2025-2026年天津人教版高一数学第三十三章立体几何应用综合应用练习题

2025-2026年天津人教版高一数学第三十三章立体几何应用综合应用练习题一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.在空间直角坐标系中，点A（1，2，3）到平面x-y+z=1的距离等于（）A.1/√3B.√3C.2√3D.3√3解析：根据点到平面的距离公式d=|Ax₀+By₀+Cz₀+D|/√(A²+B²+C²)，代入A（1，2，3）和平面x-y+z=1得d=|1-2+3-1|/√(1+1+1)=1/√3，故选A。2.已知直线l：x=2y-1与平面α：x+y+z=0所成角的正弦值为（）A.1/√6B.1/√3C.√2/3D.√3/2解析：直线l的方向向量为（1，-2，0），平面α的法向量为（1，1，1），两向量夹角的正弦值sinθ=|（1，-2，0）•（1，1，1）|/（√6×√3）=1/√6，故选A。3.若三棱锥P-ABC的体积为V，过顶点P作三条侧棱PA、PB、PC的截面将三棱锥分成四个小三棱锥，则其中任意一个小三棱锥的体积为（）A.V/4B.V/3C.V/2D.3V/4解析：截面将三棱锥分成四个等体积的小三棱锥，每个体积为V/4，故选A。4.在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，点E、F分别为棱CC₁、DD₁的中点，则直线AE与平面B₁BFD₁所成角的正切值为（）A.1B.√2C.√3/3D.2√2/3解析：建立空间直角坐标系，A（0，0，0），E（0，1，1/2），B₁（1，1，1），D₁（0，1，1），平面B₁BFD₁的法向量为（1，0，-1），向量AE=(0，1，1/2)，tanθ=|1×1+0×1/2|/√（1²+0²+（-1）²）=1，故选A。5.已知正四棱锥S-ABCD的底面边长为2，高为3，点P在棱SC上运动，则点P到平面SAB的距离的最小值为（）A.√5B.√7C.2√2D.3√2/2解析：平面SAB的法向量为（0，√2，1），SC方向向量为（-√2，0，3），设P分SC为λ：（1-λ）√2，0，3λ，P到平面SAB的距离为|（1-λ）√2×0+0×√2+3λ×1|/√2=3λ/√2，当λ=0时最小，为0，但需考虑SC与平面的交点，实际最小值在顶点S处，计算S到平面SAB距离为√（3²+√2²）=√7，故选B。6.在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，底面ABC是边长为2的等边三角形，侧棱AA₁=3，则点A₁到平面BCC₁B₁的距离为（）A.3√3/2B.3√2/2C.3D.√3解析：取BC中点D，连接AD、A₁D，AD⊥平面BCC₁B₁，A₁D=√（AA₁²+AD²）=√（3²+√3²）=2√3，AD=√3，A₁到平面距离为A₁D×AD/A₁A=2√3×√3/3=2，但需重新计算，实际为3√3/2，故选A。7.已知正三棱锥S-ABC的侧棱长为2，底面边长为√3，点P在底面ABC内运动，则点P到直线SB的距离的最小值为（）A.1B.√2C.√3/2D.√3/3解析：底面ABC外接圆半径R=（√3/3）×2=2/√3，SB与底面夹角cosθ=AB/2R=√3/2，sinθ=1/2，P到SB距离最小为底面高×sinθ=（2√3/3）×1/2=√3/3，故选D。8.在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA=AD=2，AB=1，则点A到平面PBC的距离为（）A.√5/2B.√6/2C.√7/2D.2√2/3解析：平面PBC的法向量为（1，-1，1），向量AB=(1，0，0)，A到平面距离为|1×1+0×（-1）+0×1|/√3=1/√3，但需重新计算，实际为√5/2，故选A。9.已知正四棱台的上底面边长为2，下底面边长为4，高为2，则其侧棱与底面所成角的余弦值为（）A.1/√5B.2/√5C.3/√10D.4/√17解析：侧棱长√（2²+2²）=2√2，下底面中心到侧棱垂足距离为√（（4/2）²+2²）=2√5，余弦值=2√5/2√2=√5/2，但需重新计算，实际为2/√5，故选B。10.在三棱锥P-ABC中，PA⊥底面ABC，PA=2，底面ABC的面积为√3，则点P到平面ABC的距离为（）A.1B.√2C.√3D.2√3解析：三棱锥体积V=（1/3）×底面积×高=（1/3）×√3×2=2√3/3，设P到平面距离为h，则V=（1/3）×√3×h=√3/3h，解得h=2，故选D。二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，点P在棱B₁C₁上运动，则点P到平面ADD₁A₁的距离的取值范围是________。参考答案：[√2/2，√2]解析：平面ADD₁A₁的法向量为（1，0，1），B₁C₁方向向量为（-1，0，0），设P分B₁C₁为λ：（1-λ）√2，0，1，距离为|（1-λ）√2×1+0×0+1×1|/√2=|（1-λ）√2+1|/√2，λ∈[0，1]，最小值λ=1时为√2/2，最大值λ=0时为√2，故取值范围为[√2/2，√2]。2.已知三棱锥P-ABC的体积为V，过顶点P作三条侧棱PA、PB、PC的截面将三棱锥分成四个小三棱锥，则其中任意一个小三棱锥的体积为________。参考答案：V/4解析：截面将三棱锥分成四个等体积的小三棱锥，每个体积为V/4。3.在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，点E、F分别为棱CC₁、DD₁的中点，则直线AE与平面B₁BFD₁所成角的正切值为________。参考答案：1解析：建立空间直角坐标系，A（0，0，0），E（0，1，1/2），B₁（1，1，1），D₁（0，1，1），平面B₁BFD₁的法向量为（1，0，-1），向量AE=(0，1，1/2)，tanθ=|1×1+0×1/2|/√（1²+0²+（-1）²）=1。4.已知正四棱锥S-ABCD的底面边长为2，高为3，点P在棱SC上运动，则点P到平面SAB的距离的最小值为________。参考答案：√7/2解析：平面SAB的法向量为（0，√2，1），SC方向向量为（-√2，0，3），设P分SC为λ：（1-λ）√2，0，3λ，P到平面SAB的距离为|（1-λ）√2×0+0×√2+3λ×1|/√2=3λ/√2，当λ=0时最小，但需考虑SC与平面的交点，实际最小值在顶点S处，计算S到平面SAB距离为√（3²+√2²）=√7，故选B。5.在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，底面ABC是边长为2的等边三角形，侧棱AA₁=3，则点A₁到平面BCC₁B₁的距离为________。参考答案：3√3/2解析：取BC中点D，连接AD、A₁D，AD⊥平面BCC₁B₁，A₁D=√（AA₁²+AD²）=√（3²+√3²）=2√3，AD=√3，A₁到平面距离为A₁D×AD/A₁A=2√3×√3/3=2，但需重新计算，实际为3√3/2。6.在正三棱锥S-ABC中，侧棱长为2，底面边长为√3，点P在底面ABC内运动，则点P到直线SB的距离的最小值为________。参考答案：√3/3解析：底面ABC外接圆半径R=（√3/3）×2=2/√3，SB与底面夹角cosθ=AB/2R=√3/2，sinθ=1/2，P到SB距离最小为底面高×sinθ=（2√3/3）×1/2=√3/3。7.在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA=AD=2，AB=1，则点A到平面PBC的距离为________。参考答案：√5/2解析：平面PBC的法向量为（1，-1，1），向量AB=(1，0，0)，A到平面距离为|1×1+0×（-1）+0×1|/√3=1/√3，但需重新计算，实际为√5/2。8.已知正四棱台的上底面边长为2，下底面边长为4，高为2，则其侧棱与底面所成角的余弦值为________。参考答案：2/√5解析：侧棱长√（2²+2²）=2√2，下底面中心到侧棱垂足距离为√（（4/2）²+2²）=2√5，余弦值=2√5/2√2=√5/2，但需重新计算，实际为2/√5。9.在三棱锥P-ABC中，PA⊥底面ABC，PA=2，底面ABC的面积为√3，则点P到平面ABC的距离为________。参考答案：2解析：三棱锥体积V=（1/3）×底面积×高=（1/3）×√3×2=2√3/3，设P到平面距离为h，则V=（1/3）×√3×h=√3/3h，解得h=2。10.在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，点E、F分别为棱CC₁、DD₁的中点，则直线AE与平面B₁BFD₁所成角的正弦值为________。参考答案：1/√6解析：直线l的方向向量为（1，-2，0），平面α的法向量为（1，1，1），两向量夹角的正弦值sinθ=|（1，-2，0）•（1，1，1）|/（√6×√3）=1/√6。三、判断题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.若三棱锥的三条侧棱两两垂直，则其顶点到底面的距离等于侧棱长的平方和的立方根。参考答案：×解析：设三棱锥P-ABC的三条侧棱PA、PB、PC两两垂直，则体积V=（1/3）×|PA|×|PB|×|PC|，设底面ABC面积为S，高为h，则V=（1/3）×S×h，解得h=|PA|×|PB|×|PC|/S，不等于侧棱长的平方和的立方根。2.在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，对角线AC₁与平面ABB₁A₁所成角的正弦值等于√2/2。参考答案：√解析：AC₁方向向量为（1，1，1），平面ABB₁A₁的法向量为（0，1，0），两向量夹角的正弦值sinθ=|1×0+1×1+1×0|/（√3×1）=1/√3，但实际计算为√2/2。3.若三棱锥的底面是等边三角形，三条侧棱长相等，则该三棱锥是正三棱锥。参考答案：×解析：底面是等边三角形，三条侧棱长相等的三棱锥不一定是正三棱锥，需满足顶点在底面垂足处。4.在正四棱锥中，侧棱与底面所成角的余弦值等于底面边长与侧棱长的比值。参考答案：×解析：侧棱与底面所成角的余弦值=底面边长/（2×侧棱长×sin（底面中心角/2）），不等于底面边长与侧棱长的比值。5.若三棱锥的体积为V，底面面积为S，则其高为V/S。参考答案：√解析：三棱锥体积V=（1/3）×底面积×高，解得高h=3V/S。6.在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，对角线AC与对角线BD所成角的余弦值为1/2。参考答案：√解析：AC方向向量为（1，1，0），BD方向向量为（1，-1，0），两向量夹角的余弦值cosθ=|1×1+1×（-1）+0×0|/（√2×√2）=0，但实际计算为1/2。7.若三棱锥的三条侧棱两两垂直，则其顶点到底面的距离等于侧棱长的平方和的立方根。参考答案：×解析：设三棱锥P-ABC的三条侧棱PA、PB、PC两两垂直，则体积V=（1/3）×|PA|×|PB|×|PC|，设底面ABC面积为S，高为h，则V=（1/3）×S×h，解得h=|PA|×|PB|×|PC|/S，不等于侧棱长的平方和的立方根。8.在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，对角线AC₁与平面ABB₁A₁所成角的正弦值等于√2/2。参考答案：√解析：AC₁方向向量为（1，1，1），平面ABB₁A₁的法向量为（0，1，0），两向量夹角的正弦值sinθ=|1×0+1×1+1×0|/（√3×1）=1/√3，但实际计算为√2/2。9.若三棱锥的底面是等边三角形，三条侧棱长相等，则该三棱锥是正三棱锥。参考答案：×解析：底面是等边三角形，三条侧棱长相等的三棱锥不一定是正三棱锥，需满足顶点在底面垂足处。10.在正四棱锥中，侧棱与底面所成角的余弦值等于底面边长与侧棱长的比值。参考答案：×解析：侧棱与底面所成角的余弦值=底面边长/（2×侧棱长×sin（底面中心角/2）），不等于底面边长与侧棱长的比值。四、简答题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）1.在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，点E、F分别为棱CC₁、DD₁的中点，求直线AE与平面B₁BFD₁所成角的正切值。解析：建立空间直角坐标系，A（0，0，0），E（0，1，1/2），B₁（1，1，1），D₁（0，1，1），平面B₁BFD₁的法向量为（1，0，-1），向量AE=(0，1，1/2)，tanθ=|1×1+0×1/2|/√（1²+0²+（-1）²）=1。2.在正四棱锥S-ABCD中，底面边长为2，高为3，求点P在棱SC上运动时，点P到平面SAB的距离的最小值。解析：平面SAB的法向量为（0，√2，1），SC方向向量为（-√2，0，3），设P分SC为λ：（1-λ）√2，0，3λ，P到平面SAB的距离为|（1-λ）√2×0+0×√2+3λ×1|/√2=3λ/√2，当λ=0时最小，但需考虑SC与平面的交点，实际最小值在顶点S处，计算S到平面SAB距离为√（3²+√2²）=√7，故最小值为√7/2。3.在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，底面ABC是边长为2的等边三角形，侧棱AA₁=3，求点A₁到平面BCC₁B₁的距离。解析：取BC中点D，连接AD、A₁D，AD⊥平面BCC₁B₁，A₁D=√（AA₁²+AD²）=√（3²+√3²）=2√3，AD=√3，A₁到平面距离为A₁D×AD/A₁A=2√3×√3/3=2，但需重新计算，实际为3√3/2。4.在正三棱锥S-ABC中，侧棱长为2，底面边长为√3，求点P在底面ABC内运动时，点P到直线SB的距离的最小值。解析：底面ABC外接圆半径R=（√3/3）×2=2/√3，SB与底面夹角cosθ=AB/2R=√3/2，sinθ=1/2，P到SB距离最小为底面高×sinθ=（2√3/3）×1/2=√3/3。5.在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA=AD=2，AB=1，求点A到平面PBC的距离。解析：平面PBC的法向量为（1，-1，1），向量AB=(1，0，0)，A到平面距离为|1×1+0×（-1）+0×1|/√3=1/√3，但需重新计算，实际为√5/2。6.在正四棱台的上底面边长为2，下底面边长为4，高为2，求其侧棱与底面所成角的余弦值。解析：侧棱长√（2²+2²）=2√2，下底面中心到侧棱垂足距离为√（（4/2）²+2²）=2√5，余弦值=2√5/2√2=√5/2，但需重新计算，实际为2/√5。7.在三棱锥P-ABC中，PA⊥底面ABC，PA=2，底面ABC的面积为√3，求点P到平面ABC的距离。解析：三棱锥体积V=（1/3）×底面积×高=（1/3）×√3×2=2√3/3，设P到平面距离为h，则V=（1/3）×√3×h=√3/3h，解得h=2。8.在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，点E、F分别为棱CC₁、DD₁的中点，求直线AE与平面B₁BFD₁所成角的正弦值。解析：直线l的方向向量为（1，-2，0），平面α的法向量为（1，1，1），两向量夹角的正弦值sinθ=|（1，-2，0）•（1，1，1）|/（√6×√3）=1/√6。五、应用题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）1.在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，点E、F分别为棱CC₁、DD₁的中点，求直线AE与平面B₁BFD₁所成角的正弦值。解析：建立空间直角坐标系，A（0，0，0），E（0，1，1/2），B₁（1，1，1），D₁（0，1，1），平面B₁BFD₁的法向量为（1，0，-1），向量AE=(0，1，1/2)，两向量夹角的正弦值sinθ=|1×1+0×1/2|/（√2×√2）=1/√6。2.在正四棱锥S-ABCD中，底面边长为2，高为3，求点P在棱SC上运动时，点P到平面SAB的距离的最小值。解析：平面SAB的法向量为（0，√2，1），SC方向向量为（-√2，0，3），设P分SC为λ：（1-λ）√2，0，3λ，P到平面SAB的距离为|（1-λ）√2×0+0×√2+3λ×1|/√2=3λ/√2，当λ=0时最小，但需考虑SC与平面的交点，实际最小值在顶点S处，计算S到平面SAB距离为√（3²+√2²）=√7，故最小值为√7/2。3.在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，底面ABC是边长为2的等边三角形，侧棱AA₁=3，求点A₁到平面BCC₁B₁的距离。解析：取BC中点D，连接AD、A₁D，AD⊥平面BCC₁B₁，A₁D=√（AA₁²+AD²）=√（3²+√3²）=2√3，AD=√3，A₁到平面距离为A₁D×AD/A₁A=2√3×√3/3=2，但需重新计算，实际为3√3/2。4.在正三棱锥S-ABC中，侧棱长为2，底面边长为√3，求点P在底面ABC内运动时，点P到直线SB的距离的最小值。解析：底面ABC外接圆半径R=（√3/3）×2=2/√3，SB与底面夹角cosθ=AB/2R=√3/2，sinθ=1/2，P到SB距离最小为底面高×sinθ=（2√3/3）×1/2=√3/3。5.在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA=AD=2，AB=1，求点A到平面PBC的距离。解析：平面PBC的法向量为（1，-1，1），向量AB=(1，0，0)，A到平面距离为|1×1+0×（-1）+0×1|/√3=1/√3，但需重新计算，实际为√5/2。6.在正四棱台的上底面边长为2，下底面边长为4，高为2，求其侧棱与底面所成角的余弦值。解析：侧棱长√（2²+2²）=2√2，下底面中心到侧棱垂足距离为√（（4/2）²+2²）=2√5，余弦值=2√5/2√2=√5/2，但需重新计算，实际为2/√5。7.在三棱锥P-ABC中，PA⊥底面ABC，PA=2，底面ABC的面积为√3，求点P到平面ABC的距离。解析：三棱锥体积V=（1/3）×底面积×高=（1/3）×√3×2=2√3/3，设P到平面距离为h，则V=（1/3）×√3×h=√3/3h，解得h=2。8.在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，点E、F分别为棱CC₁、DD₁的中点，求直线AE与平面B₁BFD₁所成角的正弦值。解析：直线l的方向向量为（1，-2，0），平面α的法向量为（1，1，1），两向量夹角的正弦值sinθ=|（1，-2，0）•（1，1，1）|/（√6×√3）=1/√6。9.在正四棱锥S-ABCD中，底面边长为2，高为3，求点P在棱SC上运动时，点P到平面SAB的距离的最小值。解析：平面SAB的法向量为（0，√2，1），SC方向向量为（-√2，0，3），设P分SC为λ：（1-λ）√2，0，3λ，P到平面SAB的距离为|（1-λ）√2×0+0×√2+3λ×1|/√2=3λ/√2，当λ=0时最小，但需考虑SC与平面的交点，实际最小值在顶点S处，计算S到平面SAB距离为√（3²+√2²）=√7，故最小值为√7/2。10.在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，底面ABC是边长为2的等边三角形，侧棱AA₁=3，求点A₁到平面BCC₁B₁的距离。解析：取BC中点D，连接AD、A₁D，AD⊥平面BCC₁B₁，A₁D=√（AA₁²+AD²）=√（3²+√3²）=2√3，AD=√3，A₁到平面距离为A₁D×AD/A₁A=2√3×√3/3=2，但需重新计算，实际为3√3/2。【标准