2017-2026上海十年高考数学专项汇编：专题14 导数（学生版）

专题14导数

10年真题1年模拟

考点分类上海考情（2017-2026）命题规律

基础：求导判极值点；新变化：限定区

考点1极值与参2025高考解答，2026多模高频，单选

间存在极大/极小值，多参数分类讨

数范围填空均有

论，常结合不等式解集综合设问

传统切点斜率、切线方程稳定；2026创

考点2导数几何2023/2024/2026均为3问压轴，年年新：切线垂线与曲线无交点、切线衍生

意义（切线）基础题不变数列、切线垂直存在性证明，数形结合

复杂度提升

常规求单调区间、函数最值；新增工程、

考点3单调性、最2017-2026填空单选常规，解答高频建

斜坡、投掷等实际建模，结合对称集、

值应用模题

奇偶充要条件逻辑证明

核心变化：原创概念（控制函数、最近

点、k调整函数）为主载体，融合数列、

考点4导数综合近四年解答压轴核心，2026新定义集

三角形、解析几何，恒成立、存在性、

应用中爆发

充要证明为固定设问，计算与逻辑双重

拔高

考点01利用导数求函数极值存在的参数范围

1．（2025·上海·高考真题）已知f(x)x2(m2)xmlnx,mR．

(1)若f(1)0，求不等式f(x)x21的解集；

(2)若函数yf(x)满足在(0,)上存在极大值，求m的取值范围；

考点02导数的几何意义

1/9

1

1．（2026·上海·高考真题）已知aR，函数fxx2ax3，gx4x．

x2

1

(1)已知f14，求fxgx的解集；

x2

(2)已知a0，l1是fx在点0,3处的切线，l2是过点0,3且垂直于l1的直线，gx与l1、l2在第一象限

内均无公共点，求a的取值范围．

2．（2026·上海·高考真题）已知函数fxsinx0,0π.

π

(1)当2，f0，求函数fx在x0处的切线方程；

12

2

(2)若函数fx的最小正周期为3π，且fx在x0,2026π上恰好有1351个解，求的取值范围.

2

22

3．（2024·上海·高考真题）对于一个函数f(x)和一个点M(a,b)，令s(x)(xa)(f(x)b)，若s(x)在xx0

时取得最小值的点，则称(x0,f(x0))是M的“f最近点”.

1

(1)对于函数f(x),x(0,)，求证：对于点M(0,0)，存在点P，使得点P是M的“f最近点”；

x

(2)对于函数f(x)ex,xR，M(1,0)，请判断是否存在一个点P，使它是M的“f最近点”，且直线MP与

曲线f(x)在点P处的切线垂直？

(3)已知函数f(x)(xR)可导，函数g(x)0在xR上恒成立，对于点M1(t1,f(t)g(t))与点

M2(t1,f(t)g(t))，若对任意实数t，均存在点P同时为点M1与点M2的“f最近点”，说明f(x)的单调性.

4．（2023·上海·高考真题）令fxlnx，取点a1,fa1过其曲线yfx作切线交y轴于0,a2，取点

a2,fa2过其作切线交y轴于0,a3，若a30则停止，以此类推，得到数列an．

(1)若正整数m2，证明amlnam11；

(2)若正整数m2，试比较am与am12大小；

(3)若正整数k3，是否存在k使得a1,a2ak依次成等差数列？若存在，求出k的所有取值，若不存在，试

说明理由．

5．（2023·上海·高考真题）设函数f(x)ax3(a1)x2x,g(x)kxm，其中a0,k,mR，若任意x[0,1]

均有f(x)g(x)，则称函数yg(x)是函数yf(x)的控制函数”，且对于所有满足条件的函数yg(x)在x

处取得的最小值记为f(x)．

(1)若a2,g(x)x，试问yg(x)是否为yf(x)的控制函数”；

1

(2)若a0，使得直线yh(x)是曲线yf(x)在x处的切线，证明：函数yh(x)为函数yf(x)的控制

4

1

函数，并求“f”的值；

4

(3)若曲线yf(x)在xx0x0(0,1)处的切线过点(1,0)，且cx0,1，证明：当且仅当cx0或c1时，

f(c)f(c)．

考点03利用导数研究函数的最值或单调性

1．（2024·上海·高考真题）已知函数f(x)的定义域为R，定义集合Mx0x0R,x,x0,f(x)fx0，

在使得M[1,1]的所有f(x)中，下列成立的是（）

A．存在f(x)是偶函数B．存在f(x)在x2处取最大值

C．存在f(x)是增函数D．存在f(x)在x1处取到极小值

2．（2023·上海·高考真题）公园修建斜坡，假设斜坡起点在水平面上，斜坡与水平面的夹角为θ，斜坡终点

距离水平面的垂直高度为4米，游客每走一米消耗的体能为1.025cos，要使游客从斜坡底走到斜坡顶

端所消耗的总体能最少，则______．

3．（2025·上海·高考真题）已知函数yfx的定义域是D．对于tD，定义集合Sftxfxft．

S

(1)fxlog2x，求f16；

(2)对于集合A，若对任意xA都有xA，则称A是对称集．若D是对称集，证明：“函数yfx是偶函

数”的充要条件是“对任意tD，Sft是对称集”；

x12

(3)若xR，fxemx．求m的取值范围，使得对于任意t1t2D，都有SftSft．

221

F0

4．（2023·上海·高考真题）已知S为正比例系数，定义：S,F0为建筑物暴露在空气中的面积（单位：

V0

平方米），V0为建筑物的体积（单位：立方米）．

(1)若有一个圆柱体建筑的底面半径为R，高度为H，求该建筑体的S（用R,H表示）；

(2)现有一个建筑体，侧面皆垂直于地面，设A为底面面积，L为建筑底面周长．已知f为正比例系数，L2与

L2

A成正比，定义：f，建筑面积即为每一层的底面面积，总建筑面积即为每层建筑面积之和，值为T．已

A

fn1

知该建筑体推导得出S，n为层数，层高为3米，其中f18,T10000，试求当取第几层时，

T3n

该建筑体S最小？

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考点04导数的综合应用

n

1．（2025·上海·高考真题）已知数列an、bn、cn的通项公式分别为an10n9，bn2、，

cnan(1)bn.若对任意的0,1，an、bn、cn的值均能构成三角形，则满足条件的正整数n有（）

A．4个B．3个C．1个D．无数个

2．（2025·上海·高考真题）如图所示，正方形ABCD是一块边长为4的工程用料，阴影部分所示是被腐蚀

的区域，其余部分完好，曲线MN为以AD为对称轴的抛物线的一部分，DMDN3．工人师傅现要从完

好的部分中截取一块矩形原料BQPR，当其面积有最大值时，AQ的长为__________．

3．（2024·上海·高考真题）记Ma∣ttfxfa,xa，La∣ttfxfa,xa

(1)若fxx21，求M1和L1;

(2)若fxx33x2，求证:对于任意aR，都有Ma4,，且存在a，使得4Ma.

(3)已知定义在R上fx有最小值，求证"fx是偶函数"的充要条件是“对于任意正实数c，均有

McLc”.

x,000,222,

gx正0负0正

gx极大值极小值

一、单选题

fhf0

1．（2026·上海虹口·三模）已知函数yfx是定义在R上的奇函数，且lim2，则函数yfx

h0h

的表达式可以是（）．

A．fx2ex2B．fxexex

C．fxcos2xD．fxxsinx

2．（2026·上海长宁·二模）已知fx1axasinx.

①存在a0,1，使得函数yfx在R上严格增；

②对于任意a0,1，直线y1axa与曲线yfx都相切且有无数个切点，每个切点的横坐标都不是

函数yfx的极值点.

对于以上两个结论，下列判断正确的是（）

A．①正确，②错误；B．①错误，②正确；

C．①正确，②正确；D．①错误，②错误.

3．（2026·上海杨浦·二模）已知函数yfx和ygx的定义域都为R且都存在导函数.若yfx和

ygx的零点均有且仅有x0，且当x0时恒有fxgx，则下列情形中不可能的是（）.

A．0是yfx的极大值点，也是ygx的极大值点

B．0是yfx的极小值点，也是ygx的极小值点

C．0是yfx的极大值点，也是ygx的极小值点

D．0是yfx的极小值点，也是ygx的极大值点

4．（2026·上海崇明·二模）已知函数yfx，xR．定义集合M{x0对任意的xx0，都有fxfx0}.

对于所有使得M1,2的函数yfx，有以下两个命题：①存在函数yfx在x2处取极小值；②

存在函数yfx图像是连续曲线．下列判断正确的是（）

A．①②都真B．①真②假C．①假②真D．①②都假

A

5．（2026·上海·三模）定义在0,的函数fx满足BfxC，其中常数A、B、C均为正数，

fx

fx是fx的导函数，则fx的图象可能是（）

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A．B．

C．D．

6．（2026·上海·三模）已知函数yfx在R上可导，其导函数为yfx，设p:对任意实数x，fx0

与fx0均成立；q:对任意正数n，都有fxnnfx对任意实数x恒成立，则p是q的（）

A．充分非必要条件B．必要非充分条件

C．充要条件D．既非充分又不非必要条件

二、填空题

f2hf2

7．（2026·上海·三模）已知fxxlnxxln4，则lim________．

h0h

8．（2026·上海虹口·三模）如图所示，某公园有一块半径为1千米、圆心角为直角的扇形游乐景观，若公

园主办方计划在弧AB上选取一点P，在扇形AOP内保留游乐景观，并修建三条观光道OQ、PQ和OP（其

中PQOA，QOA）．若观光道每千米可带来收益3万元，扇形AOP的游乐景观每平方千米需投入维护

成本1万元，则当扇形AOP区域为公园产生的净收益取得最大值时，POA_____________度．（结果精

确到0.1度）

π

9．（2026·上海·三模）已知0，函数fx2sinx1在区间0,2有10个零点与10个极值点，

3

则的取值范围是________．

10．（2026·上海徐汇·二模）若函数yfx在xx0处的切线方程为y2x1，则

fxhfx

lim00__________.

h0h

11．（2026·上海杨浦·二模）掷实心球时，将轨迹视为抛物线的一部分，设实心球离手位置在起掷点O正上

方2米，出手角度即抛物线在该处切线与水平地面所成角，如图所示.已知实心球轨迹最高点距离地面3

米，若要成绩不小于10米（实心球落地点到起掷点的距离），则出手角度的最大值为______.（精确到

0.1°）.

12．（2026·上海闵行·二模）已知aR，若不等式lnx1lnxax0的解集中有且仅有两个整数，则a的

最小值为______.

1

13．（2026·上海·三模）已知曲线ylnx在x1处的切线与直线kxy30平行，则实数k的值为

x2

___________．

f2hf21

14．（2026·上海黄浦·三模）已知fx是定义在R上的可导函数，若lim，则

h02h2

f2________.

三、解答题

15．（2026·上海黄浦·三模）设aR，已知函数yfx，其中fx2exalnx12．

(1)若bR，当a2时，讨论yfx的单调性，并求使gxfxb存在零点的b的取值范围；

(2)当a0时，若对任意的x0,π，fxsinx恒成立，求实数a的取值范围．

16．（2026·上海虹口·三模）设fxlnx．

x

(1)解不等式：ff1；

x1

(2)若feaxx2fx恒成立，求实数a的取值范围．

17．（2026·上海徐汇·二模）已知函数yfx与函数ygx的定义域均为R，且在R上的导函数分别为

fx和gx.若存在常数k，使得对任意实数x,gxkfx恒成立，则称ygx是yfx的“k

调整函数”，并称k为调整系数.

(1)设fxcosx,gx2x.求证：ygx是yfx的“2-调整函数”；

(2)设fxx2,gxexbx.若存在实数b2,1，使得ygx是yfx的“k调整函数”，求调整

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系数k的取值范围；

(3)已知ygx是yfx的“1-调整函数”，函数ygx的值域是一个闭区间，记作集合P，函数yfx

的值域记作集合Q.若PQ，判断yfxgx是否一定是常值函数，并说明理由.

alnx

18．（2026·上海静安·二模）已知函数fx（aR且a0）．

x

(1)当a1时，求函数yfx的极值；

(2)若直线yx1是曲线yfx的一条切线，求a的值和切点的坐标；

a2

(3)若函数gxx2a的图像与yfx的图像相交于相异两点A和B，求a的取值范围．

4x

1

19．（2026·上海嘉定·二模）已知在神经网络中，(x)常作为神经元激活函数．

1ex

(1)证明：对任意实数x，有(x)(x)1，并由此写出y(x)图像的对称中心；

(2)设交叉熵损失函数Ltyˆ[tlnyˆ(1t)ln(1yˆ)]，用于衡量预测值yˆ与真实标签t之间的差异，其中

t0,1．试确定t的值，使得zLt((x))在(,)上是减函数；

(3)在深度神经网络中，信号经过多层传播可抽象为一个迭代过程．设数列xn满足xn1xn，其中n为

n

1

正整数．证明：存在唯一实数A(0,1)，使得，且对任意实数和任意正整数，都有．

(A)Ax1nxn2A

4

20．（2026·上海奉贤·二模）设定义域为0,的函数yfx的表达式为fxexa(a0)，我们可以

证明函数yfx存在唯一的零点，设该零点为r．如图，过点A1x1,fx1作函数yfx的切线l1与x轴

的交点为B2，设横坐标为x2，若x2r，则过点A2x2