2025-2026年北师大版高三数学第一章几何概型练习题

2025-2026年北师大版高三数学第一章几何概型练习题一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.在一个半径为2的圆形靶内，随机投掷一个点，则该点落在半径为1的同心圆内的概率为（）A.1/4B.1/2C.π/4D.π/2解析：设事件A为“点落在半径为1的同心圆内”，则事件A对应的区域面积为π×1²=π，整个靶对应的区域面积为π×2²=4π。根据几何概型的概率公式，P(A)=事件A对应的区域面积/整个试验对应的区域面积=π/(4π)=1/4。故选A。2.从长度分别为1、2、3、4的四条线段中随机取三条，则取出的三条线段能构成三角形的概率为（）A.1/4B.1/3C.1/2D.2/3解析：从四条线段中任取三条的组合共有C(4,3)=4种，分别为（1，2，3）、（1，2，4）、（1，3，4）、（2，3，4）。能构成三角形的组合需满足任意两边之和大于第三边，经检验只有（2，3，4）满足条件。故能构成三角形的概率为1/4。3.在边长为1的正方形内随机投掷一个点，则该点到正方形中心的距离小于1/2的概率为（）A.1/4B.1/2C.π/4D.π/2解析：正方形中心到顶点的距离为√2/2，到边中点的距离为1/2。以正方形中心为圆心，1/2为半径的圆与正方形相交，交点为正方形四边中点，形成的区域为正方形内部一个边长为√2的正方形。该正方形面积占正方形面积的1/2，故概率为1/2。4.一个袋中有5个红球和3个白球，从中随机取出两个球，则取出的两个球颜色相同的概率为（）A.3/8B.5/8C.3/10D.1/2解析：取出两个球的总取法数为C(8,2)=28种。取出两个红球的取法数为C(5,2)=10种，取出两个白球的取法数为C(3,2)=3种。故取出两个球颜色相同的概率为(10+3)/28=13/28，化简后为3/8。5.在0到1之间随机取两个实数x和y，则x²+y²≤1的概率为（）A.1/4B.1/2C.π/4D.π/2解析：试验对应的区域为边长为1的正方形，面积为1。事件A对应的区域为单位圆在第一象限的部分，面积为π/4。故概率为π/4。6.从一副扑克牌中随机抽取一张，抽到红桃或黑桃的概率为（）A.1/2B.1/4C.1/13D.12/52解析：一副扑克牌共有52张，其中红桃和黑桃各有13张，故抽到红桃或黑桃的概率为(13+13)/52=1/2。7.在一个不透明的袋中有4个大小相同的球，分别标有数字1、2、3、4，从中随机摸出一个球，放回后再摸出一个球，则两次摸到的数字之和为奇数的概率为（）A.1/4B.1/2C.1/3D.2/3解析：所有可能的摸球结果共有4×4=16种。两次摸到的数字之和为奇数的情况有（1，2）、（1，4）、（2，1）、（2，3）、（3，2）、（3，4）、（4，1）、（4，3），共8种。故概率为8/16=1/2。8.在一个半径为R的圆形靶内，随机投掷一个点，则该点落在靶内任意给定区域A的概率等于区域A的面积与整个靶的面积之比，这个结论成立的条件是（）A.区域A必须是一个圆B.区域A必须是一个正方形C.区域A的边界必须与圆的边界相切D.区域A的面积必须大于圆的面积解析：几何概型的要求是试验对应的区域是可测量的，且每个基本事件发生的可能性相等。圆形靶内任意给定区域A的面积与整个靶的面积之比即为所求概率，与区域A的形状无关。故选D。9.从长度分别为1、2、3、4、5的五条线段中随机取三条，则取出的三条线段能构成等腰三角形的概率为（）A.1/10B.3/10C.1/5D.2/5解析：从五条线段中任取三条的组合共有C(5,3)=10种。能构成等腰三角形的组合有（1，1，2）、（2，2，3）、（3，3，4）、（4，4，5），共4种。故概率为4/10=2/5。10.在一个边长为2的正方形内随机投掷一个点，则该点到正方形一边的距离大于1的概率为（）A.1/4B.1/2C.1/3D.3/4解析：正方形一边的距离大于1的点位于正方形外部，形成的区域为以正方形边为底，高为1的两个长方形，总面积为2×1=2。正方形面积为4，故概率为2/4=1/2。二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.在一个不透明的袋中有5个红球和3个白球，从中随机取出两个球，则取出的两个球颜色不同的概率为______。参考答案：5/12解析：取出两个球的总取法数为C(8,2)=28种。取出两个球颜色不同的取法数为C(5,1)×C(3,1)=15种。故概率为15/28，化简后为5/12。2.从长度分别为1、2、3、4的四条线段中随机取三条，则取出的三条线段能构成直角三角形的概率为______。参考答案：1/4解析：从四条线段中任取三条的组合共有C(4,3)=4种。能构成直角三角形的组合只有（3，4，5），但本例中无5的线段，故无满足条件的组合。实际应为（1，1，√2），但√2不在选项中，故该题无解。3.在一个半径为2的圆形靶内，随机投掷一个点，则该点落在半径为1的同心圆外的概率为______。参考答案：3/4解析：事件A为“点落在半径为1的同心圆外”，则P(A)=1-P(点落在半径为1的同心圆内)=1-1/4=3/4。4.从一副扑克牌中随机抽取一张，抽到红桃或黑桃或方块的概率为______。参考答案：3/4解析：一副扑克牌共有52张，其中红桃、黑桃、方块各有13张，故抽到红桃或黑桃或方块的概率为(13+13+13)/52=3/4。5.在一个边长为2的正方形内随机投掷一个点，则该点到正方形两对角线的距离都小于1的概率为______。参考答案：3/4解析：正方形两对角线的交点为正方形中心，以中心为圆心，1为半径的圆与正方形相交，交点为正方形四边中点，形成的区域为正方形内部一个边长为√2的正方形。该正方形面积占正方形面积的1/2，故概率为1/2。6.从长度分别为1、2、3、4、5的五条线段中随机取三条，则取出的三条线段能构成钝角三角形的概率为______。参考答案：1/2解析：从五条线段中任取三条的组合共有C(5,3)=10种。能构成钝角三角形的组合有（1，2，3）、（1，2，4）、（1，2，5）、（1，3，4）、（1，3，5）、（1，4，5）、（2，3，4）、（2，3，5）、（2，4，5）、（3，4，5），共9种。故概率为9/10。7.在一个半径为R的圆形靶内，随机投掷一个点，则该点落在靶内任意给定区域A的概率等于区域A的面积与整个靶的面积之比，这个结论成立的条件是______。参考答案：区域A的面积必须大于0解析：几何概型的要求是试验对应的区域是可测量的，且每个基本事件发生的可能性相等。区域A的面积必须大于0，否则概率无意义。8.从一副扑克牌中随机抽取一张，抽到红桃或黑桃或方块或草花的概率为______。参考答案：1解析：一副扑克牌共有52张，其中红桃、黑桃、方块、草花各有13张，故抽到红桃或黑桃或方块或草花的概率为(13+13+13+13)/52=1。9.在一个边长为2的正方形内随机投掷一个点，则该点到正方形一边的距离小于1的概率为______。参考答案：3/4解析：正方形一边的距离小于1的点位于正方形内部，形成的区域为以正方形边为底，高为1的两个长方形，总面积为2×1=2。正方形面积为4，故概率为2/4=1/2。10.从长度分别为1、2、3、4、5的五条线段中随机取三条，则取出的三条线段能构成等边三角形的概率为______。参考答案：1/10解析：从五条线段中任取三条的组合共有C(5,3)=10种。能构成等边三角形的组合只有（1，1，1），但本例中只有一条1的线段，故无满足条件的组合。实际应为（2，2，2），但本例中无2的线段，故该题无解。三、判断题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.在一个不透明的袋中有4个红球和6个白球，从中随机取出两个球，则取出的两个球颜色相同的概率为1/3。参考答案：×解析：取出两个球的总取法数为C(10,2)=45种。取出两个红球的取法数为C(4,2)=6种，取出两个白球的取法数为C(6,2)=15种。故取出两个球颜色相同的概率为(6+15)/45=21/45=7/15，不等于1/3。2.从长度分别为1、2、3、4的四条线段中随机取三条，则取出的三条线段能构成三角形的概率为1/2。参考答案：√解析：从四条线段中任取三条的组合共有C(4,3)=4种。能构成三角形的组合有（1，2，3）、（1，2，4）、（1，3，4）、（2，3，4），共4种。故概率为4/4=1。3.在一个半径为2的圆形靶内，随机投掷一个点，则该点落在半径为1的同心圆内的概率为π/4。参考答案：√解析：事件A为“点落在半径为1的同心圆内”，则P(A)=事件A对应的区域面积/整个试验对应的区域面积=π×1²/(4π)=1/4。4.从一副扑克牌中随机抽取一张，抽到红桃或黑桃的概率为1/2。参考答案：√解析：一副扑克牌共有52张，其中红桃和黑桃各有13张，故抽到红桃或黑桃的概率为(13+13)/52=1/2。5.在一个边长为2的正方形内随机投掷一个点，则该点到正方形一边的距离小于1的概率为1/2。参考答案：√解析：正方形一边的距离小于1的点位于正方形内部，形成的区域为以正方形边为底，高为1的两个长方形，总面积为2×1=2。正方形面积为4，故概率为2/4=1/2。6.从长度分别为1、2、3、4、5的五条线段中随机取三条，则取出的三条线段能构成等腰三角形的概率为2/5。参考答案：√解析：从五条线段中任取三条的组合共有C(5,3)=10种。能构成等腰三角形的组合有（1，1，2）、（2，2，3）、（3，3，4）、（4，4，5），共4种。故概率为4/10=2/5。7.在一个半径为R的圆形靶内，随机投掷一个点，则该点落在靶内任意给定区域A的概率等于区域A的面积与整个靶的面积之比，这个结论成立的条件是区域A必须是一个圆。参考答案：×解析：几何概型的要求是试验对应的区域是可测量的，且每个基本事件发生的可能性相等。区域A的形状无关紧要，只要面积可测量即可。8.从一副扑克牌中随机抽取一张，抽到红桃或黑桃或方块或草花的概率为1。参考答案：√解析：一副扑克牌共有52张，其中红桃、黑桃、方块、草花各有13张，故抽到红桃或黑桃或方块或草花的概率为(13+13+13+13)/52=1。9.在一个边长为2的正方形内随机投掷一个点，则该点到正方形一边的距离大于1的概率为1/2。参考答案：×解析：正方形一边的距离大于1的点位于正方形外部，形成的区域为以正方形边为底，高为1的两个长方形，总面积为2×1=2。正方形面积为4，故概率为2/4=1/2。10.从长度分别为1、2、3、4、5的五条线段中随机取三条，则取出的三条线段能构成钝角三角形的概率为1/2。参考答案：√解析：从五条线段中任取三条的组合共有C(5,3)=10种。能构成钝角三角形的组合有（1，2，3）、（1，2，4）、（1，2，5）、（1，3，4）、（1，3，5）、（1，4，5）、（2，3，4）、（2，3，5）、（2，4，5）、（3，4，5），共9种。故概率为9/10。四、简答题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）1.在一个不透明的袋中有5个红球和3个白球，从中随机取出两个球，求取出的两个球颜色相同的概率。参考答案：5/12解析：取出两个球的总取法数为C(8,2)=28种。取出两个红球的取法数为C(5,2)=10种，取出两个白球的取法数为C(3,2)=3种。故取出两个球颜色相同的概率为(10+3)/28=13/28，化简后为5/12。2.从长度分别为1、2、3、4的四条线段中随机取三条，求取出的三条线段能构成直角三角形的概率。参考答案：无解解析：从四条线段中任取三条的组合共有C(4,3)=4种。能构成直角三角形的组合只有（3，4，5），但本例中无5的线段，故无满足条件的组合。实际应为（1，1，√2），但√2不在选项中，故该题无解。3.在一个半径为2的圆形靶内，随机投掷一个点，求该点落在半径为1的同心圆外的概率。参考答案：3/4解析：事件A为“点落在半径为1的同心圆外”，则P(A)=1-P(点落在半径为1的同心圆内)=1-1/4=3/4。4.从一副扑克牌中随机抽取一张，求抽到红桃或黑桃或方块的概率。参考答案：3/4解析：一副扑克牌共有52张，其中红桃、黑桃、方块各有13张，故抽到红桃或黑桃或方块的概率为(13+13+13)/52=3/4。5.在一个边长为2的正方形内随机投掷一个点，求该点到正方形一边的距离小于1的概率。参考答案：1/2解析：正方形一边的距离小于1的点位于正方形内部，形成的区域为以正方形边为底，高为1的两个长方形，总面积为2×1=2。正方形面积为4，故概率为2/4=1/2。6.从长度分别为1、2、3、4、5的五条线段中随机取三条，求取出的三条线段能构成等腰三角形的概率。参考答案：2/5解析：从五条线段中任取三条的组合共有C(5,3)=10种。能构成等腰三角形的组合有（1，1，2）、（2，2，3）、（3，3，4）、（4，4，5），共4种。故概率为4/10=2/5。7.在一个半径为R的圆形靶内，随机投掷一个点，求该点落在靶内任意给定区域A的概率等于区域A的面积与整个靶的面积之比，这个结论成立的条件。参考答案：区域A的面积必须大于0解析：几何概型的要求是试验对应的区域是可测量的，且每个基本事件发生的可能性相等。区域A的面积必须大于0，否则概率无意义。8.从一副扑克牌中随机抽取一张，求抽到红桃或黑桃或方块或草花的概率。参考答案：1解析：一副扑克牌共有52张，其中红桃、黑桃、方块、草花各有13张，故抽到红桃或黑桃或方块或草花的概率为(13+13+13+13)/52=1。五、应用题（本大题共8小题，每小题4分，共24分）1.在一个不透明的袋中有4个红球和6个白球，从中随机取出两个球，求取出的两个球颜色不同的概率。参考答案：5/12解析：取出两个球的总取法数为C(10,2)=45种。取出两个球颜色不同的取法数为C(4,1)×C(6,1)=24种。故概率为24/45=8/15。2.从长度分别为1、2、3、4的四条线段中随机取三条，求取出的三条线段能构成三角形的概率。参考答案：1解析：从四条线段中任取三条的组合共有C(4,3)=4种。能构成三角形的组合有（1，2，3）、（1，2，4）、（1，3，4）、（2，3，4），共4种。故概率为4/4=1。3.在一个半径为2的圆形靶内，随机投掷一个点，求该点落在半径为1的同心圆内的概率。参考答案：1/4解析：事件A为“点落在半径为1的同心圆内”，则P(A)=事件A对应的区域面积/整个试验对应的区域面积=π×1²/(4π)=1/4。4.从一副扑克牌中随机抽取一张，求抽到红桃或黑桃的概率。参考答案：1/2解析：一副扑克牌共有52张，其中红桃和黑桃各有13张，故抽到红桃或黑桃的概率为(13+13)/52=1/2。5.在一个边长为2的正方形内随机投掷一个点，求该点到正方形一边的距离大于1的概率。参考答案：1/2解析：正方形一边的距离大于1的点位于正方形外部，形成的区域为以正方形边为底，高为1的两个长方形，总面积为2×1=2。正方形面积为4，故概率为2/4=1/2。6.从长度分别为1、2、3、4、5的五条线段中随机取三条，求取出的三条线段能构成等边三角形的概率。参考答案：无解解析：从五条线段中任取三条的组合共有C(5,3)=10种。能构成等边三角形的组合只有（1，1，1），但本例中只有一条1的线段，故无满足条件的组合。实际应为（2，2，2），但本例中无2的线段，故该题无解。7.在一个半径为R的圆形靶内，随机投掷一个点，求该点落在靶内任意给定区域A的概率等于区域A的面积与整个靶的面积之比，这个结论成立的条件。参考答案：区域A的面积必须大于0解析：几何概型的要求是试验对应的区域是可测量的，且每个基本事件发生的可能性相等。区域A的面积必须大于0，否则概率无意义。8.从一副扑克牌中随机抽取一张，求抽到红桃或黑桃或方块或草花的概率。参考答案：1解析：一副扑克牌共有52张，其中红桃、黑桃、方块、草花各有13张，故抽到红桃或黑桃或方块或草花的概率为(13+13+13+13)/52=1。六、标准答案及解析一、单项选择题1.A2.C3.B4.B5.C6.A7.B8.D9.D10.B解析：2.半径为1的同心圆面积占整个靶的1/4，故概率为1/4。3.能构成三角形的组合只有（2，3，4），概率为1/4。4.正方形内部一个边长为√2的正方形面积占正方形面积的1/2，故概率为1/2。5.取出两个球颜色相同的取法数为C(5,2)+C(3,2)=10+3=13种，概率为13/28=3/8。6.单位圆在第一象限的面积为π/4，故概率为π/4。7.红桃和黑桃各有13张，概率为26/52=1/2。8.两次摸到的数字之和为奇数的情况有（1，2）、（1，4）、（2，1）、（2，3）、（3，2）、（3，4）、（4，1）、（4，3），共8种，概率为8/16=1/2。9.区域A的面积必须大于0，否则概率无意义。10.能构成等腰三角形的组合有（1，1，2）、（2，2，3）、（3，3，4）、（4，4，5），概率为4/10=2/5。11.正方形一边的距离大于1的点位于正方形外部，形成的区域为以正方形边为底，高为1的两个长方形，总面积为2×1=2。正方形面积为4，故概率为2/4=1/2。二、填空题1.5/1212.无解13.3/414.3/415.1/216.1/217.区域A的面积必须大于018.119.1/220.无解解析：2.取出两个球颜色不同的取法数为C(5,1)×C(3,1)=15种，概率为15/28=5/12。3.从四条线段中任取三条的组合共有C(4,3)=4种。能构成直角三角形的组合只有（3，4，5），但本例中无5的线段，故无满足条件的组合。实际应为（1，1，√2），但√2不在选项中，故该题无解。4.事件A为“点落在半径为1的同心圆内”，则P(A)=事件A对应的区域面积/整个试验对应的区域面积=π×1²/(4π)=1/4。5.一副扑克牌共有52张，其中红桃、黑桃、方块各有13张，故抽到红桃或黑桃或方块的概率为(13+13+13)/52=3/4。6.正方形内部一个边长为√2的正方形面积占正方形面积的1/2，故概率为1/2。7.从五条线段中任取三条的组合共有C(5,3)=10种。能构成钝角三角形的组合有（1，2，3）、（1，2，4）、（1，2，5）、（1，3，4）、（1，3，5）、（1，4，5）、（2，3，4）、（2，3，5）、（2，4，5）、（3，4，5），共9种。故概率为9/10。8.几何概型的要求是试验对应的区域是可测量的，且每个基本事件发生的可能性相等。区域A的面积必须大于0，否则概率无意义。9.一副扑克牌共有52张，其中红桃、黑桃、方块、草花各有13张，故抽到红桃或黑桃或方块或草花的概率为(13+13+13+13)/52=1。10.正方形一边的距离小于1的点位于正方形内部，形成的区域为以正方形边为底，高为1的两个长方形，总面积为2×1=2。正方形面积为4，故概率为2/4=1/2。11.从五条线段中任取三条的组合共有C(5,3)=10种。能构成等边三角形的组合只有（1，1，1），但本例中只有一条1的线段，故无满足条件的组合。实际应为（2，2，2），但本例中无2的线段，故该题无解。三、判断题1.×22.√23.√24.√25.√26.√27.×28.√29.×30.√解析：2.取出两个球颜色相同的概率为(6+15)/45=21/45=7/15，不等于1/3。3.从四条线段中任取三条的组合共有C(4,3)=4种。能构成三角形的组合有（1，2，3）、（1，2，4）、（1，3，4）、（2，3，4），共4种。故概率为4/4=1。4.事件A为“点落在半径为1的同心圆内”，则P(A)=事件A对应的区域面积/整个试验对应的区域面积=π×1²/(4π)=1/4。5.一副扑克牌共有52张，其中红桃和黑桃各有13张，故抽到红桃或黑桃的概率为(13+13)/52=1/2。6.正方形一边的距离小于1的点位于正方形内部，形成的区域为以正方形边为底，高为1的两个长方形，总面积为2×1=2。正方形面积为4，故概率为2/4=1/2。7.从五条线段中任取三条的组合共有C(5,3)=10种。能构成等腰三角形的组合有（1，1，2）、（2，2，3）、（3，3，4）、（4，4，5），共4种。故概率为4/10=2/5。8.几何概型的要求是试验对应的区域是可测量的，且每个基本事件发生的可能性相等。区域A的形状无关紧要，只要面积可测量即可。9.一副扑克牌共有52张，其中红桃、黑桃、方块、草花各有13张，故抽到红桃或黑桃或方块或草花的概率为(13+13+13+13)/52=1。10.正方形一边的距离大于1的点位于正方形外部，形成的区域为以正方形边为底，高为1的两个长方形，总面积为2×1=2。正方形面积为4，故概率为2/4=1/2。11.从五条线段中任取三条的组合共有C(5,3)=10种。能构成钝角三角形的组合有（1，2，3）、（1，2，4）、（1，2，5）、（1，3，4）、（1，3，5）、（1，4，5）、（2，3，4）、（2，3，5）、（2，4，5）、（3，4，5），共9种。故概率为9/10。四、简答题1.取出两个球颜色相同的概率为5/12。解析：取出两个球的总取法数为C(8,2)=28种。取出两个红球的取法数为C(5,2)=10种，取出两个白球的取法数为C(3,2)=3种。故取出两个球颜色相同的概率为(10+3)/28=13/28，化简后为5/12。2.无解。解析：从四条线段中任取三条的组合共有C(4,3)=4种。能构成直角三角形的组合只有（3，4，5），但本例中无5的线段，故无满足条件的组合。实际应为（1，1，√2），但√2不在选项中，故该题无解。3.该点落在半径为1的同心圆外的概率为3/4。解析：事件A为“点落在半径为1的同心圆外”，则P(A)=1-P(点落在半径为1的同心圆内)=1-1/4=3/4。4.抽到红桃或黑桃或方块的概率为3/4。解析：一副扑克牌共有52张，其中红桃、黑桃、方块各有13张，故抽到红桃或黑桃或方块的概率为(13+13+13)/52=3/4。5.该点到正方形一边的距离小于1的概率为1/2。解析：正方形一边的距离小于1的点位于正方形内部，形成的区域为以正方形边为底，高为1的两个长方形，总面积为2×1=2。正方形面积为4，故概率为2/4=1/2。6.取出的三条线段能构成等腰三角形的概率为2/5。解析：从五条线段中任取三条的组合共有C(5,3)=10