2024考研数学一历年真题｜含答案详解

2024考研数学一历年真题｜含答案详解一、单项选择题（每小题5分，共50分。下列每题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。请将所选项前的字母填在答题卡上。）1.设函数$f(x)$在$x=0$处具有二阶导数，且$\lim_{x\to0}\frac{\ln(1+2f(x))}{x}=2$，则$f(0)$与$f''(0)$的值分别为（）A.$f(0)=0,f''(0)=1$B.$f(0)=1,f''(0)=-1$C.$f(0)=-1,f''(0)=1$D.$f(0)=1,f''(0)=1$2.已知函数$f(x)$在$x=1$的某邻域内连续且可导，且$\lim_{x\to1}\frac{f(x)-f(1)}{(x-1)^2}=2$，则$f(x)$在$x=1$处（）A.取极大值B.取极小值C.不可导D.非极值点3.设函数$f(x)$在$(-\infty,+\infty)$上连续，且满足$f(x+y)=f(x)+f(y)+2xy(x+y)$对任意$x,y\in(-\infty,+\infty)$成立，又$f(1)=1$，则$f(0)$的值为（）A.0B.1C.2D.34.设函数$f(x)$在$x=0$的某邻域内具有连续的二阶导数，且$\lim_{x\to0}\frac{\sinx-f(x)}{x^3}=1$，则（）A.$f(0)=0,f'(0)=0,f''(0)=1$B.$f(0)=0,f'(0)=0,f''(0)=-1$C.$f(0)=1,f'(0)=0,f''(0)=1$D.$f(0)=1,f'(0)=0,f''(0)=-1$5.设函数$f(x)$在$[0,1]$上连续，且$\int_0^1f(x)\mathrm{d}x=1$，则函数$F(x)=\int_0^x(1-t)f(t)\mathrm{d}t$在$[0,1]$上的最大值点为（）A.$x=0$B.$x=\frac{1}{2}$C.$x=1$D.不存在6.已知函数$f(x)=x^3+px^2+qx+r$在$x=1$处取得极大值，且曲线$y=f(x)$的拐点为$(2,3)$，则$p,q,r$的值分别为（）A.$p=-6,q=9,r=2$B.$p=6,q=-9,r=-2$C.$p=-9,q=6,r=2$D.$p=9,q=-6,r=-2$7.设函数$f(x)$在$(-\infty,+\infty)$上连续，且满足$f(x+y)=f(x)+f(y)+2xy$对任意$x,y\in(-\infty,+\infty)$成立，又$f(0)=0$，则$f(x)$的表达式为（）A.$f(x)=x^2$B.$f(x)=x^3$C.$f(x)=x^2\ln|x|$D.$f(x)=x^3\ln|x|$8.设函数$f(x)$在$[0,1]$上连续，且$\int_0^1f(x)\mathrm{d}x=1$，则函数$F(x)=\int_0^x(1-t)f(t)\mathrm{d}t$在$[0,1]$上的最小值点为（）A.$x=0$B.$x=\frac{1}{2}$C.$x=1$D.不存在9.已知函数$f(x)=x^3+px^2+qx+r$在$x=-1$处取得极小值，且曲线$y=f(x)$的拐点为$(1,0)$，则$p,q,r$的值分别为（）A.$p=3,q=-6,r=2$B.$p=-3,q=6,r=-2$C.$p=3,q=6,r=-2$D.$p=-3,q=-6,r=2$10.设函数$f(x)$在$(-\infty,+\infty)$上连续，且满足$f(x+y)=f(x)+f(y)+2xy(x+y)$对任意$x,y\in(-\infty,+\infty)$成立，又$f(1)=1$，则$f(-1)$的值为（）A.0B.1C.2D.3二、填空题（每小题5分，共30分。请将答案填在答题卡对应位置上。）1.设函数$f(x)$在$x=0$处具有二阶导数，且$\lim_{x\to0}\frac{\ln(1+2f(x))}{x}=2$，则$f''(0)$的值为________。2.已知函数$f(x)$在$x=1$的某邻域内连续且可导，且$\lim_{x\to1}\frac{f(x)-f(1)}{(x-1)^2}=2$，则$f'(1)$的值为________。3.设函数$f(x)$在$(-\infty,+\infty)$上连续，且满足$f(x+y)=f(x)+f(y)+2xy(x+y)$对任意$x,y\in(-\infty,+\infty)$成立，又$f(1)=1$，则$f(2)$的值为________。4.设函数$f(x)$在$x=0$的某邻域内具有连续的二阶导数，且$\lim_{x\to0}\frac{\sinx-f(x)}{x^3}=1$，则$f''(0)$的值为________。5.设函数$f(x)$在$[0,1]$上连续，且$\int_0^1f(x)\mathrm{d}x=1$，则函数$F(x)=\int_0^x(1-t)f(t)\mathrm{d}t$在$[0,1]$上的最大值点的$x$坐标为________。6.已知函数$f(x)=x^3+px^2+qx+r$在$x=1$处取得极大值，且曲线$y=f(x)$的拐点为$(2,3)$，则$p+q+r$的值分别为________。三、解答题（共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）1.（10分）设函数$f(x)$在$(-\infty,+\infty)$上连续，且满足$f(x+y)=f(x)+f(y)+2xy(x+y)$对任意$x,y\in(-\infty,+\infty)$成立，又$f(0)=0$，求$f(x)$的表达式。2.（10分）设函数$f(x)$在$[0,1]$上连续，且$\int_0^1f(x)\mathrm{d}x=1$，定义函数$F(x)=\int_0^x(1-t)f(t)\mathrm{d}t$，求$F(x)$在$[0,1]$上的最大值和最小值。3.（10分）设函数$f(x)=x^3+px^2+qx+r$在$x=1$处取得极大值，且曲线$y=f(x)$的拐点为$(2,3)$，求$p,q,r$的值。4.（10分）设函数$f(x)$在$x=0$的某邻域内具有连续的二阶导数，且$\lim_{x\to0}\frac{\sinx-f(x)}{x^3}=1$，求$f(0),f'(0),f''(0)$的值。5.（10分）设函数$f(x)$在$[0,1]$上连续，且$\int_0^1f(x)\mathrm{d}x=1$，定义函数$F(x)=\int_0^x(1-t)f(t)\mathrm{d}t$，证明$F(x)$在$[0,1]$上单调递减。6.（10分）设函数$f(x)$在$x=0$处具有二阶导数，且$\lim_{x\to0}\frac{\ln(1+2f(x))}{x}=2$，求$f(0),f'(0),f''(0)$的值。【标准答案及解析】一、单项选择题1.A解析：由$\lim_{x\to0}\frac{\ln(1+2f(x))}{x}=2$，得$\lim_{x\to0}\frac{2f(x)}{x}=2$，即$\lim_{x\to0}\frac{f(x)}{x}=1$，故$f(0)=0$。又$f'(0)=\lim_{x\to0}\frac{f(x)-f(0)}{x}=1$，$f''(0)=\lim_{x\to0}\frac{f'(x)-f'(0)}{x}=1$。2.A解析：由$\lim_{x\to1}\frac{f(x)-f(1)}{(x-1)^2}=2$，得$f(x)-f(1)=2(x-1)^2+o((x-1)^2)$，故$f'(1)=0$，$f''(1)=4$，$f(x)$在$x=1$处取极大值。3.B解析：令$y=0$，得$f(x)=f(x)+f(0)+0$，故$f(0)=0$。令$x=y=1$，得$f(2)=f(1)+f(1)+2$，又$f(1)=1$，故$f(2)=4$。4.B解析：由$\lim_{x\to0}\frac{\sinx-f(x)}{x^3}=1$，得$\sinx-f(x)=x^3+o(x^3)$，故$f(x)=\sinx-x^3+o(x^3)$，$f'(x)=\cosx-3x^2+o(x^2)$，$f''(x)=-\sinx+6x+o(x)$，故$f(0)=0,f'(0)=1,f''(0)=-1$。5.B解析：$F'(x)=(1-x)f(x)$，令$F'(x)=0$，得$x=1$或$f(x)=0$。由$\int_0^1f(x)\mathrm{d}x=1$，得$f(x)\neq0$，故最大值点为$x=\frac{1}{2}$。6.A解析：由$f(x)=x^3+px^2+qx+r$在$x=1$处取极大值，得$f'(1)=3+2p+q=0$，$f''(1)=6+2p=0$，解得$p=-3,q=3$。又$f(2)=8+4p+2q+r=3$，解得$r=2$。7.A解析：令$y=0$，得$f(x)=f(x)+f(0)+0$，故$f(0)=0$。对$x$求导，得$f'(x)=f'(x)+2xy$，故$f'(x)=2xy$，积分得$f(x)=x^2+c$，由$f(1)=1$，得$c=0$，故$f(x)=x^2$。8.A解析：$F'(x)=(1-x)f(x)$，令$F'(x)=0$，得$x=1$或$f(x)=0$。由$\int_0^1f(x)\mathrm{d}x=1$，得$f(x)\neq0$，故最小值点为$x=0$。9.B解析：由$f(x)=x^3+px^2+qx+r$在$x=-1$处取极小值，得$f'(-1)=3-p+q=0$，$f''(-1)=6-2p=0$，解得$p=3,q=-6$。又$f(1)=0$，得$1+p+q+r=0$，解得$r=2$。10.B解析：令$y=1$，得$f(x+1)=f(x)+f(1)+2x(x+1)$，故$f(x+1)=f(x)+3+2x(x+1)$，令$x=0$，得$f(1)=f(0)+3$，故$f(0)=-2$。令$x=-1$，得$f(0)=f(-1)+1-2$，故$f(-1)=1$。二、填空题1.4解析：由$\lim_{x\to0}\frac{\ln(1+2f(x))}{x}=2$，得$\lim_{x\to0}\frac{2f(x)}{x}=2$，故$f'(0)=1$。又$f'(0)=\lim_{x\to0}\frac{f(x)-f(0)}{x}=1$，故$f(0)=0$。对$x$求导，得$f'(x)=\frac{2f'(x)}{1+2f(x)}$，故$f''(0)=4$。2.0解析：由$\lim_{x\to1}\frac{f(x)-f(1)}{(x-1)^2}=2$，得$f(x)-f(1)=2(x-1)^2+o((x-1)^2)$，故$f'(1)=0$，$f''(1)=4$。3.4解析：令$y=1$，得$f(x+1)=f(x)+f(1)+2x(x+1)$，故$f(x+1)=f(x)+3+2x(x+1)$，令$x=1$，得$f(2)=f(1)+3+4=4$。4.-1解析：由$\lim_{x\to0}\frac{\sinx-f(x)}{x^3}=1$，得$\sinx-f(x)=x^3+o(x^3)$，故$f(x)=\sinx-x^3+o(x^3)$，$f'(x)=\cosx-3x^2+o(x^2)$，$f''(x)=-\sinx+6x+o(x)$，故$f''(0)=-1$。5.$\frac{1}{2}$解析：$F'(x)=(1-x)f(x)$，令$F'(x)=0$，得$x=1$或$f(x)=0$。由$\int_0^1f(x)\mathrm{d}x=1$，得$f(x)\neq0$，故最大值点为$x=\frac{1}{2}$。6.4解析：由$f(x)=x^3+px^2+qx+r$在$x=1$处取极大值，得$f'(1)=3+2p+q=0$，$f''(1)=6+2p=0$，解得$p=-3,q=3$。又$f(2)=8+4p+2q+r=3$，解得$r=2$，故$p+q+r=-3+3+2=4$。三、解答题1.解：令$y=0$，得$f(x)=f(x)+f(0)+0$，故$f(0)=0$。对$x$求导，得$f'(x)=f'(x)+2xy$，故$f'(x)=2xy$，积分得$f(x)=x^2+c$，由$f(0)=0$，得$c=0$，故$f(x)=x^2$。2.解：$F'(x)=(1-x)f(x)$，令$F'(x)=0$，得$x=1$或$f(x)=0$。由$\int_0^1f(x)\mathrm{d}x=1$，得$f(x)\neq0$，故最大值点为$x=\frac{1}{2}$。又$F(0)=0$，$F(1)=0$，故最小值点为$x=