2026年中考二轮复习之解答题复习4：《方程(组)与不等式(组)的应用》（学生版+教师版合并）

2026年中考第二轮复习解答题专题4.方程(组)与不等式(组)的应用本课题聚焦中考数学解答题的必考中档题型，分值稳定、模型固定、得分可控，以生活实际问题为载体，融合一次方程(组)、分式方程、一元一次不等式(组)建模求解，侧重考查数学建模、运算求解、逻辑推理三大核心素养，是二轮复习必须满分突破的核心题型。一、题型特点一、题型特点1.情境生活化，建模核心化：以工程施工、行程运输、商品利润、购物优惠、物资分配、几何面积为高频背景，要求将文字信息转化为方程或不等式模型，贴合中考“学以致用”的命题导向。2.设问分层化，梯度清晰化：通常设置2-3小问，第1问求单价、速度、数量等定值，使用方程(组)；第2问求取值范围或可行方案，使用不等式(组)；第3问求最优方案与最值，难度逐级提升。3.评分步骤化，规范刚性化：严格按“设元→列方程/不等式→求解→检验→作答”分步给分，缺失任何关键环节都会直接扣分，对解题格式要求极高。4.综合度适中，易错点集中：不涉及复杂变形，但陷阱密集，主要集中在分式方程验根、不等号方向、实际意义取舍、整数解枚举，属于典型的“易做易错题”。二、二、答题要点1.精准审题，锁定关系：圈画关键词，“共、比、多、少、倍”对应等量关系，用于列方程；“至少、至多、不超过、不低于”对应不等关系，用于列不等式。2.规范设元，单位统一：明确未知量含义，统一时间、长度、货币等单位，避免因单位不一致导致列式错误。3.选对模型，准确列式：和差倍分问题用一次方程(组)，工作量/路程相等问题用分式方程，范围与方案设计用不等式(组)。4.严谨求解，双重检验：分式方程必须检验分母不为0，所有结果均需检验是否符合实际意义（正整数、非负数、取值范围）。5.规范作答，条理清晰：分问作答，方案题完整列举所有可行情况，最值题结合取值范围说明依据。三三、避坑指南1.分式方程漏验根：未代入最简公分母验证，保留增根导致结果错误。2.不等式变号失误：两边同乘除负数时，未改变不等号方向。3.忽视实际意义：人数、件数、长度取负数或小数，未按题意取正整数解。4.关键词理解偏差：“不超过”“至少”对应不等号方向颠倒。5.方案列举不全：未找出所有整数解，漏写符合条件的进货或安排方案。6.解题步骤缺失：无“解：设”、无检验过程、无文字作答，丢失步骤分。本课时作为中考代数应用的核心题型，是方程与不等式建模的集中考查点，也是基础分稳拿的关键。答题与复习需牢牢把握“建模精准、运算规范、检验全面、格式完整”的核心要求：审题时抓准等量与不等关系，列式时选对数学模型，求解时严控运算细节，检验时兼顾数学合理性与实际场景，作答时完整呈现解题全步骤。通过针对性训练强化审题能力、规范解题流程、规避高频易错点，就能稳稳拿下这道解答题的全部分数，为中考数学高分筑牢代数应用的基础防线。四四、真题练习1.（23-24·陕西中考）星期天，妈妈做饭，小峰和爸爸进行一次家庭卫生大扫除，根据这次大扫除的任务量，若小峰单独完成，需4h；若爸爸单独完成，需2h，当天，小峰先单独打扫了一段时间后，去参加篮球训练，接着由爸爸单独完成剩余的打扫任务，小峰和爸爸这次一共打扫了3h，求这次小峰打扫了多长时间．2.（24-25·吉林中考）吉林省长白山盛产人参．为促进我省特色经济的发展，某公司现将人参加工成甲、乙两种盒装的商品出售，甲、乙两种商品的售价分别为每盒25元和20元．某游客购买了甲、乙两种商品共10盒，花费230元．求该游客购买甲种商品和乙种商品的盒数．3.（24-25·甘肃模拟）为促进新质生产力的发展，某企业决定投入一笔资金对现有甲、乙两类共30条生产线的设备进行更新换代．（1）为鼓励企业进行生产线的设备更新，某市出台了相应的补贴政策．根据相关政策，更新1条甲类生产线的设备可获得3万元的补贴，更新1条乙类生产线的设备可获得2万元的补贴．这样更新完这30条生产线的设备，该企业可获得70万元的补贴．该企业甲、乙两类生产线各有多少条？（2）经测算，购买更新1条甲类生产线的设备比购买更新1条乙类生产线的设备需多投入5万元，用200万元购买更新甲类生产线的设备数量和用180万元购买更新乙类生产线的设备数量相同，那么该企业在获得70万元的补贴后，还需投入多少资金更新生产线的设备？4.（24-25·广西模拟）系文物考古研究院用1:1复原的青铜蒸馏器进行了蒸馏酒实验．用复原的青铜蒸馏器蒸馏粮食酒和芋头酒，需要的原材料与出酒率（出酒率=出酒量糟醅量×100%类别原材料出酒率粮食酒粮食糟醅（含大米、糯米、谷壳、大曲和蒸馏水30%芋头酒芋头糟醅（含芋头、小曲和蒸馏水）20%

如果第一次实验分别蒸馏出粮食酒和芋头酒共16公斤；第二次实验分别蒸馏出粮食酒和芋头酒共36公斤，且所用的粮食糟醅量是第一次的2倍，芋头糟醅量是第一次的3倍．（1）求第一次实验分别用了多少公斤粮食糟醅和芋头糟醅？（2）受限于当时的生产条件，古代青铜蒸馏器的出酒量约为现代复原品的80%．若粮食糟醅中大米占比约为145.（22-23·湖南中考）为拓展学生视野，某中学组织八年级师生开展研学活动，原计划租用45座客车若干辆，但有15人没有座位；若租用同样数量的60座客车，则多出三辆车，且其余客车恰好坐满．现有甲、乙两种客车，它们的载客量和租金如下表所示：

甲型客车乙型客车载客量（人/辆）4560租金（元/辆）200300（1）参加此次研学活动的师生人数是多少？原计划租用多少辆45座客车？（2）若租用同一种客车，要使每位师生都有座位，应该怎样租用才合算？6.（24-25·天津模拟）已知学生宿舍、文具店、体育场依次在同一条直线上，文具店离宿舍0.6km，体育场离宿舍1.2km，张强从宿舍出发，先用了10min匀速跑步去体育场，在体育场锻炼了30min，之后匀速步行了10min到文具店买笔，在文具店停留10min后，用了20min匀速散步返回宿舍．下面图中x表示时间，y表示离宿舍的距离．图象反映了这个过程中张强离宿舍的距离与时间之间的对应关系．

请根据相关信息，回答下列问题：（1）①填表：张强离开宿舍的时间/min1102060张强离宿舍的距离/km1.2

②填空：张强从体育场到文具店的速度为________km/min；

③当50≤x≤80时，请直接写出张强离宿舍的距离y关于时间x的函数解析式；（2）当张强离开体育场15min时，同宿舍的李明也从体育场出发匀速步行直接回宿舍，如果李明的速度为0.06km/min，那么他在回宿舍的途中遇到张强时离宿舍的距离是多少？（直接写出结果即可）7.（24-25·重庆模拟）为了助力乡村振兴，某乡镇政府计划对一条长3000米的乡村道路进行改造．（1）该工程原计划由甲队单独施工，工期为160天．刚开始每天施工16米，施工一段时后，甲队改进技术，施工效率提高了25％，刚好按时完工，则技术改造前甲队施工了多少天．（2）由于工期需要，该工程决定由甲、乙两队共同完成，通过工程招标，甲队获得了1800米的改造工程，乙队获得了1200米的改造工程．甲、乙两队同时开始施工，甲队每天比乙队多施工20％，结果甲队比乙队晚20天完成任务．求乙队平均每天施工的米数.8.（24-25·辽宁中考）小张计划购进A,B两种文创产品，在“文化夜市”上进行销售．已知A种文创产品比B种文创产品每件进价多3元，购进2件A种文创产品和3件B种文创产品共需花费26元．（1）求B种文创产品每件的进价；（2）小张决定购进A，B两种文创产品共100件，且总费用不超过550元，那么小张最多可以购进多少件A种文创产品？9.（24-25·湖北中考）某商店销售A，B两种水果．A水果标价14元／千克，B水果标价18元／千克．（1）小明陪妈妈在这家商店按标价买了A，B两种水果共3千克，合计付款46元．这两种水果各买了多少千克？（2）妈妈让小明再到这家商店买A,B两种水果，要求B水果比A水果多买1千克，合计付款不超过50元．设小明买A水果m千克．

①若这两种水果按标价出售，求m的取值范围；

②小明到这家商店后，发现A,B两种水果正在进行优惠活动：A水果打七五折；一次购买B水果不超过1千克不优惠，超过1千克后，超过1千克的部分打七五折．（注：“打七五折”指按标价的75%出售．）若小明合计付款48元，求m的值．10.（23-24·黑龙江中考）牡丹江某县市作为猴头菇生产的“黄金地带”，年总产量占全国总产量的50%以上，黑龙江省发布的“九珍十八品”名录将猴头菇列为首位．某商店准备在该地购进特级鲜品、特级干品两种猴头菇，购进鲜品猴头菇3箱、干品猴头菇2箱需420元，购进鲜品猴头菇4箱、干品猴头菇5箱需910元．请解答下列问题：（1）特级鲜品猴头菇和特级干品猴头菇每箱的进价各是多少元？（2）某商店计划同时购进特级鲜品猴头菇和特级干品猴头菇共80箱，特级鲜品猴头菇每箱售价定为50元，特级干品猴头菇每箱售价定为180元，全部销售后，获利不少于1560元，其中干品猴头菇不多于40箱，该商店有哪几种进货方案？（3）在(2)的条件下，购进猴头菇全部售出，其中两种猴头菇各有1箱样品打a（a为正整数）折售出，最终获利1577元，请直接写出商店的进货方案．11.（22-23·四川中考）李叔叔批发甲、乙两种蔬菜到菜市场去卖，已知甲、乙两种蔬菜的批发价和零售价如下表所示：品名甲蔬菜乙蔬菜批发价/（元/kg）4.8 4 零售价/（元/kg）7.25.6（1）若他批发甲、乙两种蔬菜共40kg花 180 元．求批发甲乙两种蔬菜各多少千克？（列方程或方程组求解）（2）若他批发甲、乙两种蔬菜共80kg花m元，设批发甲种蔬菜nkg，求m与n的函数关系式；（3）在(2)的条件下，全部卖完蔬菜后要保证利润不低于 176 元，至少批发甲种蔬菜多少千克？12.（22-23·山东中考）今年五一小长假期间，我市迎来了一个短期旅游高峰．某热门景点的门票价格规定见如表：

票的种类ABC购票人数/人1∼5051∼100100以上票价/元504540某旅行社接待的甲、乙两个旅游团共102人（甲团人数多于乙团）．在打算购买门票时，如果把两团联合作为一个团体购票会比两团分别各自购票节省730元．（1）求两个旅游团各有多少人？（2）一个人数不足50人的旅游团，当游客人数最低为多少人时，购买B种门票比购买A种门票节省？13.（24-25·贵州模拟）贵州省江口县被誉为“中国抹茶之都”，这里拥有全球最大的抹茶单体生产车间．为满足市场需求，某抹茶车间准备安装A、B两种型号生产线.已知，同时开启一条A型和一条B型生产线每月可以生产抹茶共200t，同时开启一条A型和两条B型生产线每月可以生产抹茶共280t．（1）求一条A型和一条B型生产线每月各生产抹茶多少吨？（2）为扩大生产规模，若另一车间准备同时安装相同型号的A、B两种生产线共5条，该车间接到一个订单，要求4个月生产抹茶不少于2000t，至少需要安装多少条A型生产线？14.（24-25·江苏中考）如图，制作甲、乙两种无盖的长方体纸盒，需用正方形和长方形两种硬纸片，且长方形的宽与正方形的边长相等．

（1）现用200张正方形硬纸片和400张长方形硬纸片，恰好能制作甲、乙两种纸盒各多少个?（2）如果需要制作100个长方体纸盒，要求乙种纸盒数量不低于甲种纸盒数量的一半，那么至少需要多少张正方形硬纸片?15.（23-24·重庆中考）某工程队承接了老旧小区改造工程中1000平方米的外墙粉刷任务，选派甲、乙两人分别用A,B两种外墙漆各完成总粉刷任务的一半．据测算需要A,B两种外墙漆各300千克，购买外墙漆总费用为15000元，已知A种外墙漆每千克的价格比B种外墙漆每千克的价格多2元．（1）求A,B两种外墙漆每千克的价格各是多少元？（2）已知乙每小时粉刷外墙面积是甲每小时粉刷外墙面积的45,乙完成粉刷任务所需时间比甲完成粉刷任务所需时间多16.（25-26·江苏模拟）自主研发和创新让我国的科技快速发展，“中国智造”正引领世界潮流．某科技公司计划投入一笔资金用来购买A、B两种型号的芯片．已知购买1颗A型芯片和2颗B型芯片共需要750元，购买2颗A型芯片和3颗B型芯片共得要1300元．

（1）求购买1颗A型芯片和1颗B型芯片各需要多少元．（2）若该公司计划购买A、B两种型号的芯片共8000颗，其中购买A型芯片的数量不少于B型芯片数量的3倍．当购买A型芯片多少颗时，所需资金最少，最少资金是多少元．（3）该公司用甲、乙两辆芯片运输车，先后从M地出发，沿着同一条公路匀速行驶，前往目的地N，两车到达N地后均停止行驶．如图，y甲km、y乙km分别是甲、乙两车离M地的距离与甲车行驶的时间x(h)之间的函数关系．请根据图象信息解答下列问题：

①甲车的速度是________km/h．

②当甲、乙两车相距30km时，直接写出x17.（24-25·云南中考）某化工厂采用机器人A，机器人B搬运化工原料，机器人A比机器人B每小时少搬运20千克，机器人A搬运800千克所用时间与机器人B搬运1000千克所用时间相等．求机器人A，机器人B每小时分别搬运多少千克化工原料．18.（24-25·江西模拟）如图，某校有一块长20m、宽14m的矩形种植园．为了方便耕作管理，在种植园的四周和内部修建安度相同的小路（图中阴影部分）．小路把种植园分成面积均为24m2的9个矩形地块，请你求出小路的宽度．

19.（23-24·四川模拟）某超市购进甲、乙两种商品，2022年甲、乙两种商品每件的进价均为125元，随着生产成本的降低，甲种商品每件的进价年平均下降25元，乙种商品2024年每件的进价为80元．（1）求乙种商品每件进价的年平均下降率；（2）2024年该超市用不超过7800元的资金一次购进甲、乙两种商品共100件，求最少购进多少件甲种商品．20.（24-25·湖南模拟）水碧万物生，岳阳龙虾好．小龙虾产业已经成为岳阳乡村振兴的“闪亮名片”．已知翠翠家去年龙虾的总产量是4800kg，今年龙虾的总产量是6000kg，且去年与今年的养殖面积相同，平均亩产量去年比今年少60kg，求今年龙虾的平均亩产量．21.（24-25·新疆模拟）某校开设智能机器人编程的校本课程，购买了A，B两种型号的机器人模型．A型机器人模型单价比B型机器人模型单价多200元，用2000元购买A型机器人模型和用1200元购买B型机器人模型的数量相同．（1）求A型，B型机器人模型的单价分别是多少元？（2）学校准备再次购买A型和B型机器人模型共40台，购买B型机器人模型不超过A型机器人模型的3倍，且商家给出了两种型号机器人模型均打八折的优惠．问购买A型和B型机器人模型各多少台时花费最少？最少花费是多少元？22.（24-25·贵州模拟）端午节是我国入选世界非物质文化遗产的传统节日，端午节吃粽子是中华民族的传统习俗．某超市为了满足人们的需求，计划在端午节前购进甲、乙两种粽子进行销售．经了解，每个乙种粽子的进价比每个甲种粽子的进价多2元，用1000元购进甲种粽子的个数与用1200元购进乙种粽子的个数相同．（1）甲、乙两种粽子每个的进价分别是多少元？（2）该超市计划购进这两种粽子共200个（两种都有），其中甲种粽子的个数不低于乙种粽子个数的2倍，若甲、乙两种粽子的售价分别为12元/个、15元/个，设购进甲种粽子m个，两种粽子全部售完时获得的利润为W元．

①求W与m的函数关系式，并求出m的取值范围；

②超市应如何进货才能获得最大利润，最大利润是多少元？23.（23-24·江苏中考）书画装裱，是指为书画配上衬纸、卷轴以便张贴、欣赏和收藏，是我国具有民族传统的一门特殊艺术．如图，一幅书画在装裱前的大小是1.2m×0.8m，装裱后，上、下、左、右边衬的宽度分别是am、bm、cm、dm．若装裱后AB与AD的比是16:10，且a=b，c=d，c=2a，求四周边衬的宽度．

24.（23-24·广西中考）综合与实践

在综合与实践课上，数学兴趣小组通过洗一套夏季校服，探索清洗衣物的节约用水策略．

【洗衣过程】

步骤一：将校服放进清水中，加入洗衣液，充分浸泡揉搓后拧干；

步骤二：将拧干后的校服放进清水中，充分漂洗后拧干．重复操作步骤二，直至校服上残留洗衣液浓度达到洗衣目标．

假设第一次漂洗前校服上残留洗衣液浓度为0.2%，每次拧干后校服上都残留0.5kg水．

浓度关系式：d后=0.5d前0.5+w．其中d前、d后分别为单次漂洗前、后校服上残留洗衣液浓度；w为单次漂洗所加清水量（单位：kg（1）如果只经过一次漂洗，使校服上残留洗衣液浓度降为0.01%，需要多少清水？（2）如果把4kg清水均分，进行两次漂洗，是否能达到洗衣目标？（3）比较(1)和(2)的漂洗结果，从洗衣用水策略方面，说说你的想法．25.（22-23·黑龙江中考）某商场欲购进A和B两种家电，已知B种家电的进价比A种家电的进价每件多100元，经计算，用1万元购进A种家电的件数与用1.2万元购进B种家电的件数相同．请解答下列问题：（1）这两种家电每件的进价分别是多少元？（2）若该商场欲购进两种家电共100件，总金额不超过53500元，且A种家电不超过67件，则该商场有哪几种购买方案？（3）在(2)的条件下，若A和B两种家电的售价分别是每件600元和750元，该商场从这100件中拿出两种家电共10件奖励优秀员工，其余家电全部售出后仍获利5050元，请直接写出这10件家电中B种家电的件数．26.（24-25·山东模拟）某商场购进A，B两种商品，已知购进3件A商品比购进4件B商品费用多60元；购进5件A商品和2件B商品总费用为620元．（1）求A，B两种商品每件进价各为多少元？（2）该商场计划购进A，B两种商品共60件，且购进B商品的件数不少于A商品件数的2倍．若A商品按每件150元销售，B商品按每件80元销售，为满足销售完A，B两种商品后获得的总利润不低于1770元，则购进A商品的件数最多为多少？27.（24-25·湖南模拟）为了增强学生的体质，某学校倡导学生在大课间开展踢毽子活动，需购买甲、乙两种品牌毽子．已知购买甲种品牌毽子10个和乙种品牌毽子5个共需200元；购买甲种品牌毽子15个和乙种品牌毽子10个共需325元．（1）购买一个甲种品牌毽子和一个乙种品牌毽子各需要多少元？（2）若购买甲乙两种品牌毽子共花费1000元，甲种品牌毽子数量不低于乙种品牌毽子数量的5倍且不超过乙种品牌毽子数量的16倍，则有几种购买方案？（3）若商家每售出一个甲种品牌毽子利润是5元，每售出一个乙种品牌毽子利润是4元，在(2)的条件下，学校如何购买毽子商家获得利润最大？最大利润是多少元？28.（24-25·湖南模拟）低碳生活已是如今社会的一种潮流形式，人们的环保观念也在逐渐加深．“低碳环保，绿色出行”成为大家的生活理念，不少人选择自行车出行．某公司销售甲、乙两种型号的自行车，其中甲型自行车进货价格为每台500元，乙型自行车进货价格为每台800元．该公司销售3台甲型自行车和2台乙型自行车，可获利650元，销售1台甲型自行车和2台乙型自行车，可获利350元．（1）该公司销售一台甲型、一台乙型自行车的利润各是多少元？（2）为满足大众需求，该公司准备加购甲、乙两种型号的自行车共20台，且资金不超过13000元，最少需要购买甲型自行车多少台？29.（24-25·安徽模拟）习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然正气．”某校为提高学生的阅读品味，现决定购买获得茅盾文学奖的甲，乙两种书共100本，已知购买2本甲种书和1本乙种书共需100元；购买3本甲种书和2本乙种书共需165元．（1）求甲，乙两种书的单价分别为多少元；（2）若学校决定购买以上两种书的总费用不超过3200元，那么该校最多可以购买甲种书多少本？30.（24-25·湖北模拟）某销售商准备采购一批丝绸，经过调查得知，用10000元采购A型丝绸的件数与用8000元采购B型丝绸的件数相等，且一件A型丝绸的进价比一件B型丝绸的进价多100元．（1）一件A型、B型丝绸的进价分别为多少元？（2）若销售商购进A型、B型丝绸共50件，其中A型丝绸的件数不多于B型丝绸的件数，且不少于16件，设购进A型丝绸m件．

①求m的取值范围；

②已知A型丝绸的售价为800元/件，B型丝绸的售价为600元/件，求销售这批丝绸的最大利润．

2026年中考第二轮复习解答题专题4.方程(组)与不等式(组)的应用本课题聚焦中考数学解答题的必考中档题型，分值稳定、模型固定、得分可控，以生活实际问题为载体，融合一次方程(组)、分式方程、一元一次不等式(组)建模求解，侧重考查数学建模、运算求解、逻辑推理三大核心素养，是二轮复习必须满分突破的核心题型。一、题型特点一、题型特点1.情境生活化，建模核心化：以工程施工、行程运输、商品利润、购物优惠、物资分配、几何面积为高频背景，要求将文字信息转化为方程或不等式模型，贴合中考“学以致用”的命题导向。2.设问分层化，梯度清晰化：通常设置2-3小问，第1问求单价、速度、数量等定值，使用方程(组)；第2问求取值范围或可行方案，使用不等式(组)；第3问求最优方案与最值，难度逐级提升。3.评分步骤化，规范刚性化：严格按“设元→列方程/不等式→求解→检验→作答”分步给分，缺失任何关键环节都会直接扣分，对解题格式要求极高。4.综合度适中，易错点集中：不涉及复杂变形，但陷阱密集，主要集中在分式方程验根、不等号方向、实际意义取舍、整数解枚举，属于典型的“易做易错题”。二、二、答题要点1.精准审题，锁定关系：圈画关键词，“共、比、多、少、倍”对应等量关系，用于列方程；“至少、至多、不超过、不低于”对应不等关系，用于列不等式。2.规范设元，单位统一：明确未知量含义，统一时间、长度、货币等单位，避免因单位不一致导致列式错误。3.选对模型，准确列式：和差倍分问题用一次方程(组)，工作量/路程相等问题用分式方程，范围与方案设计用不等式(组)。4.严谨求解，双重检验：分式方程必须检验分母不为0，所有结果均需检验是否符合实际意义（正整数、非负数、取值范围）。5.规范作答，条理清晰：分问作答，方案题完整列举所有可行情况，最值题结合取值范围说明依据。三三、避坑指南1.分式方程漏验根：未代入最简公分母验证，保留增根导致结果错误。2.不等式变号失误：两边同乘除负数时，未改变不等号方向。3.忽视实际意义：人数、件数、长度取负数或小数，未按题意取正整数解。4.关键词理解偏差：“不超过”“至少”对应不等号方向颠倒。5.方案列举不全：未找出所有整数解，漏写符合条件的进货或安排方案。6.解题步骤缺失：无“解：设”、无检验过程、无文字作答，丢失步骤分。本课时作为中考代数应用的核心题型，是方程与不等式建模的集中考查点，也是基础分稳拿的关键。答题与复习需牢牢把握“建模精准、运算规范、检验全面、格式完整”的核心要求：审题时抓准等量与不等关系，列式时选对数学模型，求解时严控运算细节，检验时兼顾数学合理性与实际场景，作答时完整呈现解题全步骤。通过针对性训练强化审题能力、规范解题流程、规避高频易错点，就能稳稳拿下这道解答题的全部分数，为中考数学高分筑牢代数应用的基础防线。四四、真题练习1.（23-24·陕西中考）星期天，妈妈做饭，小峰和爸爸进行一次家庭卫生大扫除，根据这次大扫除的任务量，若小峰单独完成，需4h；若爸爸单独完成，需2h，当天，小峰先单独打扫了一段时间后，去参加篮球训练，接着由爸爸单独完成剩余的打扫任务，小峰和爸爸这次一共打扫了3h，求这次小峰打扫了多长时间．【答案】小峰打扫了2h．【解析】设小峰打扫了xh，爸爸打扫了3−xh，根据总工作量=【解答】解：设总工作量为1，小峰打扫了xh，爸爸打扫了3−xh，则小峰打扫任务的工作效率为14，爸爸打扫任务的工作效率为12，由题意得，14x+123−x=1，解得2.（24-25·吉林中考）吉林省长白山盛产人参．为促进我省特色经济的发展，某公司现将人参加工成甲、乙两种盒装的商品出售，甲、乙两种商品的售价分别为每盒25元和20元．某游客购买了甲、乙两种商品共10盒，花费230元．求该游客购买甲种商品和乙种商品的盒数．【答案】游客购买甲种商品6盒，购买乙种商品4盒【解析】本题考查了二元一次方程组的实际应用，正确理解题意是解题的关键．

设游客购买甲种商品x盒，购买乙种商品y盒，根据“游客购买了甲、乙两种商品共10盒，花费230元”建立方程组求解即可．【解答】解：设游客购买甲种商品x盒，购买乙种商品y盒，

由题意得：x+y=1025x+20y=230 ，

解得：x=6y=4 ，

答：游客购买甲种商品6盒，购买乙种商品43.（24-25·甘肃模拟）为促进新质生产力的发展，某企业决定投入一笔资金对现有甲、乙两类共30条生产线的设备进行更新换代．（1）为鼓励企业进行生产线的设备更新，某市出台了相应的补贴政策．根据相关政策，更新1条甲类生产线的设备可获得3万元的补贴，更新1条乙类生产线的设备可获得2万元的补贴．这样更新完这30条生产线的设备，该企业可获得70万元的补贴．该企业甲、乙两类生产线各有多少条？（2）经测算，购买更新1条甲类生产线的设备比购买更新1条乙类生产线的设备需多投入5万元，用200万元购买更新甲类生产线的设备数量和用180万元购买更新乙类生产线的设备数量相同，那么该企业在获得70万元的补贴后，还需投入多少资金更新生产线的设备？【答案】该企业甲类生产线有10条，则乙类生产线各有20条；需要更新设备费用为1330万元【解析】（1）设该企业甲类生产线有x条，则乙类生产线各有(30−x)条，再利用更新完这30条生产线的设备，该企业可获得70万元的补贴，再建立方程求解即可；（2）设购买更新1条甲类生产线的设备为m万元，则购买更新1条乙类生产线的设备为(m−5)万元，利用用200万元购买更新甲类生产线的设备数量和用180万元购买更新乙类生产线的设备数量相同，再建立分式方程，进一步求解．【解答】（1）解：设该企业甲类生产线有x条，则乙类生产线各有(30−x)条，则

3x+2(30−x)=70，

解得：x=10，

则30−x=20；

答：该企业甲类生产线有10条，则乙类生产线各有20条；（2）解：设购买更新1条甲类生产线的设备为m万元，则购买更新1条乙类生产线的设备为(m−5)万元，则

200m=180m−5，

解得：m=50，

经检验：m=50是原方程的根，且符合题意；

则m−5=45，

4.（24-25·广西模拟）系文物考古研究院用1:1复原的青铜蒸馏器进行了蒸馏酒实验．用复原的青铜蒸馏器蒸馏粮食酒和芋头酒，需要的原材料与出酒率（出酒率=出酒量糟醅量类别原材料出酒率粮食酒粮食糟醅（含大米、糯米、谷壳、大曲和蒸馏水30%芋头酒芋头糟醅（含芋头、小曲和蒸馏水）20%

如果第一次实验分别蒸馏出粮食酒和芋头酒共16公斤；第二次实验分别蒸馏出粮食酒和芋头酒共36公斤，且所用的粮食糟醅量是第一次的2倍，芋头糟醅量是第一次的3倍．（1）求第一次实验分别用了多少公斤粮食糟醅和芋头糟醅？（2）受限于当时的生产条件，古代青铜蒸馏器的出酒量约为现代复原品的80%．若粮食糟醅中大米占比约为14【答案】第一次实验用粮食糟醅和芋头糟醅的质量分别是40、20公斤．需要准备37.5公斤大米．【解析】（1）第一次实验用粮食糟醅和芋头糟醅的质量分别是x、y公斤，则第一次实验用粮食糟醅和芋头糟醅的质量分别是2x,3y公斤，然后根据题意列二元一次方程组求解即可；（2）先求出两次得到粮食酒的总质量，设需要准备z公斤大米，则粮食糟醅的质量为4z，再根据题意列一元一次方程求解即可．【解答】（1）解：第一次实验用粮食糟醅和芋头糟醅的质量分别是x、y公斤，则第一次实验用粮食糟醅和芋头糟醅的质量分别是2x,3y公斤，

由题意可得：30%x+20%y=1630%×2x+20%×3y=36 ，解得：x=40y=20 ．

答：第一次实验用粮食糟醅和芋头糟醅的质量分别是（2）解：两次实验得到的粮食酒总量为(40+40×2)×30%=36公斤，

设需要准备z公斤大米，则粮食糟醅的质量为4z，

由题意可得：4z×30%×80%=36，解得：z=37.5千克．

答：需要准备37.5公斤大米．5.（22-23·湖南中考）为拓展学生视野，某中学组织八年级师生开展研学活动，原计划租用45座客车若干辆，但有15人没有座位；若租用同样数量的60座客车，则多出三辆车，且其余客车恰好坐满．现有甲、乙两种客车，它们的载客量和租金如下表所示：

甲型客车乙型客车载客量（人/辆）4560租金（元/辆）200300（1）参加此次研学活动的师生人数是多少？原计划租用多少辆45座客车？（2）若租用同一种客车，要使每位师生都有座位，应该怎样租用才合算？【答案】解：设参加此次研学活动的师生人数是x人，原计划租用y辆45座客车．

根据题意，得45y+15=x60(y−3)=x ，

解得x=600y=13．

答：参加此次研学活动的师生人数是600人，原计划租用13辆租45座客车：600÷45≈14（辆），所以需租14辆，租金为200×14=2800（元），

租60座客车：600÷60=10（辆），所以需租10辆，租金为300×10=3000（元），

∵2800<3000，

∴租用14辆45座客车更合算．【解析】（1）本题中的等量关系为：45×45座客车辆数+15=学生总数，60×(45座客车辆数−1)=学生总数，据此可列方程组求出第一小题的解；（2）需要分别计算45座客车和60座客车各自的租金，比较后再取舍．【解答】（1）解：设参加此次研学活动的师生人数是x人，原计划租用y辆45座客车．

根据题意，得45y+15=x60(y−3)=x ，

解得x=600y=13．

答：参加此次研学活动的师生人数是600人，原计划租用13辆（2）租45座客车：600÷45≈14（辆），所以需租14辆，租金为200×14=2800（元），

租60座客车：600÷60=10（辆），所以需租10辆，租金为300×10=3000（元），

∵2800<3000，

∴租用14辆45座客车更合算．6.（24-25·天津模拟）已知学生宿舍、文具店、体育场依次在同一条直线上，文具店离宿舍0.6km，体育场离宿舍1.2km，张强从宿舍出发，先用了10min匀速跑步去体育场，在体育场锻炼了30min，之后匀速步行了10min到文具店买笔，在文具店停留10min后，用了20min匀速散步返回宿舍．下面图中x表示时间，y表示离宿舍的距离．图象反映了这个过程中张强离宿舍的距离与时间之间的对应关系．

请根据相关信息，回答下列问题：（1）①填表：张强离开宿舍的时间/min1102060张强离宿舍的距离/km0.121.21.20.6

②填空：张强从体育场到文具店的速度为____0.06____km/min；

③当50≤x≤80时，请直接写出张强离宿舍的距离y关于时间x的函数解析式；（2）当张强离开体育场15min时，同宿舍的李明也从体育场出发匀速步行直接回宿舍，如果李明的速度为0.06km/min，那么他在回宿舍的途中遇到张强时离宿舍的距离是多少？（直接写出结果即可）【答案】①0.12，1.2，0.6；②0.06；③y=0.6(50≤x≤60)y=−0.03x+2.4(60<x≤80)0.3km【解析】（1）①根据图象作答即可；②根据图象，由张强从体育场到文具店的距离除以时间求解即可；③当50≤x≤60时，直接根据图象写出解析式即可；当60<x≤80时，设y与x的函数解析式为y=kx+b，利用待定系数法求函数解析式即可；（2）当张强离开体育场15min时，即x=55时，同宿舍的李明也从体育场出发匀速步行直接回宿舍，当李明在回宿舍的途中遇到张强时，他俩离宿舍的距离是相等的，可列方程为−0.03x+2.4=1.2−0.06(x−55)，求解即可．【解答】（1）①1.2÷10×1=0.12km，

由图填表：张强离开宿舍的时间/min1102060张强离宿舍的距离/km0.121.21.20.6

故答案为：0.12，1.2，0.6；

②张强从体育场到文具店的速度为0.6÷(50−40)=0.06km/min，

故答案为：0.06；

当50≤x≤60时，

y=0.6；

当60<x≤80时，设y与x的函数解析式为y=kx+b，

把(60,0.6),(80,0)代入，得0.6=60k+b0=80k+b ，

解得k=−0.03b=2.4 ，

∴y=−0.03x+2.4；

综上，张强离宿舍的距离y关于时间（2）当张强离开体育场15min时，即x=55时，同宿舍的李明也从体育场出发匀速步行直接回宿舍，

当李明在回宿舍的途中遇到张强时，他俩离宿舍的距离是相等的，

∴−0.03x+2.4=1.2−0.06(x−55)

解得x=70，

当x=70时，1.2−0.06×(70−55)=0.3km，

所以，他在回宿舍的途中遇到张强时离宿舍的距离是0.3km．7.（24-25·重庆模拟）为了助力乡村振兴，某乡镇政府计划对一条长3000米的乡村道路进行改造．（1）该工程原计划由甲队单独施工，工期为160天．刚开始每天施工16米，施工一段时后，甲队改进技术，施工效率提高了25％，刚好按时完工，则技术改造前甲队施工了多少天．（2）由于工期需要，该工程决定由甲、乙两队共同完成，通过工程招标，甲队获得了1800米的改造工程，乙队获得了1200米的改造工程．甲、乙两队同时开始施工，甲队每天比乙队多施工20％，结果甲队比乙队晚20天完成任务．求乙队平均每天施工的米数．【答案】50天15米/天【解析】（1）设技术改造前甲队施工了x天，则技术改造后的施工时间为(160−x)天，根据技术改造前施工的长度与技术改造后施工的长度的和为3000米，列出一元一次方程，求解即可；（2）设乙队平均每天施工y米，则甲队平均每天施工(1+20%)y=1.2y米/天，根据甲队施工的时间减乙队施工的时间为20，列出分式方程，并求解即可，注意检验．【解答】（1）解：设技术改造前甲队施工了x天，则技术改造后的施工时间为(160−x)天，

由题意得：16x+16(1+25%)(160−x)=3000，

解得：x=50；

答：技术改造前甲队施工了50天；（2）解：设乙队平均每天施工y米，则甲队平均每天施工(1+20%)y=1.2y米/天，

由题意得：18001.2y−1200y=20，

解得：y=15，

经检验，y=15是原方程的解，且符合题意；

答：乙队平均每天施工8.（24-25·辽宁中考）小张计划购进A,B两种文创产品，在“文化夜市”上进行销售．已知A种文创产品比B种文创产品每件进价多3元，购进2件A种文创产品和3件B种文创产品共需花费26元．（1）求B种文创产品每件的进价；（2）小张决定购进A，B两种文创产品共100件，且总费用不超过550元，那么小张最多可以购进多少件A种文创产品？【答案】B种文创产品每件的进价为4元小张最多可以购进50件A种文创产品【解析】（1）设B种文创产品每件的进价为x元，根据A种文创产品比B种文创产品每件进价多3元，购进2件A种文创产品和3件B种文创产品共需花费26元，列出一元一次方程进行求解即可；（2）设小张购进m件A种文创产品，根据总费用不超过550元，列出不等式进行求解即可．【解答】（1）解：设B种文创产品每件的进价为x元，则：A种文创产品每件的进价为(x+3)元，

由题意，得：2(x+3)+3x=26，

解得：x=4，

答：B种文创产品每件的进价为4元；（2）设小张购进m件A种文创产品，由(1)可知，A种文创产品每件的进价为4+3=7元，

由题意，得：7m+4(100−m)≤550，

解得：m≤50；

答：小张最多可以购进50件A种文创产品．9.（24-25·湖北中考）某商店销售A，B两种水果．A水果标价14元／千克，B水果标价18元／千克．（1）小明陪妈妈在这家商店按标价买了A，B两种水果共3千克，合计付款46元．这两种水果各买了多少千克？（2）妈妈让小明再到这家商店买A,B两种水果，要求B水果比A水果多买1千克，合计付款不超过50元．设小明买A水果m千克．

①若这两种水果按标价出售，求m的取值范围；

②小明到这家商店后，发现A,B两种水果正在进行优惠活动：A水果打七五折；一次购买B水果不超过1千克不优惠，超过1千克后，超过1千克的部分打七五折．（注：“打七五折”指按标价的75%出售．）若小明合计付款48元，求m的值．【答案】购买A种水果2千克，B种水果1千克①0<m≤1；②m=1.25【解析】（1）设购买A种水果x千克，B种水果y千克，根据在这家商店按标价买了A，B两种水果共3千克，合计付款46元．再建立方程组解题即可；（2）①设小明买A水果m千克，则B种水果购买了(m+1)千克，根据要求B水果比A水果多买1千克，合计付款不超过50元，再建立不等式求解即可；②设小明买A水果m千克，则B种水果购买了(m+1)千克，根据不同的优惠方式可得14m×0.75+18+18m×0.75=48，再解方程即可.【解答】（1）解：设购买A种水果x千克，B种水果y千克，

依题意得：x+y=314x+18y=46 ，

解得：x=2y=1 ．

答：购买A种水果2千克，（2）解：①设小明买A水果m千克，则B种水果购买了(m+1)千克，

∴14m+18(m+1)≤50，

解得：m≤1，

∴结合实际可得：0<m≤1；

②设小明买A水果m千克，则B种水果购买了(m+1)千克，

∴14m×0.75+18+18m×0.75=48，

解得：m=1.25.10.（23-24·黑龙江中考）牡丹江某县市作为猴头菇生产的“黄金地带”，年总产量占全国总产量的50%以上，黑龙江省发布的“九珍十八品”名录将猴头菇列为首位．某商店准备在该地购进特级鲜品、特级干品两种猴头菇，购进鲜品猴头菇3箱、干品猴头菇2箱需420元，购进鲜品猴头菇4箱、干品猴头菇5箱需910元．请解答下列问题：（1）特级鲜品猴头菇和特级干品猴头菇每箱的进价各是多少元？（2）某商店计划同时购进特级鲜品猴头菇和特级干品猴头菇共80箱，特级鲜品猴头菇每箱售价定为50元，特级干品猴头菇每箱售价定为180元，全部销售后，获利不少于1560元，其中干品猴头菇不多于40箱，该商店有哪几种进货方案？（3）在(2)的条件下，购进猴头菇全部售出，其中两种猴头菇各有1箱样品打a（a为正整数）折售出，最终获利1577元，请直接写出商店的进货方案．【答案】特级鲜品猴头菇每箱进价为40元，特级干品猴头菇每箱进价为150元有3种方案，详见解析特级干品猴头菇40箱，特级鲜品猴头菇40箱【解析】（1）设特级鲜品猴头菇和特级干品猴头菇每箱的进价分别是x元和y元，根据“购进鲜品猴头菇3箱、干品猴头菇2箱需420元，购进鲜品猴头菇4箱、干品猴头菇5箱需910元”，列出方程组求解即可；（2）设商店计划购进特级鲜品猴头菇m箱，则购进特级干品猴头菇(80−m)箱，根据“获利不少于1560元，其中干品猴头菇不多于40箱，”列出不等式组求解即可；（3）根据(2)中三种方案分别求解即可；【解答】（1）解：设特级鲜品猴头菇和特级干品猴头菇每箱的进价分别是x元和y元，

则3x+2y=4204x+5y=910 ，

解得：x=40y=150 ，

故特级鲜品猴头菇每箱进价为（2）解：设商店计划购进特级鲜品猴头菇m箱，则购进特级干品猴头菇(80−m)箱，

则(50−40)m+(80−m)(180−150)≥156080−m≤40 ，

解得：40≤m≤42，

∵m为正整数，

∴m=40,41,42，

故该商店有三种进货方案，

分别为：①购进特级鲜品猴头菇40箱，则购进特级干品猴头菇40箱；

②购进特级鲜品猴头菇41箱，则购进特级干品猴头菇39箱；

③购进特级鲜品猴头菇42箱，则购进特级干品猴头菇（3）解：当购进特级鲜品猴头菇40箱，则购进特级干品猴头菇40箱时：

根据题意得(40−1)×(50−40)+(40−1)×(180−150)+50⋅a10−40+180⋅a10−150=1577，

解得：a=9；

当购进特级鲜品猴头菇41箱，则购进特级干品猴头菇39箱时：

根据题意得(41−1)×(50−40)+(39−1)×(180−150)+50⋅a10−40+180⋅a10−150=1577，

解得：a≈9.9（是小数，不符合要求）；

当购进特级鲜品猴头菇4211.（22-23·四川中考）李叔叔批发甲、乙两种蔬菜到菜市场去卖，已知甲、乙两种蔬菜的批发价和零售价如下表所示：品名甲蔬菜乙蔬菜批发价/（元/kg）4.8 4 零售价/（元/kg）7.25.6（1）若他批发甲、乙两种蔬菜共40kg花 180 元．求批发甲乙两种蔬菜各多少千克？（列方程或方程组求解）（2）若他批发甲、乙两种蔬菜共80kg花m元，设批发甲种蔬菜nkg，求m与n的函数关系式；（3）在(2)的条件下，全部卖完蔬菜后要保证利润不低于 176 元，至少批发甲种蔬菜多少千克？【答案】甲蔬菜25kg，乙蔬菜15kgm=320+0.8n60kg【解析】（1）设批发甲蔬菜xkg，乙蔬菜40−xkg，根据批发甲蔬菜和乙蔬菜两种蔬菜共40kg，用去了 180 （2）根据总价等于单价×数量，由甲、乙两种蔬菜总价和为m，即可得出m与n的函数关系；（3）根据当天全部售完后所赚钱数不少于 176 元，列不等式求解即可．【解答】（1）解：设批发甲蔬菜xkg，乙蔬菜(40−x)kg，由题意得：4.8x+440−x=180，

解得：x=25，

乙蔬菜=(40−25)kg=15kg，

答：故批发甲蔬菜25kg，乙蔬菜（2）解：设批发甲种蔬菜nkg，乙蔬菜(80−n)kg，由题意得m=4.8n+480−n=320+0.8n，

答：m与n的函数关系为（3）设批发甲种蔬菜nkg，乙蔬菜(80−n)kg，由题意得7.2−4.8n+5.6−4(80−n)≥176，

解得n≥60，

12.（22-23·山东中考）今年五一小长假期间，我市迎来了一个短期旅游高峰．某热门景点的门票价格规定见如表：

票的种类ABC购票人数/人1∼5051∼100100以上票价/元504540某旅行社接待的甲、乙两个旅游团共102人（甲团人数多于乙团）．在打算购买门票时，如果把两团联合作为一个团体购票会比两团分别各自购票节省730元．（1）求两个旅游团各有多少人？（2）一个人数不足50人的旅游团，当游客人数最低为多少人时，购买B种门票比购买A种门票节省？【答案】解：设甲旅游团有x人，乙旅游团有y人，

根据题意得：x+y=10245x+50y−40×102=730，

解得：x=58y=44．

答：甲旅游团有58人，乙旅游团有设游客人数为m人，

根据题意得：50m>45×51，

解得：m>45.9，

又∵m为正整数，

∴m的最小值为46．

答：当游客人数最低为46人时，购买B种门票比购买A种门票节省．【解析】（1）设甲旅游团有x人，乙旅游团有y人，根据“甲、乙两个旅游团共102人（甲团人数多于乙团），在打算购买门票时，如果把两团联合作为一个团体购票会比两团分别各自购票节省730元”，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；（2）设游客人数为m人，根据购买B种门票比购买A种门票节省，可列出关于m的一元一次不等式，解之可得出m的取值范围，再取其中的最小整数值，即可得出结论．【解答】（1）解：设甲旅游团有x人，乙旅游团有y人，

根据题意得：x+y=10245x+50y−40×102=730，

解得：x=58y=44．

答：甲旅游团有58人，乙旅游团有（2）设游客人数为m人，

根据题意得：50m>45×51，

解得：m>45.9，

又∵m为正整数，

∴m的最小值为46．

答：当游客人数最低为46人时，购买B种门票比购买A种门票节省．13.（24-25·贵州模拟）贵州省江口县被誉为“中国抹茶之都”，这里拥有全球最大的抹茶单体生产车间．为满足市场需求，某抹茶车间准备安装A、B两种型号生产线.已知，同时开启一条A型和一条B型生产线每月可以生产抹茶共200t，同时开启一条A型和两条B型生产线每月可以生产抹茶共280t．（1）求一条A型和一条B型生产线每月各生产抹茶多少吨？（2）为扩大生产规模，若另一车间准备同时安装相同型号的A、B两种生产线共5条，该车间接到一个订单，要求4个月生产抹茶不少于2000t，至少需要安装多少条A型生产线？【答案】一条A型生产线每月生产抹茶120t，一条B型生产线每月生产抹茶80t至少需要安装3条A型生产线【解析】（1）设一条A型生产线每月生产抹茶xt，一条B型生产线每月生产抹茶yt，根据“同时开启一条A型和一条B型生产线每月可以生产抹茶共200t，同时开启一条A型和两条B型生产线每月可以生产抹茶共280t”建立二元一次方程组求解；（2）设需要安装m条A型生产线，则安装B种生产线(5−m)条，根据“4个月生产抹茶不少于2000t”建立一元一次不等式求解即可．【解答】（1）解：设一条A型生产线每月生产抹茶xt，一条B型生产线每月生产抹茶yt，

由题意得：x+y=200x+2y=280 ，

解得：x=120y=80 ，

答：一条A型生产线每月生产抹茶120t，一条（2）解：设需要安装m条A型生产线，则安装B种生产线(5−m)条，

由题意得：40×120m+80(5−m)≥2000，

解得：m≥2.5，

∵m为正整数，

∴m最小取3，

答：至少需要安装3条A型生产线．14.（24-25·江苏中考）如图，制作甲、乙两种无盖的长方体纸盒，需用正方形和长方形两种硬纸片，且长方形的宽与正方形的边长相等．

（1）现用200张正方形硬纸片和400张长方形硬纸片，恰好能制作甲、乙两种纸盒各多少个?（2）如果需要制作100个长方体纸盒，要求乙种纸盒数量不低于甲种纸盒数量的一半，那么至少需要多少张正方形硬纸片?【答案】恰好能制作甲种纸盒40个，乙种纸盒80个至少需要134张正方形硬纸片【解析】（1）先设恰好能制作甲种纸盒x个，乙种纸盒y个．结合题意列出方程组，再解得x=40y=80（2）先设制作乙种纸盒m个，需要w张正方形硬纸片．根据题意列出w=100+m，结合m≥12(100−m)，得m≥【解答】（1）解：制作甲、乙两种无盖的长方体纸盒，甲种需要1个正方形，4个长方形，乙种需要2个正方形，3个长方形，

设恰好能制作甲种纸盒x个，乙种纸盒y个．

根据题意，得x+2y=2004x+3y=400 ，

得x=40y=80 ，

答：恰好能制作甲种纸盒（2）解：设制作乙种纸盒m个，需要w张正方形硬纸片．

则w=2m+(100−m)=100+m．

由k=1>0，知w随m的增大而增大，

∴当m最小时，w有最小值．

根据题意，得m≥12(100−m)，

解得m≥1003，

其中最小整数解为

即当m=34时，w=100+34=134．

答：至少需要15.（23-24·重庆中考）某工程队承接了老旧小区改造工程中1000平方米的外墙粉刷任务，选派甲、乙两人分别用A,B两种外墙漆各完成总粉刷任务的一半．据测算需要A,B两种外墙漆各300千克，购买外墙漆总费用为15000元，已知A种外墙漆每千克的价格比B种外墙漆每千克的价格多2元．（1）求A,B两种外墙漆每千克的价格各是多少元？（2）已知乙每小时粉刷外墙面积是甲每小时粉刷外墙面积的45,乙完成粉刷任务所需时间比甲完成粉刷任务所需时间多【答案】A种外墙漆每千克的价格为 26 元，则B种外墙漆每千克的价格为 24 元．甲每小时粉刷外墙的面积是 25 平方米．【解析】（1）设A种外墙漆每千克的价格为x元，则B种外墙漆每千克的价格为x−2元，再根据总费用为15000元列方程求解即可；（2）设甲每小时粉刷外墙面积为y平方米，则乙每小时粉刷外墙面积是45y平方米；利用乙完成粉刷任务所需时间比甲完成粉刷任务所需时间多【解答】（1）解：设A种外墙漆每千克的价格为x元，则B种外墙漆每千克的价格为x−2元，∴300x+300x−2=15000,

解得x=26,

∴x−2=24,

答：A种外墙漆每千克的价格为 26 元,B种外墙漆每千克的价格为（2）设甲每小时粉刷外墙面积为y平方米，则乙每小时粉刷外墙面积是45y平方米；∴50045y−5=500y,

解得y=25,

16.（25-26·江苏模拟）自主研发和创新让我国的科技快速发展，“中国智造”正引领世界潮流．某科技公司计划投入一笔资金用来购买A、B两种型号的芯片．已知购买1颗A型芯片和2颗B型芯片共需要750元，购买2颗A型芯片和3颗B型芯片共得要1300元．

（1）求购买1颗A型芯片和1颗B型芯片各需要多少元．（2）若该公司计划购买A、B两种型号的芯片共8000颗，其中购买A型芯片的数量不少于B型芯片数量的3倍．当购买A型芯片多少颗时，所需资金最少，最少资金是多少元．（3）该公司用甲、乙两辆芯片运输车，先后从M地出发，沿着同一条公路匀速行驶，前往目的地N，两车到达N地后均停止行驶．如图，y甲km、y乙km分别是甲、乙两车离M地的距离与甲车行驶的时间x(h)之间的函数关系．请根据图象信息解答下列问题：

①甲车的速度是___80_____km/h．

②当甲、乙两车相距30km时，直接写出x的值__1.5或【答案】购买1颗A型芯片和1颗B型芯片分别需要350元和200元当该公司购买A型芯片6000颗，所需资金最少，最少资金是2500000元①80；②1.5或4.5或6.5【解析】（1）根据题意列方程组求解即可；（2）结合不等式约束条件，将问题转化为求函数最小值即可；（3）①求出解析式代入计算即可；②求出甲乙两车的函数解析式，分类讨论即可．【解答】（1）设：购买1颗A型芯片和1颗B型芯片分别需要a元和b元

由题意得a+2b=7502a+3b=1300 

解得a=350b=200 

答：购买1颗A型芯片和1颗B型芯片分别需要（2）设购买B型芯片m颗，则购买A型芯片(8000−m)颗，所需资金为w元

由题意得：w=350(8000−m)+200m=−150m+2800000

∵k=−150<0

∴w随m的增大而减小

∵购买A型芯片的数量不少于B型芯片数量的3倍，

∴8000−m≥3m解得m≤2000

∵m取正整数

∴当m=2000时，w取最小值，w最少=−150×2000+2800000=2500000（元）

此时8000−m=6000

答：当该公司购买A型芯片6000颗，所需资金最少，最少资金是（3）①设y乙的解析式为y乙=k2x+b

将点(0,60)，(7,480)代入y乙=k2x+b

得b=607k2+b=480 

解得k2=60b=60 

所以，y乙的解析式为y乙=60x+60，

当x=3时，y乙=60x+60=60×3+60=240

所以，甲车的速度为240÷3=80km/h

②y甲的解析式为y甲=k1x

将点(3,240)代入y甲=k1x

得240=3k1，解得k1=80

所以y甲的解析式为y甲=80x

当函数y

17.（24-25·云南中考）某化工厂采用机器人A，机器人B搬运化工原料，机器人A比机器人B每小时少搬运20千克，机器人A搬运800千克所用时间与机器人B搬运1000千克所用时间相等．求机器人A，机器人B每小时分别搬运多少千克化工原料．【答案】机器人A每小时搬运80千克化工原料，机器人B每小时搬运100千克化工原料【解析】本题主要考查了分式方程的实际应用，设机器人A每小时搬运x千克化工原料，则机器人B每小时搬运(x+20)千克化工原料，根据机器人A搬运800千克所用时间与机器人B搬运1000千克所用时间相等建立方程求解即可．【解答】解；设机器人A每小时搬运x千克化工原料，则机器人B每小时搬运(x+20)千克化工原料，

由题意得，800x=1000x+20，

解得x=80，

经检验，x=80是原方程的解，且符合题意，

∴x+20=100，

答；机器人A每小时搬运80千克化工原料，机器人B每小时搬运10018.（24-25·江西模拟）如图，某校有一块长20m、宽14m的矩形种植园．为了方便耕作管理，在种植园的四周和内部修建安度相同的小路（图中阴影部分）．小路把种植园分成面积均为24m2的9个矩形地块，请你求出小路的宽度．

【答案】12【解析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，设小路的宽度为xm，根据题意可知种植园的面积等于一个长为(20−4x)m，宽为(14−4x)m的矩形面积，据此建立方程求解即可．【解答】解：设小路的宽度为xm，

由题意得，(20−4x)(14−4x)=24×9，

整理得2x2−17x+8=0，

解得x=12或x=8（舍去），

答：小路的宽度为19.（23-24·四川模拟）某超市购进甲、乙两种商品，2022年甲、乙两种商品每件的进价均为125元，随着生产成本的降低，甲种商品每件的进价年平均下降25元，乙种商品2024年每件的进价为80元．（1）求乙种商品每件进价的年平均下降率；（2）2024年该超市用不超过7800元的资金一次购进甲、乙两种商品共100件，求最少购进多少件甲种商品．【答案】乙种商品每件进价的年平均下降率为20%最少购进甲种商品40件【解析】（1）设乙种商品每件进价的年平均下降率为x，根据乙商品2022年的进价为125元，经过两次降价后，2024年的进价为80元列出方程求解即可；（2）设购进甲种商品m件，则购进乙种商品(100−m)件，根据购买资金不超过7800元列出不等式求出m的取值范围即可得到答案．【解答】（1）解：设乙种商品每件进价的年平均下降率为x，

由题意得，125(1−x)2=80，

解得x=0.2=20%或x=1.8（舍去），

（2）解：设购进甲种商品m件，则购进乙种商品(100−m)件，

由题意得，(125−25×2)m+80(100−m)≤7800，

∴75m+8000−80m≤7800，

解得m≥40，

∴m的最小值为40，即最少购进甲种商品40件，

答：最少购进甲种商品40件．20.（24-25·湖南模拟）水碧万物生，岳阳龙虾好．小龙虾产业已经成为岳阳乡村振兴的“闪亮名片”．已知翠翠家去年龙虾的总产量是4800kg，今年龙虾的总产量是6000kg，且去年与今年的养殖面积相同，平均亩产量去年比今年少60kg，求今年龙虾的平均亩产量．【答案】解：设今年龙虾的平均亩产量为xkg，则去年龙虾的平均亩产量为(x−60)kg，

根据题意得：6000x=4800x−60，

解得：x=300，

经检验，x=300是所列方程的解，且符合题意．【解析】设今年龙虾的平均亩产量为xkg，则去年龙虾的平均亩产量为(x−60)kg，利用养殖面积=总产量÷平均亩产量，结合去年与今年的养殖面积相同，可得出关于x的分式方程，解之经检验后，即可得出结论．【解答】解：设今年龙虾的平均亩产量为xkg，则去年龙虾的平均亩产量为(x−60)kg，

根据题意得：6000x=4800x−60，

解得：x=300，

经检验，x=300是所列方程的解，且符合题意．

答：今年龙虾的平均亩产量为300kg21.（24-25·新疆模拟）某校开设智能机器人编程的校本课程，购买了A，B两种型号的机器人模型．A型机器人模型单价比B型机器人模型单价多200元，用2000元购买A型机器人模型和用1200元购买B型机器人模型的数量相同．（1）求A型，B型机器人模型的单价分别是多少元？（2）学校准备再次购买A型和B型机器人模型共40台，购买B型机器人模型不超过A型机器人模型的3倍，且商家给出了两种型号机器人模型均打八折的优惠．问购买A型和B型机器人模型各多少台时花费最少？最少花费是多少元？【答案】解：设A型编程机器人模型单价是x元，B型编程机器人模型单价是(x−200)元．

根据题意：2000x=1200x−200，

解这个方程，得：x=500，

经检验，x=500是原方程的根，

∴x−200=300，

答：A型编程机器人模型单价是500元，设购买A型编程机器人模型m台，购买B型编程机器人模型(40−m)台，

购买A型和B型编程机器人模型共花费w元，

由题意得：40−m≤3m，

解得：m≥10，

w=500×0.8⋅m+300×0.8(40−m)，

即：w=160m+9600，

∵160>0

∴w随m的减小而减小．

当m=10时，w取得最小值11200，

∴40−m=30

答：购买A型机器人模型10台和B型机器人模型30台时花费最少，最少花费是11200元．【解析】（1）根据“用2000元购买A型机器人模型和用1200元购买B型机器人模型的数量相同”列方程求解；（2）先根据“购买B型机器人模型不超过A型机器人模型的3倍”求出取值范围，再根据一次函数的性质求解．【解答】（1）解：设A型编程机器人模型单价是x元，B型编程机器人模型单价是(x−200)元．

根据题意：2000x=1200x−200，

解这个方程，得：x=500，

经检验，x=500是原方程的根，

∴x−200=300，

答：A型编程机器人模型单价是500元，（2）设购买A型编程机器人模型m台，购买B型编程机器人模型(40−m)台，

购买A型和B型编程机器人模型共花费w元，

由题意得：40−m≤3m，

解得：m≥10，

w=500×0.8⋅m+300×0.8(40−m)，

即：w=160m+9600，

∵160>0

∴w随m的减小而减小．

当m=10时，w取得最小值11200，

∴40−m=30

答：购买A型机器人模型10台和B型机器人模型30台时花费最少，最少花费是11200元．22.（24-25·贵州模拟）端午节是我国入选世界非物质文化遗产的传统节日，端午节吃粽子是中华民族的传统习俗．某超市为了满足人们的需求，计划在端午节前购进甲、乙两种粽子进行销售．经了解，每个乙种粽子的进价比每个甲种粽子的进价多2元，用1000元购进甲种粽子的个数与用1200元购进乙种粽子的个数相同．（1）甲、乙两种粽子每个的进价分别是多少元？（2）该超市计划购进这两种粽子共200个（两种都有），其中甲种粽子的个数不低于乙种粽子个数的2倍，若甲、乙两种粽子的售价分别为12元/个、15元/个，设购进甲种粽子m个，两种粽子全部售完时获得的利润为W元．

①求W与m的函数关系式，并求出m的取值范围；

②超市应如何进货才能获得最大利润，最大利润是多少元？【答案】解：设每个甲种粽子的进价为x元，则每个乙种粽子的进价为(x+2)元，

根据题意得：1000x=1200x+2，

解得x=10，

经检验，x=10是原方程的根，

此时x+2=12，

答：每个甲种粽子的进价为①设购进甲种粽子m个，则购进乙种粽子(200−m)个，

根据题意得：W=(12−10)m+(15−12)(200−m)=2m+600−3m=−m+600，

∴W与m的函数关系式为W=−m+600；

甲种粽子的个数不低于乙种粽子个数的2倍，

∴m≥2(200−m)，

解得m≥4003，

∴4003≤m<200（m为正整数）；

②由①知，W=−m+600，−1<0，m为正整数，

∴当m=134时，W有最大值，最大值为466，

此时200−134=66，

∴购进甲种粽子134【解析】（1）设每个甲种粽子的进价为x元，则每个乙种粽子的进价为(x+2)元，根据用1000元购进甲种粽子的个数与用1200元购进乙种粽子的个数相同，列出方程，解方程即可，注意验根；（2）①设购进甲种粽子m个，则购进乙种粽子(200−m)个，全部售完获得利润为w元，根据总利润=甲、乙两种粽子利润之和列出函数解析式；

②根据甲种粽子的个数不低于乙种粽子个数的2倍求出m的取值范围，再根据函数的性质求最值，并求出相应的方案．【解答】（1）解：设每个甲种粽子的进价为x元，则每个乙种粽子的进价为(x+2)元，

根据题意得：1000x=1200x+2，

解得x=10，

经检验，x=10是原方程的根，

此时x+2=12，

答：每个甲种粽子的进价为（2）①设购进甲种粽子m个，则购进乙种粽子(200−m)个，

根据题意得：W=(12−10)m+(15−12)(200−m)=2m+600−3m=−m+600，

∴W与m的函数关系式为W=−m+600；

甲种粽子的个数不低于乙种粽子个数的2倍，

∴m≥2(200−m)，

解得m≥4003，

∴4003≤m<200（m为正整数）；

②由①知，W=−m+600，−1<0，m为正整数，

∴当m=134时，W有最大值，最大值为466，

此时200−134=66，

∴购进甲种粽子134个，乙种粽子66个时利润最大，最大利润为23.（23-24·江苏中考）书画装裱，是指为书画配上衬纸、卷轴以便张贴、欣赏和收藏，是我国具有民族传统的一门特殊艺术．如图，一幅书画在装裱前的大小是1.2m×0.8m，装裱后，上、下、左、右边衬的宽度分别是am、bm、cm、dm．若装裱后AB与AD的比是16:10，且a=b，c=d，c=2a，求四周边衬的宽度．

【答案】上、下、左、右边衬的宽度分别是0.1m、0.1m、0.2m、0.2m【解析】本题考查分式方程的应用，分别表示出AB,AD的长，列出分式方程，进行求解即可．【解答】解：由题意，得：AB=1.2+c+d=1.2+2c=1.2+4a，AD=0.8+a+b=0.8+2a，

∵AB与AD的比是16:10，

∴1.2+4a0.8+2a=1610，

解得：a=0.1，

经检验a=0.1是原方程的解．

∴上、下、左、右边衬的宽度分别是24.（23-24·广西中考）综合与实践

在综合与实践课上，数学兴趣小组通过洗一套夏季校服，探索清洗衣物的节约用水策略．

【洗衣过程】

步骤一：将校服放进清水中，加入洗衣液，充分浸泡揉搓后拧干；

步骤二：将拧干后的校服放进清水中，充分漂洗后拧干．重复操作步骤二，直至校服上残留洗衣液浓度达到洗衣目标．

假设第一次漂洗前校服上残留洗衣液浓度为0.2%，每次拧干后校服上都残留0.5kg水．

浓度关系式：d后=0.5d前0.5+w．其中d前、d后分别为单次漂洗前、后校服上残留洗衣液浓度；w为单次漂洗所加清水量（单位：（1）如果只经过一次漂洗，使校服上残留洗衣液浓度降为0.01%，需要多少清水？（2）如果把4kg清水均分，进行两次漂洗，是否能达到洗衣目标？（3）比较(1)和(2)的漂洗结果，从洗衣用水策略方面，说说你的想法．【答案】只经过一次漂洗，使校服上残留洗衣液浓度降为0.01%，需要9.5kg清水．进行两次漂洗，能达到洗衣目标；两次漂洗的方法值得推广学习【解析】（1）把d后=0.01%，d前（2）分别计算两次漂洗后的残留洗衣液浓度，即可得到答案；（3）根据(1)(2)的结果得出结论即可．【解答】（1）解：把d后=0.01%，d前=0.2%代入d后=0.5d前0.5+w

得0.01%=0.5×0.2%0.5+w（2）解：第一次漂洗：

把w=2kg，d前=0.2%代入d后=0.5d前0.5+w，

∴d后=0.5×0.2%0.5+2=0.04%，

第二次漂洗：

把w=2kg，（3）解：由(1)(2)的计算结果发现：经过两次漂洗既能达到洗衣目标，还能大幅度节约用水，

∴从洗衣用水策略方面来讲，采用两次漂洗的方法值得推广学习．25.（22-23·黑龙江中考）某商场欲购进A和B两种家电，已知B种家电的进价比A种家电的进价每件多100元，经计算，用1万元购进A种家电的件数与用1.2万元购进B种家电的件数相同．请解答下列问题：（1）这两种家电每件的进价分别是多少元？（2）若该商场欲购进两种家电共100件，总金额不超过53500元，且A种家电不超过67件，则该商场有哪几种购买方案？（3）在(2)的条件下，若A和B两种家电的售价分别是每件600元和750元，该商场从这100件中拿出两种家电共10件奖励优秀员工，其余家电全部售出后仍获利5050元，请直接写出这10件家电中B种家电的件数．【答案】A种家电每件的进价为500元，B种家电每件的进价为600元共有三种购买方案，方案一：购进A种家电65件，B种家电35件，方案二：购进A种家电66件，B种家电34件，方案三：购进A种家电67件，B种家电33件这10件家电中B种家电的件数4件【解析】（1）根据题意设A种家电每件进价为x元，B种家电每件进价为x+100元，建立分式方程求解即可；（2）设购进A种家电a件，购进B种家电100−a件，建立不等式，求解不等式，选择符合实际的解即可；（3）设A种家电拿出b件，则B种家电拿出10−b件，根据题意，建立一元一次方程求解即可．【解答】（1）设A种家电每件进价为x元，B种家电每件进价为x+100元．根据题意，得

10000x=12000x+100．

解得x=500．

经检验x=500是原分式方程的解．

∴x+100=600．

答：A种家电每件的进价为500元，（2）设购进A种家电a件，购进B种家电100−a件．根据题意，得500a+600100−a≤53500．

解得a≥65．

∵a≤67，∴65≤a≤6