-学年江苏省南京市鼓楼区九年级(上)期中数学试卷(附详解)【可修改文字】

第=page11页，共=sectionpages11页第=page22页，共=sectionpages22页可编辑修改精选全文完整版2021-2022学年江苏省南京市鼓楼区九年级(上)期中数学试卷一、选择题(本大题共6小题,共12.0分)某商品单价经过两次降价从144元降至81元,设平均每次降价的百分率为𝑥,则可列方程(    )A.144(1+x)2=81 B.144(1−x)2=81如图,△𝐴𝐵𝐶内接于⊙𝑂,𝐷𝐸,𝐹𝐺是⊙𝑂的弦,𝐴𝐵=𝐷𝐸,𝐹𝐺=𝐴𝐶.下列结论:①𝐷𝐸+𝐹𝐺=𝐵𝐶;②𝐷𝐸+𝐹𝐺=𝐵𝐶；③∠𝐷𝑂𝐸+∠𝐹𝑂𝐺=∠𝐵𝑂𝐶；④∠𝐷𝐸𝑂+∠𝐹𝐺𝑂=∠𝐵𝐴𝐶．

其中所有正确结论的序号是(    )A.①②③④ B.②③ C.②④ D.②③④如图,∠1是正九边形两条对角线的夹角,则∠1的度数是(    )A.45° B.54° C.60° D.72°一元二次方程x2=x的根为(    )A.0 B.1 C.0或1 D.0或−1在某次比赛中,有10位同学参加了"10进5"的淘汰赛,他们的比赛成绩各不相同.其中一位同学要知道自己能否晋级,不仅要了解自己的成绩,还需要了解10位参赛同学成绩的(    )A.平均数 B.加权平均数 C.众数 D.中位数平面内,若⊙𝑂的半径为2,𝑂𝑃=3,则点𝑃在⊙𝑂(    )A.内 B.上 C.外 D.内或外二、填空题(本大题共10小题,共20.0分)在平面直角坐标系中,𝐴(−2,0),𝐵(4,0),若直线𝑦=𝑥+𝑏上存在点𝑃满足45°≤∠𝐴𝑃𝐵≤90°且𝑃𝐴=𝑃𝐵,则常数𝑏的取值范围是______.一元二次方程𝑥2+𝑘𝑥−3=0的一个根是𝑥=1,则另一个根是______.如图,𝐴𝐵是⊙𝑂的直径,弦𝐶𝐷⊥𝐴𝐵于点𝐸,𝐴𝐸=1,𝐶𝐷=4,则𝑂𝐶的长为______．

如图,矩形𝐴𝐵𝐶𝐷的四个顶点分别在扇形𝑂𝐸𝐹的半径和弧上,若∠𝑂=60°,𝑂𝐵=12𝐵𝐶,𝑂𝐸=4,则𝐴𝐵的长为______．写出一个一元二次方程,使它有两个不相等的实数根______.已知扇形的圆心角为60°,半径为1,则扇形的弧长为______.已知一个圆锥的底面半径为2,母线长为5,则这个圆锥的侧面积为______(结果保留𝜋).某单位要招聘1名英语翻译,小亮参加招聘考试的各门成绩如表所示若把听、说、读、写的成绩按3：3：2：2计算平均成绩,则小亮的平均成绩为______．项目听说读写成绩(分)70908585如图,四边形𝐴𝐵𝐶𝐷的各边都与圆相切,它的周长为18,若𝐴𝐵=5,则𝐶𝐷的长为______.已知⊙𝑂的半径为2,若点𝑃是⊙𝑂的切线𝑙上任一点,则𝑂𝑃长的取值范围是______.三、解答题(本大题共11小题,共88.0分)一块矩形菜地的面积是130𝑚2,若将它的长、宽分别增加5𝑚,8𝑚,它恰成为一块正方形菜地.求原矩形菜地的长和宽.

已知关于𝑥的一元二次方程𝑥2+(𝑘+4)𝑥+𝑘+3=0的两根是𝑥1,𝑥2.

(1)当𝑘为何值时,这个方程总有两个不相等的实数根？

(2)说明：无论𝑘为何值,方程总有一个不变的根.

利用圆的性质,证明定理“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”.已知：如图,在△𝐴𝐵𝐶中,∠𝐴𝐶𝐵=90°,𝐶𝐷是斜边𝐴𝐵上的中线．求证：𝐶𝐷=12𝐴𝐵．

解题与遐想.如图,𝑅𝑡△𝐴𝐵𝐶的内切圆与斜边𝐴𝐵相切于点𝐷,𝐴𝐷=4,𝐵𝐷=5.求𝑅𝑡△𝐴𝐵𝐶的面积．

如图，𝑅𝑡△𝐴𝐵𝐶的内切圆与斜边𝐴𝐵相切于点𝐷，𝐴𝐷=4，𝐵𝐷=5.求𝑅𝑡△𝐴𝐵𝐶的面积.

如图，Rt△ABC的内切圆与斜边AB相切于点D，AD=4，BD=5.求Rt△ABC的面积．

王小明:

这道题算出来面积刚好是20,太凑巧了吧.刚好是4×5=20,有种白算的感觉…

赵丽华:

我把4和5换成𝑚、𝑛再算一遍,△𝐴𝐵𝐶的面积总是𝑚⋅𝑛!确实非常神奇了…

数学刘老师:

大家想一想,既然结果如此简单到极致,不计算能不能得到呢?比如,拼图?

霍佳:

刘老师,我在想另一个东西,这个图能不能尺规画出来啊感觉图都定了.我怎么想不出来呢?

计算验证

(1)通过计算求出𝑅𝑡△𝐴𝐵𝐶的面积.

拼图演绎

(2)将𝑅𝑡△𝐴𝐵𝐶分割放入矩形中(左图),通过拼图能直接"看"出"20"请在图中画出拼图后的4个直角三角形甲、乙、丙、丁的位置,作必要标注并简要说明.

尺规作图

(3)尺规作图:如图,点𝐷在线段𝐴𝐵上,以𝐴𝐵为斜边求作一个𝑅𝑡△𝐴𝐵𝐶,使它的内切圆与斜边𝐴𝐵相切于点𝐷.(保留作图的痕迹,写出必要的文字说明)

解下列一元二次方程

(1)𝑥(𝑥+2)=5(𝑥+2)；

(2)𝑥2+5𝑥+3=0.

若关于𝑥的方程𝑥2+𝑏𝑥+𝑐=0有两个实数根,且其中一个根比另一个根大2,那么称这样的方程为“隔根方程”.例如,方程𝑥2+2𝑥=0的两个根是𝑥1=0,𝑥2=−2,则方程𝑥2+2𝑥=0是“隔根方程”．

(1)方程𝑥2−𝑥−20=0是“隔根方程”吗？判断并说明理由；

(2)若关于𝑥的方程𝑥2+𝑚𝑥+𝑚−1=0是“隔根方程”,求𝑚的值.

如图,在以𝐴𝐵为直径的圆中,弦𝐶𝐷⊥𝐴𝐵,𝑀是𝐴𝐵上一点,射线𝐷𝑀,𝐶𝑀分别交圆于点𝐸,𝐹,连接𝐸𝐹,求证𝐸𝐹⊥𝐴𝐵．

在方格纸中,仅用无刻度直尺过点𝐴画出圆的所有切线.

(1)如图1,点𝐴在圆上;

(2)如图2,点𝐴在圆外.

如图,在正方形𝐴𝐵𝐶𝐷中,𝐸是𝐵𝐷上一点,射线𝐴𝐸交𝐶𝐷于点𝐹,交𝐵𝐶的延长线于点𝐺,过点𝐶,𝐹,𝐺画圆,连接𝐶𝐸.求证:𝐶𝐸是圆的切线.

如图,在𝑅𝑡△𝐴𝐵𝐶中,∠𝐶=90°,𝐴𝐶=6𝑐𝑚,𝐵𝐶=8𝑐𝑚,点𝑃从点𝐵开始沿𝐵𝐶向点𝐶以1𝑐𝑚/𝑠的速度运动,点𝑄从点𝐶开始沿𝐶𝐴向点𝐴以2𝑐𝑚/𝑠的速度运动,𝑃,𝑄同时出发,各自到达终点后停止运动.在整个运动过程中,设它们的运动时间为𝑡 𝑠.

(1)下列说法正确的是______.(填写所有正确结论的序号)

①𝑃𝑄可以平分△𝐴𝐵𝐶的周长;

②𝑃𝑄可以平分△𝐴𝐵𝐶的面积.

(2)当𝑡为何值时,△𝑃𝐶𝑄的面积等于7𝑐𝑚2？

数学小组对当地甲、乙两家网约车公司司机的月收入情况进行了抽样调查.两家公司分别随机抽取10名司机,他们的月收入(单位:千元)情况如图所示.

将以上信息整理分析如下:平均数中位数众数方差甲公司a7cd乙公司7b57.6(1)填空:𝑎=______;𝑏=______;𝑐=______;𝑑=______;

(2)某人计划从甲、乙公司中选择一家做网约车司机,你建议他选哪家公司?说明理由.

答案和解析1.【答案】B

【解析】解:依题意得:144(1−𝑥)2=81．

故选：𝐵．

利用经过两次降价后的价格=原价×(1−平均每次降价的百分率)2,即可得出关于𝑥的一元二次方程,此题得解．

本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程,找准等量关系,正确列出一元二次方程是解题的关键．

2.【答案】D

【解析】解:∵𝐴𝐵+𝐴𝐶>𝐵𝐶,𝐴𝐵=𝐷𝐸,𝐹𝐺=𝐴𝐶,

∴𝐷𝐸+𝐹𝐺>𝐵𝐶.

∴①错误;

∵𝐴𝐵=𝐷𝐸,𝐹𝐺=𝐴𝐶,

∴𝐴𝐵=𝐷𝐸,𝐹𝐺=𝐴𝐶．

∴𝐷𝐸+𝐹𝐺=𝐴𝐵+𝐴𝐶,

∴𝐷𝐸+𝐹𝐺=𝐵𝐶．

∴②正确；

连接𝑂𝐴,𝑂𝐵,𝑂𝐶,𝑂𝐷,𝑂𝐸,𝑂𝐹,𝑂𝐺,如图,

∵𝐴𝐵=𝐷𝐸,𝐹𝐺=𝐴𝐶,

∴∠𝐴𝑂𝐵=∠𝐷𝑂𝐸,∠𝐴𝑂𝐶=∠𝐹𝑂𝐺．

∴∠𝐴𝑂𝐵+∠𝐴𝑂𝐶=∠𝐷𝑂𝐸+∠𝐹𝑂𝐺．

即∠𝐷𝑂𝐸+∠𝐹𝑂𝐺=∠𝐵𝑂𝐶．

∴③正确；

∵𝑂𝐴=𝑂𝐵,

∴∠𝑂𝐴𝐵=∠𝑂𝐵𝐴=180°−∠𝐴𝑂𝐵2=90°−12∠𝐴𝑂𝐵．

同理可得：

∠𝑂𝐴𝐶=90°−12∠𝐴𝑂𝐶,

∠𝐷𝐸𝑂=90°−12∠𝐷𝑂𝐸,

∠𝐹𝐺𝑂=90°−12∠𝐹𝑂𝐺．

∴∠𝑂𝐴𝐵+∠𝑂𝐴𝐶=180°−12(∠𝐴𝑂𝐵+∠𝐴𝑂𝐶)=180°−12∠𝐵𝑂𝐶,

∠𝐷𝐸𝑂+∠𝐹𝐺𝑂=180°−(∠𝐷𝑂𝐸+∠𝐹𝑂𝐺)．

由③知：∠𝐷𝑂𝐸+∠𝐹𝑂𝐺=∠𝐵𝑂𝐶,

∴∠𝑂𝐴𝐵+∠𝑂𝐴𝐶=∠𝐷𝐸𝑂+∠𝐹𝐺𝑂．

即：∠𝐷𝐸𝑂+∠𝐹𝐺𝑂=∠𝐵𝐴𝐶．

∴④正确；

∴正确的序号为：②③④．

故选：𝐷．

利用已知条件与三角形的任意两边之和大于第三边可以判定①错误；利用在同圆或等圆中,等弦对等弧,以及等式的性质可以判定②正确；利用在同圆或等圆中,等弦所对的圆心角相等以及等式的性质可以判定③正确；利用等腰三角形的性质以及③的结论可以判定④正确．

本题主要考查了三角形的外接圆与外心,圆心角,弧,弦的关系,三角形的内角和定理,等腰三角形的性质,三角形的三边关系,充分利用圆心角,弧,弦的关系定理解答是解题的关键．

3.【答案】C

【解析】解:如图,设这个正九边形的外接圆为⊙𝑂,

则∠𝐴𝑂𝐵=360°9=40°,∠𝐶𝑂𝐷=2∠𝐴𝑂𝐵=80°,

∴∠𝐴𝐷𝐵=12∠𝐴𝑂𝐵=20°,∠𝐶𝐵𝐷=12∠𝐶𝑂𝐷=40°,

∴∠1=∠𝐴𝐷𝐵+∠𝐶𝐵𝐷=20°+40°=60°,

故选：𝐶．

根据正多边形与圆求出相应的圆心角度数,再根据圆周角定理和三角形外角的性质可得答案．

本题考查多边形的外角和,掌握正多边形与圆以及多边形的外角和定理是正确计算的前提．

4.【答案】C

【解析】解:𝑥2=𝑥,

𝑥2−𝑥=0,

𝑥(𝑥−1)=0,

∴𝑥=0或𝑥=1,

故选C．

本题考查了解一元二次方程−因式分解法．因式分解法就是先把方程的右边化为0,再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式,那么这两个因式的值就都有可能为0,这就能得到两个一元一次方程的解．

5.【答案】D

【解析】解:由于总共有10个人,且他们的成绩各不相同,第5名和第6名同学的成绩的平均数是中位数,要判断是否能晋级,故应知道中位数的多少.

故选:𝐷.

10人成绩的中位数是第5名和第6名同学的成绩的平均数.参赛选手要想知道自己是否能晋级,只需要了解自己的成绩以及全部成绩的中位数,比较即可.

此题主要考查统计的有关知识,主要包括平均数、中位数、众数、方差的意义.

6.【答案】A

【解析】解:由题意得,𝑑=3,𝑟=2．

∵𝑑<𝑟,

∴点𝑃在⊙𝑂内,

故选：𝐴．

根据半径为𝑟,点到圆心的距离为𝑑,则有：当𝑑>𝑟时,点在圆外；当𝑑=𝑟时,点在圆上,当𝑑<𝑟时,点在圆内,可得答案．

本题考查了点与圆的位置关系．关键要记住若半径为𝑟,点到圆心的距离为𝑑,则有：当𝑑>𝑟时,点在圆外；当𝑑=𝑟时,点在圆上,当𝑑<𝑟时,点在圆内．

7.【答案】2≤b≤32+2或【解析】解:∵𝐴(−2,0),𝐵(4,0),

∴𝐴𝐵=6.

∵𝑃𝐴=𝑃𝐵,

∴点𝑃在线段𝐴𝐵的垂直平分线上,

设线段𝐴𝐵的垂直平分线交𝑥轴于点𝐶,,则点𝐶(1,0),

∴𝑂𝐶=1.

①当𝑏>0时,

设直线𝑦=𝑥+𝑏交𝑥轴于点𝐷,交𝑦轴于点𝐸,则𝐷(−𝑏,0),𝐸(0,𝑏).

∴𝑂𝐷=𝑏,𝑂𝐸=𝑏.

∴∠𝑂𝐷𝐸=∠𝑂𝐸𝐷=45°,𝐷𝐶=𝑂𝐷+𝑂𝐶=𝑏+1.

当∠𝐴𝑃𝐵=90°时,如图,

∵𝑃𝐶//𝑂𝐸,

∴∠𝐶𝑃𝐸=∠𝑂𝐸𝐷=45°.

∴𝑃𝐶=𝐷𝐶=𝑏+1,

∵𝐶为斜边𝐴𝐵的中点,

∴𝑃𝐶=12𝐴𝐵=3．

∴𝑏+1=3．

∴𝑏=2．

当∠𝐴𝑃𝐵=45°时,如图,

过点𝐴作𝐴𝐹⊥𝐵𝑃于点𝐹,

∵∠𝐴𝑃𝐵=45°,

∴𝐴𝐹=𝑃𝐹．

设𝐴𝐹=𝑃𝐹=𝑥,则𝑃𝐴=2𝑥,

∵𝑃𝐴=𝑃𝐵,

∴𝑃𝐵=2𝑥,

∴𝐵𝐹=𝑃𝐵−𝑃𝐹=(2−1)𝑥.

∵𝐴𝐹2+𝐵𝐹2=𝐴𝐵2,

∴𝑥2+[(2−1)𝑥]2=62,

∴𝑥2=18+92．

∵𝑆△𝐴𝐵𝑃=12𝐴𝐵⋅𝑃𝐶=12𝐵𝑃⋅𝐴𝐹,

∴6(𝑏+1)=2𝑥⋅𝑥．

∴𝑏=32+2．

∵45°≤∠𝐴𝑃𝐵≤90°,

∴2≤𝑏≤32+2．

②当𝑏<0时,

设直线𝑦=𝑥+𝑏交𝑥轴于点𝐷,交𝑦轴于点𝐸,则𝐷(−𝑏,0),𝐸(0,𝑏)．

∴𝑂𝐷=−𝑏,𝑂𝐸=−𝑏．

∴∠𝑂𝐷𝐸=∠𝑂𝐸𝐷=45°,𝐷𝐶=𝑂𝐷+𝑂𝐶=−𝑏−1．

当∠𝐴𝑃𝐵=90°时,如图,

𝑃𝐶//𝑂𝐸,

∴∠𝐶𝑃𝐸=∠𝑂𝐸𝐷=45°．

∴𝑃𝐶=𝐷𝐶=−𝑏−1,

∵𝐶为斜边𝐴𝐵的中点,

∴𝑃𝐶=12𝐴𝐵=3．

∴−𝑏−1=3．

∴𝑏=−4．

当∠𝐴𝑃𝐵=45°时,如图,

过点𝐴作𝐴𝐹⊥𝐵𝑃于点𝐹,

∵∠𝐴𝑃𝐵=45°,

∴𝐴𝐹=𝑃𝐹．

设𝐴𝐹=𝑃𝐹=𝑥,则𝑃𝐴=2𝑥,

∵𝑃𝐴=𝑃𝐵,

∴𝑃𝐵=2𝑥,

∴𝐵𝐹=𝑃𝐵−𝑃𝐹=(2−1)𝑥.

∵𝐴𝐹2+𝐵𝐹2=𝐴𝐵2,

∴𝑥2+[(2−1)𝑥]2=62,

∴𝑥2=18+92．

∵𝑆△𝐴𝐵𝑃=12𝐴𝐵⋅𝑃𝐶=12𝐵𝑃⋅𝐴𝐹,

∴6(−𝑏−1)=2𝑥⋅𝑥．

∴𝑏=−32−4．

∵45°≤∠𝐴𝑃𝐵≤90°,

∴−32−4≤𝑏≤−4．

综上,常数𝑏的取值范围是：2≤𝑏≤32+2或−32−4≤𝑏≤−4．

利用𝑃𝐴=𝑃𝐵可得点𝑃在线段𝐴𝐵的垂直平分线上,分𝑏>0或𝑏<0两种情况讨论解答：求出当∠𝐴𝑃𝐵=90°和∠𝐴𝑃𝐵=45°时的𝑏值,结合图象即可求得𝑏的取值范围．

本题主要考查了一次函数图象与系数的关系,一次函数图象上点的坐标的特征,线段垂直平分线的性质,等腰直角三角形的性质,勾股定理．求出临界情况下的𝑏的取值是解题的关键．

8.【答案】−3

【解析】解:设方程的另一根为𝑡,则1×𝑡=−3,

解得,𝑡=−3.

故答案是:−3.

根据根与系数的关系𝑥1𝑥2=𝑐𝑎来解题．

本题考查了根与系数的关系．熟记公式是解题的关键,此题属于基础题．

9.【答案】52【解析】解:∵弦𝐶𝐷⊥𝐴𝐵于点𝐸,

∴𝐶𝐸=𝐷𝐸=12𝐶𝐷=2,

设𝑂𝐶=𝑟,则𝑂𝐸=𝑂𝐴−𝐴𝐸=𝑟−1,

在𝑅𝑡△𝐶𝑂𝐸中,(𝑟−1)2+22=𝑟2,解得𝑟=52,

即𝑂𝐶的长为52．

故答案为52．

先利用垂径定理得到𝐶𝐸=𝐷𝐸=12𝐶𝐷=2,设𝑂𝐶=𝑟,根据勾股定理得(𝑟−1)2+22=𝑟2,然后解方程即可．

本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对的两条弧．也考查了勾股定理．

10.【答案】2

【解析】解:如图,连接𝑂𝐷,

∴𝑂𝐷=𝑂𝐸=4,

∵𝑂𝐵=12𝐵𝐶,

∴𝐵𝐶=2𝑂𝐵,

∴𝑂𝐶=𝑂𝐵+𝐵𝐶=3𝑂𝐵,

∵四边形𝐴𝐵𝐶𝐷是矩形,

∴∠𝐴𝐵𝐶=∠𝐵𝐶𝐷=90°,𝐴𝐵=𝐷𝐶,

在𝑅𝑡△𝐴𝑂𝐵中,∠𝐴𝑂𝐵=60°,

∴∠𝑂𝐴𝐵=30°,

∴𝐴𝐵=3𝑂𝐵,

∴𝐶𝐷=3𝑂𝐵,

在𝑅𝑡△𝑂𝐶𝐷中,根据勾股定理,得

𝑂𝐷2=𝑂𝐶2+𝐶𝐷2,

∴42=(3𝑂𝐵)2+(3𝑂𝐵)2,

解得𝑂𝐵=233,

∴𝐴𝐵=3𝑂𝐵=3×233=2．

故答案为：2．

连接𝑂𝐷,可得𝑂𝐷=𝑂𝐸=4,根据已知可得𝑂𝐶=3𝑂𝐵,根据四边形𝐴𝐵𝐶𝐷是矩形,可得∠𝐴𝐵𝐶=∠𝐵𝐶𝐷=90°,𝐴𝐵=𝐷𝐶,再根据含30度角的直角三角形可得𝐴𝐵=3𝑂𝐵,根据勾股定理即可求出𝑂𝐵的长,进而可得𝐴𝐵的长．

本题考查了矩形的性质,含30度角的直角三角形,勾股定理,解决本题的关键是连接𝑂𝐷得到𝑂𝐷=𝑂𝐸．

11.【答案】x2【解析】解:比如𝑎=1,𝑏=1,𝑐=−1,

∴△=𝑏2−4𝑎𝑐=1+4=5>0,

∴方程为𝑥2+𝑥−1=0．

这是一道开放自主题,只要写出的方程的△>0就可以了．

开放题虽然可以自主答题,但是也要包含正确的知识才能做对．

12.【答案】π3【解析】解:弧长𝑙=60𝜋×1180

=𝜋3．

故答案为：𝜋3．

根据弧长公式进行求解即可．

本题考查了弧长的计算,解答本题的关键是掌握弧长公式：𝑙=𝑛𝜋𝑟180．

13.【答案】10π

【解析】解:底面半径为2,则底面周长=4𝜋,圆锥的侧面积=12×4𝜋×5=10𝜋．

故答案为：10𝜋．

圆锥的侧面积=底面周长×母线长÷2．

本题考查了圆锥的计算,利用了圆的周长公式和扇形面积公式求解,解题的关键是牢记有关的公式,难度不大．

14.【答案】82分

【解析】解:小亮的平均成绩为:

(70×3+90×3+85×2+85×2)÷(3+3+2+2)

=(210+270+170+170)÷10

=820÷10

=82(分).

故小亮的平均成绩为82分.

故答案为:82分.

根据加权平均数的计算公式进行计算即可.

此题考查了加权平均数的计算公式,要熟练掌握,解答此题的关键是要明确:数据的权能够反映数据的相对"重要程度",要突出某个数据,只需要给它较大的"权",权的差异对结果会产生直接的影响.

15.【答案】4

【解析】解:∵⊙𝑂与四边形𝐴𝐵𝐶𝐷各边相切,

∴𝐴𝐷+𝐵𝐶=𝐴𝐵+𝐶𝐷,

∵𝐴𝐵=5,四边形𝐴𝐵𝐶𝐷的周长为18,

∴5+5+𝐶𝐷+𝐶𝐷=18,

∴𝐶𝐷=4,

故答案为:4.

根据切线长定理可得𝐴𝐷+𝐵𝐶=𝐴𝐵+𝐶𝐷,即可求𝐶𝐷的长度.

本题考查了切线的性质,熟练掌握切线长定理是解决问题的关键.

16.【答案】OP≥2

【解析】解:因为垂线段最短,

所以当𝑂𝑃⊥直线𝑙时,𝑂𝑃的值最小,

∵𝑙和⊙𝑂相切,⊙𝑂半径为2,

∴𝑂𝑃的最小值是2,

∴𝑂𝑃长的取值范围是𝑂𝑃≥2,

故答案为:𝑂𝑃≥2.

根据切线的性质可得𝑂𝑃的最小值是2,即可得出结论.

本题考查了切线的性质,解题的关键是必须明确𝑂𝑃的最小值是2.

17.【答案】解：设正方形菜地的边长为𝑥 𝑚,则原矩形菜地的长为(𝑥−5)𝑚,宽为(𝑥−8)𝑚,

依题意得：(𝑥−5)(𝑥−8)=130,

整理得：𝑥2−13𝑥−90=0,

解得：𝑥1=18,𝑥2=−5(不合题意,舍去),

∴𝑥−5=18−5=13,𝑥−8=18−8=10.

答：原矩形菜地的长为13𝑚,宽为10𝑚.

【解析】设正方形菜地的边长为𝑥𝑚,则原矩形菜地的长为(𝑥−5)𝑚,宽为(𝑥−8)𝑚,根据原矩形菜地的面积为130𝑚2,即可得出关于𝑥的一元二次方程,解之即可得出𝑥的值,再将其正值分别代入(𝑥−5)及(𝑥−8)中即可求出原矩形菜地的长和宽.

本题考查了一元二次方程的应用,找准等量关系,正确列出一元二次方程是解题的关键.

18.【答案】解：(1)∵𝑎=1,𝑏=(𝑘+4),𝑐=𝑘+3,

∴𝛥=𝑏2−4𝑎𝑐=(𝑘+4)2−4×1×(𝑘+3)=𝑘2+4𝑘+4=(𝑘+2)2．

∵方程总有两个不相等的实数根,

∴(𝑘+2)2>0,即𝑘+2≠0,

∴𝑘≠2,

∴当𝑘≠2时,这个方程总有两个不相等的实数根．

(2)∵𝑥2+(𝑘+4)𝑥+𝑘+3=0,即(𝑥+1)[𝑥+(𝑘+3)]=0,

∴𝑥+1=0或𝑥+(𝑘+3)=0,

∴𝑥1=−1,𝑥2=−(𝑘+3),

∴无论𝑘为何值,方程总有一个不变的根为𝑥=−1.

【解析】(1)根据方程的系数结合根的判别式𝛥=𝑏2−4𝑎𝑐,可得出𝛥=(𝑘+2)2,由方程总有两个不相等的实数根,可得出(𝑘+2)2>0,解之即可得出𝑘≠2,进而可得出当𝑘≠2时,这个方程总有两个不相等的实数根；

(2)利用因式分解法解一元二次方程,可得出方程的两个根,进而可得出无论𝑘为何值,方程总有一个不变的根为𝑥=−1.

本题考查了根的判别式以及因式分解法解一元二次方程,解题的关键是：(1)牢记“当𝛥>0时,方程有两个不相等的实数根”；(2)利用因式分解法求出一元二次方程的两个根是解题的关键.

19.【答案】证明：如图,作△𝐴𝐵𝐶的外接圆,

∵∠𝐴𝐶𝐵=90°,

∴𝐴𝐵是圆的直径．

∵𝐶𝐷是斜边𝐴𝐵上的中线,

∴𝐷点为𝐴𝐵的中点．

∴点𝐷为圆心,𝐶𝐷为半径．

∴𝐶𝐷=12𝐴𝐵.

【解析】作△𝐴𝐵𝐶的外接圆,利用圆周角定理进行推理.

本题主要考查了直角三角形斜边上的中线和圆周角定理,直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.

20.【答案】解：(1)如图1,

设⊙𝑂的半径为𝑟,

连接𝑂𝐸,𝑂𝐹,

∵⊙𝑂内切于△𝐴𝐵𝐶,

∴𝑂𝐸⊥𝐴𝐶,𝑂𝐹⊥𝐵𝐶,𝐴𝐸=𝐴𝐷=4,𝐵𝐹=𝐵𝐷=5,

∴∠𝑂𝐸𝐶=∠𝑂𝐹𝐶=∠𝐶=90°,

∴四边形𝐸𝐶𝐹𝑂是矩形,

∴𝐶𝐹=𝑂𝐸=𝑟,𝐶𝐸=𝑂𝐹=𝑟,

∴𝐴𝐶=4+𝑟,𝐵𝐶=5+𝑟,

在𝑅𝑡△𝐴𝐵𝐶中,由勾股定理得,

(𝑟+4)2+(𝑟+5)2=92,

∴𝑟2+9𝑟=20,

∴𝑆△𝐴𝐵𝐶=12𝐴𝐶⋅𝐵𝐶

=12(𝑟+4)⋅(𝑟+5)

=12(𝑥2+9𝑟+20)

=12×(20+20)

=20；

(2)如图2,

(3)设△𝐴𝐵𝐶的内切圆记作⊙𝐹,

∴𝐴𝐹和𝐵𝐹平分∠𝐵𝐴𝐶和∠𝐴𝐵𝐶,𝐹𝐷⊥𝐴𝐵,

∴∠𝐵𝐴𝐹=12∠𝐶𝐴𝐵,∠𝐴𝐵𝐹=12∠𝐴𝐵𝐶,

∴∠𝐵𝐴𝐹+∠𝐴𝐵𝐹=12(∠𝐵𝐴𝐶+∠𝐴𝐵𝐶)=12×90°=45°,

∴∠𝐴𝐹𝐵=135°,

可以按以下步骤作图(如图3)：

①以𝐵𝐴为直径作圆,作𝐴𝐵的垂直平分线交圆于点𝐸,

②以𝐸为圆心,𝐴𝐸为半径作圆,

③过点𝐷作𝐴𝐵的垂线,交圆于𝐹,

④连接𝐸𝐹并延长交圆于𝐶,连接𝐴𝐶,𝐵𝐶,

则△𝐴𝐵𝐶就是求作的三角形.

【解析】(1)设⊙𝑂的半径为𝑟,由切线长定理得,𝐴𝐸=𝐴𝐷=4,𝐵𝐹=𝐵𝐷=5,𝐶𝐸=𝐶𝐹=𝑟,由勾股定理得,(𝑟+4)2+(𝑟+5)2=92,进而求得结果；

(2)将甲乙图形放在𝑂𝐸为边的上方,将丙丁以𝑂𝑃为边放在右侧,围成矩形的边长是4和5；

(3)可先计算∠𝐴𝐹𝐵=135°,根据“定弦对定角”作𝐹点的轨迹,根据切线性质,过点𝐹作𝐴𝐵的垂线,再根据直径所对的圆周角是90°,确定点𝐶.

本题考查了直线与圆的位置关系,圆的切线性质,圆周角定理,尺规作图等知识,解决问题的关键是几何图形的直观认识及作图分析的思路.

21.【答案】解：(1)∵𝑥(𝑥+2)=5(𝑥+2),

∴𝑥(𝑥+2)−5(𝑥+2)=0,

则(𝑥+2)(𝑥−5)=0,

∴𝑥+2=0或𝑥−5=0,

解得𝑥1=−2,𝑥2=5；

(2)∵𝑎=1,𝑏=5,𝑐=3,

∴𝛥=52−4×1×3=13>0,

则𝑥=−𝑏±𝑏2−4𝑎𝑐2𝑎=−5±132,

即𝑥1=−5+132,𝑥2=−5−132.

【解析】(1)移项后,利用提公因式法将方程的左边因式分解后求解可得；

(2)利用公式法求解即可.

本题主要考查解一元二次方程的能力,熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法,结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键.

22.【答案】解：(1)不是,理由如下：

∵𝑥2−𝑥−20=0,即(𝑥−5)(𝑥+4)=0,

∴𝑥1=5,𝑥2=−4．

∵5−(−4)=9≠2,

∴方程𝑥2−𝑥−20=0不是“隔根方程”．

(2)∵𝑥2+𝑚𝑥+𝑚−1=0,即(𝑥+1)[𝑥+(𝑚−1)]=0,

∴𝑥1=−1,𝑥2=1−𝑚．

又∵关于𝑥的方程𝑥2+𝑚𝑥+𝑚−1=0是“隔根方程”,

∴|1−𝑚−(−1)|=2,

解得：𝑚=0或𝑚=4.

【解析】(1)不是,利用因式分解法解一元二次方程可得出方程的两个根分别为𝑥1=5,𝑥2=−4,二者做差后可得出5−(−4)=9≠2,进而可得出方程𝑥2−𝑥−20=0不是“隔根方程”；

(2)利用因式分解法解一元二次方程可得出方程的两个根分别为𝑥1=−1,𝑥2=1−𝑚,结合关于𝑥的方程𝑥2+𝑚𝑥+𝑚−1=0是"隔根方程",可得出关于𝑚的含绝对值符号的一元一次方程,解之即可得出𝑚的值.

本题考查了因式分解法解一元二次方程,利用因式分解法求出一元二次方程的两个根是解题的关键.

23.【答案】证明：∵𝐴𝐵是直径,𝐶𝐷⊥𝐴𝐵,

∴𝐶𝐺=𝐷𝐺,

∴𝑀𝐶=𝑀𝐷,

∴∠𝐶=∠𝐷,

∵∠𝐶=∠𝐸,∠𝐷=∠𝐹,

∴∠𝐸=∠𝐷,

∴𝐶𝐷//𝐸𝐹,

∵𝐶𝐷⊥𝐴𝐵,

∴𝐸𝐹⊥𝐴𝐵.

【解析】利用垂径定理以及圆周角定理证明𝐸𝐹//𝐶𝐷,可得结论．

本题考查垂径定理,圆周角定理,等腰三角形的性质等知识,解题的关键是证明𝐸𝐹//𝐶𝐷．

24.【答案】解:(1)如图:直线𝐴𝐶即为所求;

(2)如图:直线𝐴𝐵、𝐴𝐶即为所求.

【解析】(1)根据切线的性质作图即可；

(2)根据切线的性质作图即可.

本题主要考查了切线的判定与性质,圆周角定理,熟练掌握切线的判定与性质是解题的关键.

25.【答案】证明：连