2017-2026上海十年高考数学专项汇编：专题02 不等式（教师版）

专题02不等式

10年真题1年模拟

考点分类上海考情（2017-2026）命题规律

基础题用举反例、作差判断不等关系；

考点01不等式性2020/2022/2024/2026均考查，单选+填

解答结合分段函数、指数不等式综合，

质空+解答

侧重范围求解与最值分析

基础题直接求解解集；2026创新结合导

考点02一元二次

2021/2024/2025/2026全覆盖，全题型数切线、直线交点，融合解析几何，综

不等式

合性大幅提升

填空常规求最值；解答搭配函数新定义、

考点03基本不等2019-2026年年必考，填空为主、解答

椭圆解析几何，强调“一正二定三相

式压轴

等”，压轴侧重多条件最值

考点04分式不等基础送分题，统一转化整式不等式求解，

2017/2021/2022/2026填空

式题型稳定无复杂综合，难度最低

考点01不等式性质

1．（2026·上海·高考真题）已知xy1，则下列不等式恒成立的是（）

A．xy2B．xyxyC．x2yD．xyxy

【答案】C

【分析】举反例即可求解ABD，根据不等式的传递性即可求解C.

【详解】对于A,取x3,y2，则x3,y24,故xy2，所以A错误，

对于B，取x1.5,y1.2,则xy1.8,xy2.7，此时xyxy，故B错误，

对于C，由于xy1，故x2x，因此x2y，C正确，

对于D,取x3,y2，则xy5,xy6，此时xyxy，故D错误，

故选：C

2．（2024·上海·高考真题）a，b，cR，bc，下列不等式恒成立的是（）

1/29

A．ab2ac2B．a2ba2cC．ab2ac2D．a2ba2c

【答案】B

【分析】ACD举反例；B选项由不等式的可加性可判断.

【详解】对于A，若bc，则b2c2，选项不成立，故A错误；

对于B，由不等式的可加性可知，a2ba2c，故B正确；

对于C、D，若a0，则选项不成立，故C、D错误．

故选：B．

3．（2022·上海·高考真题）若实数a、b满足ab0，下列不等式中恒成立的是（）

aa

A．ab2abB．ab2abC．2b2abD．2b2ab

22

【答案】A

【分析】利用作差法可判断各选项中不等式的正误.

2

【详解】因为ab0，则ab2abab0，故ab2ab，A对B错；

2

aaaaa

，即，

2b2ab2b22b2b02b2ab

22222

a

当且仅当2b时，即当a4b时，等号成立，CD都错.

2

故选：A.

4．（2022·上海·高考真题）已知abcd，下列选项中正确的是（）

A．adbcB．acbd

C．adbcD．acbd

【答案】B

【分析】用不等式的基本性质得解.

【详解】Q3210，但3021，3021，A、C错

abcd，ac,bd，所以acbd.B正确.

Q30212，但30122，D错.

故选:B.

5．（2022·上海·高考真题）xy0，xy10，则zx2y的最小值是___________.

3

【答案】/1.5

2

31

【分析】分析可得x2yxyxy，利用不等式的基本性质可求得zx2y的最小值.

22

3

m

mn12

【详解】设x2ymxynxymnxmny，则，解得，

mn21

n

2

313

所以，zx2yxyxy，

222

3

因此，zx2y的最小值是.

2

3

故答案为：.

2

80

1x

q100135,x(0,40)

6．（2020·上海·高考真题）已知：=，x(0,80]，且=3，

x

k(x40)85,x[40,80](k0)

（1）若v95，求x的取值范围；

（2）已知x80时，v50，求x为多少时，q可以取得最大值，并求出该最大值.

8048028800

【答案】（1）x0,；（2）x时，qmax=.

377

80

【分析】（1）当x0,40时根据函数的解析表达式，利用指数函数的单调性得到3，进而解得；当

x

x40,80时，利用不等式的基本性质可得v8595,此时v95无解.

（2）根据已知条件，结合函数的解析式，求得k的值，进而分段讨论，当x0,40时可利用不等式的基本

28800

性质得到q100x400,当x40,80时利用二次函数的性质求得q=>400，从而得到答案.

max7

8080

3

xx8080

【详解】（）当时，1即111；

1x0,4010013595,,3,0x

33273x3

当x40,80时，k0,vkx40858595,此时v95无解.

80

综上所述，x0,；

3

7

（2）当x80时，vk80408550,解得k,

8

80

当时，1x

x0,40q100x135x100x4000,

3

77

当x40,80时，qx40x85xx2120x,

88

4802

当时q取得最大值848048028800

xqmax1204000.

77777

48028800

综上所述当x时q取得最大值，q=.

7max7

3/29

【点睛】本题考查分段函数模型的应用，涉及不等式的基本性质，函数的最大值，指数函数的单调性，指

数不等式和不等式的求解，属中档难度试题，关键在于分段讨论.难点在于（2）中的求最值部分，当x0,40

时，q关于x的函数的单调性比较复杂，先探求范围，求出当x40,80时的最值，这样可以避免对复杂函

数的单调性的分析.

考点02一元二次不等式的解法

1．（2021·上海·高考真题）已知集合Axx2x20,Bxx1，则（）

痧

A．ABB．RARBC．ABD．ABR

【答案】D

【详解】由题意，A{x|x2x20}{x|(x2)(x1)0}{x|x2或x1}

ð

RA{x|1x2}

ð

由Bxx1RB{x|x1}

痧

A,B和RA,RB不存在包含关系，AB{x|x2},ABR

故选：D

x1

2．（2025·上海·高考真题）不等式0的解集为_________．

x3

【答案】1,3

【分析】转化为一元二次不等式x1x30，解出即可.

【详解】原不等式转化为x1x30，解得1x3，

则其解集为1,3.

故答案为：1,3.

f(x),x0

3．（2024·上海·高考真题）已知f(x)x2,g(x)，求g(x)2x的x的取值范围_______.

f(x),x0

【答案】,1

【分析】分x0与x0两段求解二次不等式可得.

x2，x0

【详解】根据题意知

g(x)2.

x，x0

当x0时，gx2x,即x2x20，解得2x1，则有0x1；

当x0时，gx2x,即x2x20，xR，即x0时，不等式gx2x都成立.

综上所述，g(x)2x的x的取值范围为,1.

故答案为：,1.

4．（2024·上海·高考真题）已知xR,则不等式x22x30的解集为______．

【答案】x|1x3

【分析】求出方程x22x30的解后可求不等式的解集.

【详解】方程x22x30的解为x1或x3，

故不等式x22x30的解集为x|1x3，

故答案为：x|1x3.

x

5．（2025·上海·高考真题）不等式0的解集为_____．

x1

【答案】(0,1)

x

【分析】将不等式0化为xx10，即可得答案.

x1

x

【详解】由题意得不等式0即xx10,x0,1，

x1

x

即不等式0的解集为(0,1)，

x1

故答案为：(0,1)

1

6．（2026·上海·高考真题）已知aR，函数fxx2ax3，gx4x．

x2

1

(1)已知f14，求fxgx的解集；

x2

(2)已知a0，l1是fx在点0,3处的切线，l2是过点0,3且垂直于l1的直线，gx与l1、l2在第一象限

内均无公共点，求a的取值范围．

【答案】(1),00,13,

1

(2),0,2

2

【分析】（1）求出参数a，解不等式即可求出x的范围；

1

（2）求出直线l与l的方程，利用gx与l、l在第一象限内均无公共点，得出gx4xax3与

1212x2

11113

gx4xx3无正实数解，分离参数，转化为直线ya与y与曲线hx4在x0

x2aax3x

5/29

内均无交点，对hx求导讨论其单调性，得出函数的最值，建立不等关系，即可求出实数a的取值范围.

1

【详解】（1）由题意，x0.在fxx2ax3与gx4x中，

x2

f112a34，解得a0，∴fxx23，

1

∵fxgx，

x2

11

x234x

∴x2x2，解得x0或0x1或x3，

x0

∴不等式的解集为,00,13,.

（2）由题意知a0，由fxx2ax3，得fx2xa，

∴f00aa.

∵直线l1为fx在点0,3的切线，

∴直线l1的方程为y3ax0，即yax3，

∵l2是过点0,3且垂直于l1的直线，

11

∴直线l的方程为：y3x0，即yx3，

2aa

1

对于函数gx4x，x0，曲线gx与l、l在第一象限内均无公共点，

x212

111

∴gx4xax3与gx4xx3无正实数解，

x2x2a

13113

分离参数得，a4，4，

x3xax3x

113

∴直线ya与y与曲线hx4在0,内均无交点，

ax3x

333x233x1x1

而hx，

x2x4x4x4

当hx0时，解得x1（舍）或x1，

∴当hx0即0x1时，函数单调递减，

当hx0即x1时，函数单调递增，

3

∴hx在x1处取最小值，hxh1142.

min1

当x0时，hx，当x时，hx4，

11

∴a2且2，即a或0a2，

a2

1

∴实数a的取值范围为,0,2.

2

7．（2022·上海·高考真题）已知函数f(x)，甲变化：f(x)f(xt)；乙变化：|f(xt)f(x)|，t0.

(1)若t1，f(x)2x，f(x)经甲变化得到g(x)，求方程g(x)2的解；

(2)若f(x)x2，f(x)经乙变化得到h(x)，求不等式h(x)f(x)的解集；

(3)若f(x)在(,0)上单调递增，将f(x)先进行甲变化得到u(x)，再将u(x)进行乙变化得到h1(x)；将f(x)

先进行乙变化得到v(x)，再将v(x)进行甲变化得到h2(x)，若对任意t0，总存在h1(x)h2(x)成立，求证：

f(x)在R上单调递增.

【答案】(1)x2；

(2)(,(12)t][(12)t,)；

(3)证明见解析.

【分析】（1）由题设可得g(x)2x12，求解即可.

tt

（2）由题设有t|2xt|x2，讨论x、x分别求解即可.

22

（3）将题设化为对于任意t0存在|[f(xt)f(x)][f(x)f(xt)]||f(xt)f(x)||f(x)f(xt)|，

即可证结论.

【详解】（1）由题设，甲变化为f(x)f(x1)，则g(x)2x2x12x1，

∴g(x)2x12，解得x2.

（2）由题设，h(x)|(xt)2x2|t|2xt|，又h(x)f(x)，

∴t|2xt|x2，

t

当2xt0，即x时，则x22txt2(xt)20，恒成立；

2

t

当2xt0，即x时，则x22txt2(xt)22t2，解得：x(12)t或x(12)t.

2

综上，不等式解集为(,(12)t][(12)t,).

（3）由题设，u(x)f(x)f(xt)，则h1(x)|u(xt)u(x)||f(xt)2f(x)f(xt)|，

v(x)|f(xt)f(x)|，则h2(x)v(x)v(xt)|f(xt)f(x)||f(x)f(xt)|，

∵当h1(x)h2(x)成立，f(x)在(,0)上单调递增，

7/29

∴|[f(xt)f(x)][f(x)f(xt)]||f(xt)f(x)||f(x)f(xt)|，

f(xt)f(x)f(x)f(xt)

∴对于任意t0总存在成立，

f(xt)f(x)f(xt)

∴f(x)在R上单调递增，得证.

【点睛】关键点点睛：第三问，利用绝对值的几何意义及区间单调性，结合任意t0存在h1(x)h2(x)，判

断函数在实数域上单调性.

考点03基本不等式

1．（2020·上海·高考真题）下列不等式恒成立的是（）

A．a2b22abB．a2b22ab

C．ab2|ab|D．ab2|ab|

【答案】B

2

【解析】根据基本不等式即可判断选项A是否正确，对选项B化简可得ab0，由此即可判断B是否

正确；对选项C、D通过举例即可判断是否正确.

【详解】A.由基本不等式可知a2b22ab，故A不正确；

2

B.a2b22aba2b22ab0，即ab0恒成立，故B正确；

C.当a1,b0时，不等式不成立，故C不正确；

D.当a3,b1时，不等式不成立，故D不正确.

故选：B.

2．（2026·上海·高考真题）已知a24b21，则ab的最大值为__________．

1

【答案】/0.25

4

【分析】根据基本不等式可得a24b24ab，结合条件即可求结论.

2

【详解】因为a24b2a22b2a2b4ab，当且仅当a2b时等号成立，

1

结合a24b21可得，ab，

4

2222

当且仅当a，b或a，b时等号成立，

2424

22221

所以当a，b或a，b时，ab取最大值，最大值为.

24244

3．（2026·上海·高考真题）若a0，b0，且a2b4，则ab的最大值是______．

【答案】2

【分析】由于a、b为正值，且a2b为定值4，因此可以运用基本不等式先求出22ab的最大值，进而求

出ab的最大值．

【详解】解：∵a0，b0，a2b4

∴4a2b22ab

∴ab2，当且仅当a2b时取等号，即a2，b1时取等号

故答案为：2．

【点睛】此题考查基本不等式的应用，应用基本不等式求最值要注意“一正二定三相等”的条件，属于基础题

11

4．（2025·上海·高考真题）设a,b0,a1，则b的最小值为_________．

ba

【答案】4

111

【分析】灵活利用“1”将bba展开利用基本不等式计算即可.

aab

11111

【详解】易知bbaab22ab24，

aababab

1

当且仅当ab1，即a,b2时取得最小值.

2

故答案为：4

5.（2024·上海·高考真题）已知ab1，4a29b2的最小值为______．

【答案】12

【分析】利用不等式a2b22ab即可求解.

22

【详解】4a29b22a3b22a3b12ab12,

2a3b6666

当且仅当,即a,b或a,b时,等号成立,

ab12323

故4a29b2的最小值为12.

故答案为：12.

6．（2023·上海·高考真题）已知正实数a、b满足a4b1，则ab的最大值为_______________．

1

【答案】

16

2

11a4b

【分析】由aba4b，代入即可得出答案.

442

2

11a4b111

【详解】aba4b，

4424416

9/29

11

当且仅当“a4b”，即a,b时取等，

28

1

所以ab的最大值为.

16

1

故答案为：

16

a

7．（2021·上海·高考真题）已知函数fx3xa0的最小值为5，则a______.

3x1

【答案】9

a

【详解】因为函数f(x)3x有最小值，所以a0，

3x1

aa

因为3x11，fx3x3x11，

3x13x1

a

若0a1,则由对勾函数的性质可得fx3x11在R上单调递增，不合题意；

3x1

a

当a1时，fx23x112a1，

3x1

a

因为函数f(x)3x最小值为5，

3x1

所以2a15，解得a9.

1

2

8．（2019·上海·高考真题）如图，已知正方形OABC，其中OAaa1，函数y3x交BC于点P，函数yx2

交AB于点Q，当AQCP最小时，则a的值为_______

【答案】3

【分析】通过函数解析式得到P,Q两点坐标，从而表示出AQCP，利用基本不等式得到最值，从而得到

a1

取最值时的条件，求解得到结果.

3a

a1

【详解】依题意得：P,a，Qa,

3a

a1a1a12

则AQCP2

3a3a3a43

a1

当且仅当即a3时取等号，故a3

3a

本题正确结果：3

【点睛】本题考查基本不等式的应用，关键在于能够通过坐标构造出关于a的基本不等式的形式，从而利用

取等条件得到结果.

22

9．（2024·上海·高考真题）对于一个函数f(x)和一个点M(a,b)，令s(x)(xa)(f(x)b)，若s(x)在xx0

时取得最小值的点，则称(x0,f(x0))是M的“f最近点”.

1

(1)对于函数f(x),x(0,)，求证：对于点M(0,0)，存在点P，使得点P是M的“f最近点”；

x

(2)对于函数f(x)ex,xR，M(1,0)，请判断是否存在一个点P，使它是M的“f最近点”，且直线MP与

曲线f(x)在点P处的切线垂直？

(3)已知函数f(x)(xR)可导，函数g(x)0在xR上恒成立，对于点M1(t1,f(t)g(t))与点

M2(t1,f(t)g(t))，若对任意实数t，均存在点P同时为点M1与点M2的“f最近点”，说明f(x)的单调性.

【答案】(1)证明见解析

(2)存在，P0,1

(3)严格单调递减

【分析】（1）代入M(0,0)，利用基本不等式即可；

（2）由题得sx(x1)2e2x，利用导函数得到其最小值，则得到P，再证明直线MP与切线垂直即可；

1

（3）根据题意得到sxsx0，对两等式化简得fx0，再利用“最近点”的定义得到不等

1020g(t)

式组，即可证明x0t，最后得到函数单调性.

2

212121

【详解】（1）当M(0,0)时，sx(x0)0x2x2，

xx2x2

1

当且仅当x2即x1时取等号，

x2

故对于点M0,0，存在点P1,1，使得该点是M0,0在fx的“最近点”．

2

（2）由题设可得sx(x1)2ex0(x1)2e2x，

则sx2x12e2x，

因为y2x1,y2e2x均为R上单调递增函数，

11/29

则sx2x12e2x在R上为严格增函数，

而s00，故当x0时，sx0，当x0时，sx0，

故，此时，

sxmins02P0,1

而fxex,kf01，

故fx在点P处的切线方程为yx1.

01

而k1，故kk1，

MP10MP

故直线MP与yfx在点P处的切线垂直．

22

（3）设s1x(xt1)(fxftgt)，

22

s2x(xt1)(fxftgt)，

而s1x2(xt1)2(fxftgt)fx，

s2x2(xt1)2(fxftgt)fx，

若对任意的tR，存在点P同时是M1,M2在fx的“最近点”，

设Px0,y0，则x0既是s1x的最小值点，也是s2x的最小值点，

因为两函数的定义域均为R，则x0也是两函数的极小值点，

则存在使得，

x0,s1x0s2x00

即①

s1x02x0t12fx0fx0f(t)g(t)0

②

s2x02x0t12fx0fx0f(t)g(t)0

由①②相等得44g(t)fx00，即1fx0g(t)0，

1

即fx0，又因为函数g(x)在定义域R上恒正，

g(t)

1

则fx0恒成立，

0g(t)

接下来证明x0t，

因为x0既是s1x的最小值点，也是s2x的最小值点，

则s1x0s(t),s2x0s(t)，

222

即x0t1fx0ftgt1gt，③

222

x0t1fx0ftgt1gt，④

2

③④得222

+2x0t22fx0f(t)2g(t)22g(t)

2222

即x0tfx0ft0，因为x0t0,fx0ft0

x0t0

则，解得x0t，

fx0ft0

1

则ft0恒成立，因为t的任意性，则fx严格单调递减.

g(t)

1

【点睛】关键点点睛：本题第三问的关键是结合最值点和极小值的定义得到fx，再利用最值点

0g(t)

定义得到x0t即可.

x2

10．（2022·上海·高考真题）在椭圆:y21中，直线l:xa上有两点C、D(C点在第一象限)，左顶

a2

点为A，下顶点为B，右焦点为F.

(1)若∠AFB，求椭圆的标准方程；

6

(2)若点C的纵坐标为2，点D的纵坐标为1，则BC与AD的交点是否在椭圆上？请说明理由；

(3)已知直线BC与椭圆相交于点P，直线AD与椭圆相交于点Q，若P与Q关于原点对称，求|CD|的

最小值.

x2

【答案】(1)y21

4

3a4

(2)交点为(,)，在椭圆上，理由见解析

55

(3)6

【分析】（1）写出A,B,F三点的坐标，可将tanAFB用坐标表示出来，求出c的值，再结合已知条件，即

可求出a2，进而写出椭圆的标准方程；

（2）根据条件，写出直线BC和AD的方程，求出交点坐标，再将其代入椭圆标准方程的左边，即可判断

该点与椭圆的位置关系；

（3）利用三角换元（或者椭圆的参数方程）的方法设出点P,Q的坐标，再结合点A,B的坐标，写出直线BP

和AQ的方程，求出点C,D的坐标，表示出|CD|，再利用三角恒等变换以及同角三角函数关系化简|CD|，

最后根据重要不等式计算出|CD|的最小值.

【详解】（1）由题可得A(a,0)，B(0,1),F(c,0)，又AFB，

6

13/29

b13

所以tanAFBtan，解得c3，

cc63

所以a21(3)24，

x2

故椭圆的标准方程为y21；

4

3

（2）由B(0,1),C(a,2)，得直线BC的方程为：yx1，

a

1

由A(a,0),D(a,1)，得直线AD的方程为：y(xa)，

2a

3a4

联立两方程，解得交点为(,)，

55

3a

()2

代入椭圆方程的左边，得4916，

5()21

a252525

故直线BC与AD的交点在椭圆上；

（3）由题有A(a,0)，B(0,1)

因为P,Q两点在椭圆上，且关于原点对称，

则设P(acos,sin),Q(acos,sin)，

sin1sin1

直线BP:yx1，则C(a,1)，

acoscos

sin2sin

直线AQ:y(xa)，则D(a,)，

acosacos1

sin12sin

所以CD1

coscos1

2sincossin2cos24sincos

2222221

cos2sin22sin2

222

2tt21211

设tant，则CD121，

21t2t1tt

11xyxy4

2

因为xyxyxyxy，

2

114

所以113，则CD6，即CD的最小值为6.

1tt1tt

【点睛】关键点点睛：第（3）小题中，以三角函数形式（参数方程）设点是解题的关键，进而利用三角恒

等变换和同角三角函数关系（二次齐次分式化正余弦为正切）将|CD|化简，最终利用重要不等式求出其最

小值.

考点04集合分式不等式

x2

1．（2026·上海·高考真题）关于x的不等式0的解集为____________.

x3

【答案】(2,3)

x2

【分析】由0可得:(x2)(x3)0，解不等式可得其解集.

x3

x2

【详解】由0可得:(x2)(x3)0，

x3

解得:2x3，

x2

所以不等式0的解集为(2,3).

x3

故答案为：(2,3).

2x5

2．（2021·上海·高考真题）不等式1的解集为______.

x2

【答案】(7,2)

【分析】移项通分后转化为一元二次不等式求解．

2x52x5x7

【详解】1100(x7)(x2)07x2．

x2x2x2

故答案为：(7,2)．

x1

3．（2022·上海·高考真题）不等式0的解集为_____________.

x

【答案】x0x1

【分析】根据分式的运算性质分类讨论求出不等式的解集.

x1x10x10

【详解】0或，解第一个不等式组，得0x1，第二个不等式组的解集为空集.

xx0x0

故答案为：x0x1

【点睛】本题考查了分式不等式的解集，考查了数学运算能力，属于基础题.

x1

4．（2017·上海·高考真题）不等式1的解集为________

x

【答案】(,0)

x111

【详解】由题意，不等式1，得110x0，所以不等式的解集为(,0).

xxx

一、单选题

15/29

11

1．（2026·上海·三模）“x2”是“”的（）条件

x2

A．充分非必要B．必要非充分C．充要D．既非充分也非必要

【答案】A

1111

【详解】若“x2”，则“”，所以“x2”“”；

x2x2

11x0x0

若“”，则或，即x2或x0；

x2x2x2

11

所以“”推不出“x2”；

x2

11

所以“x2”是“”的充分非必要条件.

x2

2．（2026·上海·三模）:|x1|1，是:x2x0的（）

A．充分不必要条件B．必要不充分条件

C．充要条件D．既不充分也不必要条件

【答案】B

【详解】|x1|11x110x2，

x2x0xx100x1，

显然当0x2成立时，0x1不一定成立，例如x1.2，

当0x1成立时，显然0x2一定成立，

所以:|x1|1，是:x2x0的必要不充分条件.

x3

3．（2026·上海静安·二模）已知集合Ax|x2x60，Bx|0，则AB（）．

1x

A．2,3B．3,1C．3D．2

【答案】D

【详解】由x2x60解得x2或x3，即集合A2,3，

x3

由0可得x31x0，解得3x1，即集合Bx|3x1；

1x

所以AB2.

4．（2026·上海杨浦·二模）设ab，下列不等式中恒成立的是（）

11

A．B．a2b2C．a3b3D．ab

ab

【答案】C

11

【详解】对于A，B，D，若ab，可设a1,b2，此时，故A不符合题意；

ab

此时a21，b24，得到a2b2，故B不符合题意；

此时b2，得到ab，故D不符合题意；

对于C，因为yx3在R上单调递增，

所以ab，一定有a3b3成立，故C符合题意.

5