第1课时　将实际问题抽象成反比例函数问题

27.3实际问题与反比例函数第1课时将实际问题抽象成反比例函数问题教师备课素材示例●情景导入1.小明家离学校4200m，他骑自行车的速度x(m/min)与时间y(min)之间的函数关系式是什么？若他每分钟骑450m，需多长时间到校？2．你还能举出我们在日常生活、生产或学习中遇到的具有反比例函数关系的实际应用的例子吗？【教学与建议】教学：利用学生熟悉的行程问题中，路程不变的情况下，速度与时间之间的反比例函数关系，引导学生体验创建反比例函数模型解决问题．建议：教师复习路程＝速度×时间，引导学生确定速度与时间的函数关系，构建反比例函数模型解决．●复习导入1.什么是反比例函数？它的图象是什么？有哪些性质？2．圆柱体体积一定，底面积S是深度d的__反比例__函数；装运货物的总量一定，装运速度v是装运时间t的__反比例__函数．3．若一个三角形的面积为常数k，底边长y与该边上的高x的函数关系式为__y＝eq\f(2k,x)__，它的图象只分布在第__一__象限，是__双曲线__的一部分．4．同学们，类比前面一次函数和二次函数的学习过程，我们将继续探究反比例函数在日常生活中的应用．【教学与建议】教学：通过复习反比例函数的概念、图象和性质，类比学习一次函数与二次函数的过程和方法，为灵活应用反比例函数解决实际问题奠定基础．建议：学生回忆所学，教师做适当补充和辅导．命题角度1将生活实际问题抽象成反比例函数模型生活中两个变量的乘积为定值时，构建反比例函数模型．先求出函数解析式，再解决实际问题．【例1】一辆货车上装有40t货物，货车到达目的地后开始卸货．设平均卸货速度为v(单位：t/h)，卸完这批货物所需的时间为t(单位：h)．(1)求v关于t的函数解析式；(2)若要求卸完货车上这批货物的时间不超过5h，则平均每小时至少要卸货多少吨？解：(1)根据题意，卸货总量为40t，卸货速度为vt/h，时间为th，由“卸货总量＝卸货速度×时间”，得vt＝40，变形可得v＝eq\f(40,t).因此v关于t的函数解析式为v＝eq\f(40,t).(2)已知卸货时间不超过5h，即0<t≤5.由v＝eq\f(40,t)，可知v随t的增大而减小，因此当t取最大值5时，v取得最小值．将t＝5代入v＝eq\f(40,t)，得v＝eq\f(40,5)＝8，所以平均每小时至少要卸货8t．命题角度2将物理学科问题抽象成反比例函数模型【例2】在电压不变的情况下，电流I(单位：A)与电阻R(单位：Ω)是反比例函数关系．当R＝24时，I＝0.5，则电流I与电阻R之间的函数解析式为__I＝eq\f(12,R)__．【例3】如图，路政工人要用撬棍撬动一块落石，已知阻力为1800N，阻力臂长为0.5m．设动力为y(单位：N)，动力臂长为x(单位：m).(图中撬棍本身所受的重力忽略不计)eq\o(\s\up7(),\s\do5(图①))eq\o(\s\up7(),\s\do5(图②))(1)求y关于x的函数关系式(不要求写自变量的取值范围)；(2)当动力臂长为1.8m时，撬动石头至少需要多大的力？解：(1)由题意，得xy＝1800×0.5，化简，得y＝eq\f(900,x).故y关于x的函数关系式为y＝eq\f(900,x).(2)由(1)可知y关于x的函数关系式为y＝eq\f(900,x).当x＝1.8时，y＝eq\f(900,1.8)＝500.答：当动力臂长为1.8m时，撬动石头至少需要500N的力．高效课堂教学设计1．将实际问题抽象成反比例函数模型．2．初步掌握建立反比例函数模型解决实际问题的思想和方法．▲重点根据实际问题建立反比例函数模型．▲难点理解“总量不变”是建立反比例函数的核心条件．◆活动1新课导入我们知道，确定一个一次函数y＝kx＋b的解析式需要两个独立的条件，而确定一个反比例函数解析式，则只需一个独立条件即可，如点(2，3)是一个反比例函数图象上的点，则此反比例函数的解析式是__y＝eq\f(6,x)__，当x＝4时，y的值为__eq\f(3,2)__，而当y＝eq\f(1,3)时，相应x的值为__18__．用反比例函数可以反映很多实际问题中的两个变量之间的关系，你能举出一个反比例函数的实例吗？◆活动2探究新知1．教材P74例1.提出问题：(1)货物总量(工作总量)是多少？(2)工作总量、工作效率(工作速度)与工作时间有怎样的关系？(3)你能独立完成例1吗？学生完成并交流展示．2．教材P75例2.提出问题：(1)由“杠杆原理”可知，本例中存在怎样的等量关系？(2)动力F是动力臂l的反比例函数吗？若是，请写出反比例函数解析式．(3)请独立完成例2.(4)思考：在我们使用撬棍时，为什么动力臂越长，越省力？学生完成并交流展示．◆活动3例题与练习例1某中学组织学生到商场参加社会实践活动，他们参与了某种品牌运动鞋的销售工作．已知该运动鞋每双的进价为120元，为寻求合适的销售价格进行了4天的试销，试销情况如下表所示：第1天第2天第3天第4天售价x(元/双)150200250300销售量y(双)40302420(1)观察表中数据，x，y满足什么函数关系？请求出这个函数解析式．(2)若商场计划每天的销售利润为3000元，则其单价应定为多少元？解：(1)由表中数据，得xy＝6000，故所求函数解析式为y＝eq\f(6000,x).(2)由题意，得(x－120)y＝3000.把y＝eq\f(6000,x)代入，得(x－120)·eq\f(6000,x)＝3000，解得x＝240.经检验，x＝240是原方程的根．答：若商场计划每天的销售利润为3000元，则其单价应定为240元．例2根据物理学相关知识，在简单电路中，闭合开关，当导体两端电压U(单位：V)一定时，通过导体的电流I(单位：A)与导体的电阻R(单位：Ω)满足关系式I＝eq\f(U,R)，其中I与R满足反比例函数关系，当I＝2A时，R＝5Ω.(1)求电流I与电阻R之间的函数关系式；(2)当I＝2.5A时，求电阻R的值．解：(1)∵通过导体的电流I(单位：A)与导体的电阻R(单位：Ω)满足反比例函数关系，且I＝eq\f(U,R)，当I＝2A时，R＝5Ω.∴U＝IR＝2×5＝10(V).∴电流I与电阻R之间的函数关系式为I＝eq\f(10,R).(2)当I＝2.5A时，2.5＝eq\f(10,R)，解得R＝4.答：电阻R的值为4Ω.练习1．教材P76练习第1，2题．2．小明从家到学校的路程为1200m，步行的速度v(m/min)与所用时间t(min)成反比例关系．(1)写出v与t之间的函数关系式；(2)若小明步行的速度是60m/min，他从家到学校需要多长时间？解：(1)∵路程＝速度×时间，已知路程为1200m，∴vt＝1200，即v＝eq\f(1200,t)(t>0).(2)当v＝60时，60＝eq\f(1200,t)，解得t＝20.∴他从家到学校需要20min.◆活动4课堂小结如何建立反比例函数模型解决实际问题．1．作业布置(1)教材P80习题27.3第1，2，3，7题；(2)对应课时练习．2．教学反思________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________综合训练一、选择题1.下列叙述正确的是()A.“如果a,b是实数,那么a+b=b+a”是不确定事件B.某种彩票的中奖率为17C.掷一枚质地均匀的硬币正面朝上是必然事件D.“某班50名同学中恰有2名同学生日是同一天”是随机事件2.下列图形中,既是轴对称图形又是中心对称图形的是()3.若关于x的一元二次方程(a-1)x2+3x-2=0有实数根,则实数a的取值范围是()A.a>-18 B.a≥-C.a>-18,且a≠1 D.a≥-18,且a4.若二次函数y=ax2+1的图象经过点(-2,0),则关于x的方程a(x-2)2+1=0的实数根为()A.x1=0,x2=4 B.x1=-2,x2=6C.x1=32,x2=52 D.x1=-4,x25.抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴为直线x=1,与x轴的一个交点坐标为(-1,0),其部分图象如图所示,下列结论:①4ac<b2;②方程ax2+bx+c=0的两个根是x1=-1,x2=3;③3a+c>0;④当y>0时,x的取值范围是-1≤x<3;⑤当x<0时,y随x的增大而增大.其中结论正确的个数是()A.4 B.3 C.2 D.16.如图,Rt△ABC的内切圆☉O与两直角边AB,BC分别相切于点D,E,过劣弧DE(不包括端点D,E)上任一点P作☉O的切线MN与AB,BC分别交于点M,N.若☉O的半径为r,则Rt△MBN的周长为()A.r B.32r C.2r D.57.如图,8×8方格纸上的两条对称轴EF,MN相交于中心点O,对△ABC分别作下列变换:①先以点A为中心顺时针方向旋转90°,再向右平移4格,向上平移4格;②先以点O为中心作中心对称图形,再以点A的对应点为中心逆时针方向旋转90°;③先以直线MN为轴作轴对称图形,再向上平移4格,再以点A的对应点为中心顺时针方向旋转90°.其中,能将△ABC变换后与△PQR重合的是()A.①② B.①③ C.②③ D.①②③8.已知圆上一段弧长为5πcm,它所对的圆心角为100°,则该圆的半径为()A.6cm B.9cm C.12cm D.18cm9.如图,四边形ABCD内接于☉O,连接BD.若AC=BC,∠BDC=50°,则∠ADC的度数是(A.125° B.130°C.135° D.140°10.在平面直角坐标系中,把一条抛物线先向上平移3个单位长度,然后绕原点旋转180°得到抛物线y=x2+5x+6,则原抛物线的解析式为()A.y=-x-522−C.y=-x-522−11.如图,随机闭合开关K1,K2,K3中的两个,则能让两盏灯泡同时发光的概率为()A.16 B.13 C.12 12.某校校园内有一个大正方形花坛,如图甲所示,由四个边长均为3m的小正方形组成,且每个小正方形的种植方案相同.其中的一个小正方形ABCD如图乙所示,DG=1m,AE=AF=xm,在五边形EFBCG区域上种植花卉,则大正方形花坛种植花卉的面积y与x的函数图象大致是()二、填空题13.请写出符合条件:一个根为x=1,另一个根满足-1<x<1的一元二次方程.

14.抛物线y=-2(x+5)2-3的对称轴是直线.

15.两个全等的三角尺重叠摆放在△ACB的位置,将其中一个三角尺绕着点C按逆时针方向旋转到△DCE的位置,使点A恰好落在边DE上,AB与CE相交于点F.已知∠ACB=∠DCE=90°,∠B=30°,AB=8cm,则CF=cm.

16.在-3,-2,1,2,3五个数中随机选取一个数作为二次函数y=ax2+4x-2中a的值,则该二次函数图象开口向上的概率是.

17.如图,在矩形ABCD中,AB=8,AD=12,过A,D两点的☉O与BC边相切于点E,则☉O的半径为.

18.如图,圆心角都是90°的扇形OAB与扇形OCD叠放在一起,若OA=3,OC=1,分别连接AC,BD,则图中阴影部分的面积为.

三、解答题19.某小区为了促进生活垃圾的分类处理,将生活垃圾分为:可回收物、厨余垃圾、其他垃圾三类,分别记为A,B,C,并且设置了相应的垃圾箱,依次记为a,b,c.(1)若将三类垃圾随机投入三个垃圾箱,请你用画树状图的方法求垃圾投放正确的概率;(2)为了调查小区垃圾分类投放情况,现随机抽取了该小区三类垃圾箱中总重500kg的生活垃圾,数据如下(单位:kg):种类abcA401510B6025040C151555试估计“厨余垃圾”投放正确的概率.20.如图,已知△OAB的顶点A(-6,0),B(0,2),O是坐标原点,将△OAB绕点O按顺时针旋转90°,得到△ODC.(1)写出C,D两点的坐标;(2)求过A,D,C三点的抛物线的解析式,并求此抛物线顶点E的坐标;(3)求证:AB⊥BE.21.(1)根据要求,解答下列问题:①方程x2-2x+1=0的解为;

②方程x2-3x+2=0的解为;

③方程x2-4x+3=0的解为;

……(2)根据以上方程特征及其解的特征,请猜想:①方程x2-9x+8=0的解为;

②关于x的方程的解为x1=1,x2=n.

(3)请用配方法解方程x2-9x+8=0,并验证猜想结论的正确性.22.如图,在平面直角坐标系xOy中,把矩形COAB绕点C顺时针旋转α角,得到矩形CFED.设FC与AB交于点H,且A(0,4),C(6,0).(1)当α=60°时,△CBD的形状是;

(2)当AH=HC时,求直线FC的解析式.23.如图,已知AB是☉O的直径,点C,D在☉O上,点E在☉O外,∠EAC=∠D=60°.(1)求∠ABC的度数;(2)求证:AE是☉O的切线;(3)当BC=4时,求劣弧AC的长.24.已知点M是二次函数y=ax2(a>0)图象上的一点,点F的坐标为0,14a,直角坐标系中的坐标原点O与点M,F在同一个圆上,圆心(1)求a的值;(2)当O,Q,M三点在同一条直线上时,求点M和点Q的坐标;(3)当点M在第一象限时,过点M作MN⊥x轴,垂足为N.求证:MF=MN+OF.25.如图,☉O的弦AD∥BC,过点D的切线交BC的延长线于点E,AC∥DE,AC交BD于点H,DO及延长线分别交AC,BC于点G,F.(1)求证:DF垂直且平分AC;(2)求证:FC=CE;(3)若弦AD=5cm,AC=8cm,求☉O的半径.

综合训练一、选择题1.D2.A3.D4.A5.B6.C连接OD,OE(图略),因为☉O是Rt△ABC的内切圆,所以OD⊥AB,OE⊥BC.又因为MD,MP都是☉O的切线,且D,P是切点,所以MD=MP,同理可得NP=NE.故CRt△MBN=MB+BN+NM=MB+BN+NP+PM=MB+MD+BN+NE=BD+BE=2r.7.D①②③三种变换都能将△ABC变换后与△PQR重合.8.B根据弧长公式l=nπR1809.B10.A抛物线y=x2+5x+6=x+522−14,顶点坐标为-52,-14,将其绕原点旋转180°后,顶点坐标变为52,14,开口方向向下,抛物线的形状没有发生变化11.B随机闭合开关K1,K2,K3中的两个有3种可能结果,分别为K1,K2;K1,K3;K2,K3.其中,能让两盏灯泡同时发光的结果有1种,所以所求概率为1312.AS△AEF=12AE·AF=12x2,S△DEG=12DG·DE=12×1×(3-x)=3-x2,S五边形EFBCG=S正方形ABCD-S△AEF-S△DEG=9-12x2-3-x2=-12x2+12x+152,则∵0<AE<AD,∴0<x<3,综上可得y=-2x2+2x+30(0<x<3).二、填空题13.x2-x=0(答案不唯一)14.x=-515.23因为AC=DC,∠D=60°,∠B=30°,所以△ADC是等边三角形,∠ACF=30°.因为∠B=30°,AB=8,所以∠CAF=60°,AC=4,进而可求CF=23cm.16.317.254如图,连接EO并延长交AD于点H,连接∵四边形ABCD是矩形,☉O与BC边相切于点E,∴EH⊥BC,∴EH⊥AD.∴根据垂径定理,得AH=DH.∵AB=8,AD=12,∴AH=6,HE=8.设☉O的半径为r,则AO=r,OH=8-r.在Rt△OAH中,由勾股定理,得(8-r)2+62=r2,解得r=254∴☉O的半径为25418.2π△AOC绕点O顺时针旋转90°得到△BOD,所以△AOC≌△BOD,图中阴影部分的面积为14π(OA2-OC2)=14π(32-12)=2三、解答题19.解(1)画树状图如下:所以垃圾投放正确的概率是39(2)由题表可估计“厨余垃圾”投放正确的概率为25060+250+4020.(1)解C(2,0),D(0,6).(2)解由于抛物线过点D(0,6),所以可设抛物线解析式为y=ax2+bx+6(a≠0),由题意可得36解得a所以抛物线解析式为y=-12x2-2x+6由y=-12x2-2x+6=-12(x+2)2知抛物线顶点E的坐标为(-2,8).(3)证明(方法一)过点E作EM⊥y轴,垂足为M(图略),易得OA=BM=6,OB=EM=2,又因为∠EMB=∠AOB=90°,所以△ABO≌△BEM.所以∠BAO=∠MBE.所以∠ABE=90°,即AB⊥BE.(方法二)连接AE(图略).根据勾股定理,得AB2=62+22=40,EB2=22+62=40,AE2=42+82=80,所以AE2=AB2+EB2,所以△ABE是直角三角形,AB⊥BE.21.解(1)①(x-1)2=0,解得x1=x2=1,即方程x2-2x+1=0的解为x1=x2=1;②(x-1)(x-2)=0,解得x1=1,x2=2,即方程x2-3x+2=0的解为x1=1,x2=2;③(x-1)(x-3)=0,解得x1=1,x2=3,即方程x2-4x+3=0的解为x1=1,x2=3.(2)①方程x2-9x+8=0的解为x1=1,x2=8;②关于x的方程x2-(1+n)x+n=0的解为x1=1,x2=n.(3)x2-9x=-8,x2-9x+814=-8+814,x-922=494,x-92所以猜想正确.22.解(1)等边三角形.(2)设AH=x,则HB=AB-AH=6-x,依题意可得AB=OC=6,BC=OA=4.在Rt△BHC中,HC2=BC2+HB2,即x2-(6-x)2=42,解得x=133.