第2课时　反比例函数图象和性质的综合运用

第2课时反比例函数图象和性质的综合运用教师备课素材示例●复习导入反比例函数y＝eq\f(k,x)的图象是__双曲线__．(1)当k>0时，图象的两支分别位于__第一、第三__象限，在每一个象限内，y随x的增大而__减小__．(2)当k<0时，图象的两支分别位于__第二、第四__象限，在每一个象限内，y随x的增大而__增大__．【教学与建议】教学：通过对反比例函数的图象与性质的回顾，为本课更深入探讨反比例函数的性质及综合应用奠定基础．建议：提问为什么要强调“在每一个象限内”讨论函数图象的增减．●类比导入填表分析正比例函数和反比例函数的区别．函数正比例函数反比例函数解析式y＝kx(k≠0)y＝eq\f(k,x)(k≠0)图象形状直线双曲线k>0位置第一、三象限第一、三象限增减性每个象限内，y随x的增大而增大每个象限内，y随x的增大而减小k<0位置第二、四象限第二、四象限增减性每个象限内，y随x的增大而减小每个象限内，y随x的增大而增大【教学与建议】教学：类比导入，为本课时探究综合应用反比例函数的图象和性质奠定基础．建议：分小组讨论后再填表．命题角度1反比例函数的图象及性质反比例函数y＝eq\f(k,x)(k为常数，k≠0)的图象上任取一点(x1，y1)，则k＝x1y1.【例1】已知反比例函数y＝eq\f(k,x)经过点(2，－2)和(m，1)，则m的值是(C)A．2B．1C．－4D．4【例2】已知点P(3，－2)在反比例函数y＝eq\f(k,x)(k≠0)的图象上，则k＝__－6__；在第四象限内，函数值y随x的增大而__增大__．命题角度2考查反比例函数的比例系数k的几何意义由双曲线y＝eq\f(k,x)上的任意一点向两坐标轴引垂线，所构成的矩形的面积为定值|k|，这一点与一个垂足及原点所确定的三角形的面积为定值eq\f(1,2)|k|.【例3】如图，点B在反比例函数y＝eq\f(2,x)(x>0)的图象上，过点B分别向x轴、y轴作垂线，垂足分别为A，C，则△OAB的面积为(A)A．1B．2C．3D．4【例4】如图，根据图象写出反比例函数的解析式为__y＝－eq\f(2,x)__．命题角度3反比例函数与几何图形的综合反比例函数与几何图形的综合，解题的方法是综合利用函数、方程、几何性质进行解题．【例5】如图，在反比例函数y＝eq\f(2,x)(x>0)的图象上，有点P1，P2，P3，P4，它们的横坐标依次为1，2，3，4.分别过这些点作x轴与y轴的垂线，图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次为S1，S2，S3，则S1＋S2＋S3＝__eq\f(3,2)__．【例6】如图，点A是反比例函数y＝eq\f(k,x)(x<0)的图象上的一点，过点A作平行四边形ABCD，使点B，C在x轴上，点D在y轴上．已知平行四边形ABCD的面积为6，则k的值为__－6__．命题角度4一次函数与反比例函数的综合应用反比例函数与一次函数的综合应用，解题的关键是抓住函数图象的交点坐标与线段长度的关系，活用待定系数法求解析式，活用面积公式和图形特点，将不等式、函数、方程(组)、几何图形结合起来解决问题．【例7】如图，一次函数y1＝kx＋b(k≠0)的图象与反比例函数y2＝eq\f(m,x)(m为常数，且m≠0)的图象都经过点A(－1，2)，B(2，－1)，结合图象，则不等式kx＋b>eq\f(m,x)的解集是(C)A．x<－1B．－1<x<0C．x<－1或0<x<2D．－1<x<0或x>2【例8】如图，已知直线y1＝k1x＋b与x轴、y轴相交于P，Q两点，与y2＝eq\f(k2,x)的图象相交于A(－2，m)，B(1，n)两点，连接OA，OB.给出下列结论：①k1k2<0；②m＋eq\f(1,2)n＝0；③S△AOP＝S△BOQ；④由图象知y1>y2时，x的取值范围是x<－2或0<x<1，其中正确结论的序号是__②③④__．高效课堂教学设计1．分析实际问题中变量之间的关系建立反比例函数模型，进而解决实际问题．2．体会数学与现实生活的紧密性，体会数形结合的数学思想．3．培养学生运用代数方法解决实际问题的能力．▲重点灵活运用反比例函数性质解决问题．▲难点反比例函数的图象和性质的综合应用．◆活动1新课导入1．若点A(7，y1)，B(5，y2)在双曲线y＝－eq\f(3,x)上，则y1，y2的大小关系为__y1>y2____．2．若点(－2，y1)，(－1，y2)，(1，y3)在反比例函数y＝eq\f(k,x)(k<0)的图象上，则y1，y2，y3的大小关系为__y2>y1>y3____．3．点A(－2，a)，B(－1，b)，C(3，c)在双曲线y＝eq\f(k,x)(k>0)上，则a，b，c的大小关系为__c>a>b__．◆活动2探究新知1．教材P70例1.提出问题：(1)点A(－2，4)在第几象限？因为反比例函数的图象经过点A(－2，4)，所以这个函数图象的两支分别位于第几象限？在每一个象限内，y随x的增大而怎样变化？(2)对于第(1)问，还有其他的解答方法吗？要判断函数的性质，我们首先可以求反比例函数的解析式，求反比例函数的解析式一般用什么方法？请同学们试着用待定系数法求出这个函数的解析式，并根据该函数的图象和性质解答第(1)问．(3)我们如何判断点在不在函数的图象上？学生完成并交流展示．2．教材P71例2.提出问题：(1)反比例函数图象的分布有哪几种可能？由图可知这个函数的图象的一支位于第几象限？所以另一支必位于第几象限？怎么求常数m的取值范围？(2)要比较y1和y2的大小，可以根据反比例函数的什么来解答？因为m－5>0，所以这个函数的性质是什么？因此当x1>x2时，y1和y2有怎样的大小关系？(3)第(2)问除了课本上的解答方法，还有其他方法吗？请同学们试着用图象法或数形结合法比较y1和y2的大小．学生完成并交流展示．3．(1)如图①，点P是反比例函数图象上的一点，PA⊥x轴于点A，连接PO.若S△PAO＝8，则这个反比例函数的解析式是__y＝－eq\f(16,x)__；(2)如图②，点P是反比例函数图象上的一点，PA⊥x轴于点A，PB⊥y轴于点B，四边形PAOB的面积为12，则这个反比例函数的解析式是__y＝－eq\f(12,x)__．(3)由(1)(2)你有什么发现？学生完成并交流展示．◆活动3知识归纳已知反比例函数的图象经过点A(a，b)(其中a≠0，b≠0)，可求出这个反比例函数的解析式．解题步骤如下：(1)设这个反比例函数的解析式为__y＝eq\f(k,x)__；(2)把x＝__a__，y＝__b__代入这个反比例函数的解析式，解出__k＝ab__；(3)所求的反比例函数的解析式为__y＝eq\f(ab,x)__；(4)过点A分别作x轴、y轴的垂线，两垂线与两坐标轴围成的矩形面积S＝__|k|__．◆活动4例题与练习例1如图，一次函数y＝kx＋b的图象与反比例函数y＝eq\f(m,x)的图象相交于A，B两点．(1)根据图象，写出点A，B的坐标；(2)求出两函数的解析式；(3)根据图象回答：当x为何值时，一次函数的函数值大于反比例函数的函数值？解：(1)A(－6，－2)，B(4，3).(2)把B(4，3)代入y＝eq\f(m,x)，得3＝eq\f(m,4)，∴m＝12，∴y＝eq\f(12,x).把A(－6，－2)，B(4，3)代入y＝kx＋b，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－6k＋b＝－2，,4k＋b＝3，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(k＝\f(1,2)，,b＝1.))∴一次函数的解析式为y＝eq\f(1,2)x＋1.(3)由图象可知，当－6<x<0或x>4时，一次函数的函数值大于反比例函数的函数值．例2如图，已知反比例函数y＝eq\f(k,x)(k>0)的图象经过点A(1，m)，过点A作AB⊥y轴于点B，且△AOB的面积为1.(1)求m，k的值；(2)若一次函数y＝nx＋2(n≠0)的图象与反比例函数y＝eq\f(k,x)的图象有两个不同的公共点，求实数n的取值范围．解：(1)由已知，得S△AOB＝eq\f(1,2)×1×m＝1，解得m＝2.把A(1，2)代入y＝eq\f(k,x)，得k＝2.(2)由(1)知反比例函数的解析式是y＝eq\f(2,x)，则eq\f(2,x)＝nx＋2有两个不同的解．方程整理，得nx2＋2x－2＝0，则Δ＝4＋8n>0，解得n>－eq\f(1,2)且n≠0.练习1．教材P71练习第1，2，3题．2．反比例函数y＝eq\f(k－1,x)与正比例函数y＝2kx在同一个平面直角坐标系中的图象不可能是下列选项中的(D)eq\o(\s\up7(),\s\do5(A))eq\o(\s\up7(),\s\do5(B))eq\o(\s\up7(),\s\do5(C))eq\o(\s\up7(),\s\do5(D))3．如图，双曲线y＝eq\f(k,x)与直线y＝－eq\f(1,2)x交于A，B两点，且点A(－2，m)，则点B的坐标是(A)A．(2，－1)B．(1，－2)C．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，－1))D．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，\f(1,2)))4．如图，已知反比例函数y＝eq\f(m－7,x)的图象的一支位于第一象限．(1)判断该函数图象的另一支所在的象限，并求m的取值范围；(2)O为坐标原点，点A在该反比例函数图象位于第一象限的图象上，点B与点A关于x轴对称，若△OAB的面积为6，求m的值．解：(1)根据反比例函数的图象关于原点对称知，该函数图象的另一支在第三象限，则m－7>0，解得m>7.(2)设线段AB交x轴于点C.∵点B与点A关于x轴对称，∴AC＝BC.∵△OAB的面积为6,∴△OAC的面积为3.∴eq\f(1,2)(m－7)＝3，解得m＝13.◆活动5课堂小结1．反比例函数图象上点的坐标特征．2．反比例函数与一次函数的交点问题．3．反比例函数中系数k的几何意义．1．作业布置(1)教材P73习题27.2第4，6题；(2)对应课时练习．2．教学反思________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________综合训练一、选择题1.下列叙述正确的是()A.“如果a,b是实数,那么a+b=b+a”是不确定事件B.某种彩票的中奖率为17C.掷一枚质地均匀的硬币正面朝上是必然事件D.“某班50名同学中恰有2名同学生日是同一天”是随机事件2.下列图形中,既是轴对称图形又是中心对称图形的是()3.若关于x的一元二次方程(a-1)x2+3x-2=0有实数根,则实数a的取值范围是()A.a>-18 B.a≥-C.a>-18,且a≠1 D.a≥-18,且a4.若二次函数y=ax2+1的图象经过点(-2,0),则关于x的方程a(x-2)2+1=0的实数根为()A.x1=0,x2=4 B.x1=-2,x2=6C.x1=32,x2=52 D.x1=-4,x25.抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴为直线x=1,与x轴的一个交点坐标为(-1,0),其部分图象如图所示,下列结论:①4ac<b2;②方程ax2+bx+c=0的两个根是x1=-1,x2=3;③3a+c>0;④当y>0时,x的取值范围是-1≤x<3;⑤当x<0时,y随x的增大而增大.其中结论正确的个数是()A.4 B.3 C.2 D.16.如图,Rt△ABC的内切圆☉O与两直角边AB,BC分别相切于点D,E,过劣弧DE(不包括端点D,E)上任一点P作☉O的切线MN与AB,BC分别交于点M,N.若☉O的半径为r,则Rt△MBN的周长为()A.r B.32r C.2r D.57.如图,8×8方格纸上的两条对称轴EF,MN相交于中心点O,对△ABC分别作下列变换:①先以点A为中心顺时针方向旋转90°,再向右平移4格,向上平移4格;②先以点O为中心作中心对称图形,再以点A的对应点为中心逆时针方向旋转90°;③先以直线MN为轴作轴对称图形,再向上平移4格,再以点A的对应点为中心顺时针方向旋转90°.其中,能将△ABC变换后与△PQR重合的是()A.①② B.①③ C.②③ D.①②③8.已知圆上一段弧长为5πcm,它所对的圆心角为100°,则该圆的半径为()A.6cm B.9cm C.12cm D.18cm9.如图,四边形ABCD内接于☉O,连接BD.若AC=BC,∠BDC=50°,则∠ADC的度数是(A.125° B.130°C.135° D.140°10.在平面直角坐标系中,把一条抛物线先向上平移3个单位长度,然后绕原点旋转180°得到抛物线y=x2+5x+6,则原抛物线的解析式为()A.y=-x-522−C.y=-x-522−11.如图,随机闭合开关K1,K2,K3中的两个,则能让两盏灯泡同时发光的概率为()A.16 B.13 C.12 12.某校校园内有一个大正方形花坛,如图甲所示,由四个边长均为3m的小正方形组成,且每个小正方形的种植方案相同.其中的一个小正方形ABCD如图乙所示,DG=1m,AE=AF=xm,在五边形EFBCG区域上种植花卉,则大正方形花坛种植花卉的面积y与x的函数图象大致是()二、填空题13.请写出符合条件:一个根为x=1,另一个根满足-1<x<1的一元二次方程.

14.抛物线y=-2(x+5)2-3的对称轴是直线.

15.两个全等的三角尺重叠摆放在△ACB的位置,将其中一个三角尺绕着点C按逆时针方向旋转到△DCE的位置,使点A恰好落在边DE上,AB与CE相交于点F.已知∠ACB=∠DCE=90°,∠B=30°,AB=8cm,则CF=cm.

16.在-3,-2,1,2,3五个数中随机选取一个数作为二次函数y=ax2+4x-2中a的值,则该二次函数图象开口向上的概率是.

17.如图,在矩形ABCD中,AB=8,AD=12,过A,D两点的☉O与BC边相切于点E,则☉O的半径为.

18.如图,圆心角都是90°的扇形OAB与扇形OCD叠放在一起,若OA=3,OC=1,分别连接AC,BD,则图中阴影部分的面积为.

三、解答题19.某小区为了促进生活垃圾的分类处理,将生活垃圾分为:可回收物、厨余垃圾、其他垃圾三类,分别记为A,B,C,并且设置了相应的垃圾箱,依次记为a,b,c.(1)若将三类垃圾随机投入三个垃圾箱,请你用画树状图的方法求垃圾投放正确的概率;(2)为了调查小区垃圾分类投放情况,现随机抽取了该小区三类垃圾箱中总重500kg的生活垃圾,数据如下(单位:kg):种类abcA401510B6025040C151555试估计“厨余垃圾”投放正确的概率.20.如图,已知△OAB的顶点A(-6,0),B(0,2),O是坐标原点,将△OAB绕点O按顺时针旋转90°,得到△ODC.(1)写出C,D两点的坐标;(2)求过A,D,C三点的抛物线的解析式,并求此抛物线顶点E的坐标;(3)求证:AB⊥BE.21.(1)根据要求,解答下列问题:①方程x2-2x+1=0的解为;

②方程x2-3x+2=0的解为;

③方程x2-4x+3=0的解为;

……(2)根据以上方程特征及其解的特征,请猜想:①方程x2-9x+8=0的解为;

②关于x的方程的解为x1=1,x2=n.

(3)请用配方法解方程x2-9x+8=0,并验证猜想结论的正确性.22.如图,在平面直角坐标系xOy中,把矩形COAB绕点C顺时针旋转α角,得到矩形CFED.设FC与AB交于点H,且A(0,4),C(6,0).(1)当α=60°时,△CBD的形状是;

(2)当AH=HC时,求直线FC的解析式.23.如图,已知AB是☉O的直径,点C,D在☉O上,点E在☉O外,∠EAC=∠D=60°.(1)求∠ABC的度数;(2)求证:AE是☉O的切线;(3)当BC=4时,求劣弧AC的长.24.已知点M是二次函数y=ax2(a>0)图象上的一点,点F的坐标为0,14a,直角坐标系中的坐标原点O与点M,F在同一个圆上,圆心(1)求a的值;(2)当O,Q,M三点在同一条直线上时,求点M和点Q的坐标;(3)当点M在第一象限时,过点M作MN⊥x轴,垂足为N.求证:MF=MN+OF.25.如图,☉O的弦AD∥BC,过点D的切线交BC的延长线于点E,AC∥DE,AC交BD于点H,DO及延长线分别交AC,BC于点G,F.(1)求证:DF垂直且平分AC;(2)求证:FC=CE;(3)若弦AD=5cm,AC=8cm,求☉O的半径.

综合训练一、选择题1.D2.A3.D4.A5.B6.C连接OD,OE(图略),因为☉O是Rt△ABC的内切圆,所以OD⊥AB,OE⊥BC.又因为MD,MP都是☉O的切线,且D,P是切点,所以MD=MP,同理可得NP=NE.故CRt△MBN=MB+BN+NM=MB+BN+NP+PM=MB+MD+BN+NE=BD+BE=2r.7.D①②③三种变换都能将△ABC变换后与△PQR重合.8.B根据弧长公式l=nπR1809.B10.A抛物线y=x2+5x+6=x+522−14,顶点坐标为-52,-14,将其绕原点旋转180°后,顶点坐标变为52,14,开口方向向下,抛物线的形状没有发生变化11.B随机闭合开关K1,K2,K3中的两个有3种可能结果,分别为K1,K2;K1,K3;K2,K3.其中,能让两盏灯泡同时发光的结果有1种,所以所求概率为1312.AS△AEF=12AE·AF=12x2,S△DEG=12DG·DE=12×1×(3-x)=3-x2,S五边形EFBCG=S正方形ABCD-S△AEF-S△DEG=9-12x2-3-x2=-12x2+12x+152,则∵0<AE<AD,∴0<x<3,综上可得y=-2x2+2x+30(0<x<3).二、填空题13.x2-x=0(答案不唯一)14.x=-515.23因为AC=DC,∠D=60°,∠B=30°,所以△ADC是等边三角形,∠ACF=30°.因为∠B=30°,AB=8,所以∠CAF=60°,AC=4,进而可求CF=23cm.16.317.254如图,连接EO并延长交AD于点H,连接∵四边形ABCD是矩形,☉O与BC边相切于点E,∴EH⊥BC,∴EH⊥AD.∴根据垂径定理,得AH=DH.∵AB=8,AD=12,∴AH=6,HE=8.设☉O的半径为r,则AO=r,OH=8-r.在Rt△OAH中,由勾股定理,得(8-r)2+62=r2,解得r=254∴☉O的半径为25418.2π△AOC绕点O顺时针旋转90°得到△BOD,所以△AOC≌△BOD,图中阴影部分的面积为14π(OA2-OC2)=14π(32-12)=2三、解答题19.解(1)画树状图如下:所以垃圾投放正确的概率是39(2)由题表可估计“厨余垃圾”投放正确的概率为25060+250+4020.(1)解C(2,0),D(0,6).(2)解由于抛物线过点D(0,6),所以可设抛物线解析式为y=ax2+bx+6(a≠0),由题意可得36解得a所以抛物线解析式为y=-12x2-2x+6由y=-12x2-2x+6=-12(x+2)2知抛物线顶点E的坐标为(-2,8).(3)证明(方法一)过点E作EM⊥y轴,垂足为M(图略),易得OA=BM=6,OB=EM=2,又因为∠EMB=∠AOB=90°,所以△ABO≌△BEM.所以∠BAO=∠MBE.所以∠ABE=90°,即AB⊥BE.(方法二)连接AE(图略).根据勾股定理,得AB2=62+22=40,EB2=22+62=40,AE2=42+82=80,所以AE2=AB2+EB2,所以△ABE是直角三角形,AB⊥BE.21.解(1)①(x-1)2=0,解得x1=x2=1,即方程x2-2x+1=0的解为x1=x2=1;②(x-1)(x-2)=0,解得x1=1,x2=2,即方程x2-3x+2=0的解为x1=1,x2=2;③(x-1)(x-3)=0,解得x1=1,x2=3,即方程x2-4x+3=0的解为x1=1,x2=3.(2)①方程x2