浙江省强基联盟2026-2027学年高二上学期开学考试数学试卷（含解析）

浙江省强基联盟2026-2027学年高二上学期9月题库数学试题一、单选题1．已知集合，，则（

）A． B． C． D．2．命题“，”的否定是（

）A．， B．，C．， D．，3．已知，且，则下列式子恒成立的是（

）A． B．C． D．4．函数的最小值是（

）A．2 B．3 C．6 D．不存在5．若为第二象限角，且，则（

）A． B． C． D．6．已知m，n是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列命题正确的为（

）A．若，则B．若，则C．若，则D．若，则7．已知事件A，B满足，，事件A，B中至少有一个不发生的概率为，则事件A，B都不发生的概率为（

）A． B． C． D．8．已知，函数，若，成立，则实数m的最小值为（

）A． B． C． D．二、多选题9．已知平面向量，，下列结论中正确的是（

）A．若，则存在实数，使得B．若存在实数，使得，则C．若，则D．若，则10．设函数为偶函数，则（

）A．的最小正周期为B．在区间上单调递减C．直线是函数图象的一条对称轴D．将的图象向右平移个单位长度可得到函数的图象11．在棱长为1的正方体中，点M，N分别是，的中点，点P，Q分别是边，上的点（不包括端点），且．则下列说法中正确的有（

）A．平面 B．与是异面直线C． D．三棱锥体积的最大值为三、填空题12．已知复数z满足，其中i为虚数单位，则______．13．已知圆锥的高是其底面半径的倍，若一个球内切于该圆锥（球与圆锥的底面及侧面均相切），则圆锥的体积是球的体积的________倍．14．已知向量，，，向量、在向量上的投影向量分别为、，且，则实数________．四、解答题15．已知，为锐角，，．(1)求的值；(2)求的值．16．某大学的强基计划考试分为初试和复试，初试成绩达到前，才能进入复试．为了解考生的考试情况，随机抽取了100名考生的初试成绩，并以此为样本绘制了样本频率分布直方图，如下图所示．(1)求频率分布直方图中a的值；(2)请估计进入复试的分数线；(3)用频率估计概率，在进入复试的学生中任选2名，求至少有一名初试成绩90分及以上的概率．17．记的内角，，的对边分别为，，，已知．(1)求角的大小；(2)若点是边的中点，且，求的取值范围．18．如图，在梯形中，，，，且，将沿直线翻折至的位置（点不在平面内）．(1)若平面，证明：平面；(2)当二面角的平面角为锐角时，记直线与平面所成的角为，求的最小值．19．已知函数(1)求函数的单调区间；(2)若存在两个不同的实数，，满足，求证：；(3)若存在两个不同的实数，，满足，求的取值范围．参考答案1．B解析：因为集合，，所以.2．A解析：全称量词改为存在量词，否定结论，所以命题“，”的否定是“”.3．A解析：选项A,,所以选项A正确;选项B,,因为不确定,所以等式不恒成立,选项B错误;选项C,当且仅当或,恒成立,根据题干条件无法得到或,所以选项C错误;选项D,若,则,根据题干条件无法得到恒成立,所以选项D错误.4．C解析：因为，所以由基本不等式得，当且仅当，即时取等号，所以的最小值为6.5．B解析：根据诱导公式，又因为为第二象限角,,所以,所以.6．C解析：A：由，则平行、异面、相交均可能，错，B：由，则或，错，C：由，结合线面垂直、面面平行的性质有，对，D：由，要使，根据面面平行的判定定理，条件还需相交，错.故选：C7．D解析：，，，.8．D解析：二次函数的图象抛物线开口向上，对称轴方程为，由，有，又，若，成立，则有，解得，所以实数m的最小值为.9．BC解析：A选项：且时，满足，此时不存在实数，使得，A选项错误；B选项：存在实数，使得，若则，满足；若，由向量数乘的定义可知，与共线，即，B选项正确；C选项：若，两边同时平方化简得，若或，满足；时，由，得，即与同向，满足，C选项正确；D选项：时，若与方向相反，则不成立，D选项错误.10．ABC解析：因为是偶函数，所以，正弦为偶函数，则相位需满足：，因为，取，得，所以；选项A：最小正周期，A正确；选项B：，，则，在单调递减，所以在单调递减，B正确；选项C：，把代入：，所以函数取到最小值，故是该函数的对称轴，C正确；选项D：向右平移个单位：，由题知，两者不相等，D错误.11．ACD解析：因为点M，N分别是，的中点，所以，，平面，所以平面，即平面，又，平面，故平面，A正确；当时直线与相交，理由如下：取中点，连接，因为均为中点，故，共面，又与不平行，故与相交，所以B错误；过作，过作，连接，则,因为平面，平面平面，所以，故为平行四边形，，且，即，所以，即，C正确；因为，设，则，，当且仅当时三棱锥体积最大，此时，故D正确.12．解析：，所以.13．解析：设圆锥底面半径为，由题意得圆锥的高.因为圆锥轴截面是等腰三角形，底边长，高，所以母线长为.设内切球半径为.轴截面中，内切球对应的轴截面是等腰三角形的内切圆.等腰三角形的面积为.三角形周长的一半为，由内切圆半径和周长知此等腰三角形面积.所以，即.此时球的体积为.因为圆锥的体积为.所以圆锥的体积与球的体积之比为.14．/解析：由投影向量的定义可知，同理可得，因为，所以，解得：.15．(1)(2)解析：（1）因为，所以．（2）因为为锐角，，所以，因为，所以，又，所以，所以．16．(1)(2)62分(3)解析：（1）由，得．（2）由图可知，初试成绩在55分以下的考生的频率为，在65分以下的考生的频率为，因此分位数位于内，由，可以估计进入复试的分数线为62分．（3）由图可知，初试成绩在90分及以上的考生的频率为，在进入复试的考生中，初试成绩在90分及以上的考生的频率为．任选两名都不超过90分的概率为，所以至少有一名初试成绩90分以上的概率为．17．(1)(2)解析：（1）由题可知，由正弦定理得，，故，所以．（2）由为边中点，故，平方可得，故，①由①知，故，又，故，由余弦定理，又由①式可得，所以，a的取值范围为．18．(1)如图，在梯形中，因为，，所以，．因为，所以四边形是平行四边形，故，所以，故，所以．因为平面，平面，所以．因为，，平面，所以平面．(2)解析：（1）略（2）如图，作交于点F，因为，，所以是二面角的平面角．因为，，，，面，所以面，故．因为，，，平面，所以平面，故．设，则，，又，故．．设点C到面的距离为h，则．又，由等体积法可知，故．因为，所以，令，则．当，即时，取得最小值．所以取得最小值．19．(1)单调递减区间是；递增区间是，．(2)由题可知当时，单调递增且；当时，，故，均小于0，且由单调性不妨设，故，故，要证，只要证，只要证：，①注意到，当时，，，故①成立，结论获证．(3)解析：（1）对于，因为对称