2026年高考数学概率统计：随机变量专项测试试卷

2026年高考数学概率统计：随机变量专项测试试卷考试时间：______分钟总分：______分姓名：______注意事项：1.本试卷分为选择题、填空题和解答题三部分。2.所有答案必须写在答题卡上，写在试卷上无效。3.选择题、填空题作答必须使用黑色签字笔，解答题作答必须使用蓝色或黑色圆珠笔。4.选择题作答时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。作答非选择题时，将答案写在答题卡上对应的答题区域内。写在本试卷上无效。5.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.如果一个随机变量X的所有可能取值为1,2,3，且其分布列为P(X=1)=a,P(X=2)=b,P(X=3)=c，则下列说法正确的是（）。A.a,b,c可以是0，1，2B.a+b+c=1C.a必须小于bD.c是X取值的最大概率2.设随机变量X的分布函数为F(x)，则下列叙述正确的是（）。A.F(x)是单调递减函数B.0≤F(x)≤1，对任意实数x恒成立C.F(x)是连续函数D.F(x)的值表示随机变量X小于或等于x的概率3.已知离散型随机变量X的分布列为：X-101P0.20.50.3则随机变量X的期望E(X)等于（）。A.0B.0.1C.0.5D.14.设随机变量X的分布列为：X012Pp0.50.3则p的值为（）。A.0.1B.0.2C.0.3D.0.45.已知随机变量X的密度函数为f(x)=kx^2,x∈[-1,1]，则k的值为（）。A.1/3B.1/2C.1D.26.设连续型随机变量X的密度函数为f(x)=k(x-1),x∈[0,2]，则P(X<1)等于（）。A.1/8B.1/4C.1/2D.3/47.若随机变量X服从二项分布B(n,p)，且E(X)=6，D(X)=3，则np的值为（）。A.3B.4C.6D.98.设随机变量X的期望E(X)=2，方差D(X)=1，则E(X^2)等于（）。A.1B.2C.3D.59.已知随机变量X的密度函数为f(x)=e^-x,x∈[0,+∞)，则X的期望E(X)等于（）。A.1B.eC.e^-1D.+∞10.设X是随机变量，Y=X^2，若E(X)=μ，D(X)=σ^2，则E(Y)等于（）。A.μ^2B.μ^2+σ^2C.2μ^2D.μ^2+2σ^2二、多选题：本大题共5小题，每小题6分，共30分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对但不得分，有选错的得0分。11.下列关于离散型随机变量分布列的说法中，正确的是（）。A.分布列中的每个概率值都必须大于0B.分布列中所有概率值之和为1C.分布列可以表示在某一区间内随机变量取值的概率D.分布列uniquely确定了一个离散型随机变量的统计规律12.设随机变量X的密度函数为f(x)，则下列表达式中，可以作为概率的是（）。A.∫[a,b]f(x)dxB.∫[a,b]|f(x)|dxC.f(x_0)D.∫[-∞,+∞]f(x)dx13.对于任意随机变量X，下列关于期望E(X)和方差D(X)的说法中，正确的是（）。A.E(X)是X取值的“平均值”B.D(X)是X取值相对于E(X)的“平均偏离程度”C.D(X)=E[(X-E(X))^2]D.若D(X)=0，则X取值的概率全部集中在E(X)处14.设随机变量X服从正态分布N(μ,σ^2)，则下列说法中正确的是（）。A.正态分布曲线关于直线x=μ对称B.正态分布曲线的峰值点在x=μ处C.在x=μ处，正态分布曲线的拐点D.正态分布曲线下的总面积为μ15.已知随机变量X的期望E(X)和方差D(X)都存在，则下列结论中正确的是（）。A.E(aX+b)=aE(X)+b(其中a,b为常数)B.D(aX+b)=a^2D(X)(其中a,b为常数)C.E(X^2)=D(X)+[E(X)]^2D.若X和Y相互独立，则E(XY)=E(X)E(Y)三、解答题：本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。16.（本小题满分10分）已知离散型随机变量X的分布列为：X-101P0.2k0.5（1）求k的值；（2）计算随机变量X的期望E(X)和方差D(X)。17.（本小题满分12分）设随机变量X的密度函数为f(x)={kx,0≤x≤20,其他}（1）求k的值；（2）计算P(X≤1)；（3）计算随机变量X的期望E(X)。18.（本小题满分12分）一袋中有5个红球和3个白球，从中随机连续抽取2个球（不放回），设抽到红球的个数为随机变量X。（1）求随机变量X的分布列；（2）计算随机变量X的期望E(X)和方差D(X)。19.（本小题满分13分）设随机变量X服从参数为n=4,p=0.5的二项分布，随机变量Y=X^2-2X+3。（1）求随机变量X的分布列；（2）计算E(X)和D(X)；（3）计算E(Y)。20.（本小题满分14分）设随机变量X的密度函数为f(x)={2x,0≤x≤10,其他}（1）计算P(0.5<X<1)；（2）设随机变量Y=3X-1，计算E(Y)和D(Y)。21.（本小题满分15分）某城市每天发生交通事故的次数X服从参数为λ=0.8的泊松分布。（1）求该城市一天内发生0次交通事故的概率；（2）设Y=2X+1，求E(Y)和D(Y)；（3）从今天起，连续观察5天，求这5天中最多有2天发生交通事故的概率。试卷答案一、选择题：1.B2.B3.A4.B5.A6.B7.C8.C9.A10.B二、多选题：11.ABD12.AB13.ABCD14.ABC15.ABCD三、解答题：16.（1）由分布列性质，P(X=-1)+P(X=0)+P(X=1)=1，即0.2+k+0.5=1。解得k=0.3。（2）E(X)=(-1)×0.2+0×0.3+1×0.5=-0.2+0+0.5=0.3。D(X)=[(-1)-0.3)^2×0.2+(0-0.3)^2×0.3+(1-0.3)^2×0.5]=(0.7)^2×0.2+(0.3)^2×0.3+(0.7)^2×0.5=0.49×0.2+0.09×0.3+0.49×0.5=0.098+0.027+0.245=0.37。17.（1）由密度函数性质，∫[-∞,+∞]f(x)dx=1。即∫[0,2]kxdx=1。计算得∫[0,2]kxdx=k[x^2/2]_0^2=k(4/2-0)=2k。解得2k=1，k=1/2。（2）P(X≤1)=∫[0,1]f(x)dx=∫[0,1](1/2)xdx=(1/2)[x^2/2]_0^1=(1/2)(1/2-0)=1/4。（3）E(X)=∫[-∞,+∞]xf(x)dx=∫[0,2]x(1/2)xdx=(1/2)∫[0,2]x^2dx=(1/2)[x^3/3]_0^2=(1/2)(8/3-0)=4/3。18.（1）X的所有可能取值为0,1,2。P(X=0)=C(3,2)/C(8,2)=3/28。P(X=1)=C(5,1)*C(3,1)/C(8,2)=5*3/28=15/28。P(X=2)=C(5,2)/C(8,2)=10/28=5/14。分布列为：X012P3/2815/285/14（2）E(X)=0×(3/28)+1×(15/28)+2×(5/14)=0+15/28+10/28=25/28。D(X)=[0-25/28]^2×(3/28)+[1-25/28]^2×(15/28)+[2-25/28]^2×(5/14)=(25/28)^2×(3/28)+(3/28)^2×(15/28)+(31/28)^2×(5/14)=(625/784)×(3/28)+(9/784)×(15/28)+(961/784)×(5/14)=1875/21952+135/21952+4805/10976=1875/21952+135/21952+9610/21952=12020/21952=3015/5488。（或D(X)=E(X^2)-[E(X)]^2。E(X^2)=0^2×(3/28)+1^2×(15/28)+2^2×(5/14)=15/28+20/28=35/28。D(X)=35/28-(25/28)^2=35/28-625/784=980/784-625/784=355/784。）（采用D(X)=E(X^2)-[E(X)]^2更简单。）19.（1）X的所有可能取值为0,1,2,3,4。P(X=k)=C(4,k)*(0.5)^k*(0.5)^(4-k)=C(4,k)*(0.5)^4=C(4,k)/16。分布列为：X01234P1/164/166/164/161/16（2）E(X)=0*(1/16)+1*(4/16)+2*(6/16)+3*(4/16)+4*(1/16)=(0+4+12+12+4)/16=32/16=2。D(X)=[0-2]^2*(1/16)+[1-2]^2*(4/16)+[2-2]^2*(6/16)+[3-2]^2*(4/16)+[4-2]^2*(1/16)=4*(1/16)+1*(4/16)+0*(6/16)+1*(4/16)+4*(1/16)=4/16+4/16+0+4/16+4/16=16/16=1。（对于二项分布B(n,p)，E(X)=np，D(X)=np(1-p)。此处n=4,p=0.5，E(X)=4*0.5=2，D(X)=4*0.5*(1-0.5)=1。）（3）E(Y)=E(2X+1)=2E(X)+1=2*2+1=5。D(Y)=D(2X+1)=2^2D(X)=4*1=4。20.（1）P(0.5<X<1)=∫[0.5,1]f(x)dx=∫[0.5,1](2x)dx=[x^2]_0.5^1=1^2-(0.5)^2=1-1/4=3/4。（2）E(X)=∫[-∞,+∞]xf(x)dx=∫[0,1]x(2x)dx=∫[0,1]2x^2dx=[2x^3/3]_0^1=2/3。E(Y)=E(3X-1)=3E(X)-1=3*(2/3)-1=2-1=1。E(X^2)=∫[-∞,+∞]x^2f(x)dx=∫[0,1]x^2(2x)dx=∫[0,1]2x^3dx=[2x^4/4]_0^1=1/2。D(X)=E(X^2)-[E(X)]^2=1/2-(2/3)^2=1/2-4/9=9/18-8/18=1/18。D(Y)=D(3X-1)=3^2D(X)=9*(1/18)=1/2。21.（1）X服从参数λ=0.8的泊松分布。P(X=0)=