第八章进阶篇进阶2求值与证明问题

进阶2求值与证明问题重点解读求值问题一般是在给定条件下求几何量或参数问题.求曲线方程与求值问题一般都比较简单或中档难度，往往作为压轴之前的铺垫.圆锥曲线中的证明问题是高考的热点内容之一，主要有两类：一是证明点、直线、曲线等几何元素中的位置关系；二是证明解析几何中的一些数量关系(相等或不等).题型一求值问题例1已知双曲线C：x2a2-y2b2=1(a>0，b>0)的渐近线方程为(1)求C的方程；(2)过点(0，3)的直线l与C交于M，N两点，若以MN为直径的圆过坐标原点O，求l的方程.解(1)由题可得b解得a所以双曲线C的方程为x23-(2)由题意知，直线l的斜率一定存在，设直线l：y=kx+3，M(x1，y1)，N(x2，y2)，联立y消去y，整理得(2-k2)x2-6kx-15=0，则k2≠2，Δ=36k2+60(2-k2)>0，即-5<k<5且k≠±2，所以x1+x2=6k2−k2，x1x若以MN为直径的圆过坐标原点O，则OM·ON=0，所以x1x2+y1y2=x1x2+(kx1+3)(kx2+3)=0，整理得(1+k2)x1x2+3k(x1+x2)+9=0，所以−15(1+k2)2−k2+18k所以直线l的方程为y=22x+3或y=-22思维升华(1)求值主要有求长度、面积、角度、斜率、坐标、方程等几何量或参数，所以要熟记相关公式及几何量的意义.(2)突出方程思想，方法是根据所给条件直接求解或列方程(组)求解，在解题过程中要注意几何性质的运用，优化计算方案.跟踪训练1已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为12，A，B分别为椭圆的左、右顶点，C为椭圆的上顶点，且CA·CB=-4.直线l：x(1)求椭圆的标准方程；(2)若直线AM的斜率为k1，直线BN的斜率为k2，求k1解(1)由题意知A(-a，0)，B(a，0)，C(0，b)，则CA=(-a，-b)，CB=(a，-b)，所以CA·CB=-a2+b2=-c2=-4，即c=2，又e=ca=12，所以a=4，b=a2所以椭圆的标准方程为x216+(2)直线l：x=my+3，设M(x1，y1)，N(x2，y2)，由x得(3m2+4)y2+18my-21=0，Δ>0，则y1+y2=-18m3m2+4，y1所以my1y2=76(y1+y2因为椭圆的左、右顶点分别为A(-4，0)，B(4，0)，所以k1=y1x1+4，k所以k1k2=y1(x2−4)y题型二证明问题例2已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左焦点为F，离心率为(1)求椭圆的方程；(2)过点P(2，1)向椭圆引两条切线，切点分别为A，B.求证：PF平分∠AFB.(1)解由题意可得c解得a所以椭圆的方程为x24+(2)证明易知直线x=2与椭圆相切，不妨设切点为A(2，0)，另一条切线为y-1=k(x-2)，由y得(4k2+3)x2-8k(2k-1)x+16k2-16k-8=0，所以Δ=64k2(2k-1)2-32(4k2+3)(2k2-2k-1)=192k+96=0⇒k=-12所以xB=8k(2k−1)2(4k2则B1，32，又F(-1，所以直线BF的斜率kBF=tan∠BFA=32−01−(−1)所以直线PF的斜率kPF=tan∠PFA=1−02−(−1)=1所以tan2∠PFA=2×131−1所以2∠PFA=∠BFA，即PF平分∠AFB.思维升华圆锥曲线证明问题的类型及求解策略(1)位置关系方面：如证明直线与曲线相切，直线间的平行、垂直，直线过定点等.(2)数量关系方面：如相等、存在定值、恒成立等.在熟悉圆锥曲线的定义与性质的前提下，一般采用直接法，通过相关的代数运算证明，有时也可用反证法证明.跟踪训练2已知抛物线C：y2=2px(p>0)的焦点为F，准线l与x轴的交点为A，过点F的动直线m与C交于M，N两点.(1)若准线l的方程为x=-32，求C(2)设直线AM，AN的斜率分别为k1，k2，证明：k1+k2=0.(1)解由抛物线的准线为x=-p2=-3则p=3，故抛物线C的方程为y2=6x.(2)证明由题设知，A−p2，0，设M(x1，y1)，N(x2，y2)，直线m为x=ty+p2与y2=2px联立，可得y2-2pty-p2=0，则Δ>0，y1+y2=2pt，y1y2=-p2，则k1+k2=y1x=x=t=2ty1课时精练[分值：30分]1.(13分)已知双曲线C：y2a2-x2b2=1(a>0，b>0)的渐近线方程为y=(1)求C的方程；(4分)(2)过C的上焦点且斜率为k的直线与C交于P，Q两点，证明：AP⊥AQ.(9分)(1)解由已知得a=1，ab=3故b=3，C的方程为y2-x2(2)证明由(1)得双曲线C的上焦点为(0，2)，设直线PQ：y=kx+2，P(x1，y1)，Q(x2，y2)，联立y得(3k2-1)x2+12kx+9=0，k≠±33，Δ>0所以x1+x2=-12k3k2−1，x1所以直线AP和直线AQ的斜率之积为y1+1x1·y2+1因此AP⊥AQ.2.(17分)已知椭圆E：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，右顶点为A，P为直线x=a上一点.当|AP|=b时，|PF1|=45(1)求椭圆E的方程；(4分)(2)过点P作椭圆E的切线，切点为B(异于点A).①若∠F2PF1=∠APF2，求|AP|；(6分)②证明：∠BPF1=∠APF2.(7分)(1)解易知F1(-c，0)，F2(c，0)，A(a，0)，当|AP|=b时，由题意可得(解得a所以椭圆E的方程为x225+(2)①解根据对称性，不妨设点P在第一象限，且P(5，t)(t>0).tan∠APF2=AF2|tan∠APF1=AF1|因为∠F2PF1=∠APF2，所以∠APF1=2∠APF2，tan∠APF1=tan2∠APF2=2tan∠APF21−tan所以4tt2−4=8t，解得t=22所以|AP|=22.②证明根据对称性，不妨设点P在第一象限，且P(5，m)(m>0)，直线BP：y=k(x-5)+m，设PB与x轴交于点D，由x得(16+25k2)x2+50k(m-5k)x+25(5k-m)2-400=0.由题意可得Δ=[50k(m-5k)]2-4(16+25k2)[25(5k-m)2-400]=0，得k=m2−1610m，tan∠APF2=直线PF1的斜率kPF1又∠BPF1=∠PF1A-∠PDA，tan∠PDA=k，tan∠PF1A=kP故tan∠BPF1=tan