有限基础分析 3

FUNDAMENTALSOFELASTICITY第3章弹性力学基础从应力、应变与位移到平面问题及求解方法工学院·有限元方法课程CONTENTS本章内容01引言弹性力学的研究对象、适用范围与工程意义02基本方程基本假设、外力、应力、应变、位移及三类基本方程03平面问题平面应力、平面应变、边界条件与协调方程04求解方法概述位移法、应力法、解析法与数值法3.1引言认识弹性力学的研究对象、适用范围与工程意义为什么有限元离不开弹性力学弹性力学把工程中的受力与变形转化为可量化、可验证的数学描述。工程现象桥梁在车辆荷载下颤动，机翼在气流中形变，手机外壳受压后恢复——这些现象都遵循弹性变形规律。有限元核心复杂结构被离散为基本单元后，每个单元的力学行为仍需由应力、应变、位移和本构关系描述。本章任务建立平衡方程、几何方程和物理方程，理解边界条件，为后续有限元建模提供理论框架。应力应变位移弹性体外界作用弹性力学基本内容外力温度变化弹性力学，又称弹性理论。

是研究弹性体由于外力载荷或者温度改变，物体内部所产生的位移、变形和应力分布等。为解决工程结构的强度，刚度和稳定性问题作准备。弹性力学的研究对象：

是完全弹性体，包括构件、板和三维弹性体，比材料力学和结构力学的研究范围更为广泛。研究的内容：外力作用下应力、应变、位移物体变形——弹性变形、塑性变形弹性变形：当外力撤去以后恢复到原始状态，没有变形残留，材料的应力和应变之间具有一一对应的关系。与时间无关，也与变形历史无关。塑性变形：当外力撤去以后尚残留部分变形量，不能恢复到原始状态，——即存在永久变形。应力和应变之间的关系不再一一对应，与时间、与加载历程有关。弹性：假定“完全弹性”关系，是抽象出来的理想模型。完全弹性是指在一定温度条件下，材料的应力和应变之间具有一一对应的关系。应力—应变关系称为本构关系。材料模型包括：线性弹性体非线性弹性体3.2弹性力学基本方程从基本假设与基本概念出发，建立弹性力学的三类控制关系连续性假设根据这一假设，物体的所有物理量，例如位移、应变和应力等均成为物体所占空间的连续函数。灰口铸铁（左）和球墨铸铁（右）的显微组织基本假设均匀性假设

假设弹性物体是由同一类型的均匀材料组成的，物体各个部分的物理性质都是相同的，不随坐标位置的变化而改变。在处理问题时，可以取出物体的任意一个小部分讨论。普通钢材（左）与优质钢材（右）的显微组织3.各向同性假设

假定物体在各个不同的方向上具有相同的物理性质，物体的弹性常数不随坐标方向变化。4.完全弹性假设

应力和应变之间存在一一对应关系，与时间及变形历史无关。满足胡克定理。5.小变形假设

在弹性体的平衡等问题讨论时，不考虑因变形所引起的几何尺寸变化，使用物体变形前的几何尺寸来替代变形后的尺寸。采用这一假设，在基本方程中，略去位移、应变和应力分量的高阶小量，使基本方程成为线性的偏微分方程组。作用于物体的外力可以分为3种类型：

体力、面力、集中力。体力——就是分布在物体整个体积内部各个质点上的力，又称为质量力。例如物体的重力，惯性力，电磁力等等。面力——是分布在物体表面上的力，例如风力，静水压力，物体之间的接触力等。集中力——作用物体一点上的力。（在弹性力学中一般不用，而在有限元中经常出现）1外力基本概念①体力物体任意一点P所受体力的大小和方向，在P点区域取一微小体积元素△V，设△V的体力合力为△F，则△V的平均体力为当△V趋近于0，则为P点的体力体力是矢量：一般情况下，物体每个点体力的大小和方向不同。体力分量：将体力沿三个坐标轴xyz分解，用X、Y、Z表示，称为体力分量。符号规定：与坐标轴方向一致为正，反之为负。

应该注意的是：在弹性力学中，体力是指单位体积的力。体力的因次：[力]/[长度]^3表示：F={XYZ}②面力与体力相似，在物体表面上任意一点P所受面力的大小和方向，在P点区域取微小面积元素△S，当△S趋近于0，则为P点的面力面力分量：沿三个坐标轴xyz分解符号规定：与坐标轴方向一致为正，反之为负。面力的因次：[力]/[长度]^2③集中力体力与面力都是分布力，集中力则只是作用在一个点上，作用区域△V或△S很小，但数值很大，这种形式的力可以认为是集中力。集中力分量：集中力直接将其沿三个坐标轴分解，用X0、Y0、Z0表示，即集中力力分量。符号规定：与坐标轴方向一致为正，反之为负。

体力的因次：[力]2应力①应力表示方法材料力学中接触过斜截面上的应力，斜截面上应力可以分成正应力、剪应力；复杂物体任意截面上的应力可分为1个与平面垂直的正应力、2个平面内剪应力。X面Y面Z面正应力分量3个：剪应力分量6个：正面负面②应力符号意义剪应力：正应力：由法线方向确定作用面

作用方向

符号规定：

正面上与坐标轴正向一致，为正；负面上与坐标轴负向一致，为正。X面Y面Z面③剪应力互等定理剪应力不再区分哪个是作用面或作用方向。应力分量：相等3应变①微分单元体的变形微分单元体棱边的伸长和缩短；正应变棱边之间夹角的变化；剪应变

正应变分量3个：剪应变分量3个：②应变的定义设平行六面体单元，3个轴棱边：变形前为MA，MB，MC；变形后变为M'A'，M'B'，M'C'。③正应变（小变形）符号规定：

正应变以伸长为正。④剪应变符号规定：

正应变以伸长为正；剪应变以角度变小为正。4位移位移：由于载荷作用或者温度变化等外界因素等影响，物体内各点在空间的位置将发生变化，位置移动即产生位移。位移——刚体位移、变形刚体位移——物体内部各个点仍然保持初始状态的相对位置不变，由于物体整体在空间做刚体运动引起的位置改变。变形——物体整体位置不变，弹性体在外力作用下发生形状的变化，而改变了物体内部各个点的相对位置，引起位移。后者与弹性体的应力有着直接的关系——弹性力学研究的主要变形，通常叫位移。u=x'（x，y，z）-x=u（x，y，z）

v=y'（x，y，z）-y=v（x，y，z）

w=z'（x，y，z）-z=w（x，y，z）根据连续性假设，弹性体在变形前和变形后仍保持为连续体。弹性体中某点在变形过程中由M（x，y，z）移动至M’(x’，y’，z’)，这一过程也是连续的，为x、y、z的单值连续函数形变和位移之间的关系：位移确定→

形变完全确定：

从物理概念看，各点的位置确定，则微分线段上的形变确定。

从数学推导看，位移函数确定，则其导数（形变）确定。形变确定，位移不完全确定：

从物理概念看，ε、γ

确定，物体还可作刚体位移。

从数学推导看，ε、γ

确定，求位移是积分运算，出现待定函数。应力

应变

位移平衡方程物理方程几何方程外力基本方程弹性力学分析过程中：通过静力平衡、几何变形和本构关系建立起外力、应力、应变、位移之间相互关联。再必须根据已知物理量，（一般外力、结构几何形状和约束条件等），推导和确定基本未知量（应力、应变、位移。平衡方程（应力——外力之间的关系）2.物理方程（应变——应力之间的关系）3.几何方程（柯西方程）（应变——位移之间的关系）变形协调方程边界条件如果物体表面的面力已知，则称为应力边界条件：

第一类边界条件如果物体表面的位移已知，则称为位移边界条件：

第二类边界条件混合边界条件=第一类+第二类应力边界条件：位移边界条件：外法线的方向余弦方程数量：平衡方程——3个物理方程——6个几何方程——6个合计15未知量：应力分量——6个应变分量——6个位移分量——3个合计15空间问题3.3弹性力学平面问题区分平面应力与平面应变，并掌握基本方程与边界条件平面应力问题讨论的弹性体为薄板。薄壁厚度远小于结构另外两个方向的尺度。薄板的中面为平面，其所受外力，包括体力均平行于中面O-xy面内，并沿厚度方向z不变。而且薄板的两个表面不受外力作用。平面应力问题1、平面应力问题的概念①几何特征薄壁厚度为h远小于结构另外两个方向的尺寸等厚度中心层平直②受力特征外力平行于中心层外力沿厚度不变化根据薄板的表面面力边界条件，即表面不受外力作用，则

由于板很薄，外力沿厚度均匀分布，因此应力分量也沿厚度均匀分布，应力分量不随z改变。

2、平面应力问题的应力应力分量应变分量3、平面应力问题应力、应变弹性体是具有很长的纵向轴的柱形物体，横截面大小和形状沿轴线长度不变；作用外力与纵向轴垂直，并且沿长度不变；柱体的两端受固定约束。

可以认为柱体是无限长的。如果从中任取一个横截面，则柱形物体的形状和所受载荷将对此横截面是对称的。因此物体变形时，横截面上的各点只能在其自身平面内移动。平面应变问题1、平面应变问题的概念①几何特征一个尺寸远大于结构另外两个方向的尺寸中心轴平直沿中心轴截面不变化②受力特征外力垂直于中心轴外力沿中心轴长度方向不变化沿纵向轴的位移恒等于零；由于无限长，所以任一个横截面都是一样的，与z轴无关。只要是x、y坐标函数2、平面应变问题的位移应力分量应变分量3、平面应变问题的应力、应变平衡方程（应力——外力之间的关系）2.几何方程（应变——位移之间的关系）平面问题基本方程3.物理方程（应变——应力之间的关系）平面应力与平面应变问题的：平衡方程、几何方程相同。但物理方程不同，从空间问题推得。①平面应力的物理关系②平面应变的物理关系平面应变问题平面应力问题z向应力分量sz=n(sx+

sy)sz＝0z向位移分量w＝0w≠0正应变分量二者主要不同在于z向应变，位移和正应力的计算公式③两种平面问题的区别④两种平面问题的内在关系平面应力平面应变平面应力平面应变平面应变平面应力平面应力平面应变平面应力平面应变4变形协调方程平面应力平面应变由6个简化为1个

调和方程方程数量：平衡方程——2个物理方程——3个几何方程——3个合计8未知量：应力分量——3个应变分量——3个位移分量——2个合计8平面问题边界条件决定弹性力学问题是否闭合弹性体在边界上既可能给定位移，也可能给定面力；实际求解必须满足相应边界条件。位移边界条件在位移边界Su上，位移分量是坐标的已知函数。典型情形：固定端、对称边界或已知支座位移。应力边界条件在应力边界Sσ上，面力分量是坐标的已知函数。边界面力与该点应力分量通过法向方向余弦满足平衡关系。工程判断有约束的边界通常满足位移边界条件，其余边界满足应力边界条件。局部复杂载荷可借助圣维南原理进行静力等效简化。悬臂梁边界条件跨度为L、单位厚度的悬臂梁，上表面受线分布载荷q。问题类型梁厚度远小于平面尺寸，且载荷沿厚度方向均匀，可按平面应力问题处理。应力边界自由表面与受载表面的面力已知；根据各边界外法线方向，将面力条件转换为应力分量条件。位移边界固定端位移受到约束，应满足给定的位移条件。求解时需同时满足全部位移与应力边界。x=0y=-h/2y=h/2x=l3.4求解方法概述根据未知量选择位移法或应力法，并理解数值方法的工程价值应力

应变

位移弹性力学各个量之间的关系平衡方程物理方程几何方程外力根据几何方程和本构方程可见：位移、应力和应变分量之间不是相互独立的。

假如已知位移分量，通过几何方程可以得到应变分量，然后通过物理方程可以得到应力分量。如果已知应力分量，通过物理方程得到应变分量，再由几何方程的积分求出位移分量，不过这时的应变分量必须满足一组补充方程，即变形协调方程。应力

应变

位移位移解法：若以位移函数作为基本未知量求解，根据物理方程和几何方程，应力分量及平衡方程均由位移分量表达；

应力解法：

若以应力函数作为基本未知量，称为应力解法，对于应力解法，应力分量必须满足平衡微分方程和变形协调方程；

混合解法

：若以位移分量和应力分量作为基本未知量，通过物理方程中消去应变分量，表述基本方程，称为混合解法。基本方程求解方法弹性力学是对整个研究对象建立平衡方程、几何方程、物理方程，再根据外力作用下求整体的应力、应变、位移。解答的途径有两大类：精确解（解析解、理论解法）逆法、半逆法、复变函数法、级数法、特殊函数法等2.近似解法（数值解法）解析法与数值法解决不同复杂度的问题解析法揭示精确关系，数值法将复杂边界与几何转化为可计算的近似问题。解析法位移法：以位移为基本未知量，先求位移，再由几何方程与物理方程求应变、应力。应力法：以应力为未知量，同时满足平衡方程、相容方程和应力边界条件。数值法差分法：用有限差商近似导数，将微分方程转为代数方程。变分法：将微分方程转化为泛函驻值问题，是有限元的重要理论基础。有限单元法将复杂区域离散为简单单元，以矩阵形式组装总体方程，特别适合复杂几何、材料和边界条件。1位移解法当位移分量作为基本未知函数求解时，变形协调方程是自然满足的。根据物理方程和几何方程，可以得到：以位移表示的平衡微分方程，称为拉梅（Lamé）方程。拉普拉斯运算符号，

解析法2应力法主要介绍应力函数法，

称为艾里（Airy）应力函数。设应力表示的变形协调方程

双调和方程应力函数（1）一次多项式一次多项式应力函数对应无应力的应力状态。

这个结论说明在应力函数中增加或减少一个x，y的线性函数，将不影响应力分量的值。（2)二次多项式如仅a，b，c≠0，分别表示单向拉伸或者纯剪切应力状态。(3)

三次多项式如果仅考虑d不为零的情况，即a=b=c=0，其对应于矩形梁的纯弯曲应力状态。

解析解的难点：弹性力学研究对象是弹性体，形体复杂，是偏微分方程的边值问题。在数学上求解困难重重，除了少数特殊边界问题，一般弹性体问题很难得到解答。要得到解析解：1、简化形体，譬如材料力学的研究对象是杆件，常微分方程，可以求解；平面问题，忽略次要因素，简化应力状态。2、简化边界约束条件，放松某些限制等。结果：寻求求解偏微分方程在特定条件下的数学解法，而造成所得到的结果并非实际问题的真实状态。结果误差很大，甚至是错误的结论。近似解法（数值解法）差分法加权余量法变分法有限元法（FEM）边界元法（BEM）数值法有限单元法的四个关键特点有限元为何成为工程分析中最重要的数值方法之一。以简单逼近复杂把复杂求解区域划分为简单单元，在单元内建立近似关系，再进行总体合成；网格细化可提高逼近程度。矩阵化表达单元与总体方程采用矩阵形式，便于组织自由度、组装方程并编制计算机程序。复杂几何适应性不依赖正交网格，可灵活逼近不规则边界、孔洞、曲面和复杂结构。强通用性可扩展到空间、板壳、动力、传热、流体、电磁、弹塑性及复合材料等问题。有限元法与边界元法的比较离散化，FEM在区域上，BEM在边界上；维数，BEM降维，3D2D；2D1D；通用性，FEM格式统一，BEM特定问题；对使用者数学要求，FEM低，BEM高；目前应用状况，FEM一统天下。如图所示三种情形，是否都属平面问题？是平面应力问题还是平面应变问题？平面应力问题平面应变问题非平面问题在求解弹性力学问题时，应力分量、形变分量和位移分量必须满足区域内的三套基本方程，还必须满足边界上的边界条件。但是，要使边界条件得到完全满足，往往遇到很大的困难。圣维南原理可为简化局部边界上的应力边界条件提供很大方便。圣维南原理表明，如果把物体的一小部分边界上的面力，变换为分布不同但静力等效的面力（主矢相同，对同一点的主矩也相同），那么，近处的应力分布将有显著的改变，但是远处所受的影响可以不计。圣维南原理设有柱形构件，在两端截面的形心受到大小相等而方向相反的拉力F（a）。如果把一端或两端的拉力变换为静力等效的力，则只有虚线划出的部分的应力分布有显著的改变，而其余部分所受影响是可以不计的。由于（d）图中，面力连续分布，边界条件简单，应力容易求得。其它三种情况，应力难以求得。把d情况下的应力解答应用到其它三个情况，虽不能满足两端的应力边界条件，但仍然可以表明离杆端较远处的应力状态，没有显著的误差。图e，构件右端有位移边界条件，d

情况的解答，不能满足位移边界条件，但e图右端的面力，一定是合成为经过截面形心的力F。所以把图d