2026年北师大版高一数学第三章对数函数练习题

2026年北师大版高一数学第三章对数函数练习题一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.已知函数f(x)=log₃(x-1)，其定义域为________。A.(-∞,1)∪(1,+∞)B.[1,+∞)C.(-1,+1)D.(-∞,-1)∪(-1,+1)解析：对数函数f(x)=log₃(x-1)的定义域要求真数x-1>0，即x>1，因此定义域为[1,+∞)，选项B正确。其他选项均不符合对数真数大于0的条件。2.若log₃2=a，log₃5=b，则log₃10可以表示为________。A.a+bB.a+b-1C.abD.ab-1解析：根据对数运算性质，log₃10=log₃(2×5)=log₃2+log₃5=a+b，选项A正确。3.函数g(x)=log₂(2x-3)的图像可由函数f(x)=log₂x的图像________得到。A.向左平移3个单位B.向右平移3个单位C.向左平移1.5个单位D.向右平移1.5个单位解析：函数g(x)=log₂(2x-3)可变形为g(x)=log₂2(x-1.5)=log₂x-1.5，即图像向右平移1.5个单位，选项D正确。4.若logₐ(3)<logₐ(5)，则实数a的取值范围是________。A.(0,1)B.(1,+∞)C.(0,1)∪(1,+∞)D.(-∞,0)∪(0,1)解析：当0<a<1时，对数函数为减函数，logₐ(3)>logₐ(5)；当a>1时，对数函数为增函数，logₐ(3)<logₐ(5)，因此a>1，选项B正确。5.方程log₃(x²-2x)=2的解为________。A.3B.-1C.3或-1D.0解析：方程可变形为x²-2x=3²，即x²-2x-9=0，解得x=1±2√5，由于x>0且x-2>0，只有x=1+2√5符合，选项无正确答案，需修正题目。6.函数h(x)=log₃(3x-1)在区间(0,1)上的值域为________。A.(-∞,0)B.(0,+∞)C.(-1,0)D.(0,1)解析：当x∈(0,1)时，3x-1∈(-1,2)，因此log₃(3x-1)的值域为(-∞,log₃2)，选项B正确。7.若log₃(2a-1)=2log₃2，则a的值为________。A.2B.3C.4D.5解析：根据对数运算性质，2a-1=2²=4，解得a=2.5，选项无正确答案，需修正题目。8.函数f(x)=log₃(2x-x²)的单调递增区间为________。A.(0,1)B.(1,2)C.(0,2)D.(-∞,0)∪(2,+∞)解析：函数f(x)=log₃(2x-x²)的定义域为(0,2)，令t=2x-x²，对称轴为x=1，t在(0,1)上单调递增，在(1,2)上单调递减，因此f(x)在(0,1)上单调递增，选项A正确。9.若logₐ(4)>logₐ(9)，则实数a的取值范围是________。A.(0,1)B.(1,+∞)C.(0,1)∪(1,+∞)D.(-∞,0)∪(0,1)解析：当0<a<1时，logₐ(4)>logₐ(9)；当a>1时，logₐ(4)<logₐ(9)，因此a∈(0,1)，选项A正确。10.若log₃(2x-1)+log₃(3x+2)=1，则x的值为________。A.1B.2C.3D.4解析：根据对数运算性质，2x-1=3x+2，解得x=-3，不在定义域内，需修正题目。二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.若log₃x=2log₃2+log₃5，则x=________。解析：log₃x=log₃(2²×5)=log₃20，因此x=20。2.函数f(x)=log₄(3x-2)的图像过点________。解析：令3x-2=1，解得x=1，此时f(1)=log₄1=0，图像过点(1,0)。3.若logₐ(6)>logₐ(5)，则实数a的取值范围是________。解析：当0<a<1时，logₐ(6)>logₐ(5)；当a>1时，logₐ(6)<logₐ(5)，因此a∈(0,1)。4.方程log₂(x-1)+log₂(x+3)=2的解为________。解析：log₂((x-1)(x+3))=2，解得x=3。5.函数g(x)=log₃(2x+1)的图像可由函数f(x)=log₃x的图像________得到。解析：g(x)=log₃(2x+1)=log₃2(x+0.5)=log₃x+0.5/ln3，即图像向上平移0.5/ln3个单位。6.若log₃(2a-1)=2，则a=________。解析：2a-1=3²=9，解得a=5。7.函数h(x)=log₅(3x-4)在区间(2,3)上的值域为________。解析：当x∈(2,3)时，3x-4∈(2,5)，因此log₅(3x-4)的值域为(0,log₅5)=(0,1)。8.若logₐ(4)<logₐ(9)，则实数a的取值范围是________。解析：当a>1时，logₐ(4)<logₐ(9)；当0<a<1时，logₐ(4)>logₐ(9)，因此a∈(1,+∞)。9.函数f(x)=log₃(x²-3x+2)的定义域为________。解析：x²-3x+2>0，解得x∈(-∞,1)∪(2,+∞)。10.若log₃(2x-1)+log₃(x+4)=2，则x的值为________。解析：2x-1=3(x+4)/2，解得x=7。三、判断题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.若a>b>0，则log₃a>log₃b。（√）解析：对数函数y=log₃x在(0,+∞)上为增函数，因此a>b>0时，log₃a>log₃b。2.若log₃(2x-1)=0，则x=1/2。（×）解析：2x-1=1，解得x=1。3.函数f(x)=log₃(3x-2)在定义域内单调递增。（√）解析：令t=3x-2，t>0时，f(x)=log₃t为增函数，且t随x增大而增大，因此f(x)单调递增。4.若logₐ(4)>logₐ(9)，则a∈(0,1)。（√）解析：同填空题第6题解析。5.方程log₂(x-1)+log₂(x+3)=2的解为x=3。（√）解析：同填空题第4题解析。6.函数g(x)=log₃(2x+1)的图像可由函数f(x)=log₃x的图像向左平移1个单位得到。（×）解析：g(x)=log₃(2x+1)=log₃2(x+0.5)=log₃x+0.5/ln3，即图像向上平移0.5/ln3个单位。7.若log₃(2a-1)=2，则a=4。（√）解析：同填空题第6题解析。8.函数h(x)=log₅(3x-4)在区间(2,3)上的值域为(0,1)。（√）解析：同填空题第7题解析。9.若logₐ(4)<logₐ(9)，则a∈(1,+∞)。（√）解析：同填空题第8题解析。10.函数f(x)=log₃(x²-3x+2)的定义域为(-∞,1)∪(2,+∞)。（√）解析：同填空题第9题解析。四、简答题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）1.求函数f(x)=log₃(2x-x²)的单调递增区间。解：函数f(x)=log₃(2x-x²)的定义域为(0,2)，令t=2x-x²，对称轴为x=1，t在(0,1)上单调递增，在(1,2)上单调递减，因此f(x)在(0,1)上单调递增。2.若log₃(2a-1)=2log₃2，求a的值。解：根据对数运算性质，2a-1=2²=4，解得a=2.5。3.求函数g(x)=log₃(2x+1)的图像可由函数f(x)=log₃x的图像如何平移得到。解：g(x)=log₃(2x+1)=log₃2(x+0.5)=log₃x+0.5/ln3，即图像向上平移0.5/ln3个单位。4.若log₃(2x-1)+log₃(x+4)=2，求x的值。解：根据对数运算性质，2x-1=3(x+4)/2，解得x=7。5.求函数h(x)=log₅(3x-4)在区间(2,3)上的值域。解：当x∈(2,3)时，3x-4∈(2,5)，因此log₅(3x-4)的值域为(0,log₅5)=(0,1)。6.若logₐ(4)>logₐ(9)，求实数a的取值范围。解：当0<a<1时，logₐ(4)>logₐ(9)；当a>1时，logₐ(4)<logₐ(9)，因此a∈(0,1)。7.求函数f(x)=log₃(x²-3x+2)的定义域。解：x²-3x+2>0，解得x∈(-∞,1)∪(2,+∞)。8.求函数f(x)=log₃(2x-x²)的值域。解：函数f(x)=log₃(2x-x²)的定义域为(0,2)，令t=2x-x²，t的最大值为1（当x=1时），因此log₃t的值域为(-∞,log₃1]=(-∞,0]。五、应用题（本大题共8小题，每小题4分，共24分）1.某城市人口增长模型为P(t)=P₀e^(kt)，其中P₀为初始人口，k为增长率，t为时间（年）。若该城市人口从100万增长到200万用了10年，求该城市的年增长率。解：200=100e^(10k)，解得e^(10k)=2，k=ln2/10≈0.0693，即年增长率为6.93%。2.某商品的价格变化模型为P(t)=P₀(1+r)^t，其中P₀为初始价格，r为年增长率，t为时间（年）。若该商品价格从100元上涨到150元用了5年，求该商品的年增长率。解：150=100(1+r)^5，解得(1+r)^5=1.5，r≈0.0845，即年增长率为8.45%。3.某投资收益模型为A=P(1+r)^t，其中P为初始投资，r为年收益率，t为时间（年）。若某投资初始为10000元，5年后收益为15000元，求该投资的年收益率。解：15000=10000(1+r)^5，解得(1+r)^5=1.5，r≈0.0845，即年收益率为8.45%。4.某城市交通流量模型为Q(t)=Q₀e^(at)，其中Q₀为初始流量，a为增长率，t为时间（小时）。若该城市交通流量从5000辆/小时增长到10000辆/小时用了4小时，求该城市交通流量的平均增长率。解：10000=5000e^(4a)，解得e^(4a)=2，a=ln2/4≈0.1733，即平均增长率为17.33%。5.某公司员工工资增长模型为W(t)=W₀(1+r)^t，其中W₀为初始工资，r为年增长率，t为时间（年）。若某员工初始工资为5000元，3年后工资为6000元，求该员工的年工资增长率。解：6000=5000(1+r)^3，解得(1+r)^3=1.2，r≈0.0637，即年工资增长率为6.37%。6.某城市空气质量指数模型为AQ(t)=AQ₀e^(bt)，其中AQ₀为初始指数，b为增长率，t为时间（小时）。若该城市空气质量指数从50增长到100用了6小时，求该城市空气质量的平均增长率。解：100=50e^(6b)，解得e^(6b)=2，b=ln2/6≈0.1155，即平均增长率为11.55%。7.某产品销量增长模型为S(t)=S₀e^(ct)，其中S₀为初始销量，c为增长率，t为时间（月）。若某产品初始销量为1000件，6个月后销量达到2000件，求该产品的月平均增长率。解：2000=1000e^(6c)，解得e^(6c)=2，c=ln2/6≈0.1155，即月平均增长率为11.55%。8.某城市绿化面积增长模型为A(t)=A₀(1+r)^t，其中A₀为初始面积，r为年增长率，t为时间（年）。若该城市绿化面积从100公顷增长到150公顷用了5年，求该城市绿化面积的年增长率。解：150=100(1+r)^5，解得(1+r)^5=1.5，r≈0.0845，即年增长率为8.45%。【标准答案及解析】一、单项选择题1.B2.A3.D4.B5.无解（需修正题目）6.D7.无解（需修正题目）8.B9.A10.无解（需修正题目）二、填空题1.202.(1,0)3.(0,1)4.35.向上平移0.5/ln3个单位6.57.(0,1)8.(1,+∞)9.(-∞,1)∪(2,+∞)10.7三、判断题1.√2.×3.√4.√5.√6.×7.√8.√9.√10.√四、简答题1.函数f(x)=log₃(2x-x²)的单调递增区间为(0,1)。解析：令t=2x-x²，对称轴为x=1，t在(0,1)上单调递增，在(1,2)上单调递减，因此f(x)在(0,1)上单调递增。2.若log₃(2a-1)=2log₃2，求a的值。解析：根据对数运算性质，2a-1=2²=4，解得a=2.5。3.求函数g(x)=log₃(2x+1)的图像可由函数f(x)=log₃x的图像如何平移得到。解析：g(x)=log₃(2x+1)=log₃2(x+0.5)=log₃x+0.5/ln3，即图像向上平移0.5/ln3个单位。4.若log₃(2x-1)+log₃(x+4)=2，求x的值。解析：根据对数运算性质，2x-1=3(x+4)/2，解得x=7。5.求函数h(x)=log₅(3x-4)在区间(2,3)上的值域。解析：当x∈(2,3)时，3x-4∈(2,5)，因此log₅(3x-4)的值域为(0,log₅5)=(0,1)。6.若logₐ(4)>logₐ(9)，求实数a的取值范围。解析：当0<a<1时，logₐ(4)>logₐ(9)；当a>1时，logₐ(4)<logₐ(9)，因此a∈(0,1)。7.求函数f(x)=log₃(x²-3x+2)的定义域。解析：x²-3x+2>0，解得x∈(-∞,1)∪(2,+∞)。8.求函数f(x)=log₃(2x-x²)的值域。解析：函数f(x)=log₃(2x-x²)的定义域为(0,2)，令t=2x-x²，t的最大值为1（当x=1时），因此log₃t的值域为(-∞,log₃1]=(-∞,0]。五、应用题1.某城市人口增长模型为P(t)=P₀e^(kt)，其中P₀为初始人口，k为增长率，t为时间（年）。若该城市人口从100万增长到200万用了10年，求该城市的年增长率。解析：200=100e^(10k)，解得e^(10k)=2，k=ln2/10≈0.0693，即年增长率为6.93%。2.某商品的价格变化模型为P(t)=P₀(1+r)^t，其中P₀为初始价格，r为年增长率，t为时间（年）。若该商品价格从100元上涨到150元用了5年，求该商品的年增长率。解析：150=100(1+r)^5，解得(1+r)^5=1.5，r≈0.0845，即年增长率为8.45%。3.某投资收益模型为A=P(1+r)^t，其中P为初始投资，r为年收益率，t为时间（年）。若某投资初始为10000元，5年后收益为15000元，求该投资的年收益率。解析：15000=10000(1+r)^5，解得(1+r)^5=1.5，r≈0.0845，即年收益率为8.45%。4.某城市