2026年苏教版高二数学第五章数列练习题

2026年苏教版高二数学第五章数列练习题一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.在等差数列{a_n}中，已知a_1=3，a_5=9，则该数列的通项公式a_n等于（）A.6n-3B.2n+1C.3nD.4n-1解析：由等差数列通项公式a_n=a_1+(n-1)d，代入a_1=3，a_5=9可得9=3+4d，解得d=3/2，故a_n=3+(n-1)×3/2=3/2n+3/2。选项A正确。2.已知数列{b_n}的前n项和S_n=2^n-1，则b_4的值等于（）A.8B.16C.32D.63解析：由数列前n项和与通项关系b_n=S_n-S_{n-1}（n≥2），当n=1时b_1=S_1=1，当n≥2时b_n=2^n-1-(2^{n-1}-1)=2^n-2^n-1=2^n-1，验证n=1时成立，故b_4=2^4-1=15。选项D正确。3.若数列{c_n}满足c_1=1，c_{n+1}=2c_n+c_{n-1}（n≥2），则该数列的前6项和S_6等于（）A.36B.64C.100D.128解析：由递推关系可知c_2=2c_1+c_0=3，c_3=2c_2+c_1=7，c_4=2c_3+c_2=17，c_5=2c_4+c_3=41，c_6=2c_5+c_4=99，故S_6=1+3+7+17+41+99=168。选项无正确答案，需修正题目。4.在等比数列{d_n}中，若d_2=6，d_4=54，则该数列的公比q等于（）A.3B.2√3C.-3D.±3解析：由等比数列通项公式d_n=d_1q^{n-1}，代入d_2=d_1q=6，d_4=d_1q^3=54，联立可得q=3。选项A正确。5.已知数列{e_n}的前n项和S_n=n^2+n，则e_3的值等于（）A.9B.12C.15D.18解析：由数列前n项和与通项关系e_n=S_n-S_{n-1}（n≥2），当n=1时e_1=S_1=2，当n≥2时e_n=n^2+n-(n-1)^2-(n-1)=2n，验证n=1时成立，故e_3=2×3=6。选项无正确答案，需修正题目。6.若数列{f_n}满足f_1=2，f_{n+1}=f_n+log_2(n+1)，则f_10的值等于（）A.20B.36C.56D.90解析：由递推关系f_{n+1}=f_n+log_2(n+1)，累加可得f_n=2+∑_{k=1}^{n-1}log_2(k+1)=2+(n-1)log_2n，f_10=2+9log_210≈36.3。选项B最接近。7.在等差数列{g_n}中，若a_3+a_7=18，a_5=9，则该数列的通项公式g_n等于（）A.3n-6B.3n+3C.6n-9D.9-3n解析：由等差数列性质a_3+a_7=2a_5，代入可得2a_5=18，a_5=9，又由a_5=a_1+4d=9，解得d=0，故g_n=a_1=9。选项D正确。8.已知数列{h_n}的前n项和T_n=3^n-1，则h_5的值等于（）A.243B.242C.240D.239解析：由数列前n项和与通项关系h_n=T_n-T_{n-1}（n≥2），当n=1时h_1=T_1=2，当n≥2时h_n=3^n-1-(3^{n-1}-1)=2×3^{n-1}，验证n=1时成立，故h_5=2×3^4=162。选项无正确答案，需修正题目。9.若数列{i_n}满足i_1=1，i_{n+1}=i_n+1/n，则i_5的值等于（）A.5B.8C.10D.15解析：由递推关系i_{n+1}=i_n+1/n，累加可得i_n=1+∑_{k=1}^{n-1}1/k=1+H_{n-1}（H_n为n阶调和数），i_5=1+1+1/2+1/3+1/4≈2.083。选项无正确答案，需修正题目。10.在等比数列{j_n}中，若j_2=4，j_3=8，则该数列的前6项和S_6等于（）A.32B.40C.48D.56解析：由等比数列性质j_3/j_2=q，代入可得q=2，又由j_2=j_1q=4，解得j_1=2，故S_6=2(1-2^6)/(1-2)=126。选项无正确答案，需修正题目。二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.若等差数列{a_n}中，a_4+a_7=20，则a_5+a_6的值等于________。解：由等差数列性质a_4+a_7=2a_5+2a_6-2d=20，故a_5+a_6=10。2.已知数列{b_n}的前n项和S_n=2n^2-3n，则b_3的值等于________。解：b_3=S_3-S_2=(2×9-3×3)-(2×4-3×2)=15-2=13。3.若数列{c_n}满足c_1=2，c_{n+1}=c_n+3n，则c_4的值等于________。解：c_2=c_1+3=5，c_3=c_2+6=11，c_4=c_3+9=20。4.在等比数列{d_n}中，若d_1=1，d_4=16，则该数列的公比q等于________。解：由等比数列通项公式d_4=d_1q^3，代入可得q=2。5.已知数列{e_n}的前n项和T_n=n(n+1)/2，则e_5的值等于________。解：e_5=T_5-T_4=15×16/2-6×7/2=90。6.若数列{f_n}满足f_1=3，f_{n+1}=2f_n+n，则f_3的值等于________。解：f_2=2×3+1=7，f_3=2×7+2=16。7.在等差数列{g_n}中，若a_2+a_8=18，则a_5+a_7的值等于________。解：由等差数列性质a_2+a_8=2a_5+2a_7-6d=18，故a_5+a_7=12。8.已知数列{h_n}的前n项和U_n=3^n-1，则h_4的值等于________。解：h_4=U_4-U_3=(3^4-1)-(3^3-1)=80。9.若数列{i_n}满足i_1=1，i_{n+1}=i_n+2n，则i_6的值等于________。解：i_2=1+2=3，i_3=3+4=7，i_4=7+6=13，i_5=13+8=21，i_6=21+10=31。10.在等比数列{j_n}中，若j_3=12，j_5=96，则该数列的公比q等于________。解：由等比数列性质j_5/j_3=q^2，代入可得q=4。三、判断题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.若数列{a_n}的前n项和S_n=2n^2+n，则该数列是等差数列。（）解：由等差数列前n项和公式S_n=na_1+(n-1)n/2d，代入S_n=2n^2+n可得d=2，故该数列是等差数列。正确。2.在等比数列{b_n}中，若b_1>0，q>1，则该数列是递增数列。（）解：由等比数列通项公式b_n=b_1q^{n-1}，当q>1时数列递增。正确。3.若数列{c_n}满足c_{n+1}=c_n+c_{n-1}（n≥2），则该数列是斐波那契数列。（）解：斐波那契数列定义c_1=1，c_2=1，c_{n+2}=c_{n+1}+c_n，题目条件为c_{n+1}=c_n+c_{n-1}，故该数列是斐波那契数列的变种。错误。4.在等差数列{d_n}中，若a_1+a_n=10，则该数列的前n项和S_n=5n。（）解：由等差数列性质a_1+a_n=2a_{n/2+1}，代入可得a_{n/2+1}=5，又由S_n=n(a_1+a_n)/2=5n。正确。5.已知数列{e_n}的前n项和T_n=n^2，则该数列是等差数列。（）解：由等差数列前n项和公式S_n=na_1+(n-1)n/2d，代入T_n=n^2可得d=2，故该数列是等差数列。正确。6.若数列{f_n}满足f_{n+1}=f_n+1（n≥1），则该数列是等差数列。（）解：由等差数列定义f_{n+1}-f_n=1，故该数列是等差数列。正确。7.在等比数列{g_n}中，若b_1≠0，q=1，则该数列是常数列。（）解：由等比数列通项公式g_n=b_1q^{n-1}，当q=1时g_n=b_1，故该数列是常数列。正确。8.已知数列{h_n}的前n项和U_n=2^n-1，则该数列是等比数列。（）解：由等比数列前n项和公式S_n=b_1(q^n-1)/(q-1)，代入U_n=2^n-1可得q=2，故该数列是等比数列。正确。9.若数列{i_n}满足i_{n+1}=2i_n（n≥1），则该数列是等比数列。（）解：由等比数列定义i_{n+1}/i_n=2，故该数列是等比数列。正确。10.在等差数列{j_n}中，若a_1+a_n=10，则该数列的前n项和S_n=5n^2。（）解：由等差数列性质a_1+a_n=2a_{n/2+1}，代入可得a_{n/2+1}=5，又由S_n=n(a_1+a_n)/2=5n。错误。四、简答题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）1.证明：若数列{a_n}是等差数列，则该数列的前n项和S_n是关于n的二次函数。证明：由等差数列前n项和公式S_n=na_1+(n-1)n/2d=n(a_1+nd/2)-nd/2=an^2/2+(a_1-d/2)n，故S_n是关于n的二次函数。2.求证：若数列{b_n}是等比数列，且公比q≠1，则该数列的前n项和S_n满足S_n(1-q^n)/(1-q)是关于n的函数。证明：由等比数列前n项和公式S_n=b_1(q^n-1)/(q-1)，故S_n(1-q^n)/(1-q)=b_1(q^n-1)/(q-1)×(1-q^n)/(1-q)=b_1q^n-1，是关于n的函数。3.设数列{c_n}满足c_1=1，c_{n+1}=c_n+2n，求c_n的通项公式。解：由递推关系c_{n+1}=c_n+2n，累加可得c_n=1+∑_{k=1}^{n-1}(2k)=1+n(n-1)=n^2-n+1。4.若数列{d_n}的前n项和T_n=3^n-1，求d_n的通项公式。解：由数列前n项和与通项关系d_n=T_n-T_{n-1}（n≥2），当n=1时d_1=T_1=2，当n≥2时d_n=3^n-1-(3^{n-1}-1)=2×3^{n-1}，验证n=1时成立，故d_n=2×3^{n-1}。5.设数列{e_n}满足e_1=2，e_{n+1}=e_n+1/n，求e_n的通项公式。解：由递推关系e_{n+1}=e_n+1/n，累加可得e_n=2+∑_{k=1}^{n-1}1/k=2+H_{n-1}（H_n为n阶调和数）。6.若数列{f_n}是等差数列，且a_3+a_7=18，a_5=9，求该数列的通项公式。解：由等差数列性质a_3+a_7=2a_5=18，a_5=9，又由a_5=a_1+4d=9，解得d=0，故f_n=a_1=9。7.设数列{g_n}是等比数列，且j_2=4，j_3=8，求该数列的前6项和S_6。解：由等比数列性质j_3/j_2=q，代入可得q=2，又由j_2=j_1q=4，解得j_1=2，故S_6=2(1-2^6)/(1-2)=126。8.已知数列{h_n}的前n项和U_n=n(n+1)/2，求h_n的通项公式。解：由数列前n项和与通项关系h_n=U_n-U_{n-1}（n≥2），当n=1时h_1=U_1=1，当n≥2时h_n=n(n+1)/2-(n-1)n/2=2n，验证n=1时成立，故h_n=2n。五、应用题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）1.某工厂生产一种产品，第一年产量为1000件，计划每年比上一年增产200件，求第10年的产量。解：由等差数列{a_n}满足a_1=1000，d=200，第10年产量a_{10}=1000+(10-1)×200=2200件。2.某城市人口增长率为每年10%，若2020年人口为100万，求2025年的人口数量。解：由等比数列{b_n}满足b_1=100，q=1.1，2025年人口b_5=100×1.1^5≈161.05万。3.某人每月储蓄100元，银行年利率为5%（按复利计算），求第3年末的本息和。解：每月存款形成等差数列{c_n}，n=36，每月利率为5%/12，本息和S=100[(1+5%/12)^36-1]/(5%/12)≈4386元。4.某林场种植树木，第一年种植100棵，以后每年比上一年多种植50棵，求前5年的种植总数。解：由等差数列{d_n}满足a_1=100，d=50，前5年总数S_5=5×100+5×4×50/2=1750棵。5.某投资项目的回报率为每年20%，若初始投资为10万元，求第4年末的累计收益。解：由等比数列{e_n}满足e_1=10，q=1.2，第4年末累计收益e_4=10×1.2^4≈25.97万元。6.某工厂的设备折旧率为每年10%，若设备原值为100万元，求第3年末的剩余价值。解：由等比数列{f_n}满足f_1