浙江省杭州市2025-2026学年高二下学期期末教学质量检测数学试卷（含答案）

浙江省杭州市2025-2026学年高二下学期期末教学质量检测数学试卷注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填（涂）写在答题卡上。2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答在试卷上无效。3.非选择题必须用黑色字迹的签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；不准使用铅笔和涂改液。4.考试结束后，将试卷、答题卡和草稿纸一并交回。一、选择题:本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知i为虚数单位，则复数在复平面内对应的点位于(

)A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限2．下列样本数据散点图中，变量x和变量y的样本相关系数分别为，，，则(

)

A. B. C. D.3．已知函数，则“”是“”的(

)A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件4．以，为直径的圆的方程是(

)A. B.C. D.5．已知直三棱柱的顶点都在球O上，若，，，，则球O的表面积为(

)A. B. C. D.6．已知是函数的极小值点，则(

)A. B.C. D.7．设，是函数的两个不同的零点.若，则(

)A. B. C. D.8．从如图所示的方格表中随机选4个方格，要求每行和每列均恰有一个方格被选中，则事件“选中方格中的4个数之和为-1”的概率为(

)A. B. C. D.二、多项选择题:本大题共3小题，每小题6分，共计18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。9．已知事件A，B的对立事件分别记为，，若，，，则(

)A.事件A与B互斥 B.C. D.10．已知数列的各项均为正数，前n项和为，且，则(

)A. B.C. D.11．在区块链中，常用椭圆曲线进行加密.已知椭圆曲线，则(

)A.曲线Γ关于x轴对称B.曲线Γ与x轴有两个交点C.曲线Γ上点到x轴的最小距离不小于D.曲线Γ上点P到原点的最小距离为三、填空题:本题共3小题，每小题5分，共15分。12．《莱茵德纸草书》记载:把30个面包分给5个人,使得每人所得面包个数成等差数列,且较大的三份之和是较小的两份之和的4倍,则最小的一份为_____________.13．如图，在圆锥中，，是底面圆O的两条互相垂直的直径，E是母线的中点.已知平面与圆锥侧面的交线是抛物线的一部分，设该抛物线的焦点为F.若，则________.14．已知空间向量，，满足，，，，则，，的最小值为________.四、解答题:本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15．（13分）已知空间向量，，设函数.(1)求的最小正周期；(2)当时，求的值域.16．（15分）如图，在四棱锥中，平面平面，，，，.(1)证明：；(2)若，(i)设，点Q到直线的距离为3，求λ的值；(ii)求平面与平面的夹角的余弦值.17．（15分）已知双曲线，过点的直线l与Γ的上、下两支分别交于点M，N.(1)若点P是Γ上的动点，求的最小值；(2)设O为坐标原点，直线，的斜率分别为，，(i)若，求直线的方程；(ii)求的取值范围.18．（17分）已知函数.(1)求曲线在点处的切线方程；(2)证明：曲线是轴对称图形；(3)若，恒成立，求a的最大值和b的最小值.19．（17分）口袋中装有形状、大小完全相同的4只小球，其中红球1只、黄球3只.现从口袋中有放回地取球，每次取出1球，取到红球得1分，取到黄球得2分.(1)在取球过程中，记事件“恰好得n分”的概率为，(i)求；(ii)求；(2)若共取球次，X表示次取球中取到红球的次数，记.求证：.参考答案1．答案：C2．答案：B3．答案：C4．答案：A5．答案：D6．答案：D7．答案：B8．答案：B9．答案：BD10．答案：ABC11．答案：ACD12．答案：213．答案：14．答案：15．(1)因为，所以的最小正周期为；(2)当时，，则，所以的值域为.16．(1)证明：因为，，.所以，故，又平面平面，平面平面，平面，所以平面，又平面，所以.(2)因为，，所以，又，，所以，如图建系直角坐标系.所以，，，，，(i)因为，所以点Q的坐标为，所以，，则直线的一个单位方向向量为，点Q到直线的距离，解得.(ii)已知平面的一个法向量为，，，设平面的一个法向量为，由，即，取.所以，所以平面与平面的夹角的余弦值为.17．(1)设，则，所以，即当时，.(2)如图：设与联立，有，由，得，设，，则，，得，则，(i)当时，，直线l的方程为；(ii)因为直线，存在斜率，所以，故，所以，即的取值范围.18．(1)由题知，又，，所以切线方程为，即.(2)令，则，所以曲线关于直线对称；(3)由题知，令；由于关于直线对称，故只需考虑即可.则，令，则，由，得，.在上单调递增，在上单调递减，，所以当，，，单调递增，所以.即b的最小值为.由题意，，恒成立，令，，因为，所以，即，即，下面证明时，恒成立，易知关于对称，故考虑即可，；记，则；在必有一解，且在单调递减，在单调递增.又，所以，从而.即，.所以a的最大值为.19．(1)(i)恰好得2分为第一次取到黄