广西壮族自治区梧州市2025~2026学年高二下册期末教学质量检测数学试卷【附解析】

数学满分150分，考试时间120分钟）一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．）1.已知集合，，则（）A. B. C. D.2.复数在复平面内对应的点位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限3.设，是单位向量，在上的投影向量为，则与的夹角为（）A. B. C. D.4.一排有6个座位，3个人随机入座，则恰有2人相邻的入座方式有（）A.24 B.36 C.48 D.725.已知，且，则（）A. B. C. D.6.如图所示，圆锥倒放在一个平面上，是直径，，将圆锥绕顶点滚动，恰好滚动了圈回到起始位置，则圆锥的侧面积为（）A. B. C. D.7.若两双曲线中心均为坐标原点，焦点分别在轴和轴且具有相同的渐近线，则称两双曲线为共轭双曲线，已知双曲线，为共轭双曲线，离心率分别为和，则的最小值为（）A. B. C. D.8.已知函数，的定义域均为，，的图象关于直线对称，且，则（）A. B. C. D.二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．）9.已知圆：，则下列说法正确的有（）A.点在圆内B.直线截圆所得的弦长为C.圆：与圆外离D.圆在点处的切线方程为10.在等比数列中，，则（）A.数列的公比为B.数列的前项和小于C.数列的前项和小于D.数列中存在互不相同的正整数，使得成等差数列11.过抛物线：的焦点的直线与抛物线交于，两点，则（）A.抛物线的准线方程为 B.若，则的横坐标为C.的最小值为 D.向量为定值三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分．）12.已知等差数列的前项和为，且，则__________．13.已知方程有两个不相等的实根，则实数的取值范围是__________．14.已知四面体的各顶点均在球的球面上，平面平面，，则球的表面积为___________．四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）15.在棱长为2的正方体中，是的中点，是棱的中点，是棱上的一点．（1）若的延长线与的延长线相交于点，证明点在直线上；（2）若点是棱的中点，求直线和平面所成角的正弦值．16.为调查某校学生对壮美广西传统文化的了解情况，调查组从某校抽取40名学生做测试，测试题总分100，根据学生测试成绩绘制成频率分布直方图（如下图所示），现将记作第一组，、、、分别记作第二、三、四、五组．已知第一组、第二组的频率之和为0.3，第一组和第五组的频率相同．（1）估计此次测试成绩的平均值（同一组数据用该组数据的中点值代替）；（2）已知第二组学生测试成绩的平均数和方差分别为65和40，第四组学生测试成绩的平均数和方差分别为83和70，求两组数据合并之后的新方差．17.在中，角的对边分别为，已知，．（1）若为锐角三角形，求其周长的取值范围；（2）若角的角平分线交于，满足，求的长．18.已知椭圆：（）的左、右焦点分别为，，离心率为，直线过点且与相交于，两点，若最小值为3．（1）求的方程；（2）若的面积为，求；（3）若，求．19.已知函数．（1）求函数的极值；（2）求曲线在点处的切线方程；（3）若函数的最小值为2，求实数的值．

数学满分150分，考试时间120分钟）一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．）1.已知集合，，则（）A. B. C. D.答案：C解析：解答过程：由，得，解得，所以，又，所以.2.复数在复平面内对应的点位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限答案：B解析：思路：先化简所求复数，再判断其对应点所在象限即可.解答过程：,所以复数在复平面内对应的点为，该点位于第二象限.3.设，是单位向量，在上的投影向量为，则与的夹角为（）A. B. C. D.答案：C解析：思路：根据向量投影向量的定义求出夹角的余弦值，结合夹角的取值范围即可确定夹角.解答过程：设与的夹角为，其中，由题可知为单位向量，故，根据向量投影向量的定义，在上的投影向量为：

，

已知该投影向量为，且，代入得：

解得，结合，可得.4.一排有6个座位，3个人随机入座，则恰有2人相邻的入座方式有（）A.24 B.36 C.48 D.72答案：D解析：思路：因为恰有2人相邻，且椅子数多于人数，可以用捆绑法和插空法结合，可先将3人中的2人捆绑，再将捆绑的2人及剩下的人插入在座椅空隙中.解答过程：第一步，先从3人中选择2人捆绑在一起作为一个整体并进行内部排列有种.第二步，剩余的3把椅子成一排，形成4个空隙，将捆绑的2人及剩下的一个人连同座位插入4个空隙共有种；所以由分步乘法计数原理，共有种.5.已知，且，则（）A. B. C. D.答案：D解析：思路：利用同角三角函数平方关系，结合完全平方公式以及角的范围分析求解即可.解答过程：因为，所以，即，解得，由，因为，所以，又，所以，所以，所以.6.如图所示，圆锥倒放在一个平面上，是直径，，将圆锥绕顶点滚动，恰好滚动了圈回到起始位置，则圆锥的侧面积为（）A. B. C. D.答案：B解析：思路：根据圆锥滚动回到原位的条件，得出母线长与底面半径的关系，进而求出母线长，然后利用圆锥侧面积公式求解即可.解答过程：设圆锥的底面半径为，母线长为，由题意知，底面直径，则，解得，圆锥的侧面展开图是一个扇形，其半径为，弧长为底面周长，圆锥绕顶点在平面上滚动，每滚动一圈（即底面转动一周），圆锥绕轴转过的角度对应的弧长等于底面周长，由圆锥绕顶点滚动，恰好滚动了圈回到起始位置，则说明圆锥绕顶点转动圈底面周长的距离后，刚好在平面上转满一周，即倍的底面周长等于以母线为半径的圆周长，所以有，所以圆锥的侧面积为.7.若两双曲线中心均为坐标原点，焦点分别在轴和轴且具有相同的渐近线，则称两双曲线为共轭双曲线，已知双曲线，为共轭双曲线，离心率分别为和，则的最小值为（）A. B. C. D.答案：A解析：思路：先写出共轭双曲线的标准方程，分别表示出两者的离心率平方，再结合基本不等式求乘积的最小值。解答过程：设焦点在x轴上的双曲线的标准方程为（），由共轭双曲线的定义，其共轭双曲线的标准方程为，对，半焦距，离心率，故；对，半焦距，离心率，故。则。由基本不等式，，当且仅当即时等号成立。因此，又，故，即的最小值为2.8.已知函数，的定义域均为，，的图象关于直线对称，且，则（）A. B. C. D.答案：A解析：思路：由题意可得是定义在上周期为的偶函数，利用赋值法可得，进而计算可解.解答过程：因为的图象关于直线对称，所以，所以，因为，所以是定义在上的偶函数，由可得，因为，所以，所以，，所以函数是周期为的周期函数，所以，在中，令，得，即，所以.二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．）9.已知圆：，则下列说法正确的有（）A.点在圆内B.直线截圆所得的弦长为C.圆：与圆外离D.圆在点处的切线方程为答案：ACD解析：思路：对于A，将点代入圆方程，可判断选项正误；对于B，算出直线到圆心距离，再由弦长公式可判断选项正误；对于C，比较两圆圆心距与两圆半径和大小关系可判断选项正误；对于D，利用切线过且和垂直可得切线方程，从而判断选项正误.解答过程：对于A，将点代入圆方程得：，所以点在圆内，A正确；对于B，直线到圆心距离为，则直线截圆O所得的弦长为：，故B错误；对于C，两圆圆心距为，两圆半径和为，从而两圆外离，故C正确；对于D，易得在圆上，且在A点处切线与垂直.，则切线斜率为，切线方程为：，故D正确.10.在等比数列中，，则（）A.数列的公比为B.数列的前项和小于C.数列的前项和小于D.数列中存在互不相同的正整数，使得成等差数列答案：AB解析：思路：根据等比数列的定义、等差中项的性质，等比数列的通项公式以及等比数列前项和公式、错位相减法求数列和公式、放缩法，反证法，特殊值法逐项分析即可.解答过程：选项A，设等比数列的首项为，公比为，由，则，解得：，故A正确；选项B，由A可得：，则，设数列的前项和，则，①，②①②得：，即，因为，所以，故B正确；选项C，设等比数列的前项和为，则，当时，，故C错误；选项D，假设存在互不相同的正整数，使得成等差数列，则，由为互不相同的正整数，则为偶数，为奇数，所以等式不成立，所以假设不成立，即D错误.11.过抛物线：的焦点的直线与抛物线交于，两点，则（）A.抛物线的准线方程为 B.若，则的横坐标为C.的最小值为 D.向量为定值答案：ABD解析：思路：本题考查抛物线的基本性质、抛物线定义、直线与抛物线的位置关系，结合韦达定理计算相关量即可判断各选项.解答过程：选项A：抛物线C：为开口向右的标准抛物线，满足，，准线方程为，故A正确.选项B：根据抛物线定义，抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离，所以，则，即A点的横坐标为4，故B正确.选项C：因为直线过焦点，焦点，由题意已知直线与抛物线要有两个交点，所以直线斜率不为0，设直线为，，由韦达定理得；；，则，，故的最小值为16，故C错误.选项D：，故D正确.三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分．）12.已知等差数列的前项和为，且，则__________．答案：解析：思路：利用等差数列前项和公式结合等差中项的性质求解的值.解答过程：根据等差数列前项和公式，可得，化简得，由等差数列的性质可得,将代入得，解得.13.已知方程有两个不相等的实根，则实数的取值范围是__________．答案：解析：思路：本题主要考查方程根的个数问题，可转化为函数图象交点问题.分离参数得（），研究函数的单调性与值域，确定直线与曲线有两个交点的条件.解答过程：由，得（）.设，则方程有两个不相等的实根等价于直线与曲线有两个不同的交点.求导得.令，得.当时，，单调递减；当时，，单调递增.因此在处取得极小值.又因为时，，；时，，；时，；时，.所以在上从递减到，在上从递增到，在上从递增到.因此，当时，直线在区间和上各有一个交点，共两个；当时，只有一个交点（重根）；当时，方程无解；当或时，均无两个不同交点.综上，的取值范围为.14.已知四面体的各顶点均在球的球面上，平面平面，，则球的表面积为___________．答案：##解析：思路：本题首先可根据题意将四面体看作底面是等边三角形的直三棱柱的一部分，然后求出直三棱柱的外接球的半径，最后根据球的表面积计算公式即可得出结果．解答过程：因为平面平面，所以可将四面体看作底面是等边三角形的直三棱柱的一部分，如图所示：则四面体的外接球即直三棱柱的外接球，因为底面三角形的外心到三角形的顶点的长度为，所以直三棱柱的外接球的半径，则球的表面积.四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）15.在棱长为2的正方体中，是的中点，是棱的中点，是棱上的一点．（1）若的延长线与的延长线相交于点，证明点在直线上；（2）若点是棱的中点，求直线和平面所成角的正弦值．答案：（1）因为平面，直线，故平面，因为平面，直线，所以平面，因为平面平面，所以点在直线上.（2）解析：思路：（1）证明出为平面、平面的一个公共点，结合基本事实可证得结论成立；（2）建立空间直角坐标系，根据线面角空间向量法计算求解即可.（1）略（2）正方体中，以点为坐标原点，分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系，则，，设平面的一个法向量为，则，取，则，所以平面的一个法向量为，设直线和平面所成角为，则，所以直线和平面所成角的正弦值为.16.为调查某校学生对壮美广西传统文化的了解情况，调查组从某校抽取40名学生做测试，测试题总分100，根据学生测试成绩绘制成频率分布直方图（如下图所示），现将记作第一组，、、、分别记作第二、三、四、五组．已知第一组、第二组的频率之和为0.3，第一组和第五组的频率相同．（1）估计此次测试成绩的平均值（同一组数据用该组数据的中点值代替）；（2）已知第二组学生测试成绩的平均数和方差分别为65和40，第四组学生测试成绩的平均数和方差分别为83和70，求两组数据合并之后的新方差．答案：（1）（2）解析：思路：(1)根据频率分布直方图的性质求出各组频率，利用组中值加权平均计算平均值；(2)先求出两组的人数及合并后的平均数，再利用分层抽样合并方差公式计算新方差.（1）由频率分布直方图可知，组距为，第三组的频率为，第四组的频率为，设第一组的频率为，第二组的频率为，第五组的频率为，由题意可知

，且

，因为所有组的频率之和为，所以，即，解得，所以，，各组的中点值分别为

，估计此次测试成绩的平均值

；（2）由(1)可知，第二组的频率为，第四组的频率为，因为样本容量为，所以第二组的人数，第四组的人数，设第二组数据的平均数为，方差为；第四组数据的平均数为，方差为，两组数据合并后的总人数，合并后的平均数，所以

，故两组数据合并之后的新方差为

.17.在中，角的对边分别为，已知，．（1）若为锐角三角形，求其周长的取值范围；（2）若角的角平分线交于，满足，求的长．答案：（1）（2）解析：思路：（1）正弦定理化边，结合余弦定理求角，最后用正弦函数的性质或基本不等式求最值；（2）利用角平分线定理定边的比例，再用余弦定理求三边，最后用向量模长公式计算长度．（1）因为，由正弦定理可得，整理得，所以，又因为，所以，因为，由正弦定理得，所以，，因为，所以，则，又，则，即，所以，，即，所以，即周长的取值范围是，（2）因为，由角平分线定理得，即，在三角形中，，由余弦定理得，，；因为，所以，得，所以．18.已知椭圆：（）的左、右焦点分别为，，离心率为，直线过点且与相交于，两点，若最小值为3．（1）求的方程；（2）若的面积为，求；（3）若，求．答案：（1）（2）（3）解析：思路：（1）利用椭圆离心率公式推出关系，结合椭圆参数恒等式得到关系，再依据椭圆通径最小值公式求出参数，进而确定椭圆标准方程；（2）根据椭圆焦点三角形面积公式求出点的纵坐标，代入椭圆方程得到横坐标平方，再利用向量点积公式结合椭圆坐标性质化简计算得出结果；（3）借助椭圆定义表示出三角形三边长度，联立直线与椭圆方程结合线段比例关系求出参数，通过弦长公式确定边长数值，最后利用余弦定理求出对应角的余弦值.（1）已知离心率，故