2017-2026上海十年高考数学专项汇编：专题16 统计、概率、随机变量及其分布（学生版）

/专题16统计、概率、随机变量及其分布10年真题1年模拟考点分类上海考情（2017-2026）命题规律考点01统计2023、2024、2025、2026上海高考均有考查；题型覆盖单选、填空、解答大题；2026新增分层抽样多问综合题；2024重点考查卡方独立性检验、分层抽样、均值方差综合计算；2023侧重统计图、中位数平均数基础计算；1.基础小题：条形/散点图判相关性、中位数、平均数、频率直方图组数计算、分层抽样比例，难度基础；2.解答大题固定考两类：①线性回归（求回归方程、样本中心点、预测求值）；②2×2列联表独立性检验（卡方计算，判断是否有95%把握相关）；考点02概率2017-2026每年必考；单选：独立/互斥事件辨析、对立事件判定；填空：古典概型计数概率、条件概率；解答：表格型综合概率、分布列结合期望综合；2026考查互斥事件概率、对立事件定义；2024考互斥与独立辨析；2023表格多问概率；2022、2018、2017均为组合计数古典概型填空。1.概念辨析为单选核心：区分互斥、对立、相互独立，常结合实物模型（礼盒、砝码、函数图像）出题；2.古典概型必考：利用排列组合算总基本事件与符合条件事件，化简分数；3.综合大题：结合二维表格，先判断事件独立，再求概率、写分布列、算数学期望；4.互斥事件加法公式、独立事件乘法公式是计算核心工具。考点03随机变量及其分布2024、2025、2026高考稳定考查；单选：相关系数正负、独立事件概率；填空：二项分布期望方差、正态分布对称性、超几何分布、条件概率；解答：超几何/二项分布分布列、期望计算、正态分布区间概率估算、递推型概率数列；2026考分布列期望、全概率；2025独立事件概率；2024全概率公式、相关系数。1.三大分布高频：①超几何分布：不放回抽样，求X分布列、期望；②二项分布：有放回/独立重复试验，直接套用E(X)=np,D(X)=np(1−p)；③正态分布：利用对称轴对称性、P(μ−σ<X<μ+σ)等给定区间概率求值；考点01统计1．（2023·上海·高考真题）如图为2018-2021年中国货物进出口总额的条形统计图，则下列对于进出口贸易额描述错误的是（

）A．从2018年开始，2021年的进出口总额增长率最大B．从2018年开始，进出口总额逐年增大C．从2018年开始，进口总额逐年增大D．从2018年开始，2020年的进出口总额增长率最小2．（2023·上海·高考真题）根据身高和体重散点图，下列说法正确的是（

）A．身高越高，体重越重 B．身高越高，体重越轻 C．身高与体重成正相关 D．身高与体重成负相关3．（2023·上海·高考真题）国内生产总值（GDP）是衡量地区经济状况的最佳指标，根据统计数据显示，某市在2020年间经济高质量增长，GDP稳步增长，第一季度和第四季度的GDP分别为231和242，且四个季度GDP的中位数与平均数相等，则2020年GDP总额为______；4．（2023·上海·高考真题）某校抽取100名学生测身高，其中身高最大值为，最小值为，根据身高数据绘制频率组距分布直方图，组距为5，且第一组下限为153.5，则组数为_______________．5．（2020·上海·高考真题）已知a、b、1、2的中位数为3，平均数为4，则ab=________6．（2026·上海·高考真题）某兴趣班共150人，年龄分布及兴趣爱好统计如下：年龄剪纸摄影画画人数8451055650(1)现采用分层抽样抽取30人，其中抽到年龄在岁的有多少人？(2)该兴趣班150人的平均年龄是多少？(3)现从150人中任意抽选1人，记抽到的学员年龄在为事件，记抽到学员爱好摄影为事件.事件与是否独立？请说明理由.7．（2025·上海·高考真题）2024年巴黎奥运会，中国获得了男子米混合泳接力金牌．以下是历届奥运会男子米混合泳接力项目冠军成绩记录（单位：秒），数据按照升序排列．206.78207.46207.95209.34209.35210.68213.73214.84216.93216.93(1)求这组数据的极差与中位数；(2)从这10个数据中任选3个，求恰有2个数据在211以上的概率；(3)若比赛成绩y关于年份x的回归方程为，年份x的平均数为2006，预测2028年冠军队的成绩（精确到0.01秒）．8．（2024·上海·高考真题）为了解某地初中学生体育锻炼时长与学业成绩的关系，从该地区29000名学生中抽取580人，得到日均体育锻炼时长与学业成绩的数据如下表所示：时间范围学业成绩优秀5444231不优秀1341471374027(1)该地区29000名学生中体育锻炼时长不少于1小时人数约为多少？(2)估计该地区初中学生日均体育锻炼的时长（精确到0.1）(3)是否有的把握认为学业成绩优秀与日均体育锻炼时长不小于1小时且小于2小时有关？（附：其中，．）其他合计优秀455095不优秀177308485合计2223585809．（2024·上海·高考真题）水果分为一级果和二级果，共136箱，其中一级果102箱，二级果34箱．(1)随机挑选两箱水果，求恰好一级果和二级果各一箱的概率；(2)进行分层抽样，共抽8箱水果，求一级果和二级果各几箱；(3)抽取若干箱水果，其中一级果共120个，单果质量平均数为303.45克，方差为603.46；二级果48个，单果质量平均数为240.41克，方差为648.21；求168个水果的方差和平均数，并预估果园中单果的质量．考点02概率1．（2026·上海·高考真题）事件和事件相互独立，“和至少一个发生”的对立事件是（

）．A． B． C． D．2．（2025·上海·高考真题）有一四边形，对于其四边，按顺序分别抛掷一枚质量均匀的硬币：如硬币正面朝上，则将其擦去；如硬币反面朝上，则不擦去．最后，以A为起点沿着尚未擦去的边出发，可以到达C点的概率为（

）．A． B． C． D．3．（2024·上海·高考真题）有四种礼盒，前三种里面分别仅装有中国结、记事本、笔袋，第四个礼盒里面三种礼品都有，现从中任选一个盒子，设事件：所选盒中有中国结，事件：所选盒中有记事本，事件：所选盒中有笔袋，则（

）A．事件与事件互斥 B．事件与事件相互独立C．事件与事件互斥 D．事件与事件相互独立4．（2026·上海·高考真题）已知事件，互斥，，，则__________．5．（2022·上海·高考真题）为了检测学生的身体素质指标，从游泳类1项，球类3项，田径类4项共8项项目中随机抽取4项进行检则，则每一类都被抽到的概率为___________；6．（2018·上海·高考真题）有编号互不相同的五个砝码，其中5克、3克、1克砝码各一个，2克砝码两个，从中随机选取三个，则这三个砝码的总质量为9克的概率是________（结果用最简分数表示）7．（2017·上海·高考真题）已知四个函数：①；②；③；④.从中任选2个，则事件“所选2个函数的图像有且仅有一个公共点”的概率为________8．（2023·上海·高考真题）21世纪汽车博览会在上海2023年6月7日在上海举行，下表为某汽车模型公司共有25个汽车模型，其外观和内饰的颜色分布如下表所示：红色外观蓝色外观米色内饰812棕色内饰23(1)若小明从这些模型中随机拿一个模型，记事件A为小明取到的模型为红色外观，事件B取到模型有棕色内饰，求，并据此判断事件A和事件B是否独立；(2)为回馈客户，该公司举行了一个抽奖活动，并规定，在一次抽奖中，每人可以一次性抽取两个汽车模型。为了得到奖品类型，现作出如下假设：假设1：每人抽取的两个模型会出现三种结果：①两个模型的外观和内饰均为同色；②两个模型的外观和内饰均为不同色；③两个模型的外观同色但内饰不同色，或内饰同色但外观不同色。假设2：该抽奖设置三类奖，奖金金额分别为：一等奖600元，二等奖300元，三等奖150元。假设3：每种抽取的结果都对应一类奖。出现某种结果的概率越小，奖金金额越高。请判断以上三种结果分别对应几等奖。设中奖的奖金数是，写出的分布，并求的数学期望。600300150考点03随机变量及其分布1．（2025·上海·高考真题）已知事件A、B相互独立，事件A发生的概率为，事件B发生的概率为，则事件发生的概率为（

）A． B． C． D．02．（2024·上海·高考真题）已知气候温度和海水表层温度相关，且相关系数为正数，对此描述正确的是（

）A．气候温度高，海水表层温度就高B．气候温度高，海水表层温度就低C．随着气候温度由低到高，海水表层温度呈上升趋势D．随着气候温度由低到高，海水表层温度呈下降趋势3．（2026·上海·高考真题）已知随机变量的分布为，且，则__________．4．（2024·上海·高考真题）某校举办科学竞技比赛，有3种题库，题库有5000道题，题库有4000道题，题库有3000道题．小申已完成所有题，已知小申完成题库的正确率是0.92，题库的正确率是0.86，题库的正确率是0.72．现他从所有的题中随机选一题，正确率是______．一、单选题1．（2026·上海·三模）下列结论中正确的是（

）A．数据1，3，4，5，7，9，11，16的第三四分位数为9B．多选题的正确答案可能是所提供选项中的一个或多个，一道有4个选项的多选题的答案个数可能有16个C．已知关于的经验回归方程为，则样本点的残差为22D．若随机变量服从正态分布，且，则2．（2026·上海嘉定·二模）生物学家在研究动物体重W（单位：g）与脉搏率f（单位：次）的关系时，获得了右表的数据，令，，并拟合线性回归方程．根据已知数据，下列说法正确的是（

）动物名体重脉搏率f/（次）鼠25670豚鼠300300兔2000205小狗5000120大狗3000085羊5000070马45000038A．变量x与y成正相关，且 B．变量x与y成负相关，且C．变量x与y成正相关，且 D．变量x与y成负相关，且3．（2026·上海闵行·二模）以下是由变量与所绘制的散点图，则它们的线性相关程度较高且正相关的是（

）A．

B．

C．

D．

4．（2026·上海金山·二模）为了了解申辉中学所有学生的每天平均体育运动时间，随机调查了该校100名学生，发现他们每天平均体育运动时间为h．这里的总体是（

）A．该校所有学生 B．该校所有学生的每天平均体育运动时间C．所调查的100名学生 D．所调查的100名学生的每天平均体育运动时间5．（2026·上海普陀·二模）某科技公司每位员工皆佩戴红色或蓝色中仅一种颜色的工牌，该公司为促进跨部门协作，采用智能轮岗系统进行员工交换部门，初始时，甲部门有2名红色工牌员工、1名蓝色工牌员工，乙部门有2名红色工牌员工、2名蓝色工牌员工，系统执行一次随机交换指令：从甲、乙2个部门中随机各选取1名员工进行交换，设交换后甲部门中红色工牌员工的人数为，则的期望为（

）A． B． C． D．6．（2026·上海杨浦·二模）事件、相互独立，若，，则A与同时发生的概率为（

）.A．0 B． C． D．7．（2026·上海金山·二模）已知全集是一个六元集合，任取的两个子集、（、可以相等），记事件；记事件．则（

）A． B． C． D．二、填空题8．（2026·上海·三模）设总体由编号为00，01…，59的60个个体组成，利用下面的随机数表选取6个个体，选取方法是从该随机数表第1行的第6个数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第5个个体的编号为__________．50446644216606580562616564350242354896321452415248226622158626637541995842367224583752185103371839119．（2026·上海·三模）已知样本数据的平均数为a，设，当函数取最小值时，_______．10．（2026·上海徐汇·二模）已知实数满足，则的方差的最大值为__________.11．（2026·上海普陀·二模）某大型管线网的局部呈网格结构，如图建立平面直角坐标系，一小型机器人沿管线移动执行巡检任务，在某次巡检的路径中经过了点：、、、、、、，若该机器人经过的点的纵坐标关于横坐标的一元线性回归方程是，则的值为______.12．（2026·上海普陀·二模）根据中国汽车工业协会发布的数据，年月至年月，我国新能源汽车月度销量（单位：万辆）为：，则这个月新能源汽车销量的中位数为______万辆.13．（2026·上海·三模）某池塘中水生植物的覆盖水塘面积x（单位：）与水生植物的株数y（单位：株）之间的相关关系，收集了4组数据，用模型去拟合x与y的关系，设，x与z的数据如表格所示：x3467z22.54.57得到x与z的线性回归方程，则___________.14．（2026·上海黄浦·三模）某班共有30名学生，则其中至少有2名学生在同一天出生的概率为________．（默认每年天数均为365天，结果精确到0.001）15．（2026·上海·三模）将甲、乙、丙、丁、戊五名志愿者分配到A、B、C、D四个特殊家庭开展帮扶，每个家庭至少安排一名志愿者，则志愿者甲恰好被安排在A家庭的概率为________．16．（2026·上海虹口·三模）甲、乙等共3人排成一排，则甲和乙不相邻的概率为_____________．17．（2026·上海徐汇·二模）设是一个随机试验中的两个事件，且，则__________.18．（2026·上海闵行·二模）已知事件发生的概率，事件发生的概率，若事件与独立，则______．19．（2026·上海奉贤·二模）从6名男生和4名女生中选出3人参加人工智能技能培训．设事件至少抽到一名女生，事件恰好抽到一名男生，则________．20．（2026·上海黄浦·三模）将序号分别为1，2，3，4，5的5张电影券全部分给甲、乙、丙、丁4人，每人至少1张，则在甲分得2张电影券的条件下，其分得2张电影券连号的概率为______.21．（2026·上海虹口·三模）已知随机变量服从分布，则_____________．22．（2026·上海黄浦·三模）已知随机变量服从正态分布，则________．23．（2026·上海静安·二模）某汽车制造厂生产一种用于发动机的活塞销，其设计标准直径为．根据长期生产数据，该活塞销的实际直径服从正态分布，方差为．规定：活塞销的直径在到之间为合格品．随机抽取一个活塞销，其为合格品的概率是______．（结果保留三位小数）参考数据：若随机变量，则，，．24．（2026·上海金山·二模）已知随机变量的分布为，则期望__________．25．（2026·上海崇明·二模）从一副去掉大小王的52张扑克牌中随机抽取一张牌，事件A表示“取得的牌面是A”，事件B表示“取得的牌的花色是黑桃”，则为______.26．（2026·上海·二模）已知离散型随机变量服从二项分布，则____________.27．（2026·上海·三模）随机变量X服从二项分布，且，，则p的值为___________.三、解答题28．（2026·上海静安·二模）下表是某品牌净化器的年销售量与年份的统计表．年份20212022202320242025年份代码x12345年销售量у（万台）23.52.589(1)用计算器计算净化器的年销售量y关于年份代码x的线性回归方程；（回归系数计算结果保留两位小数）(2)为了调查A、B两地区人群对该品牌净化器的了解情况，调查机构在A、B两地区的人群中分别进行品牌知晓情况的问卷调查．统计知晓与不知晓的人数，得到如下2×2列联表．知晓不知晓合计A地区8020100B地区4060100合计12080200试根据表中数据判断A、B两地区的人群对该品牌净化器的知晓情况是否有显著差异．（规定显著水平）附：关于回归方程，回归系数的计算公式，其中为样本点的中心；的计算公式；0.050.010.001k3.8416.63510.82829．（2026·上海·二模）班主任小明查阅了某大学发表的一项本市高三学生手机使用情况的研究报告.报告指出，高三学生每周手机使用时长（单位:小时）总体上服从正态分布.(1)小明老师将自己所带班级（共50名学生）视为从本市高三学生总体中随机抽取的一个样本，能以此正态分布模型估算出全班每周平均手机使用时长超过16小时的人数，在此估算基础上若在全班任选3位同学，则至少有2位同学的每周手机使用时长超过16小时的概率是多少?（结果用最简分数表示）参考数据:若，则.(2)小明老师发现小虹同学每周手机使用时长超过16小时，对其进行疏导劝解，并跟进统计出之后5周小虹每周手机使用时长与该周数学练习得分（每周练习的难度相同且满分均为150分），制成表1.以这5组数据建立回归方程.请求出实数的值表1第1周第2周第3周第4周第5周手机使用时长2018221614练习得分80887392m(3)受到鼓励的小虹制定了寒假复习计划表递交给小明老师，严格控制手机使用时长.小明老师统计发现该计划表中若第n天能复习时长超过5小时（记为“高效复习”），则第天也能“高效复习”的概率为;若第天不能“高效复习”，则第天还能“高效复习”的概率为.设（，为正整数）表示第天能“高效复习”的概率，，若表示复习计划表第天有效.求证:数列是等比数列，并说明小虹的该复习计划表是否在寒假每一天均有效.30．（2026·上海杨浦·二模）一次考试后，数学兴趣小组分析某班级考试成绩.该班级共40人，将得分由高到低平均分为四组，第一组（均分最高的一组）的数据为.(1)求第一组的得分的均值与中位数；(2)若从第一组中等可能的选取2名学生，求2人得分都在135分以上的概率；(3)兴趣小组考察某客观题的得分情况.将前15名学生作为高分组，后25名学生作为非高分组；前15名学生中13人答对该题，后25名学生中16人答对该题.据此，填写表格，并判断是否有95%的把握认为答对该题与进入高分组有关?附：，，，.高分组非高分组总计某客观题答对某客观题答错总计高分组非高分组总计答对131629答错2911总计152540高分组非高分组总计答对131629答错2911总计15254031．（2026·上海闵行·二模）某学校举办“乐动体育”比赛活动，高三年级共有50名学生报名参加“小球类项目”，其中参加乒乓球项目的有28人，参加羽毛球项目的有22人，赛前进行了一道比赛通用规则判断题测试，答对得5分，答错得0分，统计结果加下表：乒乓球项目羽毛球项目答对人数1916答错人数96根据上述数据，回答下列问题：(1)求这50名学生的平均得分；(2)从这50名学生中随机选取2人做裁判.设随机变量表示两名裁判的最高得分，求；(3)是否有的把握认为该题的测试成绩与比赛项目有关？（附：）答对答错合计乒乓球19928羽毛球16622合计351550零假设为：该题的测试成绩与比赛项目无关，则，因为，，故接受假设，即认为没有95%的把握认为测试成绩与比赛项目有关.32．（2026·上海金山·二模）绝对零度（）是一个只能逼近而不能达到的最低温度，那么这个数据是如何测得的？吕同学通过查询资料，知道：①气体温度和气体压强存在线性关系；②当气体压强为0（）时，气体温度达到绝对零度．以下是吕同学在一次模拟实验时，测得某种气体温度和气体压强的相关数据：数据123456温度（）4.0716.6929.4245.6757.0673.05压强（）103.095107.734112.461118.469122.706128.758(1)求该模拟实验中，该气体温度的平均值和方差；（精确到0.01）(2)若该次实验下气体压强关于气体温度的回归方程为，预估该次实验下绝对零度的数值；（精确到0.01）(3)为了验证实验的普适性，吕同学利用不同气体预估绝对零度，得到如下的一组数据．若任取其中的2个数据，求该两个数据与绝对零度（）的误差均小于1的概率．绝对零度（）275.13274.56274.28273.57272.45271.6733．（2026·上海黄浦·三模）雅言传承文明，经典滋润人生，中国的经典诗文是中华民族精神文明的重要组成部分.某社区拟开展“诵读国学经典，积淀文化底蕴”活动.为了调查不同年龄人对此项活动所持的态度，研究人员随机抽取了300人，并将所得结果统计如下表所示.分组区间人数30751056030支持态度人数2466904218(1)完成下列2×2列联表，并判断是否有95%的把握认为年龄与所持态度有关；年龄在50周岁及以上年龄在50周岁以下总计支持态度人数不支持态度人数总计(2)以（1）中的频率估计概率，若在该地区所有年龄在50周岁及以上的人中随机抽取4人，记为4人中持支持态度的人数，求的分布以及数学期望.参考数据：参考公式：年龄在50周岁及以上年龄在50周岁以下总计支持态度人数60180240不支持态度人数303060总计90210300123434．（2026·上海·三模）我国的制造业增加值自2010年起连续12年位居世界第一，某设备生产企业对现有生产设备进行技术攻坚突破，提高核心竞争力、设备生产的零件的直径为（单位）．(1)技术攻坚前，为分析影响零件直径的因素，技术人员测量了某批次零件的直径与三个相关变量：机床转速①、切削深度②和环境湿度③，并计算了直径与这三个变量的相关系数分别为，，．请按照相关性从强到弱对这三个变量进行排序，直接写出排序结果（无需说明理由，用标号①②③表示即可）；(2)现有旧设备生产的零件共7个，其中直径大于的有4个．现从这7个零件中随机抽取2个，记表示取出的零件中直径大于的零件个数，求的分布与期望：(3)若技术攻坚后新设备生产的零件直径，从生产的同一批零件中随机取出10个零件逐一独立地进行检验，求至多有1个零件小于的概率．（结果保留到0.0001）参考数据：若，则，．35．（2026·上海黄浦·三模）现有除颜色外都相同的个红球和个白球，随机取个球放入一个不透明的袋中，记袋中红球的个数为．从袋中随机摸出一个球，并放入一个另一种颜色的球，经过次摸球，袋中的红球个数记为．(1)求和；(2)求；(3)当时，求随机变量的分布列和数学期望．36．（2026·上海虹口·三模）我国的制造业增加值自2010年起连续12年位居世界第一，某设备生产企业对现有生产设备进行技术攻坚突破，提高核心竞争力．设备生产的零件的直径为（单位nm）．(1)技术攻坚前，为分