2025-2026年四川省人教版高二数学第九十五章数列与函数综合练习题

2025-2026年四川省人教版高二数学第九十五章数列与函数综合练习题一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.在等差数列{a_n}中，已知a_1=3，a_5=9，则该数列的通项公式a_n等于（）A.6n-3B.3n+2C.2n+1D.4n-1解析：由等差数列通项公式a_n=a_1+(n-1)d，代入a_1=3，a_5=9可得9=3+4d，解得d=3/2，故a_n=3+(n-1)×3/2=3/2n+3/2。选项A正确。2.已知数列{b_n}的前n项和S_n=2^n-1，则b_4的值为（）A.8B.16C.32D.63解析：由数列前n项和与通项关系b_n=S_n-S_{n-1}（n≥2），当n=1时b_1=S_1=1，当n≥2时b_n=2^n-1-(2^{n-1}-1)=2^n-2^n-1=2^n-1，故b_4=2^4-1=15。选项D正确。3.函数f(x)=log_2(x+1)在区间[-1,2]上的最大值与最小值之差为（）A.1B.2C.3D.4解析：函数f(x)=log_2(x+1)在[-1,2]上单调递增，故最大值f(2)=log_2(3)，最小值f(-1)=log_2(0)不存在，但定义域为(-1,2]，实际最小值趋近于负无穷。题目表述需修正为"在(-1,2]上的最大值与极限最小值之差"，此时差值等于log_2(3)-0=log_2(3)。4.若函数g(x)=x^2-2ax+3在x=1处取得最小值，则a的值为（）A.1B.2C.3D.4解析：函数g(x)为二次函数，其顶点横坐标x=a/2，由题意x=1=a/2，解得a=2。选项B正确。5.已知数列{c_n}满足c_1=1，c_{n+1}=c_n+2n，则c_6的值为（）A.21B.22C.23D.24解析：由递推关系c_{n+1}=c_n+2n，可得c_2=c_1+2×1=3，c_3=c_2+2×2=7，c_4=c_3+2×3=13，c_5=c_4+2×4=21，c_6=c_5+2×5=26。选项无正确答案，需修正题目。6.函数h(x)=|x-1|+|x+2|的最小值为（）A.1B.2C.3D.4解析：函数h(x)分段为：x<-2时h(x)=-2x-1；-2≤x≤1时h(x)=3；x>1时h(x)=2x+1。显然最小值为3，当-2≤x≤1时取得。选项C正确。7.已知等比数列{d_n}中，d_2=6，d_4=54，则该数列的公比q等于（）A.3B.4C.5D.6解析：由等比数列通项公式d_n=d_1q^{n-1}，代入d_2=d_1q=6，d_4=d_1q^3=54，联立解得q=3。选项A正确。8.函数f(x)=sin(2x)+cos(2x)的最小正周期为（）A.π/2B.πC.2πD.4π解析：函数f(x)=√2sin(2x+π/4)，其周期T=2π/ω=2π/2=π。选项B正确。9.已知数列{e_n}的前n项和S_n=n^2+n，则e_3的值为（）A.9B.10C.11D.12解析：由数列前n项和与通项关系e_n=S_n-S_{n-1}（n≥2），当n=1时e_1=S_1=2，当n≥2时e_n=n^2+n-(n-1)^2-(n-1)=2n，故e_3=2×3=6。选项无正确答案，需修正题目。10.函数F(x)=x^3-3x在区间[-2,2]上的零点个数为（）A.1B.2C.3D.4解析：令F(x)=0得x(x^2-3)=0，解得x=0或x=±√3。由于√3约等于1.732，故零点为x=-√3，x=0，x=√3，共3个。选项C正确。二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.若等差数列{a_n}中，a_5+a_7=18，则4a_6等于________。解：由等差数列性质a_5+a_7=2a_6，故2a_6=18，解得a_6=9，因此4a_6=36。2.数列{b_n}的前n项和S_n=3^n-1，则b_5等于________。解：b_n=S_n-S_{n-1}=3^n-1-(3^{n-1}-1)=2×3^{n-1}，故b_5=2×3^4=162。3.函数f(x)=2cos(2x-π/3)的最大值为________。解：函数f(x)振幅为2，故最大值为2。4.已知函数g(x)=x^2-4x+3，则其顶点坐标为________。解：函数顶点横坐标x=-b/2a=-(-4)/2=2，纵坐标g(2)=2^2-4×2+3=-1，故顶点为(2,-1)。5.若等比数列{c_n}中，c_1=2，c_3=16，则公比q等于________。解：由等比数列性质c_3=c_1q^2，16=2q^2，解得q=±2√2。6.函数h(x)=|x-1|在区间[0,3]上的最小值为________。解：函数h(x)在[0,1]上单调递减，在[1,3]上单调递增，故最小值为0。7.已知函数f(x)=sin(x+π/4)，则其周期T等于________。解：函数周期T=2π/ω=2π/1=2π。8.数列{e_n}的前n项和S_n=2n^2+n，则e_4等于________。解：e_n=S_n-S_{n-1}=2n^2+n-[2(n-1)^2+(n-1)]=4n-1，故e_4=4×4-1=15。9.函数F(x)=x^3-x在x=1处的导数f'(1)等于________。解：f'(x)=3x^2-1，f'(1)=3×1^2-1=2。10.函数g(x)=log_3(x+2)的定义域为________。解：由x+2>0得x>-2，故定义域为(-2,∞)。三、判断题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.若数列{a_n}是等差数列，则S_n=n(a_1+a_n)/2恒成立。（√）解：等差数列前n项和公式S_n=n(a_1+a_n)/2，该性质成立。2.函数f(x)=cos(2x)的最小正周期为π。（√）解：函数周期T=2π/ω=2π/2=π，该性质成立。3.若数列{b_n}的前n项和S_n=n^2，则b_n=2n-1。（×）解：当n=1时b_1=S_1=1，当n≥2时b_n=S_n-S_{n-1}=n^2-(n-1)^2=2n-1，但b_1=1≠1，故该性质不成立。4.函数g(x)=|x|在区间[-1,1]上的最大值为1。（√）解：函数g(x)在[-1,1]上单调递增，最大值为1，该性质成立。5.若等比数列{c_n}的公比q>1，则数列单调递增。（×）解：等比数列单调性取决于首项正负，如c_n=-2×3^{n-1}单调递减，故该性质不成立。6.函数f(x)=sin(x)是奇函数。（√）解：sin(-x)=-sin(x)，满足奇函数定义，该性质成立。7.数列{a_n}是等差数列的充要条件是存在常数d使a_{n+1}-a_n=d对所有n成立。（√）解：等差数列定义即为a_{n+1}-a_n=d，该性质成立。8.函数g(x)=log_2(x)在区间[1,2]上的值域为[0,1]。（√）解：g(1)=0，g(2)=1，函数单调递增，值域为[0,1]，该性质成立。9.若数列{b_n}是等比数列，则S_n=a_1(q^n-1)/(q-1)恒成立。（×）解：当q=1时公式不适用，该性质不成立。10.函数F(x)=x^3在x=0处取得极值。（×）解：F'(x)=3x^2，F'(0)=0，但x=0是拐点而非极值点，该性质不成立。四、简答题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）1.求等差数列{a_n}中，若a_3=7，a_5=13，求该数列的通项公式a_n。解：由a_5=a_3+2d，13=7+2d，解得d=3，故a_n=a_3+(n-3)d=7+3(n-3)=3n-2。2.已知数列{b_n}的前n项和S_n=2^n-1，求b_4+b_5+b_6的值。解：b_4+b_5+b_6=S_6-S_3=2^6-1-(2^3-1)=63-7=56。3.求函数f(x)=2sin(2x+π/4)的最小正周期。解：函数周期T=2π/ω=2π/2=π。4.求函数g(x)=x^2-4x+5的最小值及取得最小值时的x值。解：函数顶点横坐标x=-b/2a=-(-4)/2=2，纵坐标g(2)=2^2-4×2+5=1，故最小值为1，取得最小值时x=2。5.若等比数列{c_n}中，c_1=3，c_4=81，求公比q。解：由c_4=c_1q^3，81=3q^3，解得q=3。6.求函数h(x)=|x-2|在区间[1,3]上的值域。解：函数在[1,2]上单调递减，在[2,3]上单调递增，故值域为[0,1]。7.求函数F(x)=sin(x)+cos(x)的最大值。解：函数F(x)=√2sin(x+π/4)，最大值为√2。8.已知数列{e_n}的前n项和S_n=n^2+n，求e_2+e_3+e_4的值。解：e_2=S_2-S_1=4-2=2，e_3=S_3-S_2=6-4=2，e_4=S_4-S_3=8-6=2，故e_2+e_3+e_4=6。五、应用题（本大题共8小题，每小题4分，共24分）1.某工厂生产一种产品，第1年产量为1000件，以后每年比前一年增产200件，求第5年的产量。解：由等差数列{a_n}中a_1=1000，d=200，a_5=a_1+4d=1000+800=1800件。2.某城市人口增长率为每年5%，若2020年人口为100万，求2025年的人口数量。解：由等比数列{b_n}中b_1=100，q=1.05，b_5=100×1.05^4≈121.55万。3.求函数f(x)=cos(2x-π/3)在区间[0,π]上的最大值与最小值。解：函数f(x)在x=π/6时取得最大值1，在x=π/2时取得最小值-1/2。4.求函数g(x)=x^2-6x+9在区间[-1,5]上的最大值与最小值。解：函数顶点为(3,0)，在[-1,3]上单调递减，在[3,5]上单调递增，故最大值为g(5)=4，最小值为g(3)=0。5.某投资项目的年利率为6%，若现在投资1000元，求5年后的本息和。解：由等比数列{a_n}中a_1=1000，q=1.06，S_5=1000×(1.06^5-1)/(1.06-1)≈1338.23元。6.求函数F(x)=sin(x)-cos(x)在区间[0,2π]上的零点个数。解：令sin(x)-cos(x)=0得tan(x)=1，解得x=π/4,5π/4，共2个零点。7.某工厂生产一种产品，成本为每件10元，售价为每件x元，需求量d与x的关系为d=1000-50x，求当x=20时的总收入。解：总收入R=x•d=20×(1000-50×20)=10000元。8.某林场树木生长呈等比数列，第1年高1米，第3年高2米，求第5年树木的高度。解：由等比数列{a_n}中a_1=1，a_3=2，q=√2，a_5=1×(√2)^4=4米。【标准答案及解析】一、单项选择题1.A2.D3.B4.B5.无正确答案（需修正）6.C7.A8.B9.无正确答案（需修正）10.C二、填空题1.362.1623.24.(2,-1)5.±2√26.07.2π8.159.210.(-2,∞)三、判断题1.√2.√3.×4.√5.×6.√7.√8.√9.×10.×四、简答题1.a_n=3n-22.b_4+b_5+b_6=563.T=π4.最小值1，x=25.q=36.值域[0,1]7.最大值√28.e_2+e_3+e_4=6五、应用题1.1800件2.121.55万3.最大值1，最小值-1/24.最大值4，最小值05.1338.23元6.2个零点7.10000元8.4米【解析】一、单项选择题1.解析见题干2.解析见题干3.解析见题干4.解析见题干5.解析见题干6.解析见题干7.解析见题干8.解析见题干9.解析见题干10.解析见题干二、填空题1.解析见题干2.解析见题干3.解析见题干4.解析见题干5.解析见题干6.解析见题干7.解析