广西壮族自治区南宁市第十四中学2025~2026学年高一下册期末测试数学试卷【附解析】

数学（满分150分，120分钟完成）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.复数的共轭复数为（）A. B. C. D.2.已知集合，，则（）A. B. C. D.3.一个不透明的袋中装有除颜色外均相同的8个白球和若干个红球，每次摇匀后随机摸出一个球，记下颜色后再放回袋中，经过大量重复试验后，发现摸到红球的频率稳定在0.6，则袋中约有红球（）A.8个 B.10个 C.12个 D.14个4.已知一组样本数据8，3，5，7，10，4，3，则这组样本数据的第80百分位数为（）A.5 B.6 C.8 D.105.设m，n是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列结论正确的是（）A.若，则 B.若，则C.若，则 D.若，则6.为调查某地区中学生的身高情况，采用样本量比例分配的分层随机抽样.现抽取男生600人，其平均身高为170cm，方差为10；抽取女生400人，其平均身高为160cm，方差为15.则估计该地区中学生身高的总方差为（）A.36 B.42 C.49 D.557.有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放回的随机取两次，每次取1个球，甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是8”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是7”，则（）A.甲与丙相互独立 B.甲与丁相互独立C.乙与丙相互独立 D.丙与丁相互独立8.某中学开展劳动实习，学习制作模具加工，现将一个圆台加工成一个球体．已知圆台的上、下底面的半径之和为6，母线长为8，且母线与底面所成的角为，则得到的球的表面积的最大值为（）A. B. C. D.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知向量，，则下列说法正确的是（）A.若，则 B.若，则C.若，则 D.当时，在上的投影向量为10.已知，，且，则下列结论正确的有（）A.的最大值是 B.的最小值是10C.的取值范围是 D.11.如图，在棱长为的正方体中，、分别是、的中点，是线段上的一动点，则下列说法正确的是（）A.B.过点、、的平面截该正方体所得的截面面积为C.点到平面的距离为定值D.当直线与平面所成角的正弦值取得最大值时，三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.在中，则__________.13.中，为边中点，，则_____(用表示)14.已知三棱锥的所有棱长均相等，E为的中点，点Q在上（不同于点E），则异面直线与所成角的大小为______．四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知，，且向量与向量的夹角为．（1）求与的值；（2）求向量与向量的夹角的余弦值．16.已知函数（），.（1）求的值；（2）设函数，求的值域和单调区间.17.如图，在四棱锥中，平面，四边形为平行四边形，其中，，为棱上一点.（1）若为中点，求证：平面；（2）若，求直线和平面所成角的正弦值.18.南宁市举行“高一年级趣味数学竞赛”，竞赛分为初赛和决赛两个阶段，为了解初赛情况，现从某中学高一年级随机抽取了200名学生，记录他们的初赛成绩，将数据按照分成5组，制成了如图所示的频率分布直方图.（1）求频率分布直方图中的值，并估计高一年级初赛成绩的平均数与中位数（同一组中的数据用该组区间的中点值代替）；（2）按照分层抽样从和两组中随机抽取了5名学生，现从已抽取的5名学生中随机抽取2名，求有1名或2名学生的成绩在内的概率；（3）已知本次竞赛最终由两人进行冠军争夺战，比赛采用“三局两胜制”（即先赢得两局者获得冠军，比赛随即结束）.已知每一局比赛中胜乙的概率均为，且每局比赛结果互不影响.①求比赛恰好进行两局就结束的概率；②求甲获得冠军的概率.19.已知内角，，的对边分别为，，，若，.（1）求角；（2）若角的平分线交于点，且，求的周长；（3）若为锐角三角形，求的取值范围.

数学（满分150分，120分钟完成）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.复数的共轭复数为（）A. B. C. D.答案：B解析：思路：由复数的除法运算及共轭复数的概念即可求解.解答过程：，所以共轭复数为.故选：B.2.已知集合，，则（）A. B. C. D.答案：C解析：解答过程：因为，，，即集合，且集合，所以.3.一个不透明的袋中装有除颜色外均相同的8个白球和若干个红球，每次摇匀后随机摸出一个球，记下颜色后再放回袋中，经过大量重复试验后，发现摸到红球的频率稳定在0.6，则袋中约有红球（）A.8个 B.10个 C.12个 D.14个答案：C解析：解答过程：设袋中红球有个，利用频率估计概率，可知随机摸出一个球摸到红球的概率约为0.6，由题意可得：，解得，所以袋中约有红球12个.4.已知一组样本数据8，3，5，7，10，4，3，则这组样本数据的第80百分位数为（）A.5 B.6 C.8 D.10答案：C解析：思路：利用百分位数的计算即可.解答过程：将样本数据从小到大排列为3，3，4，5，7，8，10，共7个数.，所以第80百分位数是第6个数，为8.5.设m，n是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列结论正确的是（）A.若，则 B.若，则C.若，则 D.若，则答案：D解析：解答过程：若，则或，所以A错误；若，则或，所以B错误；若，则或与相交，所以C错误；若，根据线面垂直的性质定理可知，，所以D正确.6.为调查某地区中学生的身高情况，采用样本量比例分配的分层随机抽样.现抽取男生600人，其平均身高为170cm，方差为10；抽取女生400人，其平均身高为160cm，方差为15.则估计该地区中学生身高的总方差为（）A.36 B.42 C.49 D.55答案：A解析：思路：先求出平均身高，再求出总方差即可．解答过程：平均身高为：，则该地区中学生身高的总方差为．7.有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放回的随机取两次，每次取1个球，甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是8”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是7”，则（）A.甲与丙相互独立 B.甲与丁相互独立C.乙与丙相互独立 D.丙与丁相互独立答案：B解析：思路：根据独立事件概率关系逐一判断解答过程：，故选：B方法提示：判断事件是否独立，先计算对应概率，再判断是否成立

8.某中学开展劳动实习，学习制作模具加工，现将一个圆台加工成一个球体．已知圆台的上、下底面的半径之和为6，母线长为8，且母线与底面所成的角为，则得到的球的表面积的最大值为（）A. B. C. D.答案：B解析：思路：首先根据圆台的结构特征和边角关系求出圆台上下底面的半径，然后求出圆台的高，然后将等腰梯形补成等边三角形求出内切圆半径，即可求出球的表面积的最大值.解答过程：设圆台的上、下底面的半径分别为，，则，易知圆台的轴截面是一个等腰梯形，又母线与底面所成的角为，则等腰梯形的底角为．由于，即，解得，，则圆台的高为，将梯形补成边长为10的等边三角形，所以该等边三角形的内切圆的半径为，又，所以圆台加工成一个球体的半径最大值为，所以球的表面积最大值为．故选：B．二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知向量，，则下列说法正确的是（）A.若，则 B.若，则C.若，则 D.当时，在上的投影向量为答案：ACD解析：思路：根据向量共线的坐标运算求解判断A；根据向量垂直的坐标运算求解判断B；根据数量积的坐标运算求解判断C；根据投影向量公式求解判断D.解答过程：由，得，解得，A正确；由，得，解得，B错误；由，得，解得，所以，C正确；当时，，，所以在上的投影向量为，D正确．故选：ACD．10.已知，，且，则下列结论正确的有（）A.的最大值是 B.的最小值是10C.的取值范围是 D.答案：ACD解析：思路：对于选项A，利用基本不等式可判断的最大值；对于选项B，根据基本不等式，求出，再利用基本不等式求的最小值，判断B的正误；对于选项C，先对变形，再利用求其范围；对于选项D，由，通过换元，利用函数的单调性求其最小值.解答过程：因为，，且，所以由基本不等式，得，当且仅当时，等号成立，所以的最大值是，故A正确；因为，，所以，当且仅当时，等号成立，所以的最小值是8，故B错误；因为，，所以，所以，即的取值范围是，故C正确；，令，则．函数在上单调递减，所以在上的最小值为．所以，当且仅当时，等号成立，故D正确．11.如图，在棱长为的正方体中，、分别是、的中点，是线段上的一动点，则下列说法正确的是（）A.B.过点、、的平面截该正方体所得的截面面积为C.点到平面的距离为定值D.当直线与平面所成角的正弦值取得最大值时，答案：AC解析：思路：证明出平面，结合线面垂直的性质可判断A选项；取的中点，连接、、、，分析可知过点、、的平面截该正方体所得的截面为梯形，计算出其面积，可判断B选项；证明出平面，可判断C选项；分析可知当时，直线与平面所成角的正弦值取最大值，结合等腰三角形三线合一可求出的长，可判断D选项.解答过程：对于A选项，连接、、，因为平面，平面，所以，因为四边形为正方形，所以，因为，、平面，所以平面，又平面，所以，A正确；取的中点，连接、、、，因为、分别为、的中点，所以，且，因为，，故四边形为平行四边形，所以，所以，所以过点、、的平面截该正方体所得的截面为梯形，又，，，同理得，过点、在平面内分别作，，垂足分别为点、，由等腰梯形的几何性质可知，又因为，，故，故，在等腰梯形内，因为，，，故四边形为矩形，故，所以，故，故，故B错误；对于C选项，连接、、、，因为、分别为、的中点，所以，因为，，故四边形为平行四边形，所以，所以，因为平面，平面，故平面，所以点到平面的距离等于点到平面的距离，为定值，C对；对于D选项，设点到平面的距离为定值，设直线与平面所成角为，则，故当取最小值时，即当时，的长取最小值，此时取最大值，连接、，则，同理可得，，故当为的中点时，，此时，D错.故选：AC.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.在中，则__________.答案：解析：思路：利用余弦定理进行求解.解答过程：由题意得，又，所以.故答案为：13.中，为边中点，，则_____(用表示)答案：解析：思路：由平面向量基本定理，结合向量的线性运算，即可得到结果.解答过程：由已知，.故答案为：.14.已知三棱锥的所有棱长均相等，E为的中点，点Q在上（不同于点E），则异面直线与所成角的大小为______．答案：解析：思路：由条件证明平面，结合线面垂直定义可得，由此可得结论.解答过程：如图所示，连接，由已知，，点为的中点，，，又，平面，所以平面，又平面ABE，所以，故异面直线与所成的角的大小为．四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知，，且向量与向量的夹角为．（1）求与的值；（2）求向量与向量的夹角的余弦值．答案：（1），（2）解析：思路：（1）由向量数量积定义以及向量的运算法则求解即可；（2）利用两向量的夹角公式计算即得.（1）因为，，且向量与向量的夹角为，所以．．（2），所以，，所以．向量与向量的夹角的余弦值16.已知函数（），.（1）求的值；（2）设函数，求的值域和单调区间.答案：（1）.（2）值域为，单调递增区间为，单调递减区间为.解析：（1）由

可得，因，故.（2），因,故的值域为；当，，即，时，单调递增，当，，即，时，单调递减，故的单调递增区间为，单调递减区间为.17.如图，在四棱锥中，平面，四边形为平行四边形，其中，，为棱上一点.（1）若为中点，求证：平面；（2）若，求直线和平面所成角的正弦值.答案：（1）因为，，所以由余弦定理可得，所以，即，又平面，平面，故，平面，故平面，又平面，故,是中点，故，又平面，故平面.（2）解析：思路：（1）根据余弦定理可得长度，即可根据勾股定理求证，进而根据线面垂直的性质以及判定，即可求解，（2）由等体积公式求出点到平面的距离为，则点到平面的距离为，再求出线段的长即可求解．（1）略（2）记点到平面的距离为，由，得，得，解得，因为，所以点到平面的距离为，由,则，由，得，而，得，得，记直线和平面所成角为，则，故直线和平面所成角的正弦值为.18.南宁市举行“高一年级趣味数学竞赛”，竞赛分为初赛和决赛两个阶段，为了解初赛情况，现从某中学高一年级随机抽取了200名学生，记录他们的初赛成绩，将数据按照分成5组，制成了如图所示的频率分布直方图.（1）求频率分布直方图中的值，并估计高一年级初赛成绩的平均数与中位数（同一组中的数据用该组区间的中点值代替）；（2）按照分层抽样从和两组中随机抽取了5名学生，现从已抽取的5名学生中随机抽取2名，求有1名或2名学生的成绩在内的概率；（3）已知本次竞赛最终由两人进行冠军争夺战，比赛采用“三局两胜制”（即先赢得两局者获得冠军，比赛随即结束）.已知每一局比赛中胜乙的概率均为，且每局比赛结果互不影响.①求比赛恰好进行两局就结束的概率；②求甲获得冠军的概率.答案：（1），平均数为，中位数为；（2）；（3）①；②.解析：思路：（1）根据频率分布直方图的性质，以及中位数与平均数与频率分布直方图的联系即可求解；（2）通过分层抽样的性质，求解不同组抽取人数，根据古典概型计算概率即可；（3）分析①和②对应的输赢情况，利用互斥事件的加法公式和独立事件的乘法