2025-2026年考研数学一线性代数正定二次型习题

2025-2026年考研数学一线性代数正定二次型习题一、单项选择题（总共10题，每题2分，共20分）1.设二次型f(x₁,x₂,x₃)=x₁²+x₂²+x₃²+2x₁x₂+2x₁x₃+2x₂x₃，则其对应的矩阵A的特征值中，正数的个数为（）A.0个B.1个C.2个D.3个解析：二次型f(x₁,x₂,x₃)对应的矩阵A为$$\begin{bmatrix}1&1&1\\1&1&1\\1&1&1\end{bmatrix}$$，其秩为1，因此特征值中只有一个非零值。通过行列式计算可知λ₁=3，λ₂=λ₃=0，故正特征值个数为1。2.若二次型f(x₁,x₂,x₃)=x₁²+4x₂²+2x₃²+2x₁x₂-4x₁x₃+4x₂x₃通过正交变换化为标准形f=3y₁²+y₂²-5y₃²，则原二次型的矩阵A是正定矩阵。（）A.正确B.错误解析：原二次型矩阵A的特征值为3,1,-5，存在负特征值，故A不是正定矩阵。3.设A为n阶实对称矩阵，且满足A²=A，则A为正定矩阵。（）A.正确B.错误解析：A²=A说明A为幂等矩阵，其特征值只能是1或0。若A为正定矩阵，则所有特征值应为正，但存在特征值为0，故A不是正定矩阵。4.若二次型f(x₁,x₂,x₃)=x₁²+2x₂²+3x₃²+2x₁x₂+2x₁x₃+2x₂x₃的矩阵A是正定矩阵，则其对应的规范形为（）A.y₁²+y₂²+y₃²B.y₁²+y₂²-y₃²C.y₁²-y₂²-y₃²D.y₁²-y₂²+y₃²解析：矩阵A的顺序主子式Δ₁=1>0，Δ₂=1>0，Δ₃=1>0，故A为正定矩阵，规范形为y₁²+y₂²+y₃²。5.设二次型f(x₁,x₂,x₃)=x₁²+4x₂²+2x₃²+2x₁x₂-4x₁x₃+4x₂x₃，则其矩阵A的惯性指数为（）A.(3,0,0)B.(2,1,0)C.(1,1,1)D.(1,0,2)解析：矩阵A的特征值为3,1,-1，惯性指数为(2,1,0)。6.若二次型f(x₁,x₂,x₃)=x₁²+2x₂²+3x₃²+2x₁x₂+2x₁x₃+2x₂x₃通过正交变换化为标准形f=2y₁²+3y₂²+y₃²，则原二次型的矩阵A是正定矩阵。（）A.正确B.错误解析：原二次型矩阵A的特征值为2,3,1，均为正，故A是正定矩阵。7.设A为n阶实对称矩阵，且满足A的特征值均为正，则A为正定矩阵。（）A.正确B.错误解析：实对称矩阵的特征值均为正时，A为正定矩阵，故该命题正确。8.若二次型f(x₁,x₂,x₃)=x₁²+2x₂²+3x₃²+2x₁x₂+2x₁x₃+2x₂x₃的矩阵A是正定矩阵，则其对应的规范形为（）A.y₁²+y₂²+y₃²B.y₁²+y₂²-y₃²C.y₁²-y₂²-y₃²D.y₁²-y₂²+y₃²解析：矩阵A的顺序主子式Δ₁=1>0，Δ₂=1>0，Δ₃=1>0，故A为正定矩阵，规范形为y₁²+y₂²+y₃²。9.设二次型f(x₁,x₂,x₃)=x₁²+4x₂²+2x₃²+2x₁x₂-4x₁x₃+4x₂x₃，则其矩阵A的惯性指数为（）A.(3,0,0)B.(2,1,0)C.(1,1,1)D.(1,0,2)解析：矩阵A的特征值为3,1,-1，惯性指数为(2,1,0)。10.若二次型f(x₁,x₂,x₃)=x₁²+2x₂²+3x₃²+2x₁x₂+2x₁x₃+2x₂x₃的矩阵A是正定矩阵，则其对应的规范形为（）A.y₁²+y₂²+y₃²B.y₁²+y₂²-y₃²C.y₁²-y₂²-y₃²D.y₁²-y₂²+y₃²解析：矩阵A的顺序主子式Δ₁=1>0，Δ₂=1>0，Δ₃=1>0，故A为正定矩阵，规范形为y₁²+y₂²+y₃²。二、填空题（总共10题，每题2分，共20分）1.若二次型f(x₁,x₂,x₃)=x₁²+2x₂²+3x₃²+2x₁x₂+2x₁x₃+2x₂x₃的矩阵A是正定矩阵，则其对应的规范形为__________。参考答案：y₁²+y₂²+y₃²解析：矩阵A的顺序主子式Δ₁=1>0，Δ₂=1>0，Δ₃=1>0，故A为正定矩阵，规范形为y₁²+y₂²+y₃²。2.设二次型f(x₁,x₂,x₃)=x₁²+4x₂²+2x₃²+2x₁x₂-4x₁x₃+4x₂x₃，则其矩阵A的惯性指数为__________。参考答案：(2,1,0)解析：矩阵A的特征值为3,1,-1，惯性指数为(2,1,0)。3.若二次型f(x₁,x₂,x₃)=x₁²+2x₂²+3x₃²+2x₁x₂+2x₁x₃+2x₂x₃的矩阵A是正定矩阵，则其对应的规范形为__________。参考答案：y₁²+y₂²+y₃²解析：矩阵A的顺序主子式Δ₁=1>0，Δ₂=1>0，Δ₃=1>0，故A为正定矩阵，规范形为y₁²+y₂²+y₃²。4.设二次型f(x₁,x₂,x₃)=x₁²+4x₂²+2x₃²+2x₁x₂-4x₁x₃+4x₂x₃，则其矩阵A的惯性指数为__________。参考答案：(2,1,0)解析：矩阵A的特征值为3,1,-1，惯性指数为(2,1,0)。5.若二次型f(x₁,x₂,x₃)=x₁²+2x₂²+3x₃²+2x₁x₂+2x₁x₃+2x₂x₃的矩阵A是正定矩阵，则其对应的规范形为__________。参考答案：y₁²+y₂²+y₃²解析：矩阵A的顺序主子式Δ₁=1>0，Δ₂=1>0，Δ₃=1>0，故A为正定矩阵，规范形为y₁²+y₂²+y₃²。6.设二次型f(x₁,x₂,x₃)=x₁²+4x₂²+2x₃²+2x₁x₂-4x₁x₃+4x₂x₃，则其矩阵A的惯性指数为__________。参考答案：(2,1,0)解析：矩阵A的特征值为3,1,-1，惯性指数为(2,1,0)。7.若二次型f(x₁,x₂,x₃)=x₁²+2x₂²+3x₃²+2x₁x₂+2x₁x₃+2x₂x₃的矩阵A是正定矩阵，则其对应的规范形为__________。参考答案：y₁²+y₂²+y₃²解析：矩阵A的顺序主子式Δ₁=1>0，Δ₂=1>0，Δ₃=1>0，故A为正定矩阵，规范形为y₁²+y₂²+y₃²。8.设二次型f(x₁,x₂,x₃)=x₁²+4x₂²+2x₃²+2x₁x₂-4x₁x₃+4x₂x₃，则其矩阵A的惯性指数为__________。参考答案：(2,1,0)解析：矩阵A的特征值为3,1,-1，惯性指数为(2,1,0)。9.若二次型f(x₁,x₂,x₃)=x₁²+2x₂²+3x₃²+2x₁x₂+2x₁x₃+2x₂x₃的矩阵A是正定矩阵，则其对应的规范形为__________。参考答案：y₁²+y₂²+y₃²解析：矩阵A的顺序主子式Δ₁=1>0，Δ₂=1>0，Δ₃=1>0，故A为正定矩阵，规范形为y₁²+y₂²+y₃²。10.设二次型f(x₁,x₂,x₃)=x₁²+4x₂²+2x₃²+2x₁x₂-4x₁x₃+4x₂x₃，则其矩阵A的惯性指数为__________。参考答案：(2,1,0)解析：矩阵A的特征值为3,1,-1，惯性指数为(2,1,0)。三、判断题（总共10题，每题2分，共20分）1.若二次型f(x₁,x₂,x₃)=x₁²+4x₂²+2x₃²+2x₁x₂-4x₁x₃+4x₂x₃的矩阵A是正定矩阵，则其对应的规范形为y₁²+y₂²+y₃²。（）解析：矩阵A的顺序主子式Δ₁=1>0，Δ₂=1>0，Δ₃=1>0，故A为正定矩阵，规范形为y₁²+y₂²+y₃²。2.设A为n阶实对称矩阵，且满足A的特征值均为正，则A为正定矩阵。（）解析：实对称矩阵的特征值均为正时，A为正定矩阵，故该命题正确。3.若二次型f(x₁,x₂,x₃)=x₁²+2x₂²+3x₃²+2x₁x₂+2x₁x₃+2x₂x₃的矩阵A是正定矩阵，则其对应的规范形为y₁²+y₂²+y₃²。（）解析：矩阵A的顺序主子式Δ₁=1>0，Δ₂=1>0，Δ₃=1>0，故A为正定矩阵，规范形为y₁²+y₂²+y₃²。4.设二次型f(x₁,x₂,x₃)=x₁²+4x₂²+2x₃²+2x₁x₂-4x₁x₃+4x₂x₃，则其矩阵A的惯性指数为(2,1,0)。（）解析：矩阵A的特征值为3,1,-1，惯性指数为(2,1,0)，故该命题正确。5.若二次型f(x₁,x₂,x₃)=x₁²+2x₂²+3x₃²+2x₁x₂+2x₁x₃+2x₂x₃的矩阵A是正定矩阵，则其对应的规范形为y₁²+y₂²+y₃²。（）解析：矩阵A的顺序主子式Δ₁=1>0，Δ₂=1>0，Δ₃=1>0，故A为正定矩阵，规范形为y₁²+y₂²+y₃²。6.设二次型f(x₁,x₂,x₃)=x₁²+4x₂²+2x₃²+2x₁x₂-4x₁x₃+4x₂x₃，则其矩阵A的惯性指数为(2,1,0)。（）解析：矩阵A的特征值为3,1,-1，惯性指数为(2,1,0)，故该命题正确。7.若二次型f(x₁,x₂,x₃)=x₁²+2x₂²+3x₃²+2x₁x₂+2x₁x₃+2x₂x₃的矩阵A是正定矩阵，则其对应的规范形为y₁²+y₂²+y₃²。（）解析：矩阵A的顺序主子式Δ₁=1>0，Δ₂=1>0，Δ₃=1>0，故A为正定矩阵，规范形为y₁²+y₂²+y₃²。8.设二次型f(x₁,x₂,x₃)=x₁²+4x₂²+2x₃²+2x₁x₂-4x₁x₃+4x₂x₃，则其矩阵A的惯性指数为(2,1,0)。（）解析：矩阵A的特征值为3,1,-1，惯性指数为(2,1,0)，故该命题正确。9.若二次型f(x₁,x₂,x₃)=x₁²+2x₂²+3x₃²+2x₁x₂+2x₁x₃+2x₂x₃的矩阵A是正定矩阵，则其对应的规范形为y₁²+y₂²+y₃²。（）解析：矩阵A的顺序主子式Δ₁=1>0，Δ₂=1>0，Δ₃=1>0，故A为正定矩阵，规范形为y₁²+y₂²+y₃²。10.设二次型f(x₁,x₂,x₃)=x₁²+4x₂²+2x₃²+2x₁x₂-4x₁x₃+4x₂x₃，则其矩阵A的惯性指数为(2,1,0)。（）解析：矩阵A的特征值为3,1,-1，惯性指数为(2,1,0)，故该命题正确。四、简答题（总共8题，每题2分，共16分）1.什么是正定二次型？参考答案：正定二次型是指对于任意非零向量x，二次型f(x)=xTAx都大于零的二次型。解析：正定二次型的定义是对于任意非零向量x，二次型f(x)=xTAx都大于零，其中A为二次型对应的矩阵。2.如何判断一个二次型是否为正定二次型？参考答案：判断一个二次型是否为正定二次型的方法有：（1）特征值法：若二次型对应的矩阵A的所有特征值均为正，则A为正定矩阵；（2）顺序主子式法：若二次型对应的矩阵A的所有顺序主子式均为正，则A为正定矩阵；（3）惯性指数法：若二次型对应的矩阵A的惯性指数为(n,0)，则A为正定矩阵。解析：判断一个二次型是否为正定二次型的方法有特征值法、顺序主子式法和惯性指数法。特征值法是通过计算二次型对应的矩阵A的所有特征值是否均为正来判断；顺序主子式法是通过计算二次型对应的矩阵A的所有顺序主子式是否均为正来判断；惯性指数法是通过计算二次型对应的矩阵A的惯性指数是否为(n,0)来判断。3.正定二次型的性质有哪些？参考答案：正定二次型的性质有：（1）正定二次型的矩阵是实对称矩阵；（2）正定二次型的规范形为y₁²+y₂²+…+yₙ²；（3）正定二次型的惯性指数为(n,0)；（4）正定二次型的矩阵可以正交相似对角化；（5）正定二次型的矩阵的行列式大于零。解析：正定二次型的性质有正定二次型的矩阵是实对称矩阵、正定二次型的规范形为y₁²+y₂²+…+yₙ²、正定二次型的惯性指数为(n,0)、正定二次型的矩阵可以正交相似对角化、正定二次型的矩阵的行列式大于零。4.正定二次型的应用有哪些？参考答案：正定二次型的应用有：（1）在优化问题中，正定二次型可以用来构造目标函数；（2）在统计学中，正定二次型可以用来构造协方差矩阵；（3）在控制理论中，正定二次型可以用来构造李雅普诺夫函数；（4）在机器学习中，正定二次型可以用来构造核函数。解析：正定二次型的应用有在优化问题中构造目标函数、在统计学中构造协方差矩阵、在控制理论中构造李雅普诺夫函数、在机器学习中构造核函数。5.正定二次型的矩阵有哪些性质？参考答案：正定二次型的矩阵的性质有：（1）正定二次型的矩阵是实对称矩阵；（2）正定二次型的矩阵的特征值均为正；（3）正定二次型的矩阵的行列式大于零；（4）正定二次型的矩阵的顺序主子式均为正；（5）正定二次型的矩阵可以正交相似对角化。解析：正定二次型的矩阵的性质有正定二次型的矩阵是实对称矩阵、正定二次型的矩阵的特征值均为正、正定二次型的矩阵的行列式大于零、正定二次型的矩阵的顺序主子式均为正、正定二次型的矩阵可以正交相似对角化。6.正定二次型的规范形是什么？参考答案：正定二次型的规范形为y₁²+y₂²+…+yₙ²。解析：正定二次型的规范形为y₁²+y₂²+…+yₙ²，即所有特征值均为正的标准形。7.正定二次型的惯性指数是什么？参考答案：正定二次型的惯性指数为(n,0)。解析：正定二次型的惯性指数为(n,0)，即正特征值的个数为n，负特征值的个数为0。8.正定二次型的矩阵可以正交相似对角化吗？参考答案：正定二次型的矩阵可以正交相似对角化。解析：正定二次型的矩阵是实对称矩阵，而实对称矩阵可以正交相似对角化。五、应用题（总共8题，每题4分，共24分）1.设二次型f(x₁,x₂,x₃)=x₁²+4x₂²+2x₃²+2x₁x₂-4x₁x₃+4x₂x₃，求其矩阵A的特征值和特征向量。参考答案：矩阵A的特征值为3,1,-1，对应的特征向量分别为$$\begin{bmatrix}1\\1\\0\end{bmatrix}$$，$$\begin{bmatrix}1\\-1\\2\end{bmatrix}$$，$$\begin{bmatrix}1\\0\\-1\end{bmatrix}$$。解析：矩阵A为$$\begin{bmatrix}1&1&-2\\1&4&2\\-2&2&2\end{bmatrix}$$，其特征多项式为(λ-3)(λ-1)(λ+1)，解得特征值为3,1,-1。对应的特征向量分别为$$\begin{bmatrix}1\\1\\0\end{bmatrix}$$，$$\begin{bmatrix}1\\-1\\2\end{bmatrix}$$，$$\begin{bmatrix}1\\0\\-1\end{bmatrix}$$。2.设二次型f(x₁,x₂,x₃)=x₁²+2x₂²+3x₃²+2x₁x₂+2x₁x₃+2x₂x₃，求其矩阵A的特征值和特征向量。参考答案：矩阵A的特征值为3,1,-1，对应的特征向量分别为$$\begin{bmatrix}1\\1\\0\end{bmatrix}$$，$$\begin{bmatrix}1\\-1\\2\end{bmatrix}$$，$$\begin{bmatrix}1\\0\\-1\end{bmatrix}$$。解析：矩阵A为$$\begin{bmatrix}1&1&1\\1&2&1\\1&1&3\end{bmatrix}$$，其特征多项式为(λ-3)(λ-1)(λ+1)，解得特征值为3,1,-1。对应的特征向量分别为$$\begin{bmatrix}1\\1\\0\end{bmatrix}$$，$$\begin{bmatrix}1\\-1\\2\end{bmatrix}$$，$$\begin{bmatrix}1\\0\\-1\end{bmatrix}$$。3.设二次型f(x₁,x₂,x₃)=x₁²+4x₂²+2x₃²+2x₁x₂-4x₁x₃+4x₂x₃，求其矩阵A的惯性指数。参考答案：矩阵A的惯性指数为(2,1,0)。解析：矩阵A的特征值为3,1,-1，惯性指数为(2,1,0)。4.设二次型f(x₁,x₂,x₃)=x₁²+2x₂²+3x₃²+2x₁x₂+2x₁x₃+2x₂x₃，求其矩阵A的惯性指数。参考答案：矩阵A的惯性指数为(2,1,0)。解析：矩阵A的特征值为3,1,-1，惯性指数为(2,1,0)。5.设二次型f(x₁,x₂,x₃)=x₁²+4x₂²+2x₃²+2x₁x₂-4x₁x₃+4x₂x₃，求其矩阵A的规范形。参考答案：矩阵A的规范形为y₁²+y₂²-y₃²。解析：矩阵A的特征值为3,1,-1，规范形为y₁²+y₂²-y₃²。6.设二次型f(x₁,x₂,x₃)=x₁²+2x₂²+3x₃²+2x₁x₂+2x₁x₃+2x₂x₃，求其矩阵A的规范形。参考答案：矩阵A的规范形为y₁²+y₂²-y₃²。解析：矩阵A的特征值为3,1,-1，规范形为y₁²+y₂²-y₃²。7.设二次型f(x₁,x₂,x₃)=x₁²+4x₂²+2x₃²+2x₁x₂-4x₁x₃+4x₂x₃，求其矩阵A的正交相似对角形。参考答案：矩阵A的正交相似对角形为$$\begin{bmatrix}3&0&0\\0&1&0\\0&0&-1\end{bmatrix}$$。解析：矩阵A的特征值为3,1,-1，对应的特征向量分别为$$\begin{bmatrix}1\\1\\0\end{bmatrix}$$，$$\begin{bmatrix}1\\-1\\2\end{bmatrix}$$，$$\begin{bmatrix}1\\0\\-1\end{bmatrix}$$，正交相似对角形为$$\begin{bmatrix}3&0&0\\0&1&0\\0&0&-1\end{bmatrix}$$。8.设二次型f(x₁,x₂,x₃)=x₁²+2x₂²+3x₃²+2x₁x₂+2x₁x₃+2x₂x₃，求其矩阵A的正交相似对角形。参考答案：矩阵A的正交相似对角形为$$\begin{bmatrix}3&0&0\\0&1&0\\0&0&-1\end{bmatrix}$$。解析：矩阵A的特征值为3,1,-1，对应的特征向量分别为$$\begin{bmatrix}1\\1\\0\end{bmatrix}$$，$$\begin{bmatrix}1\\-1\\2\end{bmatrix}$$，$$\begin{bmatrix}1\\0\\-1\end{bmatrix}$$，正交相似对角形为$$\begin{bmatrix}3&0&0\\0&1&0\\0&0&-1\end{bmatrix}$$。【标准答案及解析】一、单项选择题1.D2.B3.B4.A5.B6.A7.A8.A9.B10.A二、填空题1.y₁²+y₂²+y₃²2.(2,1,0)3.y₁²+y₂²+y₃²4.(2,1,0)5.y₁²+y₂²+y₃²6.(2,1,0)7.y₁²+y₂²+y₃²8.(2,1,0)9.y₁²+y₂²+y₃²10.(2,1,0)三、判断题1.正确2.正确3.正确4.正确5.正确6.正确7.正确8.正确9.正确10.正确四、简答题1.正定二次型是指对于任意非零向量x，二次型f(x)=xTAx都大于零的二次型。解析：正定二次型的定义是对于任意非零向量x，二次型f(x)=xTAx都大于零，其中A为二次型对应的矩阵。2.判断一个二次型是否为正定二次型的方法有：（1）特征值法：若二次型对应的矩阵A的所有特征值均为正，则A为正定矩阵；（2）顺序主子式法：若二次型对应的矩阵A的所有顺序主子式均为正，则A为正定矩阵；（3）惯性指数法：若二次型对应的矩阵A的惯性指数为(n,0)，则A为正定矩阵。解析：判断一个二次型是否为正定二次型的方法有特征值法、顺序主子式法和惯性指数法。特征值法是通过计算二次型对应的矩阵A的所有特征值是否均为正来判断；顺序主子式法是通过计算二次型对应的矩阵A的所有顺序主子式是否均为正来判断；惯性指数法是通过计算二次型对应的矩阵A的惯性指数是否为(n,0)来判断。3.正定二次型的性质有：（1）正定二次型的矩阵是实对称矩阵；（2）正定二次型的规范形为y₁²+y₂²+…+yₙ²；（3）正定二次型的惯性指数为(n,0)；（4）正定二次型的矩阵可以正交相似对角化；（5）正定二次型的矩阵的行列式大于零。解析：正定二次型的性质有正定二次型的矩阵是实对称矩阵、正定二次型的规范形为y₁²+y₂²+…+yₙ²、正定二次型的惯性指数为(n,0)、正定二次型的矩阵可以正交相似对角化、正定二次型的矩阵的行列式大于零。4.正定二次型的应用有：（1）在优化问题中，正定二次型可以用来构造目标函数；（2）在统计学中，正定二次型可以用来构造协方差矩阵；（3）在控制理论中，正定二次型可以用来构造李雅普诺夫函数；（4）在机器学习中，正定二次型可以用来构造核函数。解析：正定二次型的应用有在优化问题中构造目标函数、在统计学中构造协方差矩阵、在控制理论中构造李雅普诺夫函数、在机器学习中构造核函数。5.正定二次型的矩阵的性质有：（1）正定二次型的矩阵是实对称矩阵；（2）正定二次型的矩阵的特征值均为正；（3）正定二次型的矩阵的行列式大于零；（4）正定二次型的矩阵的顺序主子式均为正；（5）正定二次型的矩阵可以正交相似对角化。解析：正定二次型的矩阵的性质有正定二次型的矩阵是实对称矩阵、正定二次型的矩阵的特征值均为正、正定二次型的矩阵的行列式大于零、正定二次型的矩阵的顺序主子式均为正、正定二次型的矩阵可以正交相似对角化。6.正定二次型的规范形是什么？参考答案：正定二次型的规范形为y₁²+y₂²+…+yₙ²。解析：正定二次型的规范形为y₁²+y₂²+…+yₙ²，即所有特征值均为正的标准形。7.正定二次型的惯性指数是什么？参考答案：正定二次型的惯性指数为(n,0)。解析：正定二次型的惯性指数为(n,0)，即正特征值的个数为n，负特征值的个数为0。8.正定二次型的矩阵可以正交相似对角化吗？参考答案：正定二次型的矩阵可以正交相似对角化。解析：正定二次型的矩阵是实对称矩阵，而实对称矩阵可以正交相似对角化。五、应用题1.矩阵A的特征值为3,1,-1，对应的特征向量分别为$$\begin{bmatrix}1\\1\\0\end{bmatrix}$$，$$\begin{bmatrix}1\\-1\\2\end{bmatrix}$$，$$\begin{bmatrix}1\\0\\-1\end{bmatrix}$$。解析：矩阵A为$$\begin{bmatrix}1&1&-2\\1&4&2\\-2&2&2\end{bmatrix}$$，其特征多项式为(λ-3)(λ-1)(λ+1)，解得特征值为3,1,-1。对应的特征向量分别为$$\begin{bmatrix}1\\1\\0\end{bmatrix}$$，$$\begin{bmatrix}1\\-1\\2\end{bmatrix}$$，$$\begin{bmatrix}1\\0\\-1\end{bmatrix}$$。2.矩阵A的特征值为3,1,-1，对应的特征向量分别为$$\begin{bmatrix}1\\1\\0\end{bmatrix}$$，$$\begin{bmatrix}1\\-1\\2\end{bmatrix}$$，$$\begin{bmatrix}1\\0\\-1\end{bmatrix}$$