2027高考物理复习题型精讲及课时精练专题52 带电粒子在复合场中的运动（教师版）

专题52带电粒子在复合场中的运动

模型一带电粒子在组合场中的运动.................................................................................................2

考向一由磁场进入电场.............................................................................................................3

考向二由电场进入磁场...........................................................................................................18

模型二带电粒子(体)在叠加场中的运动.........................................................................................32

考向一直线运动.......................................................................................................................32

考向二曲线运动.......................................................................................................................40

课时精练.............................................................................................................................................49

【基础回顾】

带电粒子在组合场中的运动

1．组合场：电场与磁场各位于一定的区域内，并不重叠，一般为两场相邻或在同一区

域电场、磁场交替出现。

2．四种常见的运动模型

(1)带电粒子先在电场中做匀加速直线运动，然后垂直进入磁场做圆周运动，如图所示。

(2)带电粒子先在电场中做类平抛运动，然后垂直进入磁场做圆周运动，如图所示。

(3)带电粒子先在磁场中做圆周运动，然后垂直进入电场做类平抛运动，如图所示。

(4)带电粒子先在磁场Ⅰ中做圆周运动，然后垂直进入磁场Ⅱ做圆周运动，如图所示。

3．三种常用的解题方法

(1)带电粒子在电场中做加速运动，根据动能定理求速度。

(2)带电粒子在电场中做类平抛运动，需要用运动的合成和分解处理。

(3)带电粒子在磁场中的圆周运动，可以根据磁场边界条件，画出粒子轨迹，用几何知

识确定半径，然后用洛伦兹力提供向心力和圆周运动知识求解。

4．要正确进行受力分析，确定带电粒子的运动状态。

(1)仅在电场中运动

①若初速度v0与电场线平行，粒子做匀变速直线运动；

②若初速度v0与电场线垂直，粒子做类平抛运动。

(2)仅在磁场中运动

①若初速度v0与磁感线平行，粒子做匀速直线运动；

②若初速度v0与磁感线垂直，粒子做匀速圆周运动。

5．分析带电粒子的运动过程，画出运动轨迹是解题的关键。

特别提醒从一个场射出的末速度是进入另一个场的初速度，因此两场界面处的速度

(大小和方向)是联系两个运动的桥梁，求解速度是重中之重。

模型一带电粒子在组合场中的运动

1．组合场

电场与磁场各位于一定的区域内，并不重叠，电场、磁场交替出现。

2．“磁偏转”和“电偏转”的比较

电偏转磁偏转

偏转条件带电粒子以v⊥E进入匀强电场带电粒子以v⊥B进入匀强磁场

示意图

受力情况只受恒定的静电力只受大小恒定的洛伦兹力

运动情况类平抛运动匀速圆周运动

运动轨迹抛物线圆弧

物理规律类平抛运动规律、牛顿第二定律牛顿第二定律、向心力公式

1mv2mv

基本公式L＝vt，y＝at2，qvB＝，r＝，

2rqB

qEat2πmθT

a＝，tanθ＝T＝，t＝，

mvqB2π

L

sinθ＝

r

静电力既改变速度方向，也改变洛伦兹力只改变速度方向，不改变速

做功情况

速度大小，对电荷做功度大小，对电荷永不做功

3.常见粒子的运动及解题方法

考向一由磁场进入电场

1．如图所示，在坐标系xOy内有一半径为a的圆形区域，圆心为原点O，圆内分布有垂直纸面向

里的匀强磁场，磁感应强度的大小为B。在直线y＝a的上方有一沿y轴负方向的矩形匀强电场

区域，场强大小为E。在x＝﹣a处的A点有一粒子源，粒子源以某一相同速率垂直于磁场方向

朝圆形磁场内持续不断地发射质量为m、电荷量为q（q＞0）的粒子。已知发射出去的所有粒子

在第一次离开圆形磁场后，在电场的作用下又回到圆形磁场，之后均从x＝a处的C点第二次飞

出圆形磁场。整个过程中不计粒子重力，不考虑粒子间的相互作用，下列说法正确的是（）

푞퐵푎

A．粒子进入磁场的初速度为

2푚

푞퐵2푎3

B．矩形匀强电场区域的最小面积为

2푚퐸

휋푚2퐵푎

C．粒子从A点运动到C点的最短时间为+

푞퐵퐸

D．粒子从A点运动到C点的整个过程中，洛伦兹力对所有粒子的冲量大小都为πqBa

【答案】C

【解答】解：A.由题意，粒子在磁场中是磁聚焦（磁发散）情景，因此轨迹半径

r＝a

由半径公式

푚푣

푟=푞퐵

解得粒子速度

푞퐵푎

푣=

푚

故A错误；

B.所有粒子都以速度v沿y轴正方向进入电场，根据直到减速为0，有

v2＝2a's

根据牛顿第二定律

qE＝ma'

解得加速度

푞퐸

푎′=

푚

减速位移

푞퐵2푎2

푠=

2푚퐸

根据磁聚焦（磁发散），所有粒子进入电场的平行宽度为

x＝2a

则矩形电场的最小面积为

푞퐵2푎3

푆=푥푠=

푚퐸

故B错误；

C.所有粒子在磁场都有两段过程，合起来看都转了半圈，如图

根据周期公式

2휋푚

푇=

푞퐵

可知在磁场中的时间均为

푇휋푚

푡==

12푞퐵

根据对称性，所有粒子在电场中从速度v减速为0，再反向加速到v，则在电场中的时间푡2=2⋅

푣2퐵푎

=

푎′퐸

除了从A点沿x轴正向发射的粒子外，其余粒子都还有在真空区域运动的时间，因此最短时间

휋푚2퐵푎

为푡+푡=+

12푞퐵퐸

故C正确；

D.所有粒子在磁场两段过程中，合起来转了半圈，速度偏转角为180°，所有粒子在电场中先减

速再反向加速，速度偏转角也为180°，因此所有粒子从A到C速度方向不变，且大小也不变。

以初速度方向为正方向，根据动量定理

I+qEt2＝0

解得洛伦兹力冲量

I＝﹣2aBq

则冲量大小为2aBq

故D错误。

故选：C。

2．如图所示，水平虚线上方区域有垂直于纸面向外的匀强磁场，下方区域有竖直向上的匀强电场。

质量为m、电荷量为+q的粒子从磁场中的a点以速度v0向右水平发射，当粒子进入电场时其速

度沿右下方向并与水平虚线的夹角为60°，然后粒子又射出电场重新进入磁场并通过右侧b点，

通过b点时其速度方向水平向右。a、b距水平虚线的距离均为h，两点之间的距离为푠=33ℎ，

不计粒子重力，则下列说法正确的是（）

푚푣0

A．磁感应强度大小为푞ℎ

2

푚푣0

B．电场强度大小为

2푞ℎ

C．电场强度大小减半，粒子仍能从b点射出

D．磁感应强度大小加倍，粒子仍能从b点射出

【答案】B

【解答】解：A．由题可知，画出粒子的运动轨迹

根据题意可知θ＝60°

设粒子在磁场中做圆周运动的半径为r，根据几何关系有r＝rcosθ+h

解得r＝2h

根据洛伦兹力提供向心力

푣2

푞푣퐵=푚0

0푟

푚푣0

解得퐵=2푞ℎ

故A错误；

B．根据题意，由对称性可知，粒子射出电场时，速度大小仍为v0，方向与水平虚线的夹角为

60°，根据几何关系可得퐴퐵=푠−2푟푠푖푛휃=33ℎ−23ℎ=3ℎ

퐴퐵

则粒子在电场中的运动时间푡1=

푣0푐표푠휃

23ℎ

解得푡1=

푣0

沿电场方向上，根据牛顿第二定律有qE＝ma

根据运动学公式有﹣v0sinθ＝v0sinθ﹣at1

푚푣2

解得퐸=0

2푞ℎ

故B正确；

C．电场强度大小减半，则在电场中类斜抛运动竖直加速度减半，运动时间加倍，则水平位移加

倍，进入磁场位置改变，但速度大小方向不变，则不能经过b点，故C错误；

푚푣0

D．磁感应强度大小加倍后，由푟=퐵푞可知，半径减半，即r′＝h

푠

粒子垂直进入电场，后垂直射出，因为不是偶数，所以无法经过b点，故D错误。

푟′

故选：B。

3．如图所示，平面直角坐标系内，以O1（0，R）为圆心、半径为R的圆形区域内有垂直于坐标平

面向外的匀强磁场Ⅰ，磁场的磁感应强度大小为B，在第三、四象限内，平行y轴、垂直纸面的

平面M、N间有沿y轴负方向的匀强磁场Ⅱ，M、N到y轴的距离均为R。在圆形磁场边界上P

点沿x轴正方向射出一个质量为m、电荷量为q的带正电的粒子，粒子经磁场Ⅰ偏转后刚好从

坐标原点O进入磁场Ⅱ，P点到x轴的距离为1.5R，不计粒子的重力，要使粒子不从M、N面

射出磁场，磁场Ⅱ的磁感应强度大小至少为（）

2퐵퐵3퐵3퐵

A．B．C．D．

2223

【答案】B

【解答】解：粒子在圆形磁场Ⅰ中做匀速圆周运动。设粒子的发射速度为v，在磁场Ⅰ中的轨道

半径为r1。

根据题意，磁场Ⅰ的圆心为O1（0，R），半径为R。由于P点到x轴的距离为1.5R，代入圆的

2223

方程x+（y﹣R）＝R可得P点的横坐标为푥푃=−푅。

2

由于粒子在P点沿x轴正方向射出，且受到的洛伦兹力使其向x轴偏转，结合左手定则可知其

3

圆心O2位于P点正下方，坐标为(−푅，1.5푅−푟1)。

2

3222

粒子刚好从坐标原点O射出，则有O2到原点的距离等于r1，即(−푅)+(1.5푅−푟1)=푟，解

21

得r1＝R。

푚푣2푞퐵푅

根据牛顿第二定律有푞푣퐵=，解得푣=。粒子运动到原点O时，速度方向与半径OO

푅푚2

垂直。

由几何关系可知，此时半径O2O与x轴正方向的夹角为30°（位于第四象限），则速度v与x

轴负方向的夹角为60°。

将速度分解，其沿x轴负方向的分量vx＝vcos60°，即vx＝0.5v，沿y轴负方向的分量푣푦

=푣푠푖푛60°=3푣。

2

在磁场Ⅱ中，磁场方向沿y轴负方向，平行于vy，故vy不受磁场力作用，粒子在y方向做匀速

运动。

푚푣푥0.5푚푣

而vx与磁场Ⅱ垂直，粒子在xz平面内做匀速圆周运动，其轨道半径푟2==。要使

푞퐵Ⅱ푞퐵Ⅱ

粒子不从M、N面射出，需满足r2≤R。

0.5푚푞퐵푅퐵퐵

代入v的表达式得⋅≤푅，解得퐵Ⅱ≥。故磁场Ⅱ的磁感应强度至少为，故B正确，

푞퐵Ⅱ푚22

ACD错误。

故选：B。

4．电磁场可以控制带电粒子的运动。在直角坐标系第一象限内有平行于坐标平面的匀强电场（图

中未画出），在第二象限内有垂直坐标平面向外的匀强磁场。一个质量为m、电荷量为q（q＞0）

的带电粒子，在M点沿y轴正方向以速度v0进入磁场，通过y轴上的N点后进入电场，运动

轨迹与x轴交于P点，并且过P点时速度大小仍为v0。已知M、N、P三点到O点的距离分别

为L、3퐿和3L，不计粒子重力，下列说法不正确的是（）

푚푣0

A．匀强磁场的磁感应强度大小为푞퐿

B．粒子过N点时速度方向与y轴正方向的夹角为60°

2

푚푣0

C．电场强度大小为

4푞퐿

1

D．粒子运动过程中最小速度为푣

20

【答案】A

【解答】解：AB、由几何关系，可知其轨迹与圆心连线满足如下图示关系：

3퐿

由图可知：푡푎푛훼=，即α＝60°，由几何关系可知，β＝α﹣30°＝60°﹣30°＝30°，故θ

퐿

＝180°﹣90°﹣30°＝60°；

可计算其在磁场中运动的半径满足：푟2=(3퐿)2+퐿2，即r＝2L，

푣2푚푣0

结合洛伦兹力提供向心力푞푣퐵=푚0，可计算磁感应强度大小퐵=，故A错误，B正确；

0푟2푞퐿

CD、由粒子在N、P两点的速度大小相等，可知NP连线为等势面，结合电场线与等势线的关

系及粒子的初速度，可知其电场线方向；

由OP间距，ON间距，可知其角度关系如图所示：

푥푂푁

由图可知：푥=，

푁푃푠푖푛30°

由粒子在第一象限的受力特点，可知其在从N到P的过程中，沿电场方向做匀变速运动，垂直

于电场方向做匀速运动；

2

1푞퐸푚푣0

垂直于电场方向：x＝vsin30°t，沿电场方向：0=푣푐표푠30°푡−푎푡2，푎=。化简得：퐸=；

NP002푚4푞퐿

푣0

当粒子在沿电场方向减速到时，速度最小，此时速度为：푣=푣푠푖푛30°=，故正确。

0푚푖푛02CD

本题选择不正确的，故选：A。

5．如图所示，空间电、磁场分界线与电场方向呈45°角，分界面一侧为垂直纸面向里的匀强磁场，

磁感应强度为B0，另一侧为平行纸面向上的匀强电场。一带电荷量为+q、质量为m的粒子从P

点以v0的速度沿垂直电场和磁场的方向射入磁场，一段时间后，粒子恰好又回到P点。（场区足

够大，不计粒子重力）则下列选项中不正确的是（）

A．当粒子第一次进入电场时，速度与分界线所成的锐角为45°

22푚푣0

B．当粒子第二次进入电场时，到P点的距离为

푞퐵0

C．电场强度大小为B0v0

(2휋+2)푚

D．粒子回到P点所用的总时间为

푞퐵0

【答案】D

【解答】解：A.由左手定则可知，初状态粒子受向下的洛伦兹力，粒子在磁场中做匀速圆周运

动，由圆周运动的特点可知，粒子第一次到达边界时的偏转角是90°，则由图可知，此时速度

与分界线所成的锐角为45°，故A正确；

B.由前面分析及题意，可得下图：

如图，粒子沿电场方向的反方向第一次进入电场，粒子带正电，则粒子在电场中先做匀减速直

线运动，再反向做匀加速直线运动，并再次进入磁场，根据圆周运动的特点可知，粒子在磁场

3

中做圆周运动经过周期后，粒子沿与电场方向垂直的方向第二次进入电场，之后粒子在电场中

4

做类平抛运动至P；

设粒子在磁场中运动的半径为R，

푚푣2

由洛伦兹力提供向心力可得：qvB=0，

0푅

由几何关系可得：SP＝2×푅2+푅2=22R，

22푚푣0

联立可得，当粒子第二次进入电场时，到P点的距离为：SP=，故B正确；

푞퐵0

C.设粒子在电场中做类平抛运动的时间为t3，

沿水平方向有：SP•sin45°＝v0t3，

1

沿竖直方向有：SP•cos45°=푎푡2，

23

푞퐸

由牛顿第二定律可知，粒子在电场中的加速度大小为：a=，

푚

푚푣2

结合前面分析可知：qvB=0，

0푅

2푚

联立可得：E＝B0v0，t3=，故C正确；

푞퐵0

D.结合前面分析可知，粒子在磁场中的两段轨迹可拼成一个完整圆周，则粒子在磁场中的总时

间t1为一个周期T，

2휋푚

由带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动的周期公式可知：t1＝T=，

푞퐵0

由运动学的对称性可知，粒子在匀强电场中做匀减速直线运动、匀加速直线运动的总时间为：t2

2푣2푣

2푣0002푚

==푞퐸=푞⋅퐵0푣0=，

푎푚푚푞퐵0

则粒子回到P点所用的总时间为：t＝t1+t2+t3，

2(2+휋)푚

联立可得：t=，故D错误；

푞퐵0

本题选不正确的，

故选：D。

6．在如图所示的坐标系中，第一象限内存在与y轴平行的匀强电场，电场强度大小为E；第二象

限内存在垂直于纸面向里、磁感应强度大小为B的匀强磁场。P、Q两点在x轴上，一带电粒子

（不计重力）从P点以垂直于x轴的速度v0向上射入第二象限，经磁场偏转后，粒子垂直于y

轴进入第一象限，恰好经过x轴上的Q点，Q点到原点的距离是P点到原点距离的2倍。则（）

A．第一象限内的电场方向竖直向下

B．粒子在P、Q两点的速度大小之比为1：2

C．粒子在磁场中与在电场中运动的时间之比为π：2

D．电场强度和磁感应强度的大小之比为푣0：2

【答案】B

【解答】解：A、根据题意分析可知，带电粒子在磁场中向右偏转，根据左手定则可知粒子带负

电；进入电场后向下偏转，说明电场方向竖直向上，故A错误；

D、根据题意分析可知，设O、P之间的距离为r，粒子在磁场中做匀速圆周运动，有

푣2

푞푣퐵=푚0

0푟

解得

푚푣0

푟=푞퐵

粒子在电场中做类平抛运动，设运动时间为t，则有

푂푄2푟2푚

푡===

푣0푣0푞퐵

又

11푞퐸

푂퐶=푟=푎푡2=××푡2

22푚

联立解得

퐸푣0

=

퐵2

故D错误；

C、根据题意分析可知，粒子在磁场中的运动时间为

1×2휋푟휋푟

푡′=4=

2푣0

푣0

所以

휋푟2푟

푡′：푡=：=휋：4

2푣0푣0

故C错误；

B、根据题意分析可知，在Q点，粒子沿电场方向的速度为

푞퐸2푚

푣=푎푡=×=푣

푦푚푞퐵0

所以粒子在Q点的速度为

푣푄=2푣0

则粒子在P、Q两点的速度大小之比为1：2，故B正确。

故选：B。

7．（多选）如图所示，平面直角坐标系xOy，第一象限内存在沿y轴负方向的匀强电场，电场强度

25

为V/m，第二象限内存在一半径为0.25m的圆形磁场区域，磁感应强度为B＝5×10﹣3T，方

3

向垂直于纸面向外，圆形磁场与y轴相切于P点，P点的坐标为（0，5m）。x轴上在[﹣0.375，

0]区间内一束带正电的粒子沿y轴正向以6×104m/s的速度射入圆形磁场，已知带电粒子比荷4.8

×107C/kg，不计粒子重力和粒子间相互作用。则带电粒子（）

A．经磁场偏转后都经过P点进入第一象限

B．到达x轴时，与坐标原点的最小距离为310m

9+329

C．到达x轴时，与坐标原点的最大距离为m

2

19

D．进入电场的速度与y轴正向夹角的正切值为时粒子到达x轴的距离最大

3

【答案】AD

푣2

【解答】解：A.由洛伦兹力提供向心力퐵푞푣=푚

푟

푚푣

得푟=퐵푞=0.25m

等于圆形磁场区域的半径故由磁聚焦经磁场偏转后都经过P点进入第一象限，故A正确；

B.从趋近原点O沿y轴正向发射的粒子，做近似类竖直上抛运动，到达x轴时，与坐标原点的

最小距离趋近于0，故B错误；

퐸푞

CD.到P点时设速度与y轴的夹角为θ进入电场后，粒子做类斜抛运动，由牛顿第二定律푎=

푚

1

竖直方向푣푐표푠휃⋅푡−푎푡2=−5m

2

水平方向有x＝vsinθ•t

联立解得푥=3푠푖푛휃(3푐표푠휃+9푐표푠2휃+10)

19

求导得푡푎푛휃=时，此时距离最大푥푚=319푚，故C错误，D正确。

3

故选：AD。

8．（多选）如图所示，虚线GH的直线方程为y＝d，在GH与x轴之间的区域，y轴右侧存在垂直

纸面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为B，y轴左侧存在沿y轴负方向的匀强电场；在GH上

方为另一个匀强磁场区域，磁场方向垂直纸面向外。现有一个质量为m，电荷量为﹣q（q＞0）

的粒子，从O点沿x轴正方向射出，途经GH上的Q（2d，d）点，粒子运动到第二象限经过GH

后在电场中偏转，经过O点时速度方向沿x轴正方向。不计粒子重力。sin37°＝0.6，cos37°＝

0.8，则（）

5푞푑퐵

A．粒子从O点射出时的初速度大小为

푚

2푞푑퐵2

B．匀强电场的电场强度大小为

푚

8

C．GH上方匀强磁场的磁感应强度大小为퐵

7

(367휋+120)푚

．粒子从点射出到第一次回到点所经历的时间为

DOO240퐵푞

【答案】BC

【解答】解：A.粒子从O点沿x轴正方向以v0射出后运动轨迹如下图

5

设在磁场B中做圆周运动的半径为R，由几何关系（R﹣d）2+（2d）2＝R2，得푅=푑

2

푣25푞푑퐵

根据洛伦兹力提供向心力有푞푣퐵=푚0，所以푣=，故A错误；

0푅02푚

B.由几何关系得轨迹圆半径与GH夹角α＝37°，由对称性可知，粒子在第二象限出磁场时速度

方向与y轴负方向的夹角也为α＝37°，粒子在电场中沿x轴正方向做匀速直线运动，沿y轴负

1

方向做匀减速直线运动，则沿y轴负方向满足푑=푣푐표푠훼⋅푡−⋅푎푡2

02

由牛顿第二定律可知qE＝ma，

又由粒子自第二象限偏转后过O点，且速度方向沿x轴正方向可知v0cosα＝at

푚2푞푑퐵2

联立解得푡=，퐸=

푞퐵푚

故B正确；

C.设粒子在GH上方匀强磁场中做匀速圆周运动的半径为r，圆心为O''，由x＝v0sinα•t，可得푥=

3

푑

2

由x+2d＝2rcosα

푣2

根据洛伦兹力提供向心力有푞푣퐵=푚0

02푟

8

联立解得퐵=퐵，故C正确；

27

53°2휋푅

D.粒子在磁场中运动的时间分别为푡1=×

360°푣0

254°2휋푟

푡2=×

360°푣0

(367휋+240)푚

粒子运动的总时间푡=푡+푡+푡=，故错误。

总12240퐵푞D

故选：BC。

9．（多选）如图所示的直角坐标系Oxy中，以O为圆心、R为半径的圆内存在垂直纸面向外的匀

强磁场，磁感应强度为B；在x＞R的区域内存在水平向左的匀强电场，电场强度大小为E。在

圆与y轴负半轴的交点A处有一粒子源，t＝0时刻粒子源向圆内各个方向同时发射若干速度相

同的带正电粒子，粒子经磁场偏转后均平行x轴第一次离开磁场，已知粒子的质量为m，电荷

量为q，不考虑粒子间的相互作用，则（）

퐵푞푅

A．带正电粒子进入匀强磁场时速度的大小为

푚

퐵푅

B．带电粒子在电场中运动的时间为

퐸

푞퐵2푅2

C．带电粒子在电场中运动的最大位移为

2푚퐸

휋푚2퐵푅

D．最先第二次离开磁场的粒子从发射到第二次离开磁场所经历的时间为+

퐵푞퐸

【答案】ACD

【解答】解：A、根据题意分析可知，粒子都能水平射出磁场，轨迹圆的半径r＝R，

푣2퐵푞푅

根据牛顿第二定律有푞푣퐵=푚0，联立解得푣=，故A正确；

0푟0푚

B、根据题意分析可知，粒子在电场中只受电场力作用，取水平向右为正方向，根据动量定理有：﹣

qEt1＝﹣mv0﹣mv0

2푚푣02퐵푅

得：푡==，故B错误；

1푞퐸퐸

222

1푚푣0푞퐵푅

C、根据题意分析可知，由动能定理：−푞퐸푥=0−푚푣2得：푥==，故C正确；

202푞퐸2푚퐸

D、根据题意分析可知，假设粒子第1次在磁场中运动转过的角度为α，第2次在磁场中运动转

过的角度为β，粒子运动的轨迹为

由几何关系可得α+β＝180°，所有粒子两次在磁场中的运动时间相等。粒子在磁场中运动的总

时

180°2휋푅휋푅

间푡1=⋅=

360°푣0푣0

所有粒子在电场中运动的时间均相等，从图中看出粒子在电场中由N点运动到K点，再由K点

2푚푣0

返回到点，由动量定理得＝﹣（﹣），解得푡=

NqEt2mv0mv02푞퐸

粒子在电场和磁场之间做匀速直线运动，由M点运动到N点，再由N点返回到M点，粒子通

2푥0

过此区间的总时间为푡3=

푣0

휋푅2푚푣02푥0

粒子从发射到第二次离开磁场所经历的总时间푡=푡1+푡2+푡3=++

푣0푞퐸푣0

其中2x0为粒子通过电场和磁场之间区域的总路程。

当粒子沿y轴发射时，粒子通过电场和磁场之间区域总路程2x0＝0，粒子所经历的时间最短

휋푅2푚푣0휋푚2퐵푅

푡푚푖푛=+=+，故D正确。

푣0푞퐸퐵푞퐸

故选：ACD。

10．如图，在xoy坐标系所在的平面内，第一象限内有垂直纸面向外的匀强磁场，第二象限内有沿

y轴正方向的匀强电场，场强大小为E，一质量为m电荷量为q的带电粒子从x轴上的푃(3퐿，0)

点以速度v沿与x轴正方向成60°角的方向射入磁场，恰好从Q点（图中未画出）垂直于y轴

射出磁场进入电场，不计粒子重力，求：

（1）判断带电粒子的电性；

（2）粒子在磁场中的运动半径r；

（3）磁感应强度B的大小；

（4）粒子从P点射入到穿出电场的时间t。

【答案】（1）带电粒子为负电；

（2）粒子在磁场中的运动半径r为2L；

푚푣

（3）磁感应强度B的大小为2퐿푞；

6푚퐿4휋퐿

（4）粒子从P点射入到穿出电场的时间t为+。

퐸푞3푣

【解答】解：（1）根据左手定则，粒子带负电，在磁场中的运动轨迹如图所示

（2）由几何关系得3퐿=푟푠푖푛60°

解得r＝2L

푣2

（3）根据洛伦兹力提供向心力有푞퐵푣=푚

푟

푚푣

解得퐵=2퐿푞

2휋푚120°

（4）粒子在磁场中的圆心角为120°，周期T=，故粒子在磁场中的时间t′=•T=

푞퐵360°

2휋푚4휋퐿

=；

3푞퐵3푣

粒子离开磁场时的y坐标为y＝r+rcos60°

1

粒子进入电场后做类平抛运动푦=푎푡2，Eq＝ma

2

6푚퐿

解得t=；

퐸푞

6푚퐿4휋퐿

故总时间为：t=+；

总퐸푞3푣

答：（1）带电粒子为负电；

（2）粒子在磁场中的运动半径r为2L；

푚푣

（3）磁感应强度B的大小为2퐿푞；

6푚퐿4휋퐿

（4）粒子从P点射入到穿出电场的时间t为+。

퐸푞3푣

考向二由电场进入磁场

1．如图，在xOy平面的第一、二象限有沿y轴负方向的匀强电场，在第三、四象限有垂直于xOy

平面向外的匀强磁场。质量为m、电荷量为q的粒子从y轴上的P点以v0的初速度沿x轴正方

向射出，并从x轴上的Q点进入磁场区域，一段时间后粒子恰能回到P点。已知P点的坐标为

（0，L），Q点的坐标为（2L，0），不计粒子重力。则（）

2

푚푣0

A．匀强电场的电场强度为

푞퐿

2푚푣0

B．匀强磁场的磁感应强度为

4푞퐿

1

C．若仅将磁感应强度变为原来的倍，则粒子第三次到达x轴的坐标为（﹣2L，0）

2

D．若仅将磁感应强度变为原来的2倍，则粒子第三次到达x轴的坐标为（6L，0）

【答案】C

1

【解答】解：A、粒子在电场中做类平抛运动，有2L＝vt，L=푎푡2，又qE＝ma，代入数据可

02

2

푚푣0

得E=，故A错误；

2푞퐿

푎푡

B、粒子在Q点时，tanθ=，vcosθ＝v0，代入数据可得θ＝45°，v=2푣0，运动轨迹如图所

푣0

示：

푚푣푚푣0

由几何关系可知轨迹半径r=22퐿，又r=푞퐵，代入数据可得B=2푞퐿，故B错误；

C、若仅将磁感应强度减小为原来的一半，则半径r1＝2r，由几何关系可知圆心O2位于Q'正下

方，粒子第二次到达x轴坐标为（﹣6L，0），在电场中沿x轴方向位移为4L，则第三次到达x

轴的坐标为（﹣2L，0），故C正确；

D、若仅将磁感应强度增大为原来的二倍，则半径r2＝0.5r，由几何关系可知圆心O3坐标为（L，

﹣L），粒子第二次经过原点到达x轴，在电场中沿x轴方向位移为4L，则第三次到达x轴的坐

标为（4L，0），故D错误。

故选：C。

2．如图所示，真空区域内水平边界ab与cd相距为h，其间存在竖直向上的匀强电场。边界cd上

方存在范围足够大的垂直于纸面向里的匀强磁场。M、P、N为边界cd上的三点，且MP＝L，PN

＝2L。某时刻甲、乙两个带电粒子从ab边界沿电场线方向射入电场区域，然后分别由M、N两

点同时射入磁场，最终同时被置于P点的粒子探测器接收。甲、乙粒子在磁场中运动的时间均

为t，不计粒子的重力及粒子间的相互作用。下列说法正确的是（）

A．甲、乙两粒子的比荷之比为2：1

4ℎ푡

B．乙粒子在电场中运动的时间为

3휋퐿

2ℎ

C．乙粒子在电场中的加速度为

3푡2

D．甲粒子在电场中运动时电势能减小

【答案】B

【解答】解：ACD、设粒子垂直进入磁场时的速度大小为v，粒子在磁场中运动半圈后被置于P

点的粒子探测器接收，其运动半径为R，由牛顿第二定律：

푣2

푞푣퐵=푚

푅

解得粒子运动的半径

푚푣

푅=푞퐵

则粒子在磁场中运动的时间

180°⋅2휋푅휋푚

푡=360°=

푣푞퐵

联立知

푞휋

=

푚퐵푡

휋푅

푣=

푡

由牛顿第二定律知，粒子在电场中运动的加速度大小

푞퐸

푎=

푚

由题知，甲、乙粒子做圆周运动的半径分别为

푀푃퐿

푅==

122

푃푁

푅==퐿

22

则甲、乙粒子进入磁场时的速度大小分别为

휋퐿

푣=

12푡

휋퐿

푣=

2푡

甲、乙粒子在磁场中运动的时间相同，可见甲、乙两粒子的比荷相同，即比荷之比为1：1，甲、

乙粒子在电场中运动的加速度相同，由左手定则知，甲粒子带负电，乙粒子带正电，则甲粒子

在电场中做匀减速直线运动，乙粒子在电场中做匀加速直线运动，设甲、乙粒子在电场中运动

的时间均为t1，加速度大小均为a，结合逆向思维知

1

ℎ=푣푡+푎푡2

1121

1

ℎ=푣푡−푎푡2

2121

联立知

4ℎ푡

푡=

13휋퐿

2ℎ3휋2퐿2

푎=2=2

3푡18ℎ푡

故AC错误，B正确；

D、甲粒子在电场中运动时电场力做负功，由功能关系知，甲粒子在电场中运动时电势能增大，

故D错误。

故选：B。

3．如图所示，一质子源发射出的质子（初速度很小，可视为零）进入加速电场加速，从两板正中

间平行极板进入偏转电场，穿过两板后又垂直于磁场射入边界线与偏转极板垂直的匀强磁场，

磁场方向垂直于纸面向里。加速电压为U1，偏转电压为U2，粒子射入磁场和射出磁场的M、N

两点间的距离为d，则（）

A．d随U1增大而增大，d与U2无关

B．d随U2增大而增大，d与U1无关

C．若将质子换成α粒子，其他条件不变，d不变

D．若将质子换成α粒子，其他条件不变，d变小

【答案】A

12푞푈

【解答】解：AB、带电粒子在电场中加速过程，有푞푈=푚푣2，得푣=1，带电粒子在电

1200푚

场中偏转做类平抛运动，可将射出偏转电场的粒子速度v分解成初速度方向与加速度方向，设

푣0

出射速度与水平夹角为，则有：푐표푠휃=。而粒子在磁场中做匀速圆周运动，设运动轨迹对

θ푣

푑

2푅푣0

应的半径为R，半径与直线MN夹角正好等于θ，则有：푐표푠휃=2，所以푑=，又因为半径

푅푣

푚푣2푚푣2푚

02푞푈122푚푈1

公式푅=，则有푑===。故d随U1变化，d与U2无关，仅增大

푞퐵푞퐵푞퐵푚퐵푞

U1，d将增大，故A正确，B错误；

푚

2푚푣02푚2푞푈22푚푈1

CD、由푑==1=知，若将质子换成α粒子，其他条件不变，变大，

푞퐵푞퐵푚퐵푞푞

故d变大，故CD错误。

故选：A。

4．“碳﹣14测年法”通过测量生物化石中碳同位素的丰度来确定年代。如图所示为某质谱仪的原

理简化图，离子源A可产生初速度不计、电荷量相同的12C+和14C+。两离子经电压为U的加速

电场后，垂直边界进入磁感应强度为B、方向垂直纸面向外的匀强磁场中，最终由边界探测器接

收。已知离子重力及相互作用忽略不计，下列说法正确的是（）

7

A．在加速电场中，电场力对14C+做的功是对12C+做功的倍

6

7

B．进入磁场时14C+的动量大小是12C+的倍

6

7

C．14C+在磁场中运动的时间是12C+的倍

6

7

D．若要使14C+打在边界12C+原来的位置，需将加速电压U调节为原来的

6

【答案】C

【解答】解：A．12C+和14C+电荷量相同，由电场力做功公式W＝qU可知，两者在加速电场中

电场力做功相等，故A错误；

61

B．已知质量比푚：푚=，由动能定理有푞푈=푚푣2，动量p＝mv，可得푝=2푚푞푈∝푚，

1272

7

所以푝：푝=，故B错误；

216

푇휋푚7

C．离子在磁场中做半圆周运动，运动时间푡==∝푚，所以푡：푡=，故C正确；

2푞퐵216

1푚푣212푚푈

D．由푞푈=푚푣2和푞푣퐵=，联立得轨道半径푟=，若使12C+和14C+轨道半径相同，

2푟퐵푞

푚16

有m2U′＝m1U，解得푈′=푈=푈，故D错误。

푚27

故选：C。

5．如图所示，在平面直角坐标系xOy内，两平行极板P、Q垂直于y轴且关于x轴对称，极板长

度和板间距均为L，两极板间存在平行于y轴的匀强电场（图中未画出）。第一、四象限中有匀

强磁场，方向垂直于xOy平面向里。一带正电粒子从A点以大小为v0的初速度沿x轴正方向射

入电场，经电场偏转后恰好贴着一个极板的右侧边缘进入磁场，之后从另一极板右侧边缘再次

进入电场。不计粒子所受重力，则（）

A．极板P带负电

3휋퐿

B．粒子在磁场中运动的时间为

4푣0

C．粒子进入磁场时速度方向与y轴的夹角为37°

D．粒子仍能回到出发点A

【答案】B

【解答】解：A.结合左手定则可知粒子只能从下极板的右侧边缘进入磁场，运动轨迹如图

带正电粒子在平行极板间向下偏转，故极板P带正电，故A错误；

B.粒子在电场中做类平抛运动，根据类平抛运动的推论，粒子进入磁场时速度方向与x轴夹角的

퐿

푣푦

2

正切值满足푡푎푛휃==퐿

푣0

2

代入数据得θ＝45°，故C错误；

C.进入磁场时粒子的合速度大小푣=22=2푣

푣푦+푣00

퐿