2025-2026年天津市人教版高中一年级数学上册第8单元三角函数同步练习题

2025-2026年天津市人教版高中一年级数学上册第8单元三角函数同步练习题一、单选题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.在△ABC中，若角A的余弦值为$$\frac{3}{5}$$，且角B为锐角，则角B的正弦值等于（）A.$$\frac{4}{5}$$B.$$\frac{3}{5}$$C.$$\frac{5}{13}$$D.$$\frac{12}{13}$$2.函数$$y=2\sin(3x+\frac{\pi}{4})$$的周期为（）A.$$\frac{\pi}{3}$$B.$$\frac{2\pi}{3}$$C.$$\frac{\pi}{4}$$D.$$2\pi$$3.已知点P在单位圆上，其终边与直线$$y=x$$的夹角为$$\frac{\pi}{4}$$，则点P的坐标为（）A.$$(1,0)$$B.$$(0,1)$$C.$$\left(\frac{\sqrt{2}}{2},\frac{\sqrt{2}}{2}\right)$$D.$$\left(-\frac{\sqrt{2}}{2},-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)$$4.函数$$y=\cos(2x-\frac{\pi}{3})$$在区间$$\left[0,\frac{\pi}{2}\right]$$上的最小值为（）A.$$-1$$B.$$-\frac{1}{2}$$C.$$\frac{1}{2}$$D.$$1$$5.若$$\sin\alpha+\cos\alpha=\frac{\sqrt{3}}{2}$$，则$$\sin(2\alpha+\frac{\pi}{6})$$的值为（）A.$$\frac{1}{2}$$B.$$\frac{\sqrt{3}}{2}$$C.$$1$$D.$$0$$6.在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若$$\sinA:\sinB:\sinC=3:4:5$$，则$$\cosA+\cosB+\cosC$$的值为（）A.$$\frac{3}{2}$$B.$$\frac{5}{2}$$C.$$2$$D.$$\frac{7}{2}$$7.函数$$y=3\sin(2x+\varphi)$$的图像关于y轴对称，则$$\varphi$$的值为（）A.$$\frac{\pi}{4}$$B.$$\frac{\pi}{2}$$C.$$\frac{3\pi}{4}$$D.$$\pi$$8.已知$$\tan\alpha=2$$，则$$\frac{\sin\alpha+\cos\alpha}{\sin\alpha-\cos\alpha}$$的值为（）A.$$\frac{1}{3}$$B.$$\frac{3}{1}$$C.$$-3$$D.$$-\frac{1}{3}$$9.函数$$y=4\sinx+3\cosx$$的最大值为（）A.$$5$$B.$$7$$C.$$\sqrt{37}$$D.$$\sqrt{41}$$10.若$$\alpha$$是第二象限角，且$$\sin\alpha+\cos\alpha=-\frac{1}{5}$$，则$$\tan\alpha$$的值为（）A.$$2$$B.$$-2$$C.$$\frac{1}{2}$$D.$$-\frac{1}{2}$$二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.若$$\sin\alpha=\frac{3}{5}$$，$$\alpha$$为锐角，则$$\cos\alpha+\tan\alpha=$$__________。2.函数$$y=2\cos(2x-\frac{\pi}{3})$$的图像向右平移$$\frac{\pi}{6}$$个单位后，得到的函数解析式为__________。3.在△ABC中，若$$\sinA=\frac{5}{13}$$，$$\cosB=\frac{12}{13}$$，则$$\sinC=$$__________。4.若$$\tan\alpha=3$$，则$$\frac{\sin\alpha+\cos\alpha}{\sin\alpha+\sin^2\alpha}=$$__________。5.函数$$y=3\sin(2x+\frac{\pi}{3})$$的图像的对称轴方程为__________。6.若$$\sin\alpha+\cos\alpha=\frac{1}{2}$$，则$$\sin^2\alpha+\cos^2\alpha+\sin\alpha\cos\alpha=$$__________。7.在单位圆中，角$$\alpha$$的终边经过点$$(2,-1)$$，则$$\sin\alpha\cos\alpha=$$__________。8.函数$$y=2\sinx+\cos(2x+\varphi)$$的最小正周期为$$\pi$$，则$$\varphi$$的值为__________。9.若$$\tan\alpha+\cot\alpha=4$$，则$$\sin\alpha\cos\alpha=$$__________。10.函数$$y=\sin(2x+\frac{\pi}{4})-\cos(2x+\frac{\pi}{4})$$的最小值为__________。三、判断题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.若$$\sin\alpha=\sin\beta$$，则$$\alpha=\beta$$。2.函数$$y=\cos(2x+\frac{\pi}{3})$$的图像关于点$$(\frac{\pi}{6},0)$$中心对称。3.若$$\alpha$$是第一象限角，且$$\sin\alpha=\frac{1}{2}$$，则$$\cos\alpha=\frac{\sqrt{3}}{2}$$。4.函数$$y=2\sinx+\cosx$$的最小值为$$-3$$。5.若$$\tan\alpha=1$$，则$$\alpha=\frac{\pi}{4}$$。6.函数$$y=\sin(2x+\frac{\pi}{3})$$的图像向左平移$$\frac{\pi}{6}$$个单位后，得到的函数解析式为$$y=\sin(3x+\frac{\pi}{3})$$。7.在△ABC中，若$$\sinA:\sinB:\sinC=3:4:5$$，则$$\cosA+\cosB+\cosC>0$$。8.函数$$y=3\sin(2x+\frac{\pi}{4})$$的图像关于直线$$x=\frac{\pi}{8}$$对称。9.若$$\sin\alpha+\cos\alpha=\sqrt{2}$$，则$$\alpha=\frac{\pi}{4}$$。10.函数$$y=\sinx+\cosx$$的图像关于直线$$x=\frac{\pi}{4}$$对称。四、简答题（本大题共4小题，每小题4分，共16分）1.已知$$\sin\alpha=\frac{4}{5}$$，$$\alpha$$为锐角，求$$\sin(2\alpha+\frac{\pi}{6})$$的值。2.函数$$y=2\sin(2x+\varphi)$$的图像经过点$$(\frac{\pi}{6},\sqrt{3})$$，求$$\varphi$$的值。3.在△ABC中，若$$\cosA=\frac{3}{5}$$，$$\cosB=\frac{5}{13}$$，求$$\cosC$$的值。4.若$$\sin\alpha+\cos\alpha=\frac{1}{2}$$，求$$\sin^3\alpha+\cos^3\alpha$$的值。五、应用题（本大题共4小题，每小题6分，共24分）1.在某次测量中，测得两点A、B之间的距离为100米，从A点测得B点的仰角为30°，从B点测得A点的俯角为45°，求A、B两点所在水平面的高度差。2.已知函数$$y=3\sin(2x+\frac{\pi}{3})$$，求该函数在区间$$[0,\pi]$$上的最大值和最小值，并指出取得这些值时对应的x值。3.在△ABC中，若$$\sinA:\sinB:\sinC=3:4:5$$，且$$a=6$$，求△ABC的面积。4.若$$\sin\alpha+\cos\alpha=\frac{1}{2}$$，求$$\sin(2\alpha+\frac{\pi}{4})$$的值。【标准答案及解析】一、单选题1.C解析：由$$\cosA=\frac{3}{5}$$，得$$\sinA=\sqrt{1-\cos^2A}=\frac{4}{5}$$。因为角B为锐角，所以$$\sinB=\sqrt{1-\cos^2B}=\sqrt{1-\left(\frac{3}{5}\right)^2}=\frac{4}{5}$$。故选C。2.B解析：函数$$y=2\sin(3x+\frac{\pi}{4})$$的周期为$$T=\frac{2\pi}{3}$$。故选B。3.C解析：点P在单位圆上，终边与直线$$y=x$$的夹角为$$\frac{\pi}{4}$$，所以点P的坐标为$$\left(\frac{\sqrt{2}}{2},\frac{\sqrt{2}}{2}\right)$$。故选C。4.B解析：函数$$y=\cos(2x-\frac{\pi}{3})$$在区间$$\left[0,\frac{\pi}{2}\right]$$上，$$2x-\frac{\pi}{3}$$的取值范围为$$[-\frac{\pi}{3},\frac{2\pi}{3}]$$，所以$$\cos(2x-\frac{\pi}{3})$$的最小值为$$-\frac{1}{2}$$。故选B。5.A解析：由$$\sin\alpha+\cos\alpha=\frac{\sqrt{3}}{2}$$，两边平方得$$1+2\sin\alpha\cos\alpha=\frac{3}{4}$$，所以$$2\sin\alpha\cos\alpha=-\frac{1}{4}$$。因此$$\sin(2\alpha+\frac{\pi}{6})=\sin2\alpha\cos\frac{\pi}{6}+\cos2\alpha\sin\frac{\pi}{6}=\frac{\sqrt{3}}{2}\sin2\alpha+\frac{1}{2}\cos2\alpha=\frac{1}{2}$$。故选A。6.C解析：由正弦定理得$$a:b:c=3:4:5$$，设$$a=3k$$，$$b=4k$$，$$c=5k$$。则$$\cosA=\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}=\frac{16k^2+25k^2-9k^2}{40k^2}=\frac{32}{40}=\frac{4}{5}$$，$$\cosB=\frac{a^2+c^2-b^2}{2ac}=\frac{9k^2+25k^2-16k^2}{30k^2}=\frac{18}{30}=\frac{3}{5}$$，$$\cosC=\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}=\frac{9k^2+16k^2-25k^2}{24k^2}=\frac{0}{24k^2}=0$$。所以$$\cosA+\cosB+\cosC=\frac{4}{5}+\frac{3}{5}+0=2$$。故选C。7.D解析：函数$$y=3\sin(2x+\varphi)$$的图像关于y轴对称，所以$$2x+\varphi=k\pi+\frac{\pi}{2}$$，即$$\varphi=k\pi+\frac{\pi}{2}-2x$$。当$$k=0$$时，$$\varphi=\frac{\pi}{2}$$。故选D。8.B解析：由$$\tan\alpha=2$$，得$$\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}=2$$，即$$\sin\alpha=2\cos\alpha$$。所以$$\frac{\sin\alpha+\cos\alpha}{\sin\alpha-\cos\alpha}=\frac{2\cos\alpha+\cos\alpha}{2\cos\alpha-\cos\alpha}=\frac{3\cos\alpha}{\cos\alpha}=3$$。故选B。9.D解析：函数$$y=4\sinx+3\cosx$$的最大值为$$\sqrt{4^2+3^2}=\sqrt{41}$$。故选D。10.B解析：由$$\sin\alpha+\cos\alpha=-\frac{1}{5}$$，两边平方得$$1+2\sin\alpha\cos\alpha=\frac{1}{25}$$，所以$$2\sin\alpha\cos\alpha=-\frac{24}{25}$$。因为$$\alpha$$是第二象限角，所以$$\sin\alpha>0$$，$$\cos\alpha<0$$。所以$$\sin\alpha-\cos\alpha>0$$。因此$$\tan\alpha=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}=\frac{\sin\alpha-\cos\alpha}{\cos\alpha-\cos\alpha}=-2$$。故选B。二、填空题1.$$\frac{8}{5}$$解析：由$$\sin\alpha=\frac{3}{5}$$，得$$\cos\alpha=\sqrt{1-\sin^2\alpha}=\frac{4}{5}$$，$$\tan\alpha=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}=\frac{3}{4}$$。所以$$\cos\alpha+\tan\alpha=\frac{4}{5}+\frac{3}{4}=\frac{16}{20}+\frac{15}{20}=\frac{31}{20}=\frac{8}{5}$$。2.$$y=2\cos(2x+\frac{\pi}{6})$$解析：函数$$y=2\cos(2x-\frac{\pi}{3})$$的图像向右平移$$\frac{\pi}{6}$$个单位后，得到的函数解析式为$$y=2\cos\left[2\left(x-\frac{\pi}{6}\right)-\frac{\pi}{3}\right]=2\cos(2x+\frac{\pi}{6})$$。3.$$\frac{12}{13}$$解析：由$$\sinA=\frac{5}{13}$$，得$$\cosA=\sqrt{1-\sin^2A}=\frac{12}{13}$$。由$$\cosB=\frac{12}{13}$$，得$$\sinB=\sqrt{1-\cos^2B}=\frac{5}{13}$$。所以$$\sinC=\sin(180^\circ-A-B)=\sin(180^\circ-\frac{5\pi}{13}-\frac{5\pi}{13})=\sin\frac{3\pi}{13}=\frac{12}{13}$$。4.$$\frac{1}{4}$$解析：由$$\tan\alpha=3$$，得$$\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}=3$$，即$$\sin\alpha=3\cos\alpha$$。所以$$\frac{\sin\alpha+\cos\alpha}{\sin\alpha+\sin^2\alpha}=\frac{3\cos\alpha+\cos\alpha}{3\cos\alpha+\cos^2\alpha}=\frac{4\cos\alpha}{3\cos\alpha+\cos^2\alpha}=\frac{4}{3+\cos\alpha}=\frac{1}{4}$$。5.$$x=\frac{\pi}{8}+k\frac{\pi}{2}$$（k为整数）解析：函数$$y=3\sin(2x+\frac{\pi}{3})$$的图像的对称轴方程为$$2x+\frac{\pi}{3}=k\pi+\frac{\pi}{2}$$，即$$x=\frac{\pi}{8}+k\frac{\pi}{2}$$（k为整数）。6.$$\frac{3}{4}$$解析：由$$\sin\alpha+\cos\alpha=\frac{1}{2}$$，两边平方得$$1+2\sin\alpha\cos\alpha=\frac{1}{4}$$，所以$$2\sin\alpha\cos\alpha=-\frac{3}{4}$$。因此$$\sin^2\alpha+\cos^2\alpha+\sin\alpha\cos\alpha=1+\sin\alpha\cos\alpha=1-\frac{3}{4}=\frac{3}{4}$$。7.$$-\frac{1}{2}$$解析：点$$(2,-1)$$在单位圆上，所以$$\sin\alpha=\frac{-1}{\sqrt{2^2+(-1)^2}}=-\frac{1}{\sqrt{5}}$$，$$\cos\alpha=\frac{2}{\sqrt{5}}$$。所以$$\sin\alpha\cos\alpha=\left(-\frac{1}{\sqrt{5}}\right)\left(\frac{2}{\sqrt{5}}\right)=-\frac{2}{5}=-\frac{1}{2}$$。8.$$\varphi=k\pi$$（k为整数）解析：函数$$y=2\sinx+\cos(2x+\varphi)$$的最小正周期为$$\pi$$，所以$$\frac{2\pi}{2}=\pi$$，即$$\varphi=k\pi$$（k为整数）。9.$$\frac{1}{8}$$解析：由$$\tan\alpha+\cot\alpha=4$$，得$$\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}+\frac{\cos\alpha}{\sin\alpha}=4$$，即$$\frac{\sin^2\alpha+\cos^2\alpha}{\sin\alpha\cos\alpha}=4$$。因为$$\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1$$，所以$$\frac{1}{\sin\alpha\cos\alpha}=4$$，即$$\sin\alpha\cos\alpha=\frac{1}{4}$$。10.$$-1$$解析：函数$$y=\sin(2x+\frac{\pi}{4})-\cos(2x+\frac{\pi}{4})=\sqrt{2}\sin\left(2x+\frac{\pi}{4}-\frac{\pi}{4}\right)=\sqrt{2}\sin2x$$。所以函数的最小值为$$-\sqrt{2}$$。三、判断题1.×解析：若$$\sin\alpha=\sin\beta$$，则$$\alpha=2k\pi+\beta$$或$$\alpha=(2k+1)\pi-\beta$$（k为整数）。2.√解析：函数$$y=\cos(2x+\frac{\pi}{3})$$的图像关于点$$(\frac{\pi}{6},0)$$中心对称，因为$$2\cdot\frac{\pi}{6}+\frac{\pi}{3}=\frac{\pi}{3}+\frac{\pi}{3}=\frac{2\pi}{3}$$，所以$$\cos\frac{2\pi}{3}=0$$。3.×解析：若$$\alpha$$是第一象限角，且$$\sin\alpha=\frac{1}{2}$$，则$$\alpha=\frac{\pi}{6}$$，所以$$\cos\alpha=\frac{\sqrt{3}}{2}$$。4.×解析：函数$$y=2\sinx+\cosx$$的最小值为$$-\sqrt{2^2+1^2}=-\sqrt{5}$$。5.×解析：若$$\tan\alpha=1$$，则$$\alpha=k\pi+\frac{\pi}{4}$$（k为整数）。6.×解析：函数$$y=\sin(2x+\frac{\pi}{3})$$的图像向左平移$$\frac{\pi}{6}$$个单位后，得到的函数解析式为$$y=\sin\left[2\left(x+\frac{\pi}{6}\right)+\frac{\pi}{3}\right]=\sin(2x+\frac{\pi}{3}+\frac{\pi}{3})=\sin(2x+\frac{2\pi}{3})$$。7.√解析：由正弦定理得$$a:b:c=3:4:5$$，设$$a=3k$$，$$b=4k$$，$$c=5k$$。则$$\cosA=\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}=\frac{16k^2+25k^2-9k^2}{40k^2}=\frac{32}{40}=\frac{4}{5}$$，$$\cosB=\frac{a^2+c^2-b^2}{2ac}=\frac{9k^2+25k^2-16k^2}{30k^2}=\frac{18}{30}=\frac{3}{5}$$，$$\cosC=\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}=\frac{9k^2+16k^2-25k^2}{24k^2}=\frac{0}{24k^2}=0$$。所以$$\cosA+\cosB+\cosC=\frac{4}{5}+\frac{3}{5}+0=2>0$$。8.√解析：函数$$y=3\sin(2x+\frac{\pi}{4})$$的图像关于直线$$x=\frac{\pi}{8}$$对称，因为$$2\cdot\frac{\pi}{8}+\frac{\pi}{4}=\frac{\pi}{4}+\frac{\pi}{4}=\frac{\pi}{2}$$，所以$$3\sin\frac{\pi}{2}=3$$。9.×解析：若$$\sin\alpha+\cos\alpha=\sqrt{2}$$，则$$\sin\alpha=\cos\alpha=\frac{\sqrt{2}}{2}$$，所以$$\alpha=\frac{\pi}{4}+2k\pi$$（k为整数）。10.√解析：函数$$y=\sinx+\cosx$$的图像关于直线$$x=\frac{\pi}{4}$$对称，因为$$\sin\frac{\pi}{4}+\cos\frac{\pi}{4}=2\cdot\frac{\sqrt{2}}{2}=\sqrt{2}$$。四、简答题1.解：由$$\sin\alpha=\frac{4}{5}$$，得$$\cos\alpha=\sqrt{1-\sin^2\alpha}=\frac{3}{5}$$。所以$$\sin2\alpha=2\sin\alpha\cos\alpha=2\cdot\frac{4}{5}\cdot\frac{3}{5}=\frac{24}{25}$$，$$\cos2\alpha=1-2\sin^2\alpha=1-2\left(\frac{4}{5}\right)^2=1-\frac{32}{25}=-\frac{7}{25}$$。因此$$\sin(2\alpha+\frac{\pi}{6})=\sin2\alpha\cos\frac{\pi}{6}+\cos2\alpha\sin\frac{\pi}{6}=\frac{24}{25}\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}+\left(-\frac{7}{25}\right)\cdot\frac{1}{2}=\frac{24\sqrt{3}-7}{50}$$。2.解：函数$$y=2\sin(2x+\varphi)$$的图像经过点$$(\frac{\pi}{6},\sqrt{3})$$，所以$$2\sin\left(2\cdot\frac{\pi}{6}+\varphi\right)=\sqrt{3}$$，即$$2\sin\left(\frac{\pi}{3}+\varphi\right)=\sqrt{3}$$，所以$$\sin\left(\frac{\pi}{3}+\varphi\right)=\frac{\sqrt{3}}{2}$$。因此$$\frac{\pi}{3}+\varphi=k\pi+\frac{\pi}{3}$$或$$\frac{\pi}{3}+\varphi=k\pi+\frac{2\pi}{3}$$（k为整数）。所以$$\varphi=k\pi$$或$$\varphi=k\pi+\frac{\pi}{3}$$（k为整数）。3.解：由$$\cosA=\frac{3}{5}$$，得$$\sinA=\sqrt{1-\cos^2A}=\frac{4}{5}$$。由$$\cosB=\frac{5}{13}$$，得$$\sinB=\sqrt{1-\cos^2B}=\frac{12}{13}$$。所以$$\sinC=\sin(180^\circ-A-B)=\sin(180^\circ-\frac{\pi}{6}-\frac{\pi}{4})=\sin\frac{7\pi}{12}=\sin\left(\frac{\pi}{3}+\frac{\pi}{4}\right)=\sin\frac{\pi}{3}\cos\frac{\pi}{4}+\cos\frac{\pi}{3}\sin\frac{\pi}{4}=\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{1}{2}\cdot\frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$$。因此$$\cosC=\cos(180^\circ-A-B)=\cos\left(\frac{7\pi}{12}\right)=-\cos\left(\frac{\pi}{3}+\frac{\pi}{4}\right)=-\left(\cos\frac{\pi}{3}\cos\frac{\pi}{4}-\sin\frac{\pi}{3}\sin\frac{\pi}{4}\right)=-\left(\frac{1}{2}\cdot\frac{\sqrt{2}}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot\frac{\sqrt{2}}{2}\right)=\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$$。4.解：由$$\sin\alpha+\cos\alpha=\frac{1}{2}$$，两边平方得$$1+2\sin\alpha\cos\alpha=\frac{1}{4}$$，所以$$2\sin\alpha\cos\alpha=-\frac{3}{4}$$。因此$$\sin^3\alpha+\cos^3\alpha=(\sin\alpha+\cos\alpha)(\sin^2\alpha-\sin\alpha\cos\alpha+\cos^2\alpha)=\frac{1}{2}\left(1-\sin\alpha\cos\alpha\right)=\frac{1}{2}\left(1+\frac{3}{4}\right)=\frac{7}{8}$$。五、应用题1.解：设A、B两点所在水平面的高度差为h。从A点测得B点的仰角为30°，所以$$\tan30^\circ=\frac{h}{AB}=\frac{h}{100}=\frac{1}{\sqrt{3}}$$，所以$$h=\frac{100}{\sqrt{3}}=\frac{100\sqrt{3}}{3}$$米。从B点测得A点的俯角为45°，所以$$\tan45^\circ=\frac{h}{AB}=\frac{h}{100}=1$$，所以$$h=100$$米。因此A、B两点所在水平面的高度差为$$\frac{100\sqrt{3}}{3}-100$$米。2.解：函数$$y=3\sin(2x+\frac{\pi}{3})$$在区间$$[0,\pi]$$上的最大值为$$3\sin\left(2\cdot0+\frac{\pi}{3}\right)=3\sin\frac{\pi}{3}=\frac{3\sqrt{3}}{2}$$，对应$$x=0$$。最小值为$$3\sin\left(2\cdot\frac{\pi}{2}+\frac{\pi}{3}\right)=3\sin\left(\pi+\frac{\pi}{3}\right)=-3\sin\frac{\pi}{3}=-\frac{3\sqrt{3}}{2}$$，对应$$x=\frac{\pi}{2}$$。3.解：由正弦定理得$$a:b:c=3:4:5$$，设$$a=3k$$，$$b=4k