2025-2026年广东湘教版高一数学第二章函数性质练习题

2025-2026年广东湘教版高一数学第二章函数性质练习题一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.函数f(x)=x³-3x在区间[-2,2]上的最大值是______。选项：A.2B.4C.-4D.02.若函数f(x)=ax²+bx+c的图象开口向上，且顶点在x轴上，则下列结论正确的是______。选项：A.b²-4ac>0B.f(0)>0C.存在x₁,x₂使得f(x₁)+f(x₂)<0D.函数在(-∞,-b/2a)上单调递减3.函数f(x)=|x-1|+|x+2|的最小值是______。选项：A.-3B.1C.3D.04.若函数f(x)=kx+1在(1,2)上单调递增，则实数k的取值范围是______。选项：A.k>0B.k<0C.k≥0D.k≤05.函数f(x)=sin(x+π/4)的图象关于______对称。选项：A.x轴B.y轴C.原点D.直线x=π/46.函数f(x)=log₃(x²-2x+1)的定义域是______。选项：A.(-∞,1)∪(1,+∞)B.[0,2]C.(-∞,0]∪[2,+∞)D.R7.函数f(x)=2|x|在(-1,1)上的反函数是______。选项：A.f⁻¹(x)=√xB.f⁻¹(x)=-√xC.f⁻¹(x)=x/2D.f⁻¹(x)=-x/28.若函数f(x)=x²+px+q在x=1时取得极小值，则______。选项：A.p=2,q=1B.p=-2,q=1C.p=2,q=-1D.p=-2,q=-19.函数f(x)=tan(2x-π/3)的周期是______。选项：A.πB.π/2C.3π/2D.2π10.若函数f(x)=x³-3x+1在区间[a,a+1]上单调递减，则实数a的取值范围是______。选项：A.a∈(-∞,-1)B.a∈(-1,0)C.a∈(0,1)D.a∈(1,+∞)二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.函数f(x)=x²-4x+3在区间[1,4]上的最大值是______。2.若函数f(x)=ax³+bx²+cx+d的图象经过点(1,2)，且f'(1)=3，则______。3.函数f(x)=|x-2|+|x+1|的值域是______。4.函数f(x)=2cos(3x+π/6)的最小正周期是______。5.函数f(x)=e^x在区间[0,1]上的平均值是______。6.函数f(x)=sin(x-π/6)的图象向右平移π/3个单位后得到函数g(x)，则g(x)的表达式是______。7.函数f(x)=log₂(x²-3x+2)的单调递减区间是______。8.若函数f(x)=x²+px+q在x=-1时取得极大值，且f(0)=3，则______。9.函数f(x)=tan(2x+π/4)的图象的对称轴方程是______。10.若函数f(x)=x³-3x+2在区间[a,a+1]上单调递增，且a为整数，则______。三、判断题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.函数f(x)=x³在R上单调递增。2.若函数f(x)=ax²+bx+c的图象开口向下，则f(x)在(-∞,-b/2a)上单调递增。3.函数f(x)=|x|在(-1,1)上存在反函数。4.函数f(x)=sin(x+π/2)的图象与函数g(x)=cos(x)的图象完全相同。5.函数f(x)=log₃(x²-1)在(1,+∞)上单调递增。6.函数f(x)=2|x|在(-2,2)上的反函数是f⁻¹(x)=√x。7.若函数f(x)=x²+px+q在x=1时取得极小值，则p=-2,q=1。8.函数f(x)=tan(π/4-x)的周期是π。9.函数f(x)=e^x在区间[0,1]上的平均值大于1。10.若函数f(x)=x³-3x+2在区间[a,a+1]上单调递增，且a为整数，则a=1。四、简答题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）1.求函数f(x)=x³-3x+2的单调区间。2.求函数f(x)=|x-1|+|x+2|的最小值及取得最小值时的x值。3.求函数f(x)=2cos(3x+π/6)的周期及图象的对称轴方程。4.求函数f(x)=log₂(x²-3x+2)的定义域及单调区间。5.求函数f(x)=tan(2x+π/4)的周期及图象的对称轴方程。6.求函数f(x)=x³-3x+2的反函数。7.若函数f(x)=ax²+bx+c在x=1时取得极大值，且f(1)=3，f'(0)=2，求a,b,c的值。8.求函数f(x)=sin(x-π/6)的周期及图象的对称轴方程。五、应用题（本大题共8小题，每小题4分，共24分）1.某工厂生产某种产品，固定成本为10万元，每生产1件产品，可变成本增加3元，售价为每件10元。若生产x件产品，求利润函数f(x)的表达式，并求生产多少件产品时利润最大。2.某物体做直线运动，其位移函数为s(t)=t³-6t²+9t，求该物体在t=2时的速度和加速度。3.某城市出租车的计费标准为：起步价10元（含3公里），之后每公里2元。若某乘客乘坐出租车行驶了x公里（x>3），求车费y的表达式，并求行驶多少公里时车费最少。4.某水库的水位变化规律为：水位h(t)=sin(πt/12)+5（单位：米），其中t为时间（单位：小时），求水库水位的最高点和最低点。5.某商品的需求函数为q(p)=100-10p（单位：件），其中p为价格（单位：元）。求该商品的收入函数R(p)的表达式，并求价格多少元时收入最大。6.某函数f(x)满足f(x)+f(1-x)=2，求f(0)+f(1)的值。7.某函数f(x)在区间[0,1]上单调递增，且f(0)=1，f(1)=3，求f(0.5)的取值范围。8.某函数f(x)的图象关于直线x=1对称，且在x=0时取得极小值，求f(x)的表达式。【标准答案及解析】一、单项选择题1.C解析：f'(x)=3x²-3，令f'(x)=0得x=±1，f(-2)=-4，f(1)=-1，f(-1)=1，最大值为0。2.A解析：开口向上且顶点在x轴上，则Δ=b²-4ac>0且-√Δ/2a=0，即b²-4ac>0。3.C解析：f(x)=|x-1|+|x+2|表示数轴上x到1和-2的距离之和，最小值为3。4.A解析：f'(x)=k，若在(1,2)上单调递增，则k>0。5.B解析：f(x)=sin(x+π/4)的图象关于y轴对称。6.A解析：x²-2x+1=(x-1)²≥0，解得x∈(-∞,1)∪(1,+∞)。7.C解析：y=2|x|在(-1,1)上为y=2x，反函数为y=x/2。8.B解析：f'(x)=2x+p，x=1时取得极小值，则f'(1)=0，p=-2；f''(1)=2>0，极小值点正确。9.A解析：周期T=π/|ω|=π/2。10.C解析：f'(x)=3x²-3，令f'(x)=0得x=±1，在(0,1)上f'(x)<0，单调递减。二、填空题1.4解析：f'(x)=2x-4，令f'(x)=0得x=2，f(1)=0，f(2)=-1，f(4)=3，最大值为4。2.2解析：f(1)=a+b+c+d=2，f'(1)=3a+2b+c=3，联立解得b=2。3.[3,+\infty)解析：f(x)=|x-1|+|x+2|表示数轴上x到1和-2的距离之和，最小值为3。4.2π/3解析：周期T=2π/|ω|=2π/3。5.1解析：平均值=(e^1-e^0)/1=e-1≈1.718。6.sin(x-π/6-π/3)=sin(x-5π/6)解析：g(x)=f(x-π/3)=sin[(x-π/3)-π/4]=sin(x-5π/6)。7.(3/2,+∞)解析：x²-3x+2=(x-1)(x-2)，在(2,+∞)上单调递增，即(3/2,+∞)。8.2,-4解析：f'(x)=2x+p，x=-1时取得极大值，则f'(-1)=0，p=2；f(0)=a+b+c=3，联立解得a=2,b=-4,c=5。9.x=π/8+kπ/2(k∈Z)解析：2x+π/4=kπ+π/2，x=π/8+kπ/2。10.-1解析：f'(x)=3x²-3，令f'(x)=0得x=±1，在(-1,0)上f'(x)<0，在(0,1)上f'(x)>0，a=-1。三、判断题1.√解析：f'(x)=3x²>0，单调递增。2.×解析：开口向下，则f'(x)<0，在(-∞,-b/2a)上单调递减。3.×解析：y=2|x|在(-1,1)上不单调，无反函数。4.√解析：f(x)=sin(x+π/2)=cos(x)。5.×解析：在(1,2)上单调递增，在(2,+∞)上单调递减。6.×解析：反函数为f⁻¹(x)=√x(x≥0)。7.×解析：p=-2，Δ=p²-4q<0，q>1。8.√解析：周期T=π/|ω|=π。9.×解析：平均值=e^1-e^0=e-1<1。10.√解析：a=1时f'(x)=3x²-3，在[1,2]上单调递增。四、简答题1.减区间(-∞,1)，增区间(1,+∞)解析：f'(x)=3x²-3，令f'(x)=0得x=±1，f(x)在(-∞,-1)和(1,+∞)上单调递增，在(-1,1)上单调递减。2.最小值3，取得最小值时x=1.5解析：f(x)=|x-1|+|x+2|分段为：x<-2时，f(x)=-2x-1；-2≤x≤1时，f(x)=3；x>1时，f(x)=2x+1，最小值为3，取得最小值时x=1.5。3.周期T=2π/3，对称轴方程x=π/4+kπ/3(k∈Z)解析：周期T=2π/|ω|=2π/3，对称轴2x+π/6=kπ+π/2，x=π/4+kπ/3。4.定义域(1,2)，增区间(1,3/2)，减区间(3/2,2)解析：x²-3x+2>0，解得x∈(1,2)，f'(x)=2/(x²-3x+2)，令f'(x)=0得x=3/2，在(1,3/2)上单调递增，在(3/2,2)上单调递减。5.周期π/2，对称轴方程x=π/8+kπ/4(k∈Z)解析：周期T=π/|ω|=π/2，对称轴2x+π/4=kπ，x=π/8+kπ/4。6.f⁻¹(x)=∛(x+3)解析：y=x³-3x+2，x=y³-3y+2，反函数为y=∛(x+3)。7.a=2,b=-4,c=5解析：f'(x)=2ax+b，x=1时取得极大值，则f'(1)=0，2a+b=0；f(0)=a+b+c=3，联立解得a=2,b=-4,c=5。8.周期2π，对称轴方程x=π/3+kπ(k∈Z)解析：周期T=2π/|ω|=2π，对称轴x-π/6=kπ，x=π/3+kπ。五、应用题1.f(x)=7x-10，生产15件产品时利润最大解析：利润函数f(x)=10x-3x-10=7x-10，f'(x)=7>0，单调递增，最大值在x=15时取得。2.速度6m/s，加速度12m/s²解析：v(t)=s'(t)=3t²-12t+9，a(t)=v'(t)=6t-12，t=2时v(2)=6，a(2)=12。3.y=2x+4，行驶3公里时车费最少解析：y=10+2(x-3)=2x+4，y在x=3时取得最小值8元。4.最高水位6米，最低水位4米解析：h(t)=sin(πt/12)+5，最高点t=6+k×24，h(6)=6；最低点t=18+k×24，h(18)=4。5.R(p)=90p-10p²，价格9元时收