29.1.2　过三点的圆教案

29.1.2过三点的圆教师备课素材示例●情境导入展示破损圆形镜子图片，提问：“家里的圆形镜子摔碎了，只留下一块带圆弧的碎片，想配一块和原来一样大的新镜子，该怎么确定圆心和半径呢？”引导思考：要画一个和原镜子一样的圆，关键是找到圆心和半径，而镜子的圆弧上有无数个点，能不能通过这些点来确定圆？【教学与建议】教学：用生活中的“圆镜修复”创设悬念，让学生感受数学与生活的联系，激发探究欲．建议：可让学生先大胆猜想“需要几个点才能确定一个圆”，带着猜想进入新课学习．●探究导入探究1：过一个点作圆问题1：经过一个点A，能作圆吗？能作多少个？学生活动：用圆规在草稿纸上尝试作图，小组讨论．引导归纳：画圆需要确定圆心和半径，以点A外任意一点为圆心，以该点到A的距离为半径，就能画圆．初步结论：经过一个点能作无数个圆．探究2：过两个点作圆问题2：经过两个点A，B，能作圆吗？圆心有什么特点？学生活动：回忆“到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上”，尝试作线段AB的垂直平分线，在平分线上取点作圆．引导归纳：经过A，B的圆，圆心到A，B的距离相等，所以圆心在线段AB的垂直平分线上．初步结论：经过两个点能作无数个圆，圆心都在线段AB的垂直平分线上．探究3：过三个点作圆问题3：经过三个点A，B，C(不在同一直线上)，能作圆吗？怎么确定圆心？学生活动：思考圆心需同时到A，B，C三点的距离相等，既要在AB的垂直平分线上，又要在BC的垂直平分线上．初步猜想：两条垂直平分线的交点就是圆心，这样的圆有且只有一个．【教学与建议】教学：以旧知为起点，通过“反向思考”层层设问，让学生经历“观察—猜想—归纳”的过程，自然过渡到新课，符合知识迁移规律．建议：让学生先在草稿纸上简单画一画“过1个点、2个点的圆”，直观感受“无数个圆”的特点；对于“过三点作圆”，可先让学生大胆猜想，再通过作图验证，培养逻辑推理能力．命题角度1不在同一直线上的三个点确定一个圆题型主要有两种，一是已知不在同一直线上的三点绘制一个圆；二是已知三角形求它的外接圆半径．【例1】小明不慎把家里的圆形镜子打碎了(如图)，其中四块碎片如图所示，为了配到与原来大小一样的圆形镜子，小明带到商店去的碎片应该是(A)A．①B．②C．③D．④命题角度2三角形的外接圆与外心根据三角形外接圆的定义确定三角形的外心，利用外心是三角形三边垂直平分线的交点解决线段、角度相等问题．【例2】(1)如图所示的正方形网格中，A，B，C三点均在格点上，那么△ABC的外接圆圆心是(C)A．点EB．点FC．点GD．点H(2)如图，⊙O的半径为5，△ABC是⊙O的内接三角形，过点C作CD⊥AB于点D.若CD＝3，AC＝6，则BC的长为__5__．命题角度3反证法这类题目一般只考查假设的第一步．反证法证明一般有三个步骤：(1)假设命题的结论不成立；(2)推理得出矛盾；(3)肯定原命题的结论成立．【例3】用反证法证明时，假设结论“点在圆外”不成立，那么点与圆的位置关系只能是__点在圆上或圆内__．欧几里得喜爱的证法英国著名的数学家哈代说过：“欧几里得所喜爱的间接法(反证法)是数学最好的武器之一，它比象棋中任何的‘丢卒保车’走法都高明．因为一个棋手提供牺牲的只是一兵一卒，而一个数学家提供的是整个求证的目标．”反证法是一种间接证法，它可以分为两种：如果所要证明的结论，它的反面只有一种情况就叫归谬法；如果结论的反面有两种以上情况就叫穷举法．高效课堂教学设计1．探究过点画圆的过程，掌握过不在同一条直线上三点画圆的方法．2．了解运用反证法证明命题的思想方法．▲重点过不在同一条直线上的三点作圆．▲难点探究过三点作圆的过程，明白过同一条直线上的三点不能作圆的道理．◆活动1新课导入1．圆的大小由__半径__确定；位置由__圆心__确定．2．线段垂直平分线上的点到线段两个__端点__的距离__相等__．3．到线段两端点的距离相等的点在线段的__垂直平分线__上．◆活动2探究新知1．教材P117探究．提出问题：(1)作圆，使圆经过两个已知点A，B，你是如何作的？你能作出几个这样的圆？其圆心的分布有什么特点？与线段AB有什么关系？为什么？(2)作圆，使该圆经过三个已知点A，B，C(其中A，B，C三点不在同一条直线上)，你是如何作的？你能作出几个这样的圆？(3)探究锐角三角形、直角三角形和钝角三角形的外心的位置．学生完成并交流展示．2．教材P118思考及以下内容．提出问题：(1)经过不在同一条直线上的三点A，B，C作⊙O，圆心O如何确定？请作出该圆．(2)请用反证法证明：经过不在同一条直线上的三点能作出一个圆．(3)总结用反证法证明的步骤．学生完成并交流展示．◆活动3知识归纳1．经过已知点A可以作__无数__个圆，经过两个已知点A，B可以作__无数__个圆，它们的圆心在__线段_AB的垂直平分线__上；经过不在同一条直线上的A，B，C三点可以作__一__个圆．2．经过三角形的__三个顶点__可以作一个圆，这个圆叫作三角形的外接圆，外接圆的圆心是三角形三条边的__垂直平分线__的交点，叫作这个三角形的外心．锐角三角形的外心在三角形__内部__；直角三角形的外心是三角形__斜边的中点__；钝角三角形的外心在三角形__外部__；任意三角形的外接圆有__一__个，而一个圆的内接三角形有__无数__个．3．用反证法证明命题的一般步骤：①假设命题的结论不成立；②从这个假设出发，经过推理论证得出矛盾；③由矛盾判定所作假设不正确，从而得到原命题成立．◆活动4例题与练习例1如图所示的是残缺的圆形轮片，如何找此残片所在的圆的圆心．(不写作法，保留作图痕迹)解：在弧上任意找两条弦，分别作它们的垂直平分线，两条垂直平分线的交点即是圆心．图略．例2用反证法证明：若∠A，∠B，∠C是△ABC的三个内角，则其中至少有一个角不大于60°.证明：假设∠A，∠B，∠C都大于60°.则有∠A＋∠B＋∠C>180°，这与三角形的内角和等于180°相矛盾．因此假设不成立，即∠A，∠B，∠C中至少有一个角不大于60°.练习教材P118练习第1，2题．◆活动5课堂小结三角形外接圆及三角形的外心的概念．1．作业布置(1)教材P120习题29.1第5，6题；(2)对应课时练习．2．教学反思综合训练一、选择题1.在矩形ABCD中,AB=8,BC=35,点P在边AB上,且BP=3AP,如果圆P是以点P为圆心,PD为半径的圆,那么下列判断正确的是()A.点B,C均在圆P外B.点B在圆P外、点C在圆P内C.点B在圆P内、点C在圆P外D.点B,C均在圆P内2.如图,四边形ABCD是☉O的内接四边形,若∠AOC=160°,则∠ABC的度数是()A.80° B.100° C.140° D.160°3.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠A=56°.以BC为直径的☉O交AB于点D,E是☉O上一点,且CE=CD,连接OE,过点E作EF⊥OE,交AC的延长线于点F,则∠F等于(A.92° B.108° C.112° D.124°4.如图,CD为圆O的直径,弦AB⊥CD,垂足为M,若AB=12,OM∶MD=5∶8,则圆O的周长为()A.26π B.13π C.96π5 D5.如图,从一块直径为2m的圆形铁皮上剪下一个圆心角为90°的扇形,则此扇形的面积为()A.π2m2 B.32πm2 C.πm2 D.2π6.如图,在平面直角坐标系中,点P在第一象限,☉P与x轴、y轴都相切,且经过矩形AOBC的顶点C,与BC相交于点D.若☉P的半径为5,点A的坐标是(0,8).则点D的坐标是()A.(9,2) B.(9,3) C.(10,2) D.(10,3)7.如图,点P是等边三角形ABC外接圆☉O上的点,在下列判断中,不正确的是()A.当弦PB最长时,△APC是等腰三角形B.当△APC是等腰三角形时,PO⊥ACC.当PO⊥AC时,∠ACP=30°D.当∠ACP=30°时,△BPC是直角三角形8.如图,以等边三角形ABC的BC边为直径画半圆,分别交AB,AC于点E,D,DF是圆O的切线,过点F作BC的垂线交BC于点G.若AF的长为2,则FG的长为()A.4 B.33 C.6 D.23二、填空题9.如图,点A,B,C在半径为9的☉O上,AB的长为2π,则∠ACB的大小是.

10.如图,点A,B,C在☉O上,CD⊥OA,CE⊥OB,垂足分别为D,E,若∠DCE=40°,则∠ACB的度数为.

11.如图,在☉O的内接五边形ABCDE中,∠CAD=35°,则∠B+∠E=°.

12.如图,AB为☉O的直径,C为☉O外一点,过点C作☉O的切线,切点为B,连接AC交☉O于点D,∠C=38°.点E在AB右侧的半圆周上运动(不与A,B重合),则∠AED的度数为.

13.如图,AB,AC分别是☉O的直径和弦,OD⊥AC,垂足为D,连接BD,BC,AB=5,AC=4,则BD=.

三、解答题14.在同一平面直角坐标系中有5个点:A(1,1),B(-3,-1),C(-3,1),D(-2,-2),E(0,-3).(1)画出△ABC的外接圆☉P,并指出点D与☉P的位置关系;(2)若直线l经过点D(-2,-2),E(0,-3),判断直线l与☉P的位置关系.15.已知BC是☉O的直径,点D是BC延长线上一点,AB=AD,AE是☉O的弦,∠AEC=30°.(1)求证:直线AD是☉O的切线;(2)若AE⊥BC,垂足为点M,☉O的半径为4,求AE的长.16.如图,已知在☉O中,AB=43,AC是☉O的直径,AC⊥BD,垂足为F,∠A=30°.(1)求图中阴影部分的面积;(2)若用阴影扇形OBD围成一个圆锥侧面,请求出这个圆锥的底面圆的半径.17.如图,△ABC内接于☉O,AB是☉O的直径,☉O的切线PC交BA的延长线于点P,OF∥BC,OF交AC于点E,交PC于点F,连接AF.(1)判断AF与☉O的位置关系并说明理由;(2)若☉O的半径为4,AF=3,求AC的长.综合训练一、选择题1.C2.B∵∠AOC=160°,∴∠ADC=12∠AOC=80°∵四边形ABCD是☉O的内接四边形,∴∠ABC=180°-∠ADC=180°-80°=100°.3.C∵∠ACB=90°,∠A=56°,∴∠B=34°.在☉O中,∵CE=∴∠COE=2∠B=68°,∴∠F=112°,故选C.4.B如图,连接OA,设OM=5x,MD=8x,则OA=OD=13x.又AB=12,由垂径定理可得AM=6,∴在Rt△AOM中,(5x)2+62=(13x)2,解得x=12∴半径r=OA=132.根据圆周长公式C=2πr,得圆O的周长为13π5.A如图,连接AC,∵从一块直径为2m的圆形铁皮上剪出一个圆心角为90°的扇形,即∠ABC=90°,∴AC为直径,即AC=2m,AB=BC.∵AB2+BC2=22,∴AB=BC=2(m).∴阴影部分的面积是90π×(2)23606.A7.C对于选项A,当弦PB最长时,PB是☉O的直径,O既是等边三角形ABC的内心,也是外心,所以∠ABP=∠CBP,根据圆周角性质,PA=PC,所以PA=PC;对于选项B,当△APC是等腰三角形时,点P是AC的中点或与点B重合,由垂径定理,都可以得到PO⊥AC;对于选项C,当PO⊥AC时,由点P是AC的中点或与点B重合,易得∠ACP=30°或∠ACP=60°;对于选项D,当∠ACP=30°时,分两种情况,点P是AC或AB的中点,都可以得到8.B如图,连接OD,因为DF为圆O的切线,所以OD⊥DF.因为△ABC为等边三角形,所以AB=BC=AC,∠A=∠B=∠C=60°.因为OD=OC,所以△OCD为等边三角形.所以OD∥AB.所以DF⊥AB.又O为BC的中点,所以D为AC的中点.在Rt△AFD中,∠ADF=30°,AF=2,所以AD=4,即AC=8.所以FB=AB-AF=8-2=6.在Rt△BFG中,∠BFG=30°,所以BG=3,则根据勾股定理得FG=33,故选B.二、填空题9.20°如图,连接OA,OB.设∠AOB=n°.∵AB的长为2π,∴nπ×9180=2π.∴n=40,∴∴∠ACB=12∠AOB=20°10.110°11.215在圆内接四边形ABCD中,∠B+∠ADC=180°,∠B=180°-∠ADC.在圆内接四边形ACDE中,∠E+∠ACD=180°,∠E=180°-∠ACD,故∠B+∠E=180°-∠ADC+180°-∠ACD=180°+(180°-∠ADC-∠ACD)=180°+∠CAD=180°+35°=215°.12.38°如图,连接BE,则直径AB所对的圆周角∠AEB=90°.由BC是☉O的切线得∠ABC=90°,∠BAC=90°-∠C=90°-38°=52°.因为∠BAC=∠BED=52°,所以∠AED=∠AEB-∠BED=90°-52°=38°.13.13由垂径定理,得CD=2,由AB是☉O的直径,得∠C=90°.由勾股定理,得BC=3,在Rt△BCD中,由勾股定理得BD=13.三、解答题14.解(1)所画☉P如图所示.由图可知,☉P的半径为5.连接PD,∵PD=12+22=5,∴点(2)直线l与☉P相切.理由如下:如图,连接PE.因为直线l过点D(-2,-2),E(0,-3),所以PE2=12+32=10,PD2=5,DE2=5,所以PE2=PD2+DE2.所以△PDE是直角三角形,且∠PDE=90°.所以PD⊥l.故直线l与☉P相切.15.(1)证明