专题1.1集合（8类必考点分类集训）（教师版）

专题1.1集合（必考点分类集训）TOC\o"1-3"\t"正文,1"\h【考点1：元素与集合的关系】 2【考点2：集合中元素的个数】 4【考点3：求集合的子集（真子集）】 6【考点4：集合间基本关系的判断】 8【考点5：由集合间的基本关系求参数值】 10【考点6：集合的基本运算】 12【考点7：与集合运算有关的参数问题】 14【考点8：集合的新定义】 16【考点1：元素与集合的关系】1．（25-26高三下·河南周口·阶段检测）设集合，则（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据题意，得到集合表示小于的无理数，逐项分析判断，即可求解.【详解】由集合，可得集合表示小于的无理数，对于A，由，所以，所以A错误；对于B，由且，所以，所以B正确；对于C，由且，所以，所以C不正确；对于D，由，所以，所以D不正确.2．（2026·河南·模拟预测）已知集合，则（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据，时的情况判断AC；分别令，求解对应的，并结合判断BD.【详解】对于A选项，当时，，故A错误；对于B选项，令，解得，故，即B错误；对于C选项，当时，，故C正确；对于D选项，令，解得，故，即D错误；3．（2026高一·全国·专题练习）已知集合，，，若，，则必有（）A． B．C． D．不属于集合A、B、C中的任何一个【答案】B【分析】设出的表示形式，计算后比较各集合的代表元形式可得．【详解】由题意设，，其中都是整数，则，其中是整数，可以是奇数也可以是偶数，∴.4．（多选）（25-26高一上·广东·期末）（多选）（多选）若集合，且，则的值可能是（

）A． B．C．2 D．4【答案】BD【分析】根据元素与集合的关系运算求解，注意检验，保证集合的互异性.【详解】由，，若时，或，当时，集合不符合题意舍去，当时，集合符合题意，若时，则，此时集合不符合题意舍去，若时，即，解得：或，当时，集合符合题意，当时，集合不符合题意舍去，综上所述：或，故选：BD.5．（25-26高一上·天津河北·阶段检测）已知集合，若，则实数的所有可能取值组成的集合为____．【答案】【分析】由题意得，或，或，进而分别求解，结合集合元素的互异性可得结论.【详解】因为，，所以，或，或，若，则，所以，解得或，当时，，符合题意，当时，，不符合题意；若，则，又，方程无解；若，则，解得或，当时，，不符合题意，当时，，符合题意；综上所述，实数的所有可能取值组成的集合为.故答案为：.【考点2：集合中元素的个数】1．（25-26高三下·江苏扬州·开学考试）已知集合，则中元素的个数是（

）A．8 B．7 C．6 D．5【答案】B【详解】数集表示的是自然数集，，，，，中元素的个数是.2．（25-26高一上·江西赣州·期末）集合的元素个数是（

）A．5个 B．4个 C．3个 D．无数个【答案】B【分析】根据集合中的元素所具有性质判断可得.【详解】因为，所以是自然数且是6的正约数，而6的正约数有当分别取时，对应的的值分别为，所以只能是.故集合的元素个数是4.故选：B3．（25-26高一上·贵州·期中）已知集合，．则集合中的元素个数是（

）A．9 B．8 C．7 D．6【答案】C【分析】根据给定条件，利用列举法求出集合即可.【详解】集合，，则集合，所以集合中的元素个数是7.故选：C4．（2026高一·全国·专题练习）已知，集合中的元素恰有个整数，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】集合对应的区间长度在之间，可得出关于的取值范围，然后对的取值进行分类讨论，确定集合中的整数元素，可得出关于的不等式，解之即可.【详解】因为集合中恰有两个整数，所以，解得，当时，集合中的两个整数分别为、，则，解得；当时，，此时，集合中元素为整数的只有、，合乎题意，综上所述，实数的取值范围是.5．（24-25高一上·福建厦门·阶段检测）根据要求完成下列问题：集合满足：，又若实数是数集中的一个元素，则一定也是数集中的一个元素，求证：(1)若，则集合中还有其他两个元素；(2)集合不可能是单元素集合．【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析【分析】（1）由，根据题意，结合，准确运算，即可求解；（2）假设集合C中只有个元素，结合题意，得到方程，结合一元二次方程的性质，即可得证.【详解】（1）若，则，若，则，若，则，当时，集合中必含有另两个元素、；（2）假设集合中只有一个元素，由题意可知，集合为单元素集合，，即，而，则此方程无实数解，假设不成立，集合不可能是单元素集合．【考点3：求集合的子集（真子集）】1．（2026·湖南常德·一模）集合的真子集的个数为（

）A．9 B．8 C．7 D．6【答案】C【分析】先求集合，进而求解.【详解】由题意得：，解得，又，所以，所以，所以，所以集合的真子集的个数为.2．（2026高一上·广东清远·专题练习）已知集合，，则满足B的集合C的个数为（

）A．4 B．7 C．8 D．15【答案】B【分析】方法一：根据集合关系写出所有满足题意的集合C即可得答案.方法二：转化为求集合的任意一个真子集的个数求解即可.【详解】方法一：因为集合，，所以满足条件的集合C有：，，，，，，，共7个．方法二：集合中有2个元素，集合中有5个元素，故满足条件的集合C可以是集合的任意一个真子集与集合A的并集，因为集合的真子集的个数为，所以满足条件的集合C有3．（2026·湖北襄阳·二模）已知集合，⫋则符合条件的集合B的个数为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用列举法表示出集合，再根据给定条件即可求出集合的可能情况.【详解】集合，，所以可能的取值为，即集合，是的真子集，有个，故C正确．4．（25-26高三·全国·一轮复习）已知集合，，集合中所有元素的乘积称为集合的“累积值”，且规定：当集合只有一个元素时，其累积值即为该元素的数值，空集的累积值为0．设集合的累积值为．（1）若，则这样的集合共有________个；（2）若为偶数，则这样的集合共有________个．【答案】213【分析】根据“累积值”的定义，结合间接法与集合子集个数的求法得解即可.【详解】（1）若，据“累积值”的定义得或，这样的集合共有2个；（2）集合的子集共有个，其中“累积值”为奇数的子集为、、，共3个，所以“累积值”为偶数的集合共有13个．5．（24-25高一上·安徽淮北·期末）已知集合，集合(1)求的真子集(2)若，求的值．【答案】(1)，，(2)，或【分析】（1）解方程得集合，再求真子集；（2）因为，所以，分和进行求解.【详解】（1）解方程得，或因此集合，其真子集为，，，共3个．（2）因为，所以，①当时，，此时符合题意②当时，因为，此时易知要使得，即或，解得，或．综上所述，要使得，则，或.【考点4：集合间基本关系的判断】1．（2026·湖南长沙·二模）已知集合，，则M与N的关系是（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】已知集合，因为任何数的平方都大于等于0，要使成立，则必须满足，即，，所以集合，集合M中的元素是一个点.集合，集合N中的元素是两个数0和1.所以集合M与集合N没有公共元素，即.2．（25-26高三上·河南郑州·期末）已知集合，则与的关系为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】分别化简集合，利用集合相等的概念、集合间的包含关系以及交集运算即可求解．【详解】，，则，，故B正确；A、C错误；，故D错误；故选：B．3．（2027高三·全国·专题练习）已知非空集合，且，设，，，，则对于，的关系，下列结论正确的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】通过证明和，来判断与的相等关系．【详解】对任意，有且，从而有且，进一步，即，所以；对任意，有，从而有且，进一步有且，即，所以．综上所述，有．故选：C．4．（25-26高二上·广东广州·期末）设集合，则（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据两集合中的数字特征，即可得出两集合的关系.【详解】由题意得,显然仅表示奇数，而表示整数，因此集合是集合的子集，即，故选：B5．（多选）（25-26高一上·广西河池·期中）（多选）已知集合，则下列集合中哪些是A的子集（

）A． B． C． D．【答案】ACD【详解】，解得，集合，中元素均属于集合，是集合的子集，故A正确；中有元素不属于集合，不是集合的子集，故B错误；等于集合，是集合A的子集，故C正确；中元素均属于集合，是集合的子集，故D正确．【考点5：由集合间的基本关系求参数值】1．（2026·黑龙江哈尔滨·模拟预测）设集合，，若，则由实数组成的集合为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据题意，分和，两种情况讨论，结合，列出方程，即可求解.【详解】当时，方程无解，即，满足；当时，由方程，解得，即，因为，可得或，解得或，所以由实数组成的集合为.2．（25-26高三下·湖南长沙·阶段检测）已知集合，，且，则（

）A．1 B． C．2 D．【答案】D【分析】由，得，进而得到关于的方程，结合集合的性质求解即可.【详解】由，得，所以或或，解得或或或.当时，，，不符合集合元素的互异性，故舍去.当时，，，不符合集合元素的互异性，故舍去.当时，，，符合题意.当时，，，不符合集合元素的互异性，故舍去.故.3．（2026·河南·一模）已知实数a，b，设，，若，则（

）A．1 B． C． D．【答案】A【详解】，则集合中元素都在集合中，若，解得，则集合有两个2，不符合集合中元素的互异性，舍去；若，方程无解；由题意知，则必有，此时，若，则，方程无实数根，，则或，当时，，此时；当时，，此时；综上可得，．4．（2026·河南·模拟预测）已知集合，，若，则实数的取值集合为（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】令，解得或，所以.因为，所以或，解得或或.经检验：当时，与集合中元素的互异性矛盾.所以实数的取值集合为.5．（2026·陕西咸阳·三模）已知集合，若，则实数的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】化简集合分式不等式等价于，解得，即，化简集合由得，即；根据包含关系求的范围表示中所有元素都属于，要让区间完全落在内，只需满足：解得，即的取值范围为.【考点6：集合的基本运算】1．（2026·湖南长沙·二模）已知集合，，则（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】解不等式可得或，解得或，即，又已知.对选项A：，故A错误.对选项B：取，但，故，故B错误.对选项C：对任意，都满足，符合中元素的取值要求，即，故，故C正确.对选项D：，取，且，故，故D错误.2．（2026·山西大同·三模）已知全集，集合，，则（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】，解得，；，解得，；，．3．（25-26高二下·河北石家庄·期中）已知集合，，则（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】先求出集合，根据集合的交集和补集求解即可.【详解】因为，，所以.4．（2026·天津·模拟预测）已知全集，，则（）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据补集、并集的知识求得正确答案.【详解】依题意，，所以，.5．（2026·天津河东·二模）已知全集，集合，集合，则（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据集合的运算即可求解．【详解】由题可得，，，所以，则．【考点7：与集合运算有关的参数问题】1．（2026高三上·河南鹤壁·专题练习）已知集合，，若，则的取值范围为______【答案】【分析】由补集和交集的概念可得出答案.【详解】已知，则，，且，所以.故答案为：2．（25-26高一上·安徽合肥·阶段检测）已知集合，若，则实数m的取值范围是_________．【答案】【分析】根据题意，先求或，再结合题意，分和讨论求解即可．【详解】或，又，所以①当，，解得；②当，，解得；综上，时，实数m的取值范围为．故答案为：．3．（2026高一上·江苏·专题练习）已知集合，，，若，则实数m的取值范围是______．【答案】【分析】根据分类讨论，分别列不等式求得的取值范围，最后根据补集思想即得.【详解】，.由，可分为和两种情况讨论：当时，得.当时，或，解得：或.综上所述：当时，实数的取值范围为，故当时，实数的取值范围为.故答案为：4．（25-26高一上·天津·期末）设集合．(1)当时，求；(2)若，求实数的取值范围．【答案】(1)或(2)【分析】（1）代入条件后用补集与并集的运算即可求解；（2）根据条件得，进而可求的取值范围.【详解】（1）当时，，或或所以或（2）因为，所以.①当时，有，②当时，有，即综上可得，故实数的取值范围5．（25-26高二下·江西南昌·期中）设集合，，(1)若，求，；(2)若中只有一个整数，求实数m的取值范围．【答案】(1)，；(2).【分析】（1）根据条件得到，再利用集合的运算即可求出结果；（2）由（1）知或，根据条件，借助数轴，即可求出结果.【详解】（1）因为，所以，又，所以或，所以，．（2）由（1）知或，又中只有一个整数，由图知，，且，解得，所以实数的取值范围是．【考点8：集合的新定义】1．（2026·辽宁·三模）定义集合运算：，设集合，，则集合的所有元素之和为（

）A．0 B．2 C．3 D．5【答案】D【分析】根据定义先求，进而求解.【详解】由题意得：，所以.2．（26-27高一上·河北保定·阶段检测）设G为非空数集，若对于任意的，都有，，，则称G是一个数环.关于数环，下列说法错误的是（

）A．0是任何数环的元素 B．集合是一个数环C．集合是一个数环 D．若集合为数环，则也为数环【答案】C【详解】由数环的定义可知，设，则，则，，故0是任何数环的元素，A正确；偶数与偶数相加、相减、相乘的结果均是偶数，所以是一个数环，B正确；设，则，因为不是整数，所以，所以集合不是数环，C错误；设，因为为数环，则，又为数环，则，所以，D正确．故选C．3．（2026·山东德州·模拟预测）已知，，为集合的非空子集，满足：①，；②，中元素均为奇数，中元素均为偶数；③，，中所有元素的和分别记为，，，且．则正整数的最小值为________．【答案】8【分析】根据给定条件，从1开始依次取值讨论求解.【详解】当，2时，无法满足中的元素是3的倍数，故舍；当时，集合元素的总和为6，每部分和应为2，但中必须包含3，其和，故舍；当时，集合元素的总和为10，不能被整除，故舍；当时，集合元素的总和为15，每部分和应为5，中必须包含3，需要再加入和为2的元素，只能加入2，此时，剩余元素分配给，无法满足和为5且奇偶性的要求，故舍；当时，集合元素的总和为21，每部分和应为7，中必须包含3和6，此时和为，故舍；当时，集合元素的总和为28，不能被整除，故舍；当时，集合元素的总和为36，每部分和应为12，中必须包含3和6，需要再加入和为3的元素，可加入1和2，此时，剩余元素分配给，取奇数，和为12，取偶数，和为12，满足所有条件，故的最小值为8.4．（25-26高一上·重庆·期末）“杰卡德距离”经常用来度量两个有限集合的差异性，在机器学习、数据科学等领域有着广泛的应用.设和为有限集，定义“杰卡德距离”为：（1）当，不全为时，；（2）当时，.其中表示中的元素的个数，，，为有限集.若，，则______；若，，，（其中为正整数，为非负整数），则的最大值为______.【答案】/0.4【分析】根据“杰卡德距离”的定义，求出集合的元素个数即可；利用并集、交集的性质求出的最大值、的最小值，进而求出的最大值.【详解】当，时，，，所以；由，得，由，得，因此，，则，所以的最大值为.故答案为：；5．（2026·北京海淀·一模）对于正整数m，n（，），集合.给定集合M的一个子集A，对于M中的元素，若存在且，，使得集合与A的交集所含元素个数为0或4，则称为A的一个“同形点”.(1)当时，写出集合的所有“同形点”；(2)当A只有一个元素时，求其“同形点”的个数；(3)若M的任意子集都有“同形点”，求的最小值.【答案】(1)；(2)；(3)21.【分析】（1）根据“同形点”定义直接写出答案即可；（2）分、、以及讨论即可；（3）讨论存在和恒成立的情况即可.【详解】（1），当“同形点”为时，取，此时，显然其与交集所含元素个数为0当“同形点”为时，取，此时，显然其与交集所含元素个数为0，故其“同形点”为.（2）的＂同形点＂的个数为．证明如下：设，由题：取集合．若为的＂同形点＂，应有，且．①当时，若且，取为，则与的交集元素个数为0，此时为的＂同形点＂，共有个；②当时，同理可得中除外，其余元素都是的＂同形点＂，共有个；③当时，同理可得中除外，其余元素都是的＂同形点＂，共有个；④当时，同理可得中除外，其余元素都是的＂同形点＂，共有个．综上可得的＂同形点＂的个数为．（3）的最小值为21．证明如下：首先当时，，由对称性不妨设中元素个数不少于11，对于，设的元素个数为，若存在，因为，所以存在，有，不妨设，则中至少一个是的＂同形点＂；若恒成立，因为，所以存在，有，因为，所以存在，使得，不妨设，则为的＂同形点＂．其次当时，不妨设；①若，则，取可得其无＂同形点＂；②若，则，取，可得其无＂同形点＂；综上的最小值为21．一、单选题1．（25-26高一上·广东广州·期末）已知全集，集合，，它们的关系如图（Venn图）所示，则阴影部分表示的集合为（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根据所给关系图（Venn图），可知是求,由此可求得答案.【详解】根据题意可知，阴影部分表示的是，故，故选:C.2．（25-26高一上·四川南充·阶段检测）给出下列关系式：①；②；③；④；⑤；⑥，其中正确的个数为（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】由元素与集合的关系，集合与集合的关系逐一判断．【详解】0不属于空集，故①错误，是整数，故②正确，，故，③正确，是正整数集，不是其子集，故④错误，是点集，不是其子集，故⑤错误，，故⑥错误，故选：B3．（2026·天津和平·三模）设全集，集合，，（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根据集合并集的定义以及补集的定义即可求解.【详解】由，可得，，故，故选：B4．（2026·河北邯郸·一模）已知集合，，若，则的值不可能为（

）A． B． C． D．3【答案】A【分析】求出或，利用，得.【详解】集合，或，，，的值不可能为.故选：A.【点睛】本题考查了根据集合间的基本关系求解参数范围的问题，属于中档题.解决此类问题，一般要把参与运算的集合化为最简形式，借助数轴求解参数的范围.5．（25-26高一上·黑龙江鸡西·阶段检测）已知，，若集合，则的值为（

）A． B．1 C． D．2【答案】B【分析】由集合相等，确定，进而确定，再结合元素互异性即可求解.【详解】由，可得，所以，即，所以，当时，不符合元素互异性，舍去；当时，符合题意，所以.故选：B6．（2026高三·全国·专题练习）用C(A)表示非空集合A中的元素个数，定义A*B＝若A＝{1，2}，B＝{x|(x2＋ax)·(x2＋ax＋2)＝0}，且A*B＝1，设实数a的所有可能取值组成的集合是S，则C(S)等于（

）A．1 B．3 C．5 D．7【答案】B【分析】根据题意可得或，进而讨论a的范围，确定出，最后得到答案.【详解】因为，，所以或，由，得，关于x的方程，当时，即时，易知，符合题意；当时，即或时，易知0，-a不是方程的根，故，不符合题意；当时，即时，方程无实根，若a=0，则B={0}，，符合题意，若或，则，不符合题意.所以，故.故选：B.【点睛】对于新定义的问题，一定要读懂题意，一般理解起来不难，它一般和平常所学知识和方法有很大关联；另外当时，容易遗漏a=0时的情况，注意仔细分析题目.二、多选题7．（25-26高一·全国·课后作业）设集合，集合，若，则可能是（

）A． B． C． D．【答案】ACD【分析】根据，可得或或，进而可求出的值．【详解】因为，所以或或，则或或，解得或或.故选：ACD.8．（25-26高二上·江西宜春·阶段检测）设是一个数集，且至少含有两个元素.若对任意的，都有（除数），则称是一个数域.则关于数域的理解正确的是（

）A．有理数集是一个数域B．整数集是数域C．若有理数集，则数集必为数域D．数域必为无限集【答案】AD【分析】根据数域的定义逐项进行分析即可求解.【详解】对于A，若，则，所以有理数集是一个数域，故A正确；对于B，因为所以，所以整数集不是数域，故B不正确；对于C，令数集