂的乘方与同底数幂的乘法之间的关联性.呼应本节课之初提出的问题，通过本节课得到的运算性质，可以直接进行幂的乘方运算.先通过特例进行计算，从而找出积的乘方的运算规律，最后进行严谨的推导验证.学生自己观察、概括总结，既培养了学生的参与意识，又训练了他们的归纳及口头表达能力．通过例题帮助学生巩固、应用新知，熟悉本课重点，包括幂的乘方运算.通过随堂练习，进一步巩固课堂所学内容，检测学习效果.通过小结，帮助学生梳理本节课所学内容，强化记忆，课后练习巩固，让所学知识得以运用.板书设计16.1幂的运算16.1.2幂的乘方与积的乘方1.幂的乘方：2.积的乘方：例题练习教学反思幂的乘方公式与积的乘方公式的探究方式和前节类似，因此在教学中可以利用该优势展开教学，在探究过程中可以进一步发挥学生的主动性，尽可能地让学生在已有知识的基础上，通过自主探究，获得幂的乘方与积的乘方运算的感性认识，进而理解运算法则．

16.2整式的乘法第1课时单项式与单项式相乘课题单项式与单项式相乘课型新授课教学内容教材第103-104页的内容教学目标1.探索单项式与单项式相乘的运算法则.2.会运用单项式与单项式相乘的运算法则进行计算.教学重难点教学重点：单项式与单项式相乘的运算法则.教学难点：单项式与单项式相乘的运算法则的应用.教学过程备注1.回顾旧知，引入新课前面我们已经学习了幂的运算性质，请同学们回忆一下前几节课学习的内容，填空：同底数幂的乘法法则：am·an=(m，n都是正整数).幂的乘方法则：(am)n=(m，n都是正整数).积的乘方法则：(ab)n=(n都是正整数).从本节开始，我们学习整式的乘法．我们回忆一下，整式包括什么？学生答：包括单项式和多项式．这节课我们就来学习整式的乘法中最简单的一种：单项式与单项式相乘．我们先来看下面的问题.2.发现探究，学习新知【问题1】光的速度约是3×105km/s，太阳光照射到地球上需要的时间约是5×102s，你知道地球与太阳的距离约是多少吗？学生看题并思考，回答:(3×105)×(5×102)追问：怎样计算(3×105)×(5×102)呢？学生根据乘法的交换律和结合律计算：(3×105)×(5×102)＝(3×5)×(105×102)＝15×107=1.5×108.即地球与太阳的距离约是1.5×108（km）.【问题2】如果将上式中的数字改为字母，比如ac5·bc2，怎样计算这个式子呢？教师引导学生仿照上述数式的乘法进行运算：ac5·bc2＝(a·c5)·(b·c2)＝(a·b)·(c5·c2)乘法交换律和结合律＝abc5＋2同底数幂的运算性质＝abc7.追问：请同学们观察上述计算过程，分组讨论两个单项式与它们的积有什么关系？单项式里面的每个字母在相乘的时候发生了什么变化？学生小组合作交流，教师引导归纳单项式与单项式相乘的运算法则：一般地，单项式与单项式相乘，把它们的系数、同底数幂分别相乘作为积的因式，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式.在教学过程中，教师可以总结以下关键点：(1)各单项式的系数相乘；(2)同底数幂分别相乘；(3)只在一个单项式因式里含有的字母，连同它的指数一起作为积的一个因式．3.学以致用，应用新知考点1单项式与单项式相乘【例1】计算：（1）3xy2·2y3；（2）(-5a2b)(-3a)；（3）(2x)3(-5xy2)；（4）（-3x2y）2（-xy3）2.解：（1）3xy2·2y3=（3×2）x·（y2·y3）=6xy5.（2）原式＝[(-5)×(-3)](a2·a)·b＝15a3b.（3）原式＝8x3·(-5xy2)＝[8×(-5)](x3·x)·y2＝-40x4y2.（4）（-3x2y）2（-xy3）2=9x4y2·x2y6=9（x4·x2）（y2·y6）=9x6y8.考点2单项式与单项式相乘的实际应用【例2】一个长方体的长、宽、高分别是5x，4x，3x，则它的体积是（

）A．12x3B．24x3 C．答案：D4.随堂训练，巩固新知教材P99练习1,2，3,4.【教材变式1】(1)3ab2c·(2a2b)·(-abc2)3；(2)-6x2y·(a-b)3·eq\f(1,3)xy2·(b-a)2.解：（1）原式＝3ab2c·(2a2b)·(-a3b3c6)＝-6a6b6c7.原式＝-6x2y·eq\f(1,3)xy2·(a-b)3·(a-b)2＝-2x3y3(a-b)5.【教材变式2】某电子计算机每秒可进行4×10则2×10A．8×1011 B．8×1018 C．答案：A5.课堂小结，自我完善教师与学生一起回顾本节课所学的主要内容，并请学生回答以下问题：1.本节课学习了哪些主要内容？2.请叙述单项式与单项式相乘的运算法则，并说明有哪些关键点？3.单项式乘法与幂的运算性质有什么关系？6.布置作业1.教材P110习题16.2第1题；2.学霸创新题P63.学生回忆并回答，巩固上节课所学内容，也为本节课的学习做好铺垫，温故知新.通过对实际问题的探讨，激发学生强烈的好奇心和求知欲，探究解决问题的方法.承接上一个问题，类比具体数的乘法运算，转化到字母表示的单项式与单项式相乘的运算，引导同学们进行正确的计算.通过前面的计算过程总结运算规律，得出运算法则，培养学生的团队协作能力、归纳总结能力.通过例题帮助学生巩固、应用新知，熟悉本课重点，包括单项式的乘法运算.通过随堂练习，进一步巩固课堂所学内容，检测学习效果.通过小结，帮助学生梳理本节课所学内容，强化记忆，课后练习巩固，让所学知识得以运用.板书设计16.2整式的乘法第1课时单项式与单项式相乘单项式与单项式相乘的运算法则例题练习教学反思本节知识的重点是让学生理解单项式与单项式相乘的法则，并能应用．这就必须要求学生对乘法的结合律以及幂的运算法则有一定的基础，因此课前可以要求学生先复习该部分的知识，同时在上新课前也可以通过练习题让学生回忆知识．对于运算法则的得出，教师由数字到字母逐步推导引申，更有利于学生理解运算法则．

16.2整式的乘法第2课时单项式与多项式相乘课题单项式与多项式相乘课型新授课教学内容教材第104-106页的内容教学目标1.探索单项式与多项式相乘的法则.2.会运用单项式与多项式相乘的法则进行计算.教学重难点教学重点：单项式与多项式相乘的法则.教学难点：单项式与多项式相乘的法则的应用.教学过程备注1.创设情境，引入新课【问题1】为了扩大绿地的面积，要把街心花园的一块长为pm，宽为bm的长方形绿地，向两边分别加宽am和cm，你能用几种方法表示扩大后的绿地的面积？学生分组讨论，教师指导鼓励学生得出不同的几种方法，并进行汇总：p(a＋b＋c)；p(a＋b)＋pc；pa＋p(b＋c)；pa＋pb＋pc.2.发现探究，学习新知【问题2】用这几种方法表示扩大后的绿地面积的表达式之间是什么关系？学生答：相等.教师进而引出p(a＋b＋c)和pa＋pb＋pc之间的相等关系：p(a＋b＋c)＝pa＋pb＋pc．追问：同学们还记得乘法分配律吗？你能根据乘法分配律得到上式吗？学生回答乘法分配律：（a+b）×c=a×c+b×c.再根据乘法分配律计算p(a＋b＋c)时，也能得到pa＋pb＋pc.追问：在我们学过的乘法分配律里a,b,c,p都是数，如果将其都扩展到单项式，那么a＋b＋c就是一个多项式，p(a＋b＋c)就是一个单项式乘多项式的运算，你们那个根据这个式子得出单项式与多项式相乘的法则吗？教师结合乘法分配律引导学生认识元素是单项式的乘法分配律，即单项式与多项式的乘法，总结出运算法则：一般地，单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加．3.学以致用，应用新知考点1单项式与多项式相乘的运算【例1】计算：（1）(－4x2)(3x＋1)；（2）(eq\f(2,3)ab2－2ab)·eq\f(1,2)ab；（3）（x-3y）（xy2）2；（4）x（y-z）-y（z-x）+z（x-y）.解：(1)原式＝(－4x2)(3x)＋(－4x2)＝(－4×3)(x2·x)＋(－4x2)＝－12x3－4x2.原式＝eq\f(2,3)ab2·eq\f(1,2)ab＋(－2ab)·eq\f(1,2)ab＝eq\f(1,3)a2b3－a2b2.（x-3y）（xy2）2=（x-3y）·x2y4=x·x2y4+（-3y）·x2y4=x3y4-3x2y5.（4）x（y-z）-y（z-x）+z（x-y）=xy+x（-z）+（-y）z+（-y）（-x）+zx+z（-y）=xy-xz-yz+yx+zx-zy=2xy-2yz.考点2单项式与多项式相乘的应用【例2】如果一个三角形的底边长为2x2y＋xy－y2，高为6xy，则这个三角形的面积为．答案：6x3y2＋3x2y2－3xy34.随堂训练，巩固新知教材P106练习1,2,3,4.【教材变式1】化简：(1)2(2x2－xy)＋x(x－y)；(2)ab(2ab2－a2b)－(2ab)2b＋a3b2.解：（1）原式＝4x2－2xy＋x2－xy＝5x2－3xy.（2）原式＝2a2b3－a3b2－4a2b3＋a3b2＝－2a2b3.【教材变式2】先化简，再求值：x2(3－x)＋x(x2－2x)＋1，其中x＝3.解：原式＝3x2－x3＋x3－2x2＋1＝x2＋1.当x＝3时，原式＝32＋1＝10.5.课堂小结，自我完善教师与学生一起回顾本节课所学的主要内容，并请学生回答以下问题：1.本节课学习了哪些主要内容？2.请叙述单项式与多项式相乘的法则，并说明有哪些关键点？6.布置作业1.教材P110习题16.2第2,9题；2.学霸创新题P77.通过实际的面积问题引发学生解决问题的兴趣，分组讨论、发散思维得出几种计算方法.有问题1的几种方法的等量关系得到等式p(a＋b＋c)＝pa＋pb＋pc．与乘法分配律相联系，进一步验证等式的正确性，并将等式里的字母由数扩展到单项式，体现数学知识得连贯性，也让学生从熟悉的知识逐渐过渡到新的知识点.通过例题帮助学生巩固、应用新知，熟悉本课重点，包括单项式与多项式相乘的运算及应用.通过随堂练习，进一步巩固课堂所学内容，检测学习效果.通过小结，帮助学生梳理本节课所学内容，强化记忆，课后练习巩固，让所学知识得以运用.板书设计16.2整式的乘法第2课时单项式与多项式相乘单项式与多项式相乘的法则：例题练习教学反思在进行单项式乘以多项式的法则的生成教学时.先在具体情境中让学生用不同方法计算长方形面积从而抽象出一个单项式乘以多项式的等式，并引导学生用学过的知识来说明这个等式的正确性.在接下来的知识应用中用适量例题来掌握法则的运用.例题难度呈阶梯形，层层深入.用适量练习让学生巩固和加深法则的应用.

16.2整式的乘法第3课时多项式与多项式相乘课题多项式与多项式相乘课型新授课教学内容教材第106-107页的内容教学目标1.探索多项式与多项式相乘的法则.2.会运用多项式与多项式相乘的法则进行计算.教学重难点教学重点：多项式与多项式相乘的法则.教学难点：多项式与多项式相乘的法则的应用.教学过程备注1.创设情境，引入新课【问题1】如图，为了扩大街心花园的绿地面积，把一块原长am、宽pm的长方形绿地，加长了bm,加宽了gm，你能用几种方法求出扩大后的绿地面积？结合上节课的探究方法，教师引导学生思考问题，可以确定出大长方形的长和宽，求面积：(a+b)(p+q)；也可以分成四个小长方形分别求面积再求和：ap+bp+aq+bq.2.发现探究，学习新知【问题2】由以上两种求和方法结合上节课对于面积问题的探讨，你能得到什么结论呢？学生答：两种方法表示的面积相等，即(a+b)(p+q)=ap+bp+aq+bq.追问：你能根据之前学过的运算法则计算(a+b)(p+q)，从而验证上式成立吗？教师引导学生思考：计算(a+b)(p+q)，即两个多项式相乘时，可以先把其中一个多项式，如p+q，看成一个整体，运用单项式与多项式相乘的法则，得再利用单项式与多项式相乘的法则，得a(p+q)+b(p+q)=ap+aq+bp+bq.追问：请观察等式(a+b)(p+q)=ap+aq+bp+bq，式子右边的每一项与左边的几个单项式有什么关系？学生观察思考，进行小组讨论，教师指导，得出观察结果：总体上看，(a+b)(p+q)的结果可以看作由a+b的每一项乘p+q的每一项，再把所得的积相加而得到的，即追问：你能类比单项式与多项式相乘的法则，叙述多项式与多项式相乘的法则吗？师生共同归纳：一般地，多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加．追问：前面的等式(a+b)(p+q)=ap+aq+bp+bq是两个二项式相乘的情况，结合法则思考多于两项的多项式相乘应该怎么处理？当三个及以上多项式相乘时应该怎么处理？学生自行思考，讨论这两种情况下怎样进行运算：当多于两项的多项式相乘时，按照运算法则运算，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加；当三个及以上多项式相乘时，先前两个多项式按照法则进行运算，在于第三个多项式进行运算，直至的出最后结果，当然也可以按照乘法交换律、结合律灵活运算.3.学以致用，应用新知考点1多项式与多项式的乘法运算【例1】计算：（1）(a+3)(a-2)；（2）(3x＋1)(x＋2)；（3）(x－8y)(x－y)；（4）(x＋y)(x2－xy＋y2)．解：(1)(a+3)(a-2)=(3x)·x+(3x)·2+1·x+1×2=3x2+6x+x+2=3x2+7x+2.(2)(3x＋1)(x＋2)＝(3x)·x＋(3x)×2＋1·x＋1×2＝3x2＋6x＋x＋2＝3x2＋7x＋2.(3)(x－8y)(x－y)＝x2－xy－8xy＋8y2＝x2－9xy＋8y2.(4)(x＋y)(x2－xy＋y2)＝x3－x2y＋xy2＋x2y－xy2＋y3＝x3＋y3.考点2多项式与多项式的乘法运算的应用【例2】若(y＋3)(y－2)＝y2＋my＋n，则m＋n的值为.答案：-54.随堂训练，巩固新知教材P107练习1,2,3.【教材变式1】计算：(1)(2a－3b)(a＋2b)－a(2a－b)；(2)(x＋7)(x＋5)－(x＋1)(x＋5)．解：(1)原式＝2ab－6b2.(2)原式＝6x＋30.【教材变式2】(1)计算后填空：(x＋1)(x＋2)＝；(x＋3)(x－1)＝；(2)归纳、猜想后填空：(x＋a)(x＋b)＝x2＋x＋；(3)运用(2)猜想的结论，直接写出计算结果：(x＋2)(x＋m)＝．答案：（1）x2＋3x＋2x2＋2x－3（2）(a＋b)ab（3）x2＋(2＋m)x＋2m5.课堂小结，自我完善教师与学生一起回顾本节课所学的主要内容，并请学生回答以下问题：1.本节课学习了哪些主要内容？2.请叙述多项式与多项式相乘的法则，并说明有哪些关键点？6.布置作业1.教材P110习题16.2第3，11题；2.教材P121复习题第2,4,5,7,8题；3.学霸创新题P78-P79.以实际问题引入，激发学生的好奇心与探究精神.所用实例与上一课时所用实例背景相近，体现问题的连贯性，更容易吸引学生注意力，在探究过程中可以借助上一课时的探究方法.探究过程与上一课时相近，这里给学生更大的自主性，让学生自己思考，得出结论.这里的探究过程借助了上节课学习的单项式与多项式相乘的法则，体现了知识的连贯性.在验证完等式的正确性以后，进一步观察等式的特点，得出多项式乘多项式的法则.小组讨论激发学生思维，培养合作意识.进一步扩展多项式乘法的形式，讨论在不同情况下的多项式乘法，包括多项式的项数不同的情况，多项式的个数不同的情况.通过例题帮助学生巩固、应用新知，熟悉本课重点，包括多项式与多项式的乘法运算及多项式与多项式的乘法运算的应用.通过随堂练习，进一步巩固课堂所学内容，检测学习效果.通过小结，帮助学生梳理本节课所学内容，强化记忆，课后练习巩固，让所学知识得以运用.板书设计16.2整式的乘法第3课时多项式与多项式相乘多项式与多项式相乘的法则例题练习教学反思本节知识的综合性较强，要求学生熟练掌握前面所学的单项式与单项式相乘及单项式与多项式相乘的知识，同时为了让学生理解并掌握多项式与多项式相乘的法则，教学中一定要精讲精练，让学生从练习中再次体会法则的内容，为以后的学习奠定基础．

16.2整式的乘法第4课时同底数幂的除法课题同底数幂的除法课型新授课教学内容教材第108页的内容教学目标掌握同底数幂相除的性质及其应用．2.进一步体会幂的意义,理解零指数幂.教学重难点教学重点：同底数幂相除的性质.教学难点：同底数幂的除法的应用.教学过程备注1.创设情境，引入新课前面我们学习了整式的加法、减法、乘法，接下来我们像利用数的乘法研究数的除法那样，可以利用同底数幂的乘法来研究同底数幂的除法.我们在前面讨论过一个问题：一种电子计算机每秒可进行1亿亿(1016)次运算，它工作103s可进行多少次运算？根据计算机运行的速度和工作时间可以计算运算总次数，如果知道这台计算机的运算总次数为1020，你可以求出它的工作时间吗？教师请学生回答问题，学生给出算式：1020÷1016.【问题1】你们知道1020÷1016怎么计算吗？2.发现探究，学习新知学生回答不知道，或进行猜测.追问：根据除法是乘法的逆运算，计算被除数除以除数所得的商，就是求一个数，使它与除数的积等于被除数.请同学们根据同底数幂乘法的性质：am·an=am+n（m,n都是正整数）.完成下列问题：(1)由25×22=27,得27÷22=.(2)由a3·a2=a5,得a5÷a2=.(3)由5m×5n=5m+n,得5m+n÷5n=.(4)由am-n·an=am,得am÷an=.追问：你能得出同底数幂除法的性质吗？教师与学生共同总结同底数幂除法的性质：am÷an＝am－n(a≠0，m，n都是正整数，m>n).即同底数幂相除，底数不变，指数相减．追问：因此问题1就可以得到解答，根据同底数幂除法的性质计算1020÷1016.学生计算并给出答案：1020÷1016=1020-16=104.追问：同底数幂相除，如果被除式的指数等于除式的指数，例如am÷am，根据除法的意义可知所得的商为1.由同底数幂的除法你能得到什么结论呢？教师引导学生推导：am÷am=am-m=a0，所以a0=1（a≠0）.这就是说，任何不等于0的数的0次幂都等于1.3.学以致用，应用新知考点1同底数幂的除法运算【例1】计算：(1)x8÷x2；(2)(ab)5÷(ab)2.解：(1)x8÷x2＝x8－2＝x6.(2)(ab)5÷(ab)2＝(ab)5－2＝(ab)3＝a3b3.4.随堂训练，巩固新知教材P109练习1.【教材变式1】下列运算正确的是()A.(-a)6÷a2=a3B.(-a)3÷(-a)2=aC.a8÷a2=a4 D.(-a)2÷a2=1答案：D5.课堂小结，自我完善教师与学生一起回顾本节课所学的主要内容，并请学生回答以下问题：1.本节课学习了哪些主要内容？2.请叙述同底数幂的除法的性质？6.布置作业1.教材P110习题16.2第4（1）（2），8题；2.学霸创新题P81.以前面学习同底数幂的乘法的时候用过的例子引出同底数幂的除法，联系实际应用，激发学生的兴趣，也能体现出前后知识之间的联系.通过例题帮助学生巩固、应用新知，熟悉本课重点.通过随堂练习，进一步巩固课堂所学内容，检测学习效果.通过小结，帮助学生梳理本节课所学内容，强化记忆，课后练习巩固，让所学知识得以运用.板书设计16.2整式的乘法第4课时同底数幂的除法1.同底数幂的除法：例题练习教学反思从计算具体的同底数幂的除法，逐步归纳出同底数幂除法的一般性质．讲课时要多举几个具体的例子，让学生计算出结果．最后，让学生自己归纳出同底数幂的除法法则．性质归纳出后，应注意：(1)要强调底数a不等于零，若a为零，则除数为零，除法就没有意义了；(2)本节不讲零指数与负指数的概念，所以性质中必须规定指数m、n都是正整数，并且，要让学生运用时予以注意．

16.2整式的乘法第5课时整式的除法课题整式的除法课型新授课教学内容教材第108-109页的内容教学目标1．掌握单项式除以单项式的运算法则及其应用．2．掌握多项式除以单项式的运算法则及其应用.教学重难点教学重点：单项式除以单项式的运算法则，多项式除以单项式的运算法则.教学难点：整式除法的相关性质、法则的应用.教学过程备注1.创设情境，引入新课前面我们学习了同底数幂的除法，对于单项式除以单项式以及多项式除以单项式又是如何运算的呢？学生回答不知道，或进行猜测，师生共同探究.2.发现探究，学习新知【问题1】根据单项式的乘法法则有4a2x3·3ab2=12a3b2x3，那么12a3b2x3÷3ab2等于什么呢？你能发现被除式、除式、商式的系数、字母、字母的指数之间有什么关系吗？学生回答：12a3b2x3÷3ab2=4a2x3.教师与学生共同分析：上面的商式4a2x3的系数4=12÷3，a的指数2=3-1，b的指数0=2-2，而b0=1,x的指数3=3-0.追问：根据上述分析，再结合单项式的乘法法则逆向思维来考虑，你能得出什么结论呢？学生分析讨论，在教师指导下得出单项式的除法法则：一般地，单项式相除，把系数与同底数幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式．【问题2】根据多项式乘单项式的法则有（a+b）·m=am+bm，那么（am+bm）÷m等于什么呢？学生回答：（am+bm）÷m=a+b.追问：我们又知道am÷m+bm÷m=a+b，那么（am+bm）÷m=am÷m+bm÷m.根据上述分析，再结合多项式乘单项式的法则逆向思维来考虑，你能得出什么结论呢？学生分析讨论，在教师指导下得出多项式除以单项式的除法法则：一般地，多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加．3.学以致用，应用新知考点1整式的除法运算【例1】计算：(1)(28x4y2)÷(7x3y)；(2)(-5a5b3c)÷(15a4b)；(3)(12a3-6a2+3a)÷(3a).解：(1)(28x4y2)÷(7x3y)＝(28÷7)·x4－3·y2－1＝4xy.(2)(-5a5b3c)÷(15a4b)＝[(-5)÷15]a5－4b3－1c＝-eq\f(1,3)ab2c.(3)(12a3-6a2+3a)÷(3a)＝12a3÷3a-6a2÷3a+3a÷3a＝4a2-2a+1.4.随堂训练，巩固新知教材P109练习2,3.【教材变式1】下面计算正确的是()A．x6÷x2＝x3B．(－x)6÷(－x)4＝－x2C．36a3b4÷9a2b＝4ab3D．(2x3－3x2－x)÷(－x)＝－2x2＋3x答案：C【教材变式2】如果m(xayb)3÷(2x3y2)2＝eq\f(1,8)x3y2，求m，a，b的值．解：∵m(xayb)3÷(2x3y2)2＝mx3ay3b÷(4x6y4)＝eq\f(1,4)mx3a－6y3b－4，∴eq\f(1,4)mx3a－6y3b－4＝eq\f(1,8)x3y2.则eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)m＝\f(1,8)，,3a－6＝3，,3b－4＝2，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m＝\f(1,2)，,a＝3，,b＝2.))5.课堂小结，自我完善教师与学生一起回顾本节课所学的主要内容，并请学生回答以下问题：1.本节课学习了哪些主要内容？2.请叙述单项式除以单项式的运算法则，多项式除以单项式的运算法则？6.布置作业1.教材P110习题16.2第4，5，6,7题；2.教材P121复习题第3,11题；3.学霸创新题P82-P83.在研究整式的除法，包括同底数幂的除法、单项式除以单项式、多项式除以单项式等时，都是根据乘法运算推导它的逆运算，经过观察得出除法的运算性质或法则.在此过程中建立整式乘除法之间的联系，锻炼同学们归纳总结的能力.通过例题帮助学生巩固、应用新知，熟悉本课重点，包括同底数幂的除法运算，单项式除以单项式，多项式除以单项式.通过随堂练习，进一步巩固课堂所学内容，检测学习效果.通过小结，帮助学生梳理本节课所学内容，强化记忆，课后练习巩固，让所学知识得以运用.板书设计16.2整式的乘法第5课时整式的除法1.单项式除以单项式：例题2.多项式除以单项式：练习教学反思本节知识的综合性较强，要求学生熟练掌握整式的除法的法则，同时为了让学生理解并掌握法则的灵活应用，教学中一定要精讲精练，让学生从练习中再次体会法则的内容，为以后的学习奠定基础.16.3乘法公式16.3.1平方差公式课题平方差公式课型新授课教学内容教材第112-114页的内容教学目标1.掌握平方差公式的结构特征，理解平方差公式的意义.2.能正确地运用平方差公式.教学重难点教学重点：平方差公式的推导及应用.教学难点：灵活运用平方差公式进行乘法运算.教学过程备注1.回顾旧知，引入新课【问题1】在16.2节中，我们学习了整式的乘法，知道了多项式与多项式相乘的法则，根学所学知识，计算下列多项式的积，你能发现什么规律?(1)(x+1)(x-1)=；(2)(m+2)(m-2)=；(3)(2x+1)(2x-1)=.学生计算，三位学生在黑板上板书，师生共同分析板书的结果.2.发现探究，学习新知追问:上述问题中相乘的两个多项式有什么共同点？相乘的两个多项式的各项与它们的积中的各项有什么关系？学生观察并独立思考，尝试着进行概括发现相乘的两个多项式均为相同的两个数的和、两个数的差的形式，而且这两个多项式的积恰好是这两个数的平方差.追问3:你能将发现的规律用式子表示出来吗？学生在教师指导下尝试用含字母的式子表示上述规律(a+b)(a-b)=a2-b2.追问4:你能对发现的规律进行推导吗？运用多项式乘法法则及合并同类项可以推导此公式，学生自主推导.【问题2】前面探究所得的式子(a+b)(a-b)=a2-b2，称为（乘法的）平方差公式，你能将平方差公式用文字语言表述吗？学生回答问题，相互补充：两个数的和与这两个数的差的积,等于这两个数的平方差.【问题3】(1)正方形ABCD按如图所示的方式裁掉绿色矩形部分，剩下的面积应该怎么表示呢？(2)图中长方形AEFG的面积应该怎么表示呢？学生根据图中标注尺寸分别表示相应面积：（1）a2-b2；（2）(a+b)(a-b).追问：由上述两种方法表示的面积之间的关系能得到什么结论呢?教师引导学生发现黄、橙两色的长方形之间的关系，并得出结论(a+b)(a-b)=a2-b2.3.学以致用，应用新知考点1平方差公式【例1】运用平方差公式计算：(1)(3x+2)(3x-2)；(2)(-x+2y)(-x-2y)．解：(1)(3x+2)(3x-2)＝(3x)2-22＝9x2-4.(2)(-x+2y)(-x-2y)＝(-x)2-(2y)2＝x2-4y2.考点2平方差公式的应用【例2】计算：(1)(x-1)(x+1)(x2+1)；(2)(y+2)(y-2)-(y-1)(y+5)；(3)102×98.解：(1)(x-1)(x+1)(x2+1)=(x2-1)(x2+1)=x4-1.(2)(y+2)(y-2)-(y-1)(y+5)＝y2-22-(y2+4y-5)＝y2-4-y2-4y+5＝-4y+1.(3)102×98＝(100+2)(100-2)＝1002-22＝10000-4＝9996.4.随堂训练，巩固新知教材P113练习1,2,3.【教材变式1】下列能用平方差公式计算的是()A．(－x＋y)(x－y) B．(x－1)(－1－x)C．(2x＋y)(2y－x) D．(x－2)(x＋1)答案：B【教材变式2】运用平方差公式计算：(1)(m＋2n)(m－2n)；(2)(－4a＋3)(－4a－3)；(3)1007×993；(4)(2x－y)(y＋2x)－(2y＋x)(2y－x)．解：(1)原式＝m2－4n2.(2)原式＝(－4a)2－32＝16a2－9.(3)原式＝(1000＋7)×(1000－7)＝10002－72＝999951.(4)原式＝4x2－y2－(4y2－x2)＝4x2－y2－4y2＋x2＝5x2－5y2.5.课堂小结，自我完善教师与学生一起回顾本节课所学的主要内容，并请学生回答以下问题：1.本节课学习了哪些主要内容？2.平方差公式的结构特征是什么？3.应用平方差公式时要注意什么？6.布置作业1.教材P117习题16.3第1,5题；2.学霸创新题P86-P87.承前启后，为本节内容的引入作铺垫；让学生在每个算式的计算过程中进一步巩固多项式乘法法则，体会多项式乘法与本节内容的关系“一般特殊”；三个特殊的算式是有代表性和层次性，可以为抽象概括出一般的结论奠定基础.让学生经历具体--抽象的过程，即经历观察、比较、概括、推理的过程，从中体会研究数学问题的基本思想方法“具体--抽象”.让学生将符号语言转化为文字语言，发展学生的数学语言表达能力；学生在用文字语言表述公式内容时，可以加深对公式结构特征的理解.通过探究活动，让学生认识平方差公式的几何意义，使学生更好的理解这一公式，并在此过程中体会数形结合思想.通过例题帮助学生巩固、应用新知，熟悉本课重点，包括平方差公式及其应用.通过随堂练习，进一步巩固课堂所学内容，检测学习效果.通过小结，帮助学生梳理本节课所学内容，强化记忆，课后练习巩固，让所学知识得以运用.板书设计16.3乘法公式16.3.1平方差公式平方差公式：例题练习教学反思学生通过几个特殊的多项式乘法运算发现平方差公式，再通过代数推理验证其通用性，也用用几何方法证明公式的正确性．通过这两种方式的演算，让学生理解平方差公式．本节教学内容较多，因此教材中的练习可以让学生在课后完成．16.3.2完全平方公式第1课时完全平方公式课题完全平方公式课型新授课教学内容教材第114-116页的内容教学目标1.掌握完全平方公式的结构特征，理解完全平方公式的意义.2.能正确地运用完全平方公式.教学重难点教学重点：完全平方公式的推导及应用.教学难点：灵活运用完全平方公式进行乘法运算.教学过程备注1.回顾旧知，引入新课【问题1】根据乘方的定义可知a2＝a·a，那么(a＋b)2应该写成什么样的形式呢？怎样进一步运算呢？计算下列各式，(1)(p＋1)2＝(p＋1)(p＋1)=________；(2)(m＋2)2＝()()=________；(3)(p－1)2＝()()=________；(4)(m－2)2＝()()=________.学生依据多项式的乘法运算律独立完成计算．2.发现探究，学习新知追问：通过上面的计算你能发现什么规律？学生分成小组，讨论、观察、探讨，发现规律如下：(1)右边第一项是左边括号中第一项的平方，右边最后一项是左边括号中第二项的平方，右边中间一项是左边括号中第一项和第二项乘积的2倍．(2)左边如果为“＋”号，右边全是“＋”号，左边如果为“－”号，右边中间一项的符号就为“－”号，其余都为“＋”号．追问：问题1中左边的平方式我们可以用(a＋b)2与(a－b)2统一表示，你能利用多项式乘法以及幂的意义对这两个平方式进行计算，验证上面的规律是否正确吗？教师请学生板书进行计算：(a＋b)2＝(a＋b)(a＋b)＝a2＋ab＋ab＋b2＝a2＋2ab＋b2.(a－b)2＝(a－b)(a－b)＝a2－ab－ab＋b2＝a2－2ab＋b2.教师带领学生观察两式，并与问题1中的计算结果进行对比，验证前面发现的规律的正确性.所以，对于具有此相同形式的多项式相乘，我们可以直接写出运算结果，即(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2.(a－b)2＝a2－2ab＋b2.追问：这两个公式叫作（乘法的）完全平方公式.你能用文字语言描述这两个公式吗？学生用自己语言叙述，教师知道总结：两个数的和(或差)的平方，等于它们的平方和，加上(或减去)它们的积的2倍．【问题2】如图，一块边长为am的正方形实验田，现将其边长增加bm，求扩大后的实验田的面积.学生回答问题：实验田扩大后是边长为(a＋b)m的大正方形，所以面积为S＝(a＋b)2m2.追问：请同学们思考一下还有别的计算方法吗?能不能将实验田按图中所示分成四小块分别计算再求和？学生思考、计算、讨论：四块面积分别为：a2、ab、ab、b2；四块面积的和S＝a2＋2ab＋b2．追问：上述两种计算方法得到的结果之间有什么关系呢？你能得到什么结论？(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2.追问：如果将该正方形田地的边长缩减bm，则其面积又是多少？类比问题2的探究方法进行探究，你能得到什么结论？学生通过计算、探讨后回答：(a－b)2＝a2－2ab＋b2.追问：通过前面两个问题的研究，你们发现了什么？师生共同探讨：通过几何方法验证了完全平方公式的正确性.【问题3】请同学们思考下面的问题：(a＋b)2与(-a-b)2相等吗？(a-b)2与(b-a)2相等吗？(a-b)2与a2-b2相等吗？学生根据完全平方公式进行计算推导，得出结论：(a＋b)2与(-a-b)2相等，(a-b)2与(b-a)2相等，(a-b)2与a2-b2不相等.3.学以致用，应用新知考点1运用完全平方公式进行计算【例1】运用完全平方公式计算：(1)(4m＋n)2；(2)(y－eq\f(1,2))2.解：(1)(4m＋n)2＝(4m)2＋2·(4m)·n＋n2＝16m2＋8mn＋n2.(2)(y－eq\f(1,2))2＝y2－2·y·eq\f(1,2)＋(eq\f(1,2))2＝y2－y＋eq\f(1,4).考点2运用完全平方公式求值【例2】运用完全平方公式计算：(1)1022；(2)992.解：(1)1022＝(100＋2)2＝1002＋2×100×2＋22＝10000＋400＋4＝10404.(2)992＝(100－1)2＝1002－2×100×1＋12＝10000－200＋1＝9801.4.随堂训练，巩固新知教材P115练习1,2,3.【教材变式1】运用完全平方公式计算:(1)(6a+5b)2；(2)(4x-3y)2；(3)(2m-1)2；(4)(-2m-1)2.解：（1）原式=36a2+60ab+25b2.（2）原式==16x2-24xy+9y2.（3）原式=4m2-4m+1.（4）原式=4m2+4m+1.【教材变式2】已知x－y＝6，xy＝－8.求:(1)x2＋y2的值；(2)(x+y)2的值.解：(1)∵x－y＝6，xy＝－8，(x－y)2＝x2＋y2－2xy，∴x2＋y2＝(x－y)2＋2xy＝36－16＝20.(2)∵x2＋y2＝20，xy＝－8，∴(x+y)2＝x2＋y2＋2xy＝20－16＝4.5.课堂小结，自我完善教师与学生一起回顾本节课所学的主要内容，并请学生回答以下问题：1.本节课学习了哪些主要内容？2.完全平方公式的结构特征是什么？3.应用完全平方公式时要注意什么？.6.布置作业1.教材P117习题16.3第2,4,6,7,8题；2.教材P121复习题第5,7，8,12题；3.学霸创新题P88-P89.通过计算四个平方式，让同学们观察总结计算结果的规律，得到规律性结果.通过小组讨论发现规律，锻炼学生的观察能力，归纳总结能力，小组合作能力.前面通过几个特例总结规律，这里对于一般化的(a＋b)2与(a－b)2进行计算，验证上述规律的正确性，完成从特殊到一般的研究过程.进一步通过对几何图形的研究验证完全平方公式，从几何的角度进行解释，让学生从不同的角度理解这一公式.通过讨论该问题，让学生发现不同代数式之间的关系，加深对公式的理解，规避在公式使用过程中的常见错误.通过例题帮助学生巩固、应用新知，熟悉本课重点，包括运用完全平方公式进行计算、运用完全平方公式求值.通过随堂练习，进一步巩固课堂所学内容，检测学习效果.通过小结，帮助学生梳理本节课所学内容，强化记忆，课后练习巩固，让所学知识得以运用.板书设计16.3.2完全平方公式第1课时完全平方公式完全平方公式：例题练习教学反思本节的探讨方式和上节类似，都是通过特殊的乘法运算总结规律，再让学生在代数和几何两方面理解完全平方公式．完全平方公式分为两数和的平方和两数差的平方两种形式，教学中可以将两个公式写作一个公式：(a±b)2＝a2±2ab＋b2，有助于学生的记忆．在探究两数差的平方公式时，因为学生通过前面的学习已经掌握了几何的说明方法，因此可以让学生自己画图证明．

16.3.2完全平方公式第2课时添括号法则课题添括号法则课型新授课教学内容教材第116-117页的内容教学目标掌握添括号法则，会运用法则进行整式变形.教学重难点教学重点：添括号法则.教学难点：运用法则进行整式变形.教学过程备注1.回顾旧知，引入新课请同学们利用去括号法则去括号．(1)a+(b+c)；(2)a-(b+c)．学生自行解题.解：(1)a+(b+c)＝a+b+c.(2)a-(b+c)＝a-b-c.追问：同学们还记得去括号法则吗？去括号时，如果括号前是正号，去掉括号后，括号里各项不变号；如果括号前是负号，去掉括号后，括号里的各项都变号．2.发现探究，学习新知【问题1】大家还记得加法交换律吗？结合（1）中的运算进行讨论.教师请同学们回答加法结合律：有理数的加法中，三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变.用字母表示：加法结合律:(a+b)＋c=a＋(b+c).教师引导学生观察加法结合律，发现式中添加括号改变了运算顺序，（1）中去括号的过程a+(b+c)＝a+b+c，其实是加法结合律反过来，去括号改变运算顺序.追问：在加法运算中去括号、添括号，可以改变运算顺序，那么含减号的式子是否也可以通过去括号、添括号，改变运算顺序呢？请结合（2）中a-(b+c)＝a-b-c去括号的过程进行讨论.教师引导学生讨论，（2）中去括号的作用：通过去括号使运算顺序发生改变.式子反过来，a-b-c＝a-(b+c)是一个添括号的过程，运算顺序也发生了改变.教师总结：无论是之前学过的去括号，还是添括号都是为了改变运算顺序，使运算更简便.【问题2】我们学习了去括号的法则，那么添括号又有什么法则呢？教师引导学生思考：添括号和去括号是互逆的，所以我们可以得到添括号法则：a+b+c＝a+(b+c).a-b-c＝a-(b+c).追问：请同学们观察上述两式，用文字语言表述添括号法则.教师引导学生观察两式，在括号前是正号、负号两种情况下添括号的规律，形成文字表述：添括号时，如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不变符号；如果括号前面是负号，括到括号里的各项都改变符号．3.学以致用，应用新知考点1添括号法则在整式乘法中的应用【例1】运用乘法公式计算：(1)(x＋2y－3)(x－2y＋3)；解：(x＋2y－3)(x－2y＋3)＝[x＋(2y－3)][x－(2y－3)]＝x2－(2y－3)2＝x2－(4y2－12y＋9)＝x2－4y2＋12y－9.(2)(a＋b＋c)2.解：(a＋b＋c)2＝[(a＋b)＋c]2＝(a＋b)2＋2(a＋b)c＋c2＝a2＋2ab＋b2＋2ac＋2bc＋c2＝a2＋b2＋c2＋2ab＋2ac＋2bc.4.随堂训练，巩固新知教材P117练习1,2,3.【教材变式1】在括号里填上适当的项：(1)a＋2b－c＝a＋()；(2)a－b－c＋d＝a－()；(3)(a－b－c)(a－b＋c)＝[a－()][a－()]．答案：（1）2b－c（2）b＋c－d（3）b＋cb－c【教材变式2】计算：(1)(a－b＋c)2；(2)(1－2x＋y)(1＋2x－y)．解：(1)原式＝[(a－b)＋c]2＝(a－b)2＋c2＋2(a－b)c＝a2－2ab＋b2＋c2＋2ac－2bc；(2)原式＝[1＋(－2x＋y)][1－(－2x＋y)]＝12－(－2x＋y)2＝1－4x2＋4xy－y2.5.课堂小结，自我完善教师与学生一起回顾本节课所学的主要内容，并请学生回答以下问题：1.本节课学习了哪些主要内容？2.添括号法则有哪些需要注意的地方？6.布置作业1.教材P117习题16.3第3题；2.学霸创新题P90.回顾之前学习的去括号法则，帮助学生复习旧知，进而引出本节课的学习内容.联系加法结合律和去括号法则，对添括号的必要性和作用进行说明，让学生对这部分内容有进步一的理解.根据去括号法则推出添括号法则，从去括号法则得出添括号时那些想放在括号内，括号前用什么符号.通过例题帮助学生巩固、应用新知，熟悉本课重点，包括添括号法则在整式乘法中的应用.通过随堂练习，进一步巩固课堂所学内容，检测学习效果.通过小结，帮助学生梳理本节课所学内容，强化记忆，课后练习巩固，让所学知识得以运用.板书设计16.3.2完全平方公式第2课时添括号法则添括号法则：例题练习教学反思由之前熟悉的去括号法则引入，再通过加法结合律分析去括号、添括号的作用和必要性，让学生重视对添括号法则的学习.在教学过过程中应强调与去括号法则的联系，通过两者之间关系加深学生对添括号法则的理解.第十七章《因式分解》课程基本信息学科数学（2024人教版）年级八年级学期秋季课程标准领域主题数与代数--数与式教科书书名：人教版教材出版社：人民教育出版社出版日期：2024年6月单元名称第十七章因式分解单元课时数正课5课时+数学活动1课时+小结1课时单元学习主题分析课标要求（一）内容要求《课程标准（2022年版）》在初中阶段“数与代数”部分“因式分解”的要求：能用提公因式法、公式法（直接利用公式不超过二次）进行因式分解（指数为正整数）。（二）学业要求能用提公因式法、公式法（对二次式直接利用平方差公式或完全平方公式）进行因式分解（指数为正整数）。单元教学分析（一）教材分析2024版教材将“因式分解”从原“整式的乘除与因式分解”章节中独立为第17章，凸显其核心地位。内容以“概念—方法—应用”为逻辑主线，先通过整式乘法的逆运算引入因式分解概念，再系统讲解提公因式法、公式法（平方差公式、完全平方公式），配套梯度化练习与数学活动，实现从知识到能力的进阶。教材新增“阅读思考”“数学活动”板块，强化知识的现实关联与实践应用。（二）本章在中考中的地位与作用因式分解是中考数学的核心工具性知识点，并非独立重难点题型，但贯穿代数解答的关键环节，是解决多个高频考点的“桥梁”。因式分解在中考中的具体作用多体现在3个核心场景：1.快速求解一元二次方程（如用十字相乘法分解因式，比公式法更高效）；2.化简分式（分解分子分母的公因式，是分式约分、通分的前提）；3.辅助二次函数相关计算（如分解函数解析式求与x轴交点，或判断代数式取值范围）。综上，因式分解是“解题工具”而非“最终考点”，掌握不扎实会直接影响代数板块的解题速度与准确率。（三）学情分析八年级学生已掌握整式的加、减、乘、除运算，对代数式变形有初步认知，具备基础运算能力与逻辑思维能力。但因式分解作为逆向思维过程，与整式乘法的思维逻辑相反，学生易出现概念混淆、方法选择不当等问题；对含多项式公因式、符号问题的分解易出错，需强化方法指导与易错点辨析。单元学习目标（一）知识与技能目标1.理解因式分解的定义，能区分因式分解与整式乘法。2.掌握公因式的确定方法，能熟练运用提公因式法分解因式，公因式可涵盖单项式或多项式。3.能运用平方差公式、完全平方公式（直接使用不超过二次）进行因式分解，综合运用提公因式法与公式法解决复杂的因式分解题。4.了解因式分解的结果要求。（二）过程与方法目标1.经历从分解因数到分解因式的类比过程，体会从具体到抽象的思维转化，发展观察、归纳与概括能力。2.再探究提公因式法和公式法的过程中，通过观察、比较、归纳、推理，提升规范运算能力与逻辑推理能力。（三）情感态度与价值观目标运用因式分解变形代数式，解决简单实际问题（如几何面积），感知知识间的内在逻辑与工具价值。（四）教学重难点1.教学重点：理解因式分解的概念；熟练掌握提公因式法、公式法（平方差公式、完全平方公式）进行因式分解。2.教学难点：灵活运用多种方法分解因式；处理符号问题、多项式公因数等复杂情况。相反变形相反变形整式的乘法因式分解特殊形式具体方法相反变形相反变形五、单元教学结构设计课时序号课时主题核心内容与活动设计备注117.1用提公因式法分解因式（基础）复习整式乘法，通过逆向变形引入因式分解概念；讲解公因数的“三定”原则；提公因式法的基础训练。新授课217.1用提公因式法分解因式（进阶）突破多项式公因数、符号问题；错题分析与巩固练习。新授课317.2用公式法分解因式-平方差公式推导平方差公式，分析“两项、异号、平方”特征；例题讲解与基础训练。新授课417.2用公式法分解因式-完全平方公式1.推导完全平方公式，对比平方差公式的特征区别；2.例题讲解与基础训练。新授课517.2用公式法分解因式-公式法的灵活使用（拔高）补充：阅读与思考x²+(p+q)x+pq分解因式1.讲解“先提公因式，再公式法”的思路；2.例题讲解与针对训练；3.引入数学活动：运用十字相乘法分解因式。习题课6数学活动个位数字是5的两位数平方的规律、利用因式分解生成密码1.前期准备2.现场实施：探究-小组合作3.后期总结：成果展示-方法学习实践课7本章小结数量知识框架；易错点复盘；综合训练与能力检测。小结课六、2012版教材与2024版教材对比分析目录结构对比（二）内容变化1.将原来的2012版第十四章整式的乘法与因式分解拆分成两章，2024版教材第十七章因式分解独立成章，内容更加独立与系统。2.2024版教材新增了例题、习题--P125例1、P126例3（2）、习题17.1，P128例1（2）、P126例3（2）、习题17.1，P130例3（1）、例4（1）、习题17.2，复杂的因式分解问题.3.2024版教材更换了一些例题习题，题目内容素材，如章前言由绿地面积更换为跳水比赛计算选手的得分问题。4.2024版教材删减了一些重复的题目，更换成一些与教材搭配呼应且有一定思维含量的题目，如17.1课时练习、P128例4（2）、17.2课时练习。5.2024版教材替换了数学活动2--删除两数积的规律，新增了利用因式分解生成密码。（三）就本单元变化要点解读及教学建议1.要点解读(1)章节独立性增强：2024年教材突出了因式分解的重要性，内容安排更具系统性和完整性。(2)知识点表述细化：2024年教材在提公因式法部分，给出了确定公因式的“三定”原则，即“定系数、定字母、定指数”，相比2012年教材，知识点的表述更加具体、清晰，便于学生理解和掌握。(3)导学功能优化：2024年教材在章节引言、小结等内容上进行了全面修订，如在因式分解章节引言中可能会更注重创设情境，引发学生的学习兴趣，引导学生自主思考因式分解的意义和作用。2.教学建议(1)强调知识联系：虽然因式分解单独成章，但教学中仍要注重其与整式乘法的互逆关系，通过对比练习等方式，让学生理解两者的区别与联系，加深对知识的理解。(2)细化方法指导：在讲解提公因式法和公式法时，要详细阐述方法的步骤和要点，如提公因式法的“三定”原则，公式法中对公式结构特征的分析等，通过具体例题让学生熟练掌握因式分解的方法，通过错题对比、专项练习集中攻克易错点。(3)引导自主探究：引导学生通过阅读章节引言、小结等内容，自主总结归纳知识点，培养学生的自主学习能力和总结归纳能力，落实数学活动。第十七章因式分解分课时教学设计学科数学（2024人教版）年级八年级学期秋季教科书书名：义务教育教科书数学八年级上册出版社：人民教育出版社出版日期：2024年6月教师霍林郭勒市蒙古族学校聂凤题17.1用提公因式法分解因式（第一课时）课型新授课☑章/单元复习课□专题复习课□习题/试卷讲评课□学科实践活动课□其他□课标要求能用提公因式法进行分解因式教材分析前承：整式乘法是提公因式的逆向运算基础；后启：后续学习公式法因式分解、分式化简、一元二次方程求解等，提公因式法是这些内容的“前置工具”。学情分析一、已有基础1.知识层面：已掌握整式乘法法则，能计算单项式乘多项式，对“乘法分配律”有一定认知，具备理解“提公因式”的前提。2.能力层面：初步具备简单代数运算能力，但逆向思维和代数变形意识较弱。二、潜在困难1.概念混淆：易将“公因式”与“最大公约数”“同类项”概念混淆。2.操作失误：提取公因式后漏项，符号处理错误。学习目标一、知识与技能1.理解因式分解概念且会识别；2.理解公因式的定义，掌握提公因式法分解因式的基本步骤。过程与方法通过“整式乘法→逆向推导→归纳方法”的过程，培养逆向思维和代数变形能力；通过小组讨论找公因式，提升合作探究与逻辑表达能力。情感态度与价值观感受数学的严谨性，体会“逆向思考”运算.学习重点理解因式分解概念且会识别；确定多项式的公因式正确因式分解。学习难点确定多项式的公因式；提取公因式后剩余项的确定（避免漏项）；处理符号问题（如多项式首项为负时，提取带负号的公因式）。学习策略启发式教学+小组合作学习+讲练结合课前准备多媒体课件（含复习题、探究题、练习题）课堂练习单（分层设计）教学思路情境引入-新知探究-巩固应用-拓展提升-课堂小结教学过程（45分钟）环节一：问题引入时间教师活动学生活动设计意图2分钟章前言情境导入提出问题：在跳水比赛中，选手每一跳的得分是根据裁判的评分和难度系数计算得出的，某单人跳水选手完成了一个难度系数为P的动作，如果有7名裁判进行评分，按照评分规则，去掉2个最高分和2个最低分，会剩下3个分数a、b、c，求选手的得分？2.引导思考，引出主题：从整式运算角度看，从②到①是整式运算，从①到②相当于把一个多项式写成两个整式的乘积。问题本质是找“pa、pb、pc”的公共因式，引出本节课主题——提公因式法分解因式。学生思考作答①pa+pb+pc或②p(a+b+c)结合生活实际情境，激发学生兴趣环节二：知识精讲15分钟一、回顾旧知：1.快速复习“整数的分解”法则，计算33=，42=。教师过渡语：类比整数的分解，有时也需要将整式分解成几个因式乘积的形式。二、探究新知1.计算请把下列多项式写成整式的乘积的形式；x²+x=，x²-1=，x²+2x+1=.2.生成新知教师引导学生观察、分析、发现、归纳规律并板书：我们把一个多项式化成了几个整式的积的形式，像这样的式子变形叫做这个多项式的因式分解(factorization)，也叫做把这个多项式分解因式.教师引导学生解读概念：①因式分解研究的对象是多项式，结果是整式的积。②因式分解是恒等变形，形式改变但值不变。③因式分解必须分解到每个多项式的因式不能再分解为止。④因式分解与整式乘法是方向相反的变形。章前言中提到pa+pb+pc=p(a+b+c)追问：多项式pa+pb+pc的各项有什么共同特征？我们把因式p叫作这个多项式各项的公因式.提公因式法一般地，如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提取出来，将多项式写成公因式与另一个因式的乘积的形式，这种分解因式的方法叫作提公因式法．针对练习：找出多项式的公因式ac+bc；3m2+12m；a2b-2ab+ab2；4xy2-6xy+8x2y.例1分解因式：(1)mx2+my2；(2)3x2−4xy2+x.教师精讲例题示范分析：给出3x2−4xy2+x，引导学生观察各项的系数和字母：系数：3、-4、1的最大公约数是1；字母：各项都含字母“x”，指数：x的最低次幂是1；总结：这个多项式的公因式是“x”。教师板书：3x2−4xy2+x=x(3x−4y2+1).逆向推导：x(3x−4y2+1)=3x2−4xy2+x.（含易错点强调）：强调：括号内各项是“原项÷公因式”，不能漏项；若首项为负时，提取负公因式，括号内各项要变号。学生思考，口答33=3×11，42=2×3×7。学生独立计算根据整式的乘法，得到x²+x=x(x+1),x²-1=(x+1)(x-1)，x²+2x+1=(x+1)².学生独立完成同步练习1：下列式子变形，哪些是因式分解？哪些不是？问什么？（教科书P125练习1）4a(a+2b)=4a²+8ab,a²-4=(a+2)(a-2)，x²-3x+2=x(x-3)+2.都含有相同的因式p对照实例，老师解读提公因式的概念和步骤。结合pa+pb+pc=p(a+b+c)得出过程，学生完成例1分解因式：(1)mx2+my2；结合例1(2)的得出过程，学生小结：正确找出多项式的公因式的步骤：1.定系数：公因式的系数是多项式各项系数的最大公约数.2.定字母：字母取多项式各项中都有的相同的字母.3.定指数：相同字母的指数取各项中最小的一个，即字母的最低次数.类比整数的分解，过渡到整式的因式分解。通过旧知识整式乘法运算，等式的结构特点，过渡到新知识整式的因式分解。体会整式乘法运算与因式分解的互逆关系。巩固“找公因式”和“基本提取步骤”。环节三：巩固练习，分层提升15分钟1.基础题（全体必做）教师巡视，纠正符号、漏项错误。纠错反馈：展示学生典型错题,剖析错因，师生改错，强化注意事项。xy−y2+yz=y(x−y+z)或xy−y2+yz=-y(-x+y-z)提升题（小组合作，8分钟）：深度挖掘：实质：乘法的分配律2名学生板演同步练习2：因式分解（教科书P125练习2）ax−aya²-2aa²+abxy−y2+yz同步练习3：利用因式分解计算（教科书P125练习3）(1)1.99²+1.99×0.01；(2)49×20.22+52×20.22-20.22(3)5×3⁴+4×3⁴+9×3²结合（3）强化“分解彻底”意识，小组讨论后展示答案巩固“找公因式”和“基本提取步骤”。巩固提公因式分解因式，体会因式分解的便利性，深度挖掘运算的实质-小学阶段学习的乘法分配律。环节四：课堂小结及课堂检测 3分钟1.知识回顾：什么是公因式？找公因式的关键是什么？提公因式法分解因式的步骤？常见易错点有哪些？2.新知生成过程回顾：因式分解是如何得出的？强调“逆向思维”公因式概念三定：系数；字母；指数（漏项、符号错误、公因式找不全）因式分解与整式乘法的互逆关系。10分钟限时检测1.下列由左边到右边的式子变形，哪些是因式分解？哪些不是？为什么？(1)-a(a+2b)=-a2-2ab；(2)a2−9=(a+3)(a−3)；(3)x2−3x+2=x(x−3)+2.2.分解因式：(1)3x+6y;(2)ab－2ac;(3)a2－a3;(4)4(m+n)2+2(m+n);(5)9m2n－6mn;(6)－6x2y－8xy2.3.利用因式分解计算：(1)39×37–13×91；(2)29×20.16＋72×20.16＋13×20.16–20.16×14．4.利用因式分解求整式的值.已知a＋b＝7，ab＝4，求a2b＋ab2的值．学习评价过程性评价：观察学生在课堂师生活动中的参与度（占比60%）结果性评价：答题规范性、准确率（占比40%）布置作业纸笔作业：基础类作业：习题17.1第1，2，3题.提升类作业：习题17.1第7题.拓展类作业：3.(1)已知:2x+y=4,xy=3,求代数式2x2y+xy2的值.(2)化简求值：(2x+1)2-(2x+1)(2x-1)，其中x=.（3）思考“如何分解因式2(x-y)²-(x-y)”，为下一节课“公因式为多项式”的深入学习做准备。背诵作业因式分解概念、提公因式法因式分解的步骤拓展阅读拆项法原理：在多项式乘法运算中，常经过整理、化简，通常将几个同类项合并为一项，或相互抵消为零．反过来，在对某些多项式分解因式时，需要恢复那些被合并或相互抵消的项，即把多项式中的某一项拆成两项或多项（拆项）．例：分解因式：x2＋4x＋3解：原式＝x2＋x＋3x＋3把4x分成x和3x，＝（x2＋x）＋（3x＋3）将原式分成两组＝x（x＋1）＋3（x＋1）对每一组分别提取公因式＝（x＋3）（x＋1）继续提公因式请类比上面的示例，分解因式：x2＋5x＋6板书设计17.1用提公因式法分解因式一、因式分解例1分解因式：1.定义：一个多项式化成了几个整式的积的形式(1)mx2+my2；整式乘法运算与因式分解互为逆运算。(2)3x2−4xy2+x.2.公因式确定方法注意事项步骤：1.定系数2.定字母3.定指数3.提公因式法步骤：1.找公因式2.提3.乘积形式课后反思1.教学目标达成度2.教学过程合理性3.学生表现和反馈4.习题的设计科学性5.教师的基本功6.二次备课及改进方向上述内容为17.1提公因式分解因式（1）教学设计全部内容课题17.1用提公因式法分解因式（第二课时）课型新授课☑章/单元复习课□专题复习课□习题/试卷讲评课□学科实践活动课□其他□课标要求能用提公因式法进行分解因式教材分析前承：整式乘法是提公因式的逆向运算基础；后启：后续学习公式法因式分解、分式化简、一元二次方程求解等，提公因式法是这些内容的“前置工具”。学情分析一、已有基础1.知识层面：已初步掌握提公因式因式分解的基本步骤，能初步对较简单的多项式提公因式。2.能力层面：初步具备简单代数运算能力，但逆向思维和代数变形意识较弱。二、潜在困难1.概念混淆：易将“公因式”与“最大公约数”“同类项”概念混淆。2.操作失误：提取公因式后漏项，符号处理错误。学习目标一、知识与技能熟练掌握复杂单项式公因式（含多字母、高次幂）的确定方法，能识别并提取多项式型公因式，准确运用提公因式法分解较复杂的多项式。二、过程与方法通过实例探究、小组合作，经历“观察—识别—转化—分解”的过程，体会整体思想和转化思想，提升数学抽象与逻辑推理能力。三、情感态度与价值观感受因式分解的实用性，培养学生严谨的运算习惯。学习重点复杂公因式（复杂单项式、多项式）的确定与提公因式法的灵活应用。学习难点多项式型公因式的识别，尤其是符号不同的多项式（如(a-b)与(b-a)）的转化。学习策略启发式教学+小组合作学习+讲练结合课前准备多媒体课件（含复习题、探究题、练习题）课堂练习单（分层设计）教学思路复习引入-新知探究,巩固应用-拓展提升-课堂小结教学过程（45分钟）环节一：复习引入时间教师活动学生活动设计意图5分钟复习提问：什么是因式分解？它与整式乘法是什么关系？2.基础练习分解因式：①6x²y-9xy²②-4a³+8a²学生口答，强调“互逆变形”