2027版53B版新高考版数学总复习重难突破培优10　球的切、接问题

培优10球的切、接问题类型1空间几何体的外接球常见空间几何体外接球模型及相关结论几何体图示及相关结论(R为几何体外接球的半径)长方体

长方体的体对角线的中点就是其外接球球心,4R2=a2+b2+c2可还原至长方体的锥体

已知AP,AB,AC两两垂直,则4R2=AP2+AB2+AC2

已知AP,AB,BC两两垂直,则4R2=PA2+AB2+BC2可还原至长方体的锥体

已知AB⊥BC,BC⊥PC,PA⊥AB,则4R2=PA2+AB2=PC2+BC2

已知AB=CD,AD=BC,AC=BD,则4R2=

圆柱

圆柱上、下底面中心连线的中点即为其外接球的球心,R2=d2+r2=

+r2(h为圆柱的高)直三棱柱

直三棱柱的外接球的球心是上、下底面三角形外心连线的中点,2r=

,R2=d2+r2正棱锥(以正四棱锥为例)

外接球球心在底面高线上,R2=(h-R)2+r2

外接球球心在底面高线的延长线上,R2=(R-h)2+r2圆锥

外接球球心在底面高线上,R2=(h-R)2+r2

外接球球心在底面高线的延长线上,R2=(R-h)2+r2圆台球心在圆台上、下底面中心连线上,

+

=h(h为圆台的高)球心在圆台上、下底面中心连线所在直线上,

-

=h(h为圆台的高)例1

(补形法)如图1,在三棱锥P-ABC中,PA=PB=AB=2

,点P到平面ABC的距离为2,且点P在平面ABC内的射影与点C在直线AB的两侧.如图2,△A'B'C'是底面△ABC在斜二测

画法下的直观图(其中A与A'对应,B与B'对应),A'C'=2B'C'=2,则三棱锥P-ABC外接球的表

面积为_____________.

12π

解析由斜二测画法下的直观图(横不变,纵减半)得△ABC的边AC,BC的长度及∠ACB

的度数.因为A'C'=2B'C'=2,∠B'C'A'=45°,所以AC=BC=2,AC⊥BC.过点P作PD⊥平面ABC于点D,则PD=2,连接CD,AD,BD,由PA=PB=2

,得AD=BD=2,则CA=AD=DB=BC=2,又∠BCA=90°,所以四边形CBDA为正方形,故可将此三棱锥补形成如图所示的正方体,

三棱锥P-ABC的外接球即为正方体的外接球,则该正方体的体对角线PC即为三棱锥P-ABC外接球的一条直径,设该外接球的半径为R,则2R=

=2

,即R=

,则三棱锥P-ABC外接球的表面积为S=4πR2=12π.例2

(双面定球心法)在三棱锥P-ABC中,△ABC是以AC为斜边的等腰直角三角形,△

PAC是边长为2的正三角形,二面角P-AC-B的大小为150°,则三棱锥P-ABC外接球的表

面积为

()A.

B.

C.

D.

A

解析三棱锥P-ABC中没有面面垂直或线面垂直,无法通过补形法求外接球的半径,考

虑采用双面定球心法,三棱锥中,△ABC,△PAC的外接圆圆心较好确定,所以选取这两个面.如图,取AC的中点H,连接BH,PH,则BH⊥AC,PH⊥AC,所以∠BHP为二面角P-AC-B的平

面角,所以∠BHP=150°.

因为△ABC是以AC为斜边的等腰直角三角形,所以H为△ABC外接圆的圆心,又△PAC是边长为2的等边三角形,所以△PAC的外接圆圆心为△PAC的重心,设为Q,则

HQ=

HP=

×2×

=

,过H作平面ABC的垂线,过Q作平面PAC的垂线,两垂线的交点为O,则O为三棱锥P-ABC

外接球的球心.设外接球的半径为R.在Rt△OHQ中,

=cos(150°-90°)=

,得OH=

,则R2=BH2+OH2=

,所以三棱锥P-ABC外接球的表面积为4πR2=

.归纳总结常见空间几何体外接球球心的确定方法1.定义法:如果一个定点与一个空间多面体的所有顶点的距离都相等,那么这个定点就

是该空间多面体的外接球的球心.2.补形法:解决棱锥外接球问题,常用补形法.如果棱锥的各个顶点都是某个长方体的顶

点,可以将该棱锥补形成长方体,再根据长方体的体对角线长等于球的直径求解.3.双面定球心法:如图,在三棱锥P-ABC中,(1)选定底面△ABC,定△ABC外接圆圆心O1,(2)选定侧面△PAB,定△PAB外接圆圆心O2,(3)分别过O1作面ABC的垂线,O2作面PAB的垂线,两垂线交点即为外接球球心O.

几何体图示相关结论(R为几何体内切

球半径)正方体

R=

圆柱

r,h分别为圆柱的底面圆半

径和高,R=r且h=2R类型2空间几何体的内切球常见空间几何体内切球模型及相关结论正三棱柱

r,h分别为柱体的底面三角

形内切圆半径和高,R=r且h

=2R正棱锥(以正四棱锥为例)

PE为锥体的斜高,h,r分别为

锥体的高和底面内切圆半

径,由△POF∽△PEO1得

=

,

=

=

三棱锥

记三棱锥的四个面的面积

分别为S1,S2,S3,S4,则R=

(V为三棱锥的体积)例1已知正四棱锥的侧棱长为

,底面边长为2,则该四棱锥的内切球的体积为

()A.

π

B.

C.

D.4

π

B解析解法一等体积法:求内切球体积的关键是求出半径,因为四棱锥内切球的球心到

四棱锥各面的距离相等,都是半径长,所以可以利用等体积法求出半径.如图1,设O为正方形ABCD的中心,E为BC的中点,连接PO,OE,PE,则PO为四棱锥的高,

PE为侧面三角形PBC的高,因为BC=2,PB=

,所以PE=

=2,则PO=

=

,设该四棱锥的内切球的半径为r,则

·S正方形ABCD·PO=

(S正方形ABCD+4S△PBC)r,即

×4×

=

×

4+4×

×2×2

·r,解得r=

,故该四棱锥的内切球的体积为V=

π×

=

,故选B.

解法二几何法:因为是求正四棱锥的内切球,所以也可以利用平面几何知识,找到半径

与棱长之间的关系来求半径.如图2,连接AC,BD,交于点H,取BC的中点G,连接HG,PH,PG,则PH⊥平面ABCD,PG⊥BC,因为正四棱锥的侧棱长为

,底面边长为2,所以PG=

=

=2,PH=

=

=

,所以在Rt△PHG中,sin∠HPG=

=

,所以∠HPG=

.设该四棱锥的内切球的半径为r,内切球的球心为O,过点O作OQ⊥PG,则OH=OQ=r,PO

=2r,所以PO+OH=3r=

,解得r=

,故该四棱锥的内切球的体积为V=

π×

=

,故选B.例2

(2025福建泉州四校联考)如图,三棱锥P-ABC中,AB=

PB=

CB=2

,∠APB=∠ACB=

,已知平面EFG∥平面ABC,且PC=3PG,三棱锥P-ABC的内切球O同时与平面EFG相切,则PC=

()

A.

-

B.

-1

C.

-1

D.

-

A

解析设点P到平面ABC的距离为d,三棱锥P-ABC的内切球的半径为r,因为球与三棱锥相切,所以利用等体积法列方程,即VP-ABC=

·S△ABC·d=

(S△ABC+S△PAB+S△PBC+S△PAC)·r,因为平面EFG∥平面ABC,三棱锥P-ABC的内切球O同时与平面EFG相切,所以球O的直径的长是两平面间的距离,(建立d与r的关系)由PC=3PG,得

d=2r,

因为AB=2

,PB=CB=2,∠APB=∠ACB=

,所以AP=AC=2,则△APB,△ABC是等腰直角三角形.设PC=2x,取PC的中点H,连接BH,

因为PB=CB,所以BH⊥PC,BH=

,所以

×

×2×2d=

×

×2×2×2+

×2x

×2

·r,(S△APB=S△ABC,S△PAC=S△PBC)则4d=(8+4x

)·

d,即12=8+4x

,即x

=1,x2(4-x2)=1,x4-4x2+1=0,解得x2=

=

,则x=

,因为PC<

AB·2=2

,

注意:Rt△APB≌Rt△ACB,

AB是△ABC的边AB中线的长

所以x=

,PC=

-

.故选A.归纳总结几何体内切球问题的处理技巧1.球心在过切点且与切面垂直的直线上;2.球心到各面的距离相等;3.三棱锥的内切球半径r=

(V为三棱锥的体积);4.作出轴截面(截面中含切点,球心等元素),利用三角形相似求解内切球的半径.类型3空间几何体的棱切球例已知正三棱锥P-ABC的底面边长为2

,若半径为1的球与该正三棱锥的各棱均相切,则三棱锥P-ABC的体积为

()A.2

B.2

C.3

D.2

A

解析因为球与该正三棱锥的各棱均相切,所以该球的球心在过底面三角形内切圆圆心且与平面ABC垂直的直线上,(判断球心大

致位置)又因为等边△ABC的边长为2

,所以正三角形的内切圆半径为r'=

AB·tan30°=

×

=1,又因为球的半径r=1,所以r=r',所以棱切球的球心即为底面正三角形的中心O,(通过底面正三角形的内切圆的半径与球的半径相等,确定球心即为底面正三角形的中心O)如图,过球心O作OH⊥PA于H,

所以OH=r=1,又因为OA=

AB·sin60°=2,所以cos∠AOH=

=

,因为0°<∠AOH<90°,所以∠AOH=60°,又由题意可知,PO⊥平面ABC,AO⊂平面ABC,所以PO⊥OA,所以∠POH=30°,所以PO=

=

=

,(将空间问题平面化,在Rt△POH中,求解三棱锥的高PO)所以VP-ABC=

S△ABC·PO=

×

×2

×2

×

×

=2.故选A.归纳总结常见的几何体的棱切球模型设正方体及正四面体的棱长均为a.

正方体的棱切球正四面体的棱切球图形

球的半径

类型4空间几何体的叠切球例

(2025浙江温州二模)某重器上一零件结构模型如图,中间最大球为正四面体ABCD

的内切球,中等球与最大球和正四面体的三个面均相切,最小球与中等球和正四面体的

三个面均相切,已知正四面体ABCD的棱长为2

,则模型中九个球的表面积和为

()

A.6π

B.9π

C.

D.21πB

解析如图,取BC的中点E,连接DE,AE,则CE=BE=

,AE=DE=

=3

,过A作AF⊥DE于F,因为DE⊥BC,AE⊥BC,AE∩DE=E,AE,DE⊂平面ADE,所以BC⊥平

面ADE,因为AF⊂平面ADE,所以BC⊥AF,因为DE∩BC=E,DE,BC⊂平面BCD,所以AF⊥平面BCD.易得DF=2EF,所以DF=2

,EF=

,则AF=

=4.设正四面体内切球球心为O,易知O在AF上,连接DO并延长,交AE于点M,则DM⊥AE,设最大球的半径为R,则OF=OM=R,因为Rt△AOM∽Rt△AEF,所以

=

,即

=

,解得R=1,