计算机控制系统 课件 第06章 数字控制器的离散化设计方法

第6章数字控制器的离散化设计方法第5章所探讨的模拟化设计方法虽为无法准确获取被控对象数学模型时提供了实用且有效的数字化控制器设计途径，允许设计者充分利用成熟的连续系统设计技术，但其本质上是一种近似设计，主要适用于简单控制策略且要求采样周期足够小，当采样周期不显著小于被控对象时间常数或对系统性能要求较高时，将离散系统近似为连续系统可能导致设计与实际存在较大偏差，甚至使控制系统无法达到预期性能。随着离散控制方法研究的深入和工程应用的普及，直接在离散域内设计控制器的方法日益受到重视，该方法基于采样理论，利用z变换作为工具，根据离散系统性能指标要求直接在z域进行控制器设计，完全基于采样系统特性进行分析与综合，相较于模拟化设计具有更普遍的意义。本章将从离散系统性能指标要求（涵盖时域与频域指标）出发，系统阐述z平面根轨迹设计的基本原理与方法步骤，详细探讨最小拍控制器的基本原理及针对简单和复杂对象的离散化设计方法，深入介绍大林算法的设计原理及振铃现象的解决措施，并通过云台电动机伺服控制的z平面根轨迹设计、电阻炉温度控制的最小拍控制和大林算法设计等应用实例，全面验证所介绍的经典数字控制器离散化设计方法的有效性，从而构建从理论分析到工程实践的完整设计体系。引言在计算机控制系统设计中，目标是在既定的系统性能指标约束下,构造出数字控制器,以确保系统能够满足既定的性能标准。计算机控制系统设计的方法论通常分为模拟化设计(间接设计)方法、离散化设计(直接设计)方法以及状态空间设计方法等。本章将重点介绍数字控制器的模拟化设计方法,而其他设计策略将在后续章节中详细阐述。模拟化设计方法涉及在设计的初始阶段忽略控制回路中的采样器和零阶保持器。在满足特定系统性能指标的基础上,设计者首先在s域中对连续系统进行初步设计，以获得连续控制律D(s)；其次,通过采用不同的离散化技术，包括脉冲响应不变法、阶跃响应不变法、后向差分变换法、双线性变换法、零极点匹配法,将连续控制器转换为等效的数字控制器D(z)；最后，通过计算机程序实现这一转换。由于工程技术人员对s

平面更为熟悉，数字控制器的模拟化设计方法在实践中的应用更为广泛，也更易于被设计者接受和掌握。此外，本章将重点讨论工业领域广泛应用的数字PID控制算法，包括基本的PID控制算法、各种改进的PID控制算法以及PID控制器的参数整定方法。进而，分析采用常规控制方法处理纯滞后对象时遇到的问题，并介绍基于Smith预估补偿的数字PID控制器的设计思路与实现方法。5数字控制器的模拟化设计方法在进行控制系统设计之前，除了应知道系统的组成结构和参数外，还应知道系统的全部性能指标要求。性能指标通常是由使用单位或被控对象的设计制作单位提出的。不同的控制系统对性能指标的要求也有不同的侧重。性能指标的提出，应符合实际系统的需要和可能。首先，应确保系统稳定。随后，控制系统性能指标可分为稳态性能指标和动态性能指标，而动态性能指标又可分为时域性能指标和频域性能指标。6.1.1时域性能指标要求在离散域进行设计时，多数计算机控制系统的被控对象是连续的，因此，设计时所给定的性能指标要求基本上与连续系统设计时相同。然而，在从连续域设计转移到离散域设计时，连续系统的性能指标需要转换为离散系统的性能指标，这需要考虑如何将连续系统的性能指标转换为z平面上的描述。关于稳定性要求和稳态性能指标已在第4章详细论述，本节重点讨论系统动态特性指标。动态特性主要以系统单位阶跃响应的上升时间、峰值时间、超调量和调节时间来表示。其动态指标通常由系统的零极点分布决定，但对于高阶系统来说，计算这些指标往往较为复杂和困难。但在很多情况下，高阶系统中都有一对主导极点，这时可把高阶系统近似看作二阶系统来研究，忽略非主导极点的作用，就可以近似估计出高阶系统的动态性能。6.1离散系统性能指标要求以二阶系统为例，其传递函数为

其特征根为其中实部和虚部的绝对值为式（6-1）的单位阶跃响应表达式为根据上式可求得动态指标如下：超调量：峰值时间：6.1离散系统性能指标要求

6.1离散系统性能指标要求时域指标与s平面及z平面对应轨迹的具体关系归纳为表6-1。其中，有关s平面到z平面的映射过程详见4.1.2节。在z平面上，若闭环系统极点位于上述3条轨迹：等ξ轨迹—对数螺旋线；等Im(s)轨迹—射线；等Re(s)轨迹—同心圆的包围区域内，则可以满足给定动态性能指标要求。6.1离散系统性能指标要求表6-1时域指标与s平面及z平面对应轨迹的具体关系

6.1离散系统性能指标要求图6-1特征根位置

6.1离散系统性能指标要求图6-2典型开环对数幅频特性

6.1离散系统性能指标要求

6.1离散系统性能指标要求

6.2z域根轨迹设计方法图6-5离散控制系统

6.2z域根轨迹设计方法

6.2z域根轨迹设计方法

6.2z域根轨迹设计方法

6.2z域根轨迹设计方法图6-6相位超前控制器零、极点的分布图6-7相位滞后控制器零、极点的分布

6.2z域根轨迹设计方法图6-8不精确对消的根轨迹

6.2z域根轨迹设计方法

6.2z域根轨迹设计方法图6-9D(z)=k

时根轨迹

6.2z域根轨迹设计方法图6-10D(z)=k(z-0.3679)/z时根轨迹最终，满足所有时域指标要求，如图6-11和图6-12所示。6.2z域根轨迹设计方法图6-11例6-2单位阶跃响应曲线图6-12例6-2单位速度响应曲线离散控制系统直接设计法立足于被控对象特性，建立对象离散模型，依托采样系统理论直接完成离散系统分析与综合，推导合适的控制规律，保证数字控制器满足稳定性、稳态精度与动态快速性要求。该方法无需近似假设，不忽略零阶保持器，相比模拟化设计方法拥有更高设计精度。一个控制系统，应按物理可实现性、稳定性、准确性、快速性等指标进行设计。1）物理可实现性是指设计的控制器必须在物理上是可实现的。2）稳定性是指系统受扰动偏离平衡位置，扰动消失后能够自主恢复至原有平衡状态的特性。若有界输入u作用下系统输出响应y保持有界或收敛，则系统输出稳定。倘若控制器输出无界，系统输出必然无界，对应系统不稳定。因此设计控制器时，必须保证控制器输出收敛。

3）准确性是指系统对稳态误差的要求，要求稳态误差为零或在某个精度范围内。若稳态误差为零，则称为无差系统。4）快速性体现为系统输出跟踪输入所需调节时间，要求调节时间尽可能短。当误差达到设定稳态精度时，认为调节过程结束。离散系统按采样周期分步调节，单个采样周期称作一拍。若系统能够在有限拍内完成调节且所需拍数最少，则为最小拍系统，最小拍控制属于时间最优控制。

6.3最小拍控制器设计方法最小拍控制又称为有限拍控制。数字控制系统中将单个采样周期定义为一拍。最小拍控制针对单位阶跃、单位速度、单位加速度等典型输入信号，追求最快响应速度，能够以最少采样周期使系统稳态误差降为零。6.3最小拍控制器设计方法

6.3最小拍控制器设计方法图6-13计算机控制系统的结构图

6.3最小拍控制器设计方法

6.3最小拍控制器设计方法

6.3最小拍控制器设计方法

6.3最小拍控制器设计方法

6.3最小拍控制器设计方法（1）单位阶跃输入（q=1）闭环脉冲传递函数为误差为输出为可见，只需1拍（一个采样周期），输出就能跟踪输入，在采样点处的稳态误差为0。系统输出响应曲线与误差输出曲线分别如图6-14和图6-15所示。6.3最小拍控制器设计方法图6-14单位阶跃输入的输出响应图6-15单位阶跃输入的误差曲线（2）单位速度输入（q=2）闭环脉冲传递函数为误差为输出为可见，只需2拍，输出就能跟踪输入，在采样点处

的稳态误差为0。系统输出响应曲线与误差输出曲线分别如图6-16和图6-17所示。6.3最小拍控制器设计方法图6-16单位速度输入的输出响应

图6-17单位速度输入的误差曲线（3）单位加速度输入（q=3）闭环脉冲传递函数为误差为输出为可见，只需3拍，输出就能跟踪输入，在采样点处的稳态误差为0。系统输出响应曲线与误差输出曲线分别如图6-18和图6-19所示。6.3最小拍控制器设计方法图6-18单位加速度输入的输出响应图6-19单位加速度输入的误差曲线总结上述三种典型输入的最小拍控制系统的结果如表6-2所示。6.3最小拍控制器设计方法表6-2典型输入的最小拍控制系统

6.3最小拍控制器设计方法上式中各项系数即为输出y(t)在各个采样时刻的数值,即此时，控制器输出的控制序列z变换为系统的响应信号y(t)和控制信号u(t)曲线分别如图6-20和图6-21所示。可以看出，当系统输入为单位加速度时，经过2拍以后，输出量完全等于输入采样值，但是在采样点之间存在着一定的偏差，即存在纹波。因此,该最小拍数字控制器也称有纹波最小拍数字控制器,且控制器输出的控制序列u(k)是振荡收敛的，控制器的输出也是稳定的。但是,其振荡收敛的特性引起了输出的纹波存在。6.3最小拍控制器设计方法图6-20例6-3系统单位速度响应曲线

图6-21例6-3系统控制曲线

6.3最小拍控制器设计方法

6.3最小拍控制器设计方法图6-22系统输出响应

图6-23输入信号改变时仿真波形图

6.3最小拍控制器设计方法

6.3最小拍控制器设计方法

6.3最小拍控制器设计方法

6.3最小拍控制器设计方法

6.3最小拍控制器设计方法

6.3最小拍控制器设计方法

有等式成立，即

解得

所以求得最小拍有纹波控制器D(z)如下：

进一步求得误差为6.3最小拍控制器设计方法

6.3最小拍控制器设计方法图6-24例6-4系统单位速度响应曲线

图6-25例6-4系统控制曲线

6.3最小拍控制器设计方法对单位阶跃输入信号，确定

有等式成立，即

解得

故

则6.3最小拍控制器设计方法

6.3最小拍控制器设计方法图6-26例6-5系统单位阶跃响应曲线

图6-27例6-5系统控制曲线

6.3最小拍控制器设计方法2.最小拍无纹波系统在最小拍误差系统中，系统输出在采样点之间存在纹波，不仅会造成输出偏差，而且会增加执行机构的机械磨损，应设法消除。因此，针对所设计的系统，要求经过尽可能少的采样周期之后，系统达到稳定，输出误差为零，并且在采样点之间没有振荡，即在采样点时刻输出完全跟踪输入。产生纹波的原因是控制量u(k)并没有变为恒定值（常数或零），若使控制器的输出u(k)在系统跟踪上输入信号后不再波动，即变成常数，就可使系统输出在稳态过程中无纹波。数字控制器输出信号u(k)的z变换展开为如果经过n个采样周期达到稳态，无纹波系统要求u(n),u(n+1),相等，于是有6.3最小拍控制器设计方法

6.3最小拍控制器设计方法

6.3最小拍控制器设计方法

6.3最小拍控制器设计方法

6.3最小拍控制器设计方法

解得

故求得最小拍无纹波控制器D(z)如下：

进一步求得误差为

输出响应为6.3最小拍控制器设计方法

6.3最小拍控制器设计方法图6-28例6-6系统单位速度响应曲线

图6-29例6-6系统控制曲线

6.3最小拍控制器设计方法

6.3最小拍控制器设计方法

6.4大林算法

6.4大林算法

6.4大林算法

6.4大林算法

6.4大林算法图6-30例6-7系统阶跃响应曲线

图6-31例6-7系统控制信号曲线

6.4大林算法单位阶跃信号作用下，系统的控制信号曲线和输出响应曲线如图6-32和图6-33所示。由图可见，控制信号序列u(k)振荡收敛，振荡周期为4s；系统响应信号y(k)无超调地趋于稳态值，过渡过程时间约为65s，控制信号的振荡对系统输出没有明显影响。6.4大林算法图6-32例6-8系统控制信号曲线

图6-33例6-8系统阶跃响应曲线

6.4大林算法

6.4大林算法

6.4大林算法

6.4大林算法以此控制器组成计算机控制系统进行控制，阶跃函数输入下系统的响应如图6-34和图6-35所示。与图6-32和图6-33相比，可以看出控制信号序列u(k)得到了很好的抑制，消除了振铃现象，但是系统输出响应的动态过程发生了变化，出现了微小超调，且过渡过程时间变长。6.4大林算法图6-35振铃因子z=1后系统的输出信号曲线图6-34振铃因子z=1后系统的控制信号曲线

6.4大林算法

6.4大林算法(5)根据式（6-61）得数字控制器的传递函数模型为以此控制器组成计算机控制系统进行控制，阶跃函数输入下系统的响应如图6-36和图6-37所示。可以看出，控制信号序列u(k)的振荡幅度同图6-32相比明显减弱，但是输出信号动态过程变化不大。6.4大林算法图6-36调整采样周期后的系统控制信号曲线

图6-37调整采样周期后的系统输出信号的曲线

6.4大林算法

6.4大林算法

6.4大林算法证明：当N为奇数时，有当N为偶数时，有由朱利稳定判据可知，当N为奇数时，必须有

即同理，要使闭环系统具有绝对稳定性，则必须有

由式（6-76）可得证毕。6.4大林算法

6.4大林算法

6.4大林算法

6.4大林算法表6-3朱利阵列表

6.4大林算法图6-38例6-11阶跃输入下系统控制信号曲线

图6-39例