2025中考数学二模试题分类汇编04 二次函数压轴题（北京专用）（学生版+教师版合并）

专题04二次函数压轴题题型概览题型01二次函数压轴题题型01二次函数压轴题题型011．（2025·北京房山·二模）在平面直角坐标系中，已知抛物线．(1)求抛物线的对称轴；(2)当时，对于任意的正数，若是抛物线上的两点，则_____（填“”“”“”）；(3)已知直线：上两点，其中点的横坐标为1，点的纵坐标为，若抛物线与线段恰有一个公共点，结合函数图象，求的取值范围．2．（2025·北京大兴·二模）在平面直角坐标系中，已知抛物线．(1)求抛物线的对称轴；(2)是抛物线上的两点，若对于，都有，求的取值范围．3．（2025·北京海淀·二模）在平面直角坐标系中，是抛物线上的两点．(1)当时，求的值；(2)若对于，都有，求的取值范围．4．（2025·北京密云·一模）在平面直角坐标系中，已知，是抛物线上两点，且抛物线经过．(1)求抛物线的对称轴；(2)若对于，，都有，求的取值范围．5．（2025·北京石景山·二模）在平面直角坐标系中，已知，，，是抛物线上的四个点，且任意两点都不重合．(1)直接写出抛物线与轴的交点坐标（可用含的代数式表示）；(2)将抛物线在点，之间的部分（含，）所有点的纵坐标的最小值记为，并将抛物线在，之间的部分（含，）所有点的纵坐标的最小值记为，若，求的取值范围．6．（2025·北京西城·二模）在平面直角坐标系中，抛物线经过点．(1)求抛物线的顶点坐标；(2)已知和是抛物线上的两个点，且总成立，求的取值范围．7．（2025·北京丰台·二模）在平面直角坐标系中，已知抛物线．(1)当时，求抛物线的顶点坐标；(2)已知，，是抛物线上的三个点．若对于，，，都有，求的取值范围．8．（2025·北京朝阳·二模）在平面直角坐标系中，点在抛物线上．(1)当时，求抛物线与轴交点的坐标；(2)若对于任意的，总有，求的取值范围．9．（2025·北京门头沟·二模）在平面直角坐标系中，点在抛物线上，且它的对称轴为直线．(1)当时，求的值；(2)如果点，在抛物线上，当时，比较和的大小，并说明理由．10．（2025·北京顺义·二模）在平面直角坐标系中，抛物线的对称轴为直线．(1)当时，求的值；(2)点，，在该抛物线上．若，比较的大小，并说明理由．11．（2025·北京昌平·二模）在平面直角坐标系中，已知抛物线．(1)写出抛物线的对称轴（用含的式子表示）；(2)若点，抛物线与线段只有一个交点，求的取值范围；(3)是抛物线上两点，若，直接写出取值范围．

专题04二次函数压轴题题型概览题型01二次函数压轴题题型01二次函数压轴题题型011．（2025·北京房山·二模）在平面直角坐标系中，已知抛物线．(1)求抛物线的对称轴；(2)当时，对于任意的正数，若是抛物线上的两点，则_____（填“”“”“”）；(3)已知直线：上两点，其中点的横坐标为1，点的纵坐标为，若抛物线与线段恰有一个公共点，结合函数图象，求的取值范围．【答案】(1)直线(2)(3)或【分析】本题考查了二次函数的性质，一次函数与抛物线图象的交点问题，数形结合是解题的关键；（1）根据二次函数的性质，利用对称轴公式，即可求解；（2）根据抛物线的对称轴为直线，当，抛物线开口向下，进而求得关于对称轴的对称点为，根据当时，随的增大而减小，即可求解；（3）分和两种情况讨论，分别画出图形，结合函数图象，列出不等式，即可求解．【详解】（1）解：∵∴抛物线对称轴为直线，（2）解：∵抛物线的对称轴为直线，关于对称轴的对称点为∵，抛物线开口向下，当时，随的增大而减小，又∵∴故答案为：．（3）①当时，抛物线过点，关于的对称点为直线：上两点，其中点的横坐标为1，点的纵坐标为，如图∵B，∴当时，由图象可知，抛物线与线段恒有一个公共点.∴当时，抛物线与线段恒有一个公共点.②当时，∵点的横坐标为1，则，即把代入得∵抛物线与线段恰有一个公共点，∴解得：综上所述，或时，抛物线与线段恰有一个公共点，2．（2025·北京大兴·二模）在平面直角坐标系中，已知抛物线．(1)求抛物线的对称轴；(2)是抛物线上的两点，若对于，都有，求的取值范围．【答案】(1)对称轴为直线(2)或【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，解一元一次不等式组，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键．（1）先配方成顶点式，即可求解对称轴；（2）分两种情况讨论，①；②，分别根据二次函数的图象与性质求解即可．【详解】（1）解：该抛物线的对称轴为直线；（2）解：由题意，得．．，．①当时，可得，．又，．点总在点的右侧，且点都在对称轴右侧．时，随增大而增大．又，．当时，恒成立②当时，可得．点在对称轴左侧．设点关于对称轴的对称点为，．．,．，．．综上，或．3．（2025·北京海淀·二模）在平面直角坐标系中，是抛物线上的两点．(1)当时，求的值；(2)若对于，都有，求的取值范围．【答案】(1)(2)的取值范围是或【分析】本题主要考查了二次函数的性质、二次函数图象上的点等知识点，掌握分类讨论思想成为解题的关键．（1）由题意可得点为，然后代入抛物线解析式得到关于a的方程求解即可；（2）由二函数的性质可得当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小．然后根据题意分情况讨论即可解答．【详解】（1）解：当时，点为．点在抛物线上，．解得．（2）解：∵抛物线，∴该抛物线的对称轴为，∴当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小．对于：①若，，．（i）当时，有．．，不符合题意．（ii）当时，取．．，不符合题意．（iii）当时，有．取，则．设点关于对称轴的对称点为，则．．，．．，不符合题意．（iv）当时，有．设点关于对称轴的对称点为，则．．，．．，符合题意．②若，则，必有，不符合题意．③若，，．，符合题意．综上所述，的取值范围是或．4．（2025·北京密云·一模）在平面直角坐标系中，已知，是抛物线上两点，且抛物线经过．(1)求抛物线的对称轴；(2)若对于，，都有，求的取值范围．【答案】(1)(2)【分析】（1）根据抛物线经过，得到且，求抛物线的对称轴即可．（2）根据，，都有，分和，解答即可．【详解】（1）解：根据抛物线经过，得到且，故即，故抛物线的对称轴为：直线．（2）解：根据题意，得，，∴解得，∴，∵，是抛物线上两点，且对称轴为直线，∴，，∴，∵，∴，当，且时，，即，根据抛物线的性质，与对称轴的距离越大，函数值越大，∵，∴到对称轴的距离大于到对称轴的距离，∴中点在对称轴的右侧，则即，解得，无解；当，且时，，即，根据抛物线的性质，与对称轴的距离越大，函数值越大，∵，∴到对称轴的距离大于到对称轴的距离，∴中点在对称轴的左侧，则即，解得；当，且时，，即，则即，无解；当，且时，，即，则，无解，综上所述，符合题意的范围是．【点睛】本题主要考查了二次函数的图象与性质，待定系数法求函数解析式，二次函数的对称性和增减性，解一元一次不等式组，熟练掌握性质是解题的关键．5．（2025·北京石景山·二模）在平面直角坐标系中，已知，，，是抛物线上的四个点，且任意两点都不重合．(1)直接写出抛物线与轴的交点坐标（可用含的代数式表示）；(2)将抛物线在点，之间的部分（含，）所有点的纵坐标的最小值记为，并将抛物线在，之间的部分（含，）所有点的纵坐标的最小值记为，若，求的取值范围．【答案】(1)，(2)且且且【分析】本题主要考查了二次函数的图象性质，二次函数与x轴交点，对称轴的概念，以及代入求值等知识点，解决此题的关键是要分类讨论．（1）令，解方程即可得解；（2）由题意，点在点的左侧，点与关于对称轴对称，，再根据，，，四点中，任意两点不重合，得到且且且，分时，时，两种情况，结合二次函数的性质即可解答．【详解】（1）解：令，即，解得：，∴抛物线与轴的交点坐标为，；（2）解：抛物线的对称轴为直线．由题意，点在点的左侧，点与关于对称轴对称，．∵，，，四点中，任意两点不重合，∴且且且．∵，∴当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小．①当时，∵，∴．∴．由知，不符合题意．②当时，点在对称轴的左侧．点关于直线的对称点为．∵，∴．∴且．∴．综上所述，的取值范围是且且且．6．（2025·北京西城·二模）在平面直角坐标系中，抛物线经过点．(1)求抛物线的顶点坐标；(2)已知和是抛物线上的两个点，且总成立，求的取值范围．【答案】(1)(2)或【分析】本题考查了求二次函数的顶点式，二次函数的性质，运用分类讨论和数形结合思想解答是解题的关键．（1）将点A代入解析式即可求出a的值，进而得到解析式，将解析式化为顶点式即可得到顶点坐标；（2）先求出，令，则，求出的值，根据，求出或，分，两种情况，结合二次函数的性质即可求解．【详解】（1）解：∵抛物线过点，∴，∴，∴抛物线为，∵，∴抛物线的顶点坐标为；（2）解：∵在抛物线上，∴，∵在抛物线上，∴，令，则，∴或，∴当时，结合函数的图象可得或，当时，结合函数的图象可得，当时，结合函数的图象可得或，∵，∴，综上所述，的取值范围是或．7．（2025·北京丰台·二模）在平面直角坐标系中，已知抛物线．(1)当时，求抛物线的顶点坐标；(2)已知，，是抛物线上的三个点．若对于，，，都有，求的取值范围．【答案】(1)(2)或【分析】本题考查了二次函数的图象和性质．（1）将抛物线解析数化为顶点式，即可求解；（2）根据抛物线解析式得到抛物线的对称轴为．根据抛物线的开口方向分两种情况讨论：①若，则当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小．②若，则当时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大．再分别分三种情况讨论三个点的函数值大小，即可求解．【详解】（1）解：当时，抛物线．∴．∴抛物线的顶点坐标为；（2）解：∵，∴抛物线的对称轴为．对于，，；①若，则当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小．∵，，∴，．设点关于对称轴的对称点为，则，．∴．∴．（Ⅰ）当时，有．∵，∴，∴，不符合题意．（Ⅱ）当时，有．∵，，∴．∴，符合题意；（Ⅲ）当时，令，则．∴，不符合题意．②若，则当时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大．∵，，∴．设点关于对称轴的对称点为，则，．∴．（Ⅰ）当时，有，．令，则，即．∴，不符合题意．（Ⅱ）当时，有，则．若，有，则，符合题意；若，设点关于对称轴的对称点为，则，．∴．∴，∴．∴，符合题意．（Ⅲ）当时，有．∴，不符合题意．综上所述，的取值范围是或．8．（2025·北京朝阳·二模）在平面直角坐标系中，点在抛物线上．(1)当时，求抛物线与轴交点的坐标；(2)若对于任意的，总有，求的取值范围．【答案】(1)抛物线与轴交点的坐标为(2)【分析】此题考查了二次函数的图象和性质、抛物线与坐标轴的交点、二次函数与不等式等知识，熟练掌握二次函数的图象和性质是关键．（1）当时，抛物线为．令，解方程即可求出答案；（2）分情况进行解答即可．【详解】（1）解：当时，抛物线为．令，则．解得．抛物线与轴交点的坐标为．（2）由可知，抛物线的对称轴为，抛物线与轴交点的坐标为．．①若，则当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小．（i）当时，令，则，不符合题意．（ii）当时，则．．．，，符合题意．（iii）当时，则．．由可知．，符合题意．（iiii）当时，．令，则，不符合题意．②若，则当时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大．，．．，，不符合题意．综上所述，的取值范围是．9．（2025·北京门头沟·二模）在平面直角坐标系中，点在抛物线上，且它的对称轴为直线．(1)当时，求的值；(2)如果点，在抛物线上，当时，比较和的大小，并说明理由．【答案】(1)(2)【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，待定系数法求函数解析式，二次函数的对称性，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．（1）把代入，求出，得到抛物线表达式，再根据对称轴公式求解；（2）先确定点在对称轴左侧，点在对称轴右侧，求出点关于对称轴直线的对称点为：，可得，再根据二次函数的性质求解即可．【详解】（1）解：当时，把代入，则，解得：，∴抛物线为：，∴；（2）解：∵，∴，，∴点在对称轴左侧，点在对称轴右侧，∴点关于对称轴直线的对称点为：，∵，∴，∵抛物线开口向上，∴在对称轴左侧随增大而减小，∴．10．（2025·北京顺义·二模）在平面直角坐标系中，抛物线的对称轴为直线．(1)当时，求的值；(2)点，，在该抛物线上．若，比较的大小，并说明理由．【答案】(1)(2)，理由见解析【分析】本题主要考查了二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是要熟练掌握二次函数的性质；（1）由抛物线为，得对称轴是直线，又，进而可得，故可得解；（2）由（1）对称轴是直线，则，又，从而，又抛物线开口向上，故抛物线上点离对称轴越近函数值越小，又点，，在该抛物线上，且对称轴是直线，从而，故可判断得解．【详解】（1）解：由题意，抛物线为，对称轴是直线．又，．（2）解：由（1）对称轴是直线，．又，．抛物线开口向上，抛物线上点离对称轴越近函数值越小．点，，在该抛物线上，且对称轴是直线，，，．，，．．．11．（2025·北京昌平·二模）在平面直角坐标系中，已知抛物线．(1)写出抛物线的对称轴（用含的式子表示）；(2)若点，抛物线与线段只有一个交点，求的取值范围；(3)是抛